2 Transformações que preservam medida Exemplos Isomorfismos O Teorema da Recorrência de Poincaré...

(1)

Sum´

ario

1 Revis˜ao de Teoria da Medida 3

1.1 Espa¸cos de medida . . . 3

1.2 Algebras, semi-´´ algebras e parti¸c˜oes . . . 4

1.3 Extens˜ao . . . 10

1.4 Integra¸c˜ao . . . 15

1.5 Medidas absolutamente cont´ınuas . . . 17

1.6 Formas de volume . . . 17

1.7 Medidas regulares . . . 20

2 Transforma¸cões que preservam medida 23 2.1 Defini¸cões e motiva¸cão . . . 23

2.2 Exemplos . . . 27

2.3 Isomorfismos . . . 51

2.4 Teorema da Recorrˆencia de Poincar´e . . . 55

2.4.1 O Teorema da Recorrˆencia de Poincar´e . . . 55

2.4.2 Recorrˆencia m´etrica . . . 56

2.5 O conjunto das medidas invariantes . . . 57

2.5.1 Transforma¸c˜ao sem medida invariante . . . 57

2.5.2 M´etrica em M(X) . . . 58

2.5.3 Compacidade de M(X) . . . 61

2.5.4 N˜ao-vacuidade de MT(X) . . . 61

2.5.5 Gerando medidas invariantes . . . 62

3 O Teorema Ergódico de Birkhoff 65 3.1 Versão simplificada do Teorema Ergódico . . . 65

3.2 Teorema Erg´odico Lp de Von Neumann . . . 69

(2)

4 Ergodicidade 71

4.1 Ergodicidade . . . 71

4.2 Exemplos . . . 75

4.3 Ergodicidade em shifts de Markov . . . 79

4.4 Pontos extremais . . . 82

4.5 Ergodicidade ´unica . . . 84

4.6 O suporte . . . 89

4.7 Sobre a decomposi¸c˜ao erg´odica . . . 90

5 Mixing 93 5.1 Defini¸c˜oes . . . 93

5.2 Mixing em shifts de Markov . . . 98

5.3 Ergodicidade e mixing na forma funcional . . . 99

5.4 Propriedades espectrais . . . 103

6 Entropia 109 6.1 Entropia de uma parti¸c˜ao: defini¸c˜ao . . . 109

6.2 Entropia de uma transforma¸c˜ao . . . 110

6.3 Existˆencia do limite . . . 111

6.4 Propriedades . . . 114

6.4.1 Parti¸c˜oes e sub-σ-´algebras . . . 114

6.4.2 Entropia de uma parti¸c˜ao e entropia condicional: propriedades . . 114

6.4.3 Entropia de uma transforma¸c˜ao: propriedades . . . 117

6.4.4 Dependˆencia da medida . . . 121

6.5 M´etodos para calcular a entropia . . . 123

6.5.1 Fatos b´asicos . . . 123

6.5.2 Geradores . . . 125

6.5.3 Exemplos . . . 126

6.6 O Teorema de Shannon-McMillan-Breiman . . . 130

7 Entropia topol´ogica 135 7.1 Defini¸c˜oes . . . 135

7.1.1 Defini¸c˜ao original . . . 136

7.1.2 Defini¸c˜ao de Bowen . . . 138

7.2 Equivalˆencia das defini¸c˜oes . . . 141

7.3 Exemplos . . . 142

(3)

Cap´ıtulo 1

Revis˜

ao de Teoria da Medida

Reuniremos os conceitos de Teoria da Medida necess´arios para o desenvolvimento da Teoria Erg´odica.

1.1 Espa¸

cos de medida

Uma medida é uma fun¸cão dos subconjuntos (ou partes) de algum conjunto X, que associa “massas” a cada uma dessas partes. Evidentemente, uma medida deve satisfazer certas propriedades intuitivas que idealizamos para uma fun¸cão “massa”.

