Ergodicidade - 2 Transformações que preservam medida Exemplos Isomorfismos O Teorema da Recorrê

O Teorema Erg´odico de Birkhoff garante que a m´edia orbital

ˆ f (x) = lim n→∞ 1 n n−1 X i=0 f (Tix)

do observ´avel f ∈ L1_{(µ) est´}_{a bem definida para µ-q.t.p. x (sempre que T preservar a}

medida de probabilidade µ), e a fun¸cão ˆf tem ainda duas propriedades relevantes: (i) sua integral é igual à integral de f , isto é,R_Xf dµ =ˆ R_Xf dµ; (ii) ˆf é uma fun¸cão invariante q.t.p, isto é, ˆf (T x) = ˆf (x) para µ-q.t.p x ∈ X (de fato, ela goza dessa propriedade em todo ponto onde estiver definida; se nos pontos restantes ela for definida como sendo zero então será de fato uma fun¸cão invariante em todos os pontos).

Pode-se perguntar se ˆf não seria constante µ-q.t.p., o que significaria que para µ-q.t.p. x a média orbital seria igual à integral de f , que pode ser considerada a “média espacial” de f .

Se isso valesse para toda fun¸c˜ao f ∈ L1_{(µ) ent˜}_{ao ter´ıamos, em particular, que vale}

para fun¸cões caracter´ısticas de conjuntos mensuráveis. Da´ı concluir´ıamos que para todo conjunto mensurável A e para µ-q.t.p x, o tempo médio de estadia em A da órbita futura de x converge para µ(A).

E fácil ver, entretanto, que isso não pode ser sempre verdade. Por exemplo, uma transforma¸cão T do intervalo (σ-álgebra de Borel) com dois pontos fixos p e q tem δp e δq

como medidas invariantes, mas tamb´em a combina¸c˜ao linear µ = 1₂δp+1₂δq. Suponhamos

que f (p) 6= f (q). Para todo x ∈ {q} vale ˆf (x) = f (q) e para todo x ∈ {p} vale ˆf (x) = 71

f (p). Ao mesmo tempo, µ({q}) e µ({p}) s˜ao positivos, mostrando que h´a conjuntos de medida positiva com valores diferentes para ˆf .

Esse tipo de problema ocorrerá sempre que houver um conjunto B tal que (i) 0 < µ(B) < 1; (ii) T−1B = B (diz-se que B é totalmente invariante se T−1B = B). Tomando a fun¸cão f = χB, teremos que para todo x ∈ B vale

χB(x) = 1 ,

pois Ti_{x ∈ B, ∀i ≥ 0, mas para todo x 6∈ B vale ˆ}_χ

B(x) = 0. Como X e X \ B tˆem

ambos medida positiva, ˆf assume valores diferentes em conjuntos de medida positiva, e n˜ao pode ser constante q.t.p. Isso motiva a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 4.1. (X, B, µ, T ) é ergódico se todo conjunto totalmente invariante tem medida zero ou um.

O próximo Lema mostra que, de fato, a condi¸cão “totalmente invariante” pode ser trocada por “totalmente invariante a menos de medida zero”, o que torna mais fácil testar a ergodicidade.

Lema 4.2. (X, B, µ, T ) ´e erg´odico se e somente se qualquer conjunto B ∈ B tal que µ(B4T−1B) = 0 tem medida zero ou um.

Demonstra¸cão. Só precisamos mostrar a “ida”, a “volta” é trivialmente verdadeira. Seja B∞o conjunto dos x que pertencem a infinitos T−iB (ou cuja órbita futura visita

B infinitas vezes). É fácil ver que B∞ é totalmente invariante, e pode ser escrito como

B∞= \ n≥0 [ i≥n T−iB . Se mostrarmos queS i≥nT

−i_{B tem medida igual a µ(B), para todo n ≥ 0, ent˜}_{ao teremos}

µ(B∞) = µ(B), pois a interse¸cão é encaixada. Como B∞ é totalmente invariante, segue

que µ(B∞) ´e igual a zero ou um, e a mesma conclus˜ao vale para B.

