P - Precisa calcular esse trabalho todo... Ter esse trabalho todo? A6 – Precisa... Multiplica o 60 por 50...
P – Se você observar que esse aqui (aponta para o R$ 50000) é 10 vezes esse (aponta para o RS
5000), facilita né não?
A6 – Ah, é mesmo... Dá 3000...
133 As negociações expressas no recorte a seguir são conduzidas de modo a possibilitar uma generalização algébrica, observe no trecho “Observaram aí o que
que tá acontecendo nesses cálculos que eu to fazendo aqui? Existe alguma coisa em comum aí, não existe?” é explicitada a expectativa do professor de que os
alunos tenham notado algum padrão nos exemplos discutidos no decorrer da aula. À medida que as negociações avançam começa a surgir à reprodução do Efeito Topázio (ECT.6), o professor tem a ânsia para que os alunos percebam o padrão que existe nos exemplos começa a sutilmente dar dicas sobre o que seria esse padrão. Considerando o trecho discutido no parágrafo anterior observamos que após questionar os alunos sobre o que estava acontecendo nos cálculos o professor lança, imediatamente, “Existe alguma coisa em comum aí, não existe?” que nesse contexto funciona como uma espécie de dica para que se perceba que há algo em comum nos cálculos.
A reprodução do Efeito Topázio segue ao longo da negociação. No trecho: “A6
– Os zeros... P – Não é só os zeros não, observem aí o que ta acontecendo... A13 –
A porcentagem é a mesma? P – A porcentagem que ta aparecendo é a mesma, né?
A6 – A fórmula também é a mesma... P – Essa formulazinha, eu poderia criar uma
fórmula para dizer o salário dele quanto é que é? O que seria essa fórmula? Observem isso aqui, só a primeira parte (aponta para as S1, S2 e S3). Observem só
essa primeira parte aqui...” observamos o esforço do professor para que o aluno
perceba qual é a fórmula que interpreta a situação.
Ao aluno responder que o que havia em comum nos exemplos eram os zeros o professor chama a atenção que há algo em comum além dos zeros: “Não é só os
zeros não, observem aí o que ta acontecendo...”. O aluno menciona a porcentagem
como mais um elemento em comum, o professor confirma por meio da frase: “A
porcentagem que ta aparecendo é a mesma, né?”, é mencionado, também, que tem
uma fórmula em comum nesse momento vale-se mais uma vez do ECT.6 para que o aluno preste atenção nos elementos importantes utilizando-se o aspecto visual para que o aluno note o padrão: “P - Observem isso aqui, só a primeira parte (aponta
para as S1, S2 e S3). Observem só essa primeira parte aqui...”, note que o professor
aponta para as partes para que o aluno preste atenção.
Ao final o professor negocia que a fórmula encontrada é uma FA, comparando a expressão encontrada com a forma canônica da FA: “Vejam que dessa forma que
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eu to fazendo aqui é justamente o formato que eu estava dizendo a respeito da FA, ou seja, ‘f’ de ‘x’ é igual à ‘ax’ mais b...”. Nessa situação temos mais uma vez a
evidencia da RI.3 na qual a representação dos conceitos matemáticos, no caso a FA. deve seguir rigorosamente a forma canônica do mesmo.
Sobre a resolução da situação observamos que o professor opta por realizar uma generalização algébrica para obtenção da Lei de Formação da FA, ou seja, são atribuídos valores à variável dependente no intuito que os alunos percebam que há um padrão nessas expressões. Torna-se explicito nas negociações que há expectativas, por parte do professor, que os alunos identifiquem esse padrão como a Lei de Formação da FA, uma das evidencias dessas expectativas pode ser sinalizada na eminência dos Efeitos Topázio, ou seja, na ânsia de que o aluno note o padrão o professor fornece inúmeras dicas para isso. Sobre essas atitudes do professor não notamos nenhuma influência do CDP, uma vez que não pontuamos nenhum método para a resolução dessas situações em especifico na análise do LD.