A rigor, dificilmente uma medida se define no conjunto P(X) (ou 2X_{) de todas as}

partes de X, porque isso já foi demonstrado não levar a propriedades interessantes, na maioria dos casos. Da´ı a necessidade de se definir classes de subconjuntos com proprie-dades m´ınimas que tornem viável uma teoria.

Defini¸cão 1.1. Seja X um conjunto qualquer. B ⊂ P(X) é uma σ-álgebra se 1. ∅ ∈ B

2. A ∈ B implica Ac _{∈ B}

3. Ai ∈ B, ∀i = 1, 2, . . ., implica ∪∞i=1Ai ∈ B

O par (X, B) é chamado de espa¸co mensurável, enquanto um elemento B ∈ B é referido como um conjunto mensurável.

Defini¸cão 1.2. Uma medida em (X, B) é uma fun¸cão µ : B → [0, ∞] que é contavel-mente aditiva, isto é, se {Bi}i∈N for uma cole¸cão dois a dois disjunta de elementos de

(4)

B ent˜ao µ( ∞ [ i=1 Bi) = ∞ X i=1 µ(Bi) .

Em particular, se houver um elemento B de medida finita, ent˜ao µ(B) = µ(B ∪ ∅) = µ(B) ∪ µ(∅) ,

logo µ(∅) = 0. É claro que esse será sempre o caso, senão não há muito interesse na medida.

Se a medida tiver imagem em [0, ∞) então diz-se que ela é finita. Se for finita, pode ser normalizada para que µ(X) = 1, e neste caso é chamada de medida de probabilidade, ou simplesmente de probabilidade.

A tripla (X, B, µ) ´e chamada de espa¸co de medida, ou de espa¸co de probabili-dade, se µ(X) = 1.

1.2 Algebras, semi-´

´

algebras e parti¸

c˜

oes

O processo de defini¸cão (ou identifica¸cão) de uma medida é facilitado da seguinte forma: define-se a medida para certos subconjuntos da σ-álgebra e depois estende-se a medida a toda ela. Algumas observa¸cões e defini¸cões se fazem necessárias.

Em primeiro lugar, uma fun¸cão pode ser simplesmente finitamente aditiva em seu dom´ınio, formado por subconjuntos de X (desde que a união dos subconjuntos conside-rado também esteja no dom´ınio da fun¸cão).

Em segundo lugar, observamos que P(X) é uma σ-álgebra. Além disso, é fácil ver que a interse¸cão de duas σ-álgebras é uma σ-álgebra. Isto define uma ordem parcial nas σ-álgebras, e faz sentido definir a menor σ-álgebra que contém um subconjunto S de P(X). Ela é chamada a σ-álgebra gerada por S, e denotada por B(S).

Não é necessário, no entanto, que as subclasses consideradas sejam sempre σ-álgebras. Definiremos os conceitos de semi-álgebra e álgebra, que acabam por ser muito úteis no exame de casos concretos e na prova de teoremas.

Defini¸cão 1.3. S ⊂ P(X) é uma semi-álgebra se: (i) ∅ ∈ S, (ii) A, B ∈ S implica A ∩ B ∈ S; (iii) se A ∈ S então Ac _´_{e uma uni˜}_{ao finita de elementos dois a dois disjuntos}

de S.

O conjunto X pode não ser um elemento da semi-álgebra, mas certamente será uma união finita de elementos dois a dois disjuntos da semi-álgebra.

(5)

Defini¸cão 1.4. A ⊂ P(X) é uma álgebra se: (i) ∅ ∈ A, (ii) A, B ∈ A implica A ∩ B ∈ A; (iii) se A ∈ A então Ac ∈ A.

Uma álgebra é uma semi-álgebra, de maneira óbvia. A diferen¸ca é que na primeira o complementar de um conjunto da álgebra está na álgebra, enquanto que na segunda o complementar de um conjunto da semi-álgebra é apenas uma união finita de elementos da semi-álgebra.