Como µ(B4T−1B) = 0, B e T−1B diferem apenas por um conjunto de medida zero. Aplicando T−1, conclui-se o mesmo de T−1B e T−2B, logo B e T−2B diferem por um conjunto de medida zero. Por indu¸c˜ao, B e T−iB diferem por um conjunto de medida zero. Conclui-se facilmente que a uni˜ao mencionada tem a mesma medida de B.

Do que falamos, resulta que se (X, B, µ, T ) não é ergódico então não se pode esperar que a média orbital seja igual à média espacial, para qualquer fun¸cão f ∈ L1 e quase todo ponto x. No entanto, teremos que mostrar ainda que a ergodicidade garante a igualdade das médias orbital e espacial, para quase todo ponto. Mas isso será conseqüência imediata do seguinte Lema, aplicado à fun¸cão invariante q.t.p. ˆf .

Lema 4.3. (X, B, µ, T ) é ergódico se e somente se qualquer fun¸cão mensurável invariante q.t.p for constante q.t.p.

Demonstra¸cão. Suponha que toda fun¸cão mensurável invariante q.t.p. é constante q.t.p, e seja B um conjunto totalmente invariante. Tomando f = χB, vemos que f é invariante,

portanto por hipótese é constante q.t.p. Mas para χB ser constante q.t.p. é preciso que

µ(B) = 0 ou µ(B) = 1.

Agora suponha que (X, B, µ, T ) é ergódico e f é uma fun¸cão invariante q.t.p. Seja E(k, n) = {x ∈ X ; f (x) ∈ [k

2n,

k + 1 2n )} ,

com n ≥ N e k ∈ Z. Cada E(k, n) é totalmente invariante a menos de medida nula, pois se x ∈ T−1E(k, n)4E(k, n) então f (T x) 6= f (x), logo a diferen¸ca simétrica tem medida nula. Pelo Lema anterior, E(k, n) tem medida zero ou um. Como para n fixo, a união dos E(k, n) cobre X, existe um e apenas um kn tal que µ(E(kn, n)) = 1. Portanto a

interse¸c˜ao

n≥1

E(kn, n)

tem medida um. Mas f ´e constante nesse conjunto, e a conclus˜ao segue.

O pr´oximo Lema mostra que a ergodicidade garante que conjuntos de medida positiva sejam “espalhados” por todo o espa¸co X com os iterados inversos de T .

Lema 4.4. (X, B, µ, T ) ´e erg´odico se e somente se para todo A ∈ B de medida positiva vale µ [ n≥0 T−nA ! = 1 .

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que (X, B, µ, T ) seja erg´odico. Seja A com µ(A) > 0 e B =S

n≥0T

−n_{A. N˜}_{ao podemos garantir que B seja totalmente invariante. No entanto,}

T−1B = [

n≥1

T−nA ⊂ B .

Como µ(T−1B) = µ(B), segue que µ(B4T−1B) = 0, isto é, B é totalmente invariante a menos de medida nula. Logo µ(B) é igual a zero ou um, pela hipótese. Mas A ⊂ B, então µ(B) = 1.

Por outro lado, suponhamos por contradi¸c˜ao que exista A totalmente invariante com medida entre 0 e 1, estritamente. Neste caso, o conjunto S

n≥0T

−n_{A ser´}_{a exatamente}

Uma observa¸c˜ao ´e que no Lema podemos substituir µ(S

n≥0T

−n_{A) = 1 por µ(}S

n≥kT

−n_{A) =}

1 para qualquer k ≥ 0. Isso implica que se µ(B) > 0 e µ(A) > 0 ent˜ao existem infinitos n ≥ 1 tais que µ(T−nA ∩ B) > 0. No entanto, pode-se ir mais longe, mostrando-se que µ(T−nA ∩ B) converge (no sentido de Cesaro) a µ(A)µ(B) (vide Lema abaixo).

O conjunto T−nA ∩ B ´e o conjunto dos pontos x ∈ B tais que Tnx ∈ A. Dizer que µ(T−nA ∩ B) se aproxima de µ(A)µ(B) pode ser interpretado como dizer que os eventos {x ∈ B} e {Tn_{x ∈ A} s˜}_{ao (aproximadamente) independentes.}

A convergência no sentido de Cesaro apenas diz que a média dos µ(T−iA∩B) converge a µ(A)µ(B). Nem todos os sistemas ergódicos, no entanto, têm convergência estrita, como veremos mais adiante.