Quadro 15. Recorte da Transcrição da Aula 8
P – Observaram aí o que ta acontecendo nesses cálculos que eu to fazendo aqui? Existe alguma
coisa em comum aí, não existe?
A6 – Os zeros...
P – Não é só os zeros não, observem aí o que ta acontecendo... A13 – A porcentagem é a mesma?
P – A porcentagem que ta aparecendo é a mesma, né? A6 – A fórmula também é a mesma...
P – Essa formulazinha, eu poderia criar uma fórmula para dizer o salário dele quanto é que é? O que
seria essa fórmula? Observem isso aqui, só a primeira parte (aponta para as S1, S2 e S3). Observem
só essa primeira parte aqui...
Alguns alunos falam simultaneamente – 0,06 multiplicado por ‘x’ mais 2500...
P – Seria o que? 0,06 multiplicado ‘x’, que é a parte variável que ta variando e a gente vai chamar de
variável, mais 2000 e...
Alunos – 500...
P – 500... Aí eu vou dizer o seguinte: o salário dele em função das vendas dele vai ser o que?
0,06... vezes o salário dele, ou a parte das vendas, né? Mais 2000 e...
Alunos – 500...
P – 500... Vejam que dessa forma que eu to fazendo aqui é justamente o formato que eu estava
dizendo a respeito da FA, ou seja ‘f’ de ‘x’ é igual à ‘ax’ mais b...
Registro do Professor
𝑆(𝑥) = 0,06𝑥 + 2500 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 Fonte: Dados da pesquisa
No recorte a seguir o professor negocia explicitamente o sentido da Lei de Formação como sendo uma ‘forma’ onde é necessário saber, apenas, o número de vendas para determinar o salário final do vendedor. Observe no trecho “Então o uso
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quiser, qualquer salário que a gente quiser no mês, vai depender do que? Da quantidade de vendas que ele teve, certo?” há a negociação implícita de que a lei de
formação, ou seja, a Função expressa uma relação de dependência entre grandezas o professor menciona que pode-se calcular qualquer salário através do número de vendas.
Após as discussões sobre a Lei de Formação as negociações giram em torno da representação gráfica da FA. No trecho “Tão lembrados que quando a gente viu
aí... Nessa função do 1º grau a gente viu que a função ela era uma linha reta? Tão lembrados?” é perceptível que algumas propriedades do gráfico da FA já foram
explorados em outro momento, em seguida o professor explicita algumas das regras já negociadas: o gráfico da FA é representado por uma reta (RE.5); o gráfico é crescente quando o coeficiente a é um valor positivo, decrescente quando o coeficiente a é um valor negativo e constante, paralela ao eixo ‘x’, quando o coeficiente a é igual a zero (RE.6). A situação discutida encontra-se expressa no recorte a seguir “P - A gente viu que tinham três possibilidades para essa função...
Ou ela era desse tipo (faz o desenho de um gráfico de uma função crescente), crescente, né? Quando o valor de ‘a’ é positivo... Ou ela era (...) decrescente (faz desenho de uma função decrescente) quando ‘a’ é negativo... Ou existia ainda uma terceira possibilidade (...) paralela ao eixo do‘x’ quando ‘a’ é igual a zero, né? Essa função é chamada de função que? A7 – Contínua... P - Constante, ou seja, o valor
não iria variar.”
Retomam-se as negociações a respeito do valor fixo 2500, observe no trecho
“vamos dizer que ele recebe R$ 2500,00 independente das vendas dele, ou seja, ele não recebe comissão sobre vendas, aí seria o que? Um salário fixo de R$ 2500,00 independente da venda ou não vender, tá certo?” o professor negocia este valor
como sendo um salário fixo, ou seja, que independe da quantidade de vendas. É perceptível que João busca, nesse momento, explorar a articulação entre as representações algébrica e gráfica, ou seja, discutir a representação gráfica dos coeficientes e termos da representação algébrica. É negociado explicitamente que o valor fixo de 2500 reais representa o ponto onde o gráfico interceptará o eixo Oy:
“Esse valor que aparece aqui (aponta para 2500 na função 𝑆(𝑥)) vai ser o valor onde o eixo corta o eixo... onde a função corta o eixo ‘y’, então seria... vou colocar destacado aqui...”.
