Para Nascimento (2007) o conceito de Função levou cerca de 2000 anos até chegar a sua forma atual, a evolução desse conceito está estritamente relacionada ao desenvolvimento de modelos representativos para realidade. Uma das suas primeiras compreensões surge, de acordo com Boyer (1996), quando povos da antiguidade (Maias, Babilônios, Chineses, entre outros) buscaram estabelecer uma relação entre o posicionamento dos astros e as estações naturais da terra ou as fases da lua associadas à passagem do tempo em relação à noite e ao dia, revelando, ainda que de forma primitiva, a ideia de relacionamento entre grandezas. Os babilônios, na antiga Mesopotâmia, desenvolveram uma forma de registro em tabletas, a escrita cuneiforme, usadas como recurso para cálculos, essas tabelas contém sucessivas operações com números, que se assemelham às atuais tabelas de logaritmos (BOYER, 1996). Para Roque de Carvalho (2012) essas tabelas já revelavam, em certa medida, o conceito de Função, tendo em vista que relacionavam um número ao resultado das operações que o envolvia.
Segundo Nascimento (2007) alguns elementos importantes sobre a construção histórica do conceito de Função durante o período da Antiguidade podem ser identificados na Grécia antiga, tendo em vista que os trabalhos de alguns matemáticos já continham a ideia de dependência funcional, como, por exemplo, o trabalho de Hipias de Elis no desenvolvimento da quadratriz – recebe essa denominação, pois é utilizada para dividir o círculo em quatro – nas cônicas de Apolônio e na espiral de Arquimedes, onde subjaz a ideia dependência de um ponto em movimento sobre uma curva.
61 Durante a Idade Média desenvolviam-se na Europa, mas especificamente em Oxford e em París, as escolas de Filosofia Natural, as quais consideravam a matemática como o principal instrumento para a compreensão dos fenômenos naturais (ROSSINI, 2006). Nesse contexto surge uma importante contribuição para o desenvolvimento do conceito de Função a Teoria das Latitudes desenvolvida pelo matemático francês Nicole Oresme (1323-1382), esta teoria compreendia a utilização de coordenadas para expressar a velocidade de um corpo em função do tempo constituindo-se, de acordo com Boyer (1996), como uma ideia inicial sobre a construção do gráfico de quantidades variáveis.
Oresme marcou ao longo de uma reta horizontal pontos correspondentes aos instantes de tempo (ou longitudes) e perpendicularmente a essa reta construiu-se um segmento de reta cujo comprimento compreendia à velocidade (BOYER, 1996). Entendemos que o que Oresme chamou de longitudes e latitudes referem-se, respectivamente, ao eixo das abscissas e ao eixo das ordenadas.
Ainda na idade média outro resultado importante para a construção do conceito de função foi a regra de Merton, a qual compreende a determinação da velocidade de um movimento acelerado. Para Boyer (1996) essa regra refere-se a:
Se um corpo se move com movimento uniformemente acelerado, então a distância coberta será igual à que seria percorrida por outro corpo que se deslocasse com movimento uniforme durante o mesmo intervalo de tempo, com velocidade igual à do primeiro no ponto médio do intervalo de tempo (BOYER, 1996, p. 187)
Isto é, a velocidade média de um corpo em movimento uniformemente acelerado é equivalente à média aritmética das velocidades inicial e final do mesmo. Observamos, a partir dessa discussão, que embora não houvesse a formalização do conceito de Função os matemáticos da Antiguidade e da Idade Média já desenvolviam estudos, mesmo que incipientes, a respeito desse conceito.
As noções mais sofisticadas a respeito das funções aparecem somente no século XVI quando Galileu (1564 – 1642) discute conceitos relativos à construção de instrumentos de medidas por meio da representação gráfica. Outra contribuição importante, durante esse período, foi a introdução no cálculo de equações da dependência para calcular o valor de uma variável em relação à outra (NASCIMENTO, 2007).
62 O conceito de função vai estruturando-se ao longo do século XVII quando se demonstra uma preocupação em utilizar uma escrita matemática adequada para expressá-lo. De acordo com Iezzi et al (2004) para expressar mais “nitidamente” esse conceito era necessário unir o simbolismo da álgebra linear com a ideia de variabilidade.
Segundo Eves (2004) o termo “função” foi introduzido por Leibniz (1646 – 1717) no ano de 1694, o uso dessa terminologia foi proposta, inicialmente, com o intuito de designar apenas a dependência de uma curva. Também foram introduzidos por Leibniz termos como “constante”, “variável” e “parâmetro”. Johann Bernoulli (1667 – 1748), por volta de 1718 experimentou diversas notações para uma função de x, dentre as quais a mais próxima da moderna foi φx (EVES, 2004; BOYER, 1996).
Em 1748 o matemático suíço Leonard Euller (1707 – 1783) apresenta em sua obra Introduction a função de uma quantidade variável como sendo qualquer expressão analítica formada por essa quantidade variável e por números ou quantidades constantes, para Dornelas (2007) essa expressão não foi muito aceita pelo fato desse matemático não ter definido de maneira precisa o que seria uma “expressão analítica”. Euller também foi o construtor de uma das notações mais exitosas da história, a notação f(x) para uma função de x (BOYER, 1996).
De acordo com Nascimento (2007) o conceito de função vai sendo construindo na prática vigorando posteriormente entre os séculos XVIII e XIX. Para Roque de Carvalho (2012) uma das definições, durante esse período, que mais se aproxima da definição atual de função é proposta por Lejeune-Dirichlet (1805-1859), a qual compreende: “Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo
de definição da função e os valores assumidos por y constituem o campo de valores
da função” (EVES, 2004, p. 661). Essas proposições ancoram-se no que hoje denominamos como domínio e imagem de uma função evidenciando a ideia de função como uma relação entre dois conjuntos.
Temos atualmente uma definição formal do conceito de função, a qual é fruto das reflexões de inúmeros matemáticos no decorrer dos séculos, nas palavras de Lima (2013)
Dados dois conjuntos X e Y, uma função 𝑓: 𝑋 → 𝑌 (lê – se “uma função de X em Y”) é uma regra (ou um conjunto de instruções) que diz como associar a cada elemento 𝑥 ∈ 𝑋 um elemento 𝑦 = 𝑓 (𝑥) ∈ 𝑌 (lê – se 𝑦 = 𝑓(𝑥)). O conjunto X chama – se domínio e o conjunto Y chama-se contradomínio da
63 função f. Para cada 𝑥 ∈ 𝑋, o elemento 𝑓 (𝑥) ∈ 𝑌 chama-se imagem de x pela função f, ou o valor assumido pela função f no ponto x. Escreve-se 𝑥 → 𝑓(𝑥) para indicar que f transforma (ou leva) 𝑥 em 𝑓(𝑥). (LIMA, 2013, p. 40)
O panorama histórico apresentado evidencia o dinamismo envolvido na construção do conceito de função, por meio de diferentes abordagens. Dando continuidade, apresentaremos, a seguir, alguns pontos que julgamos relevantes para a caracterização de um tipo especifico de função, a Função Afim, a qual é objeto de estudo da presente pesquisa