Lema 4.5. (X, B, µ, T ) é ergódico se e somente se para todo par de conjuntos mensuráveis A e B vale 1 n n−1 X i=0 µ(T−iA ∩ B) −→ µ(A)µ(B) .

Demonstra¸cão. Primeiro observamos que χT−i_A∩B = χ_T−1_Aχ_B. Como T é ergódica, vale

1 n n−1 X i=0 χT−i_A→ µ(A) q.t.p. Logo 1 n n−1 X i=0

χT−i_A∩B → µ(A)χ_B .

Pelo Teorema da Convergência Dominada (a fun¸cão constante igual a 1 limita uniforme- mente a seqüência de fun¸cões), o limite se estende às integrais:

Z X 1 n n−1 X i=0

χ_T−i_A∩Bdµ → µ(A)µ(B) .

Por outro lado, suponha que vale a convergˆencia mencionada, e seja B um conjunto totalmente invariante. Teremos

1 n n−1 X i=0 µ(T−iB ∩ B) → µ(B)2 .

Mas o lado esquerdo ´e sempre igual a µ(B), portanto µ(B) deve ser igual a zero ou um.

Para não ter que demonstrar a ergodicidade em cada caso, podemos fazer uso do seguinte Teorema. Ele implica que a ergodicidade é um invariante sob isomorfismos. Teorema 4.6. Se (X2, B2, µ2, T2) é um fator de (X1, B1, µ1, T1) e T1 é ergódica então T2

e erg´odica.

Demonstra¸c˜ao. Sejam Mi ⊂ Xi, i = 1, 2, com TiMi ⊂ Mi, µi(Mi) = 1, e φ : M1 → M2

mensur´avel, que preserva medida e tal que φT1 = T2φ.

Seja f : X2 → R fun¸c˜ao mensur´avel e invariante µ2-q.t.p., em particular f ◦ T2(y) =

f (y) para todo y num conjunto B ⊂ M2 de medida 1. Se x ∈ φ−1(B) ent˜ao

f (φ(x)) = f (T2φ(x)) = f (φT1(x)) ,

portanto f ◦ φ ´e T1-invariante no conjunto φ−1(B), que tem medida µ1 igual a 1. Em

outras palavras, f ◦ φ é T1-invariante µ1-q.t.p. Por hipótese T1 é ergódica, logo f ◦ φ é

constante µ1-q.t.p, e isso implica que f ´e constante µ2-q.t.p.

Corolário 4.7. Se T1 é isomórfica a T2 então T1 é ergódica se e somente se T2é ergódica.

4.2 Exemplos

Medidas de Dirac em órbitas periódicas Se Tk(p) = p e Tip 6= p, ∀i = 1, 2, . . . , k − 1, então 1 k k−1 X i=0 δfi_(p) ´

e medida invariante e ergódica, pois qualquer conjunto totalmente invariante ou contém ou não intersecta o conjunto {p, T p, . . . , Tk−1_{p}, que ´}_{e o suporte da medida.}

Neste caso dizer que a média temporal de um observável f converge para µ-quase todo ponto x não quer dizer muito: significa apenas que converge para todo x = Tip, com i = 0, 1, . . . , k − 1. Neste caso ela converge para _k1 f (p) + f (T p) + . . . + f (Tk−1_p).

Mesmo que o Teorema Ergódico não diga nada a respeito dos demais pontos, há casos em que a convergência para esse limite se dá para todo x numa vizinhan¸ca da órbita. Isso acontece quando a órbita é atratora, isto é, existe uma vizinhan¸ca V da órbita tal que x ∈ V implica que Tn_{x converge ao conjunto {p, T p, . . . , T}k−1_{p}, mais precisamente}

Tknx converge a Tip para algum i = 0, 1, . . . , k − 1.

Por outro lado, há exemplos onde a órbita periódica está no conjunto ω-limite de um conjunto aberto de pontos, mas as médias temporais não convergem. O exemplo clássico ´

Suponha um campo de vetores com duas selas p e q conectadas duplamente, como mostra a figura, com uma fonte z no interior da região delimitada pelas conexões, de forma que para todo x 6= z no interior dessa região o conjunto ω(x) contenha p e q (e esteja contido na união das duas conexões). Tomemos T como o tempo 1 do fluxo, e sejam λp e σp (respectivamente λq e σq) os autovalores estável e instável da sela p (resp.

q). Fixemos Up e Uq como vizinhan¸cas de p e q, respectivamente.