Sejam A, B ∈ A. Temos A ∪ B = (Ac _{∩ B}c₎c_{, logo A ∪ B ∈ A. Segue que uni˜}_oes

finitas de elementos da álgebra pertencem à álgebra. Por outro lado, fazendo o mesmo racioc´ınio, podemos substituir o item (ii) da defini¸cão de álgebra por (ii’): se A, B ∈ A então A∪B ∈ A (assim como uniões finitas de elementos da álgebra estão na álgebra).Em particular, toda σ-álgebra é uma álgebra, a única diferen¸ca é que na primeira se permite tomar uniões enumeráveis e na segunda apenas uniões finitas.

Por outro lado, uma álgebra será sempre uma σ-álgebra se for finita.

A interse¸cão de duas álgebras é uma álgebra. Chamamos de A(S) a álgebra gerada pela semi-álgebra S (a interse¸cão de todas as álgebras que contêm a semi-álgebra S).

O seguinte Teorema explicita melhor o que é a álgebra gerada por uma semi-álgebra. Teorema 1.5. A álgebra A(S) consiste exatamente de todos as uniões finitas de elemen-tos dois a dois disjunelemen-tos de S.

Demonstra¸cão. Seja C o conjunto de todas as uniões finitas de elementos dois a dois disjuntos de S. Isto é, se C ∈ C então C =Sn

i=1Ei, com Ei ∈ S e Ei∩ Ej = ∅ se i 6= j.

Primeiro observamos que C ⊂ A(S). A(S) certamente contém S (por defini¸cão) e, por ser álgebra, é fechado pela união (finita). Então um elemento C como o descrito acima tem que pertencer a A(S).

Como A(S) é a menor álgebra que contém S e como S ⊂ C, basta mostrarmos que C ´

e uma ´algebra para conclu´ırmos que C = A(S).

Seja C ∈ C. Queremos mostrar que o complementar de C está em C, isto é, é uma união disjunta finita de elementos de S. Mas se C =Sn

i=1Ei ent˜ao X \ C =

Tn

i=1X \ Ei.

Porém Ei ∈ S implica que X \ Ei é uma união finita e disjunta de elementos de S:

X \ Ei = mi [ j=1 Dij , de forma que X \ C = n \ i=1 mi [ j=1 Dij .

(6)

Este conjunto, porém, é uma união de conjuntos da forma D1j1 ∩ D2j2 ∩ . . . ∩ Dnjn ,

pois os Dij’s são disjuntos para i fixo. Cada um deles é um elemento de S, pois S é

fechada por interse¸cões finitas. Além disso, são todos disjuntos entre si, mostrando que X \ C está em C.

Da mesma forma, é fácil mostrar que a interse¸cão de dois conjuntos de C também está em C. (EXERCÍCIO)

Já a descri¸cão de uma σ-álgebra gerada por uma álgebra é melhor compreendida com o conceito de classe monótona.

Defini¸cão 1.6. Uma cole¸cão M de subconjuntos de X é dita ser uma classe monótona se: (i) S∞

i=1Ei pertence a M sempre que a seq¨uˆencia dos Ei’s for crescente; (ii)

T∞

i=1Ei

pertence a M sempre que a seq¨uˆencia dos Ei’s for decrescente.

A interse¸cão de duas classes monótonas é uma classe monótona, de forma que podemos falar na classe monótona gerada por uma classe qualquer.

Teorema 1.7. A σ-álgebra e a classe monótona geradas por uma álgebra coincidem. Demonstra¸cão. Sejam A álgebra, B = B(A) a σ-álgebra gerada por A e M = M(A) a classe monótona gerada por A.

Uma σ-álgebra é sempre uma classe monótona, pois contém todas as suas uniões e interse¸cões enumeráveis (em particular as monótonas). Logo B ⊃ M.

Por outro lado, não necessariamente uma classe monótona é uma σ-álgebra. No entanto, se soubermos que a classe monótona M é