136 Salientamos que a articulação entre as representações algébrica e gráfica converge com as ideias de pesquisadores como Dornelas (2007), Delgado (2010), Fonseca (2013) e Santos de (2016) que defendem ser fundamental na aprendizagem do conceito de FA a articulação entre as diferentes representações dessa Função, ou seja, natural, algébrica, gráfica e tabular. Os mesmos autores ressaltam ainda as dificuldades de aprendizagem que permeiam a articulação entre essas representações, dessa maneira julgamos relevante a preocupação inicial do professor em discutir a articulação entre essas representações.
As negociações avançam no sentido da representação gráfica da situação, é negociado que a função não assume valores negativos, ou seja, a reta que representa o gráfico não passará para os quadrantes que possuem números negativos no eixo cartesiano (2º, 3º e 4º quadrantes), como justificativa para esse contexto o professor negocia que a função não assumirá valores negativos porque no menor salário que o vendedor irá vender é R$ 2500,00. O trecho a seguir evidencia a situação discutida “P - Esse gráfico ele não poderia passar para essa
parte negativa, ou seja, essa parte aqui não existiria (faz um tracejado na parte negativa do gráfico) alguém pode me dizer por que isso acontece? Alguém poderia me dizer por que eu to dizendo que aquele gráfico não poderia passar para a parte negativa aqui? A14 – Por que ele tem um salário fixo... A15 – Por que ele tem um
salário fixo de 2500...”.
Da situação discutida no parágrafo anterior parece surgir a regra implícita (RI.4) onde a representação gráfica da FA está condicionada ao contexto em que esta está imersa, considerando que há contextos que restringem os valores que a Função pode assumir. Note que é ressaltado que o gráfico não pode “passar para parte negativa” (palavras do professor) porque a função assume um valor mínimo de 2500, que é um aspecto ligado à situação que está imersa a FA.
No trecho “P – Se o gráfico aqui representa o salário dele o mínimo que ele
pode receber, é quanto? Alunos – 2500... P – Isso vai acontecer quando... a venda dele for o quê? (Aponta, no gráfico, para o 2500 e “arrasta” até chegar no eixo ‘x’) Alunos – Zero...” é possível observar que há a negociação no sentido de que a
função em questão assumirá o valor mínimo quando o número de vendas for igual a zero.
137 Quadro 16. Recorte da Transcrição da Aula 9
P - Essa forma que eu tô escrevendo aqui (aponta para a forma canônica da FA) também é chamada
de Lei da Formação de... De formação (...) da Função (...). Ou seja, se eu quero construir uma Lei de uma forma... De uma forma que eu sei calcular o salário dele eu preciso criar o que a gente ta chamando de Lei de formação da Função, ou seja, eu não preciso dizer como calcular isso eu preciso dizer quanto foi que ele vendeu no mês, sabendo quanto ele vendeu no mês eu aplico a fórmula e digo o salário dele vai ser tanto, ta certo? Então o uso dessa formulazinha, aqui, vai possibilitar que a gente calcule qualquer coisa que quiser, qualquer salário que a gente quiser no mês, vai depender do que? Da quantidade de vendas que ele teve, certo? Eu quero chamar a atenção aí de um detalhe muito, muito, muito importante nessa situação aqui, ta certo? Que é o gráfico dessa função. Tão lembrados que quando a gente viu aí... Nessa função do 1º grau a gente viu que a função ela era uma linha reta? Tão lembrados? A gente viu que tinham três possibilidades para essa função... Ou ela era desse tipo (faz o desenho de um gráfico de uma função crescente), crescente, né? Quando o valor de ‘a’ é positivo... Ou ela era (...) decrescente (faz desenho de uma função decrescente) quando ‘a’ é negativo... Ou existia ainda uma terceira possibilidade (...) paralela ao eixo do‘x’ quando ‘a’ é igual a zero, né? Essa função é chamada de função que?