A ´orbita de um ponto x pode ser dividida em intervalos onde permanece em Up,

em intervalos onde permanece em Uq e em intervalos onde n˜ao est´a em nenhuma das

duas vizinhan¸cas. Esses últimos são sempre de tamanho limitado, portanto estimativas uniformes do comportamento de T podem ser feitas para esses iterados. Se np é o

tempo de permanência da órbita em Up então o intervalo imediatamente subseqüente de

permanˆencia em Uq ser´a da ordem de

log λ−1_p + log σp

log σp

(EXERCÍCIO: obtenha essas estimativas “retificando” as selas para que sejam lineares em sua vizinhan¸ca, com variedades estável e instável perpendiculares; use o fato de que (1, d) precisa de aproximadamente np ≈ −_{log σ}log d_p iterados para chegar perto de (d0, 1), e d0é

aproximadamente igual a λn pσ

−n

p ; al´em disso, d

0 _ser´_{a a distˆ}_{ancia aproximada da variedade}

estável quando a órbita entrar em Uq, o que dará o tempo aproximado de estadia nessa

vizinhan¸ca).

Por simetria no argumento, conclui-se que o pr´oximo tempo de estadia em Up ser´a da

ordem de Knp, onde

K = (log λ

−1

q + log σq)(log λ−1p + log σp)

(log σp)(log σq)

que é um número maior do que 1. O mesmo número K é também o fator de aumento do tempo de permanência em Uq. Pode-se mostrar que se f (p) 6= f (q) então _n1

Pn−1

i=0 f (Tix)

n˜ao converge.

Rota¸cões do c´ırculo Mostraremos que uma rota¸cão do c´ırculo é ergódica se e somente se for irracional.

Quando a rota¸cão é racional então todo ponto é periódico com per´ıodo k para algum k. Se I for um intervalo suficientemente pequeno, então os intervalos I, T (I), . . . , Tk−1_(I)

serão dois a dois disjuntos e sua união será um conjunto totalmente invariante, de medida maior do que zero e menor do que 1.

Para mostrar que uma rota¸cão irracional é ergódica, mostraremos que qualquer fun¸cão L2 invariante é constante q.t.p. Em particular toda fun¸cão caracter´ıstica de um conjunto totalmente invariante será constante q.t.p, de onde decorre que esse conjunto deve ter medida zero ou um.

Seja f ∈ L2_{, com f (T x) = f (x) q.t.p. Considerando [x] ∈ R/Z, escrevemos f em} s´erie de Fourier (q.t.p):

f ([x]) =X

n∈Z

ane2πnix .

Como T ([x]) = [x + α], segue que

f ([x + α]) =X

n∈Z

ane2πniαe2πnix .

Da invariˆancia de f segue que

ane2πniα = an

para todo n. Essa equa¸c˜ao ´e sempre verdade para n = 0 e se an = 0. Mas se an 6= 0

ent˜ao e2πniα _{= 1, o que implicaria que α ´}_{e racional. Portanto somente a}

0 ´e n˜ao-nulo, e f

e constante.

O mesmo argumento poderia ser feito em S1 _{como subconjunto de C. Neste caso,} escreve-se

f (z) =X

n∈Z

anzn .

Endomorfismos do c´ırculo Seja T : S1 _{→ S}1 _{dada por T (z) = z}p_{, com p inteiro}

diferente de 0, 1 ou −1. Se f (z) =P

n∈Zanzn ent˜ao

f (T z) =X

n∈Z

anznp .

Supondo que f ´e invariante segue que, para n 6= 0, an = anp = anp2 = a_np3 = . . .. Mas

se f ∈ L2 ent˜ao P

n∈Z|an|

2 _{< ∞, implicando que a}

n = 0 para todo n 6= 0. Logo T ´e

erg´odica.

Transla¸c˜oes do toro d-dimensional _{A abordagem em T}d _´_{e semelhante `}_{a do c´ırculo.}

Usaremos a base ortonormal de L2_(Td), dada por {φk; k ∈ Zd}, onde

φk([x]) = exp{2πihk, xi} == exp{2πi(k1x1+ k2x2+ . . . + kdxd} .

Seja T a transla¸c˜ao [x] 7→ [x + a]. Ent˜ao

Teorema 4.8. A transla¸c˜ao [x] 7→ [x + a] ´e erg´_{odica se e somente se hk, ai 6∈ Z para todo} k ∈ Zd, k 6= 0.

Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ L2 _{invariante. Escreva}

f ([x]) = X k∈Zd ckφk([x]) , portanto f ([x + a]) = X k∈Zd cke2πihk,aiφk([x]) .

Da invariˆ_{ancia, segue que para todo k ∈ Z}d _vale

cke2πihk,ai = ck,

de onde ck = 0 ou hk, ai ∈ Z.

A igualdade é automaticamente satisfeita para k = 0. Se para todo k 6= 0 valer hk, ai 6∈ Z então só podemos concluir que f é constante, e da´ı que a transla¸cão é ergódica. Por outro lado, se existir k 6= 0 tal que hk, ai ∈ Z então a fun¸cão φk será invariante,

sem ser constante, logo a transla¸cão não pode ser ergódica.

Endomorfismos do toro d-dimensional Usaremos a mesma base de L2_(Td) do par´agrafo anterior. Seja T o endomorfismo [x] 7→ [Ax], onde A ´e matriz de coeficientes inteiros com determinante diferente de zero.

Temos

φk◦ T ([x]) = e2πihk,Axi = e2πihA

T_k,xi

= φ_AT_k([x]) ,

onde AT _´_{e a transposta de A. Por indu¸c˜}_{ao, vale}

φk◦ Tn = φ(AT₎n_k .

Usaremos o fato de que A e sua transposta têm os mesmos autovalores (pois os polinômios caracter´ısticos são os mesmos). Além disso, precisaremos da afirma¸cão de que 1 é autovalor de An _{se e somente se A tem autovalor que ´}_{e a raiz da unidade (isso}

pode ser demonstrado com formas de Jordan).

Teorema 4.9. O endomorfismo [x] 7→ [Ax], A como acima, é ergódico se e somente se nenhum dos autovalores de A é raiz da unidade.

Demonstra¸c˜ao. Se f ∈ L2 _´_{e invariante, a observa¸c˜}_{ao acima permite deduzir que}

hf, φ(AT₎n_ki = hf, φ_k◦ Tni = hf ◦ Tn, φ_k◦ Tni = hf, φ_ki .

Suponha que A n˜ao tem autovalor que seja raiz da unidade. Ent˜ao AT _tamb´_{em n˜}_{ao tem,}

logo (AT₎n _n˜_{ao tem autovalor 1, implicando que (A}T₎n_{k 6= k para todo k 6= 0 e todo}

n ≥ 1. Agora suponha que para algum k 6= 0 valha hf, φki 6= 0. Temos

kf k2 = X k∈Zd |hf, φki|2 ≥ X n≥0 |hf, φ(AT₎n_ki|2 ,

para este k fixo. Mas todos os termos da ´ultima s´erie seriam iguais a |hf, φki|2, logo

hf, φki = 0 para todo k 6= 0. Isso significa que f ´e constante.

Por outro lado, suponha que A tem algum autovalor que seja raiz da unidade. Ent˜ao (AT₎n_{tem autovalor 1, para algum n, isto ´}_{e, existe v tal que (A}T₎n_{v = v. Observe que tal}

v ´e solu¸c˜ao do sistema indeterminado ((AT₎n_{− Id)x = 0, a coeficientes inteiros, n˜}_{ao sendo}

dif´ıcil mostrar (usando escalonamento, por exemplo) que existem solu¸c˜oes a coeficientes inteiros. Ou seja, existe k ∈ Zd _{tal que (A}T₎n_{k = k.}

Agora seja f = n−1 X j=0 φ(AT₎n_k= n−1 X j=0 φk◦ Tj .

Essa fun¸cão não é constante, porém é claramente invariante. Conclu´ımos que T não pode ser ergódica.

No documento 2 Transformações que preservam medida Exemplos Isomorfismos O Teorema da Recorrência de Poincaré... (páginas 71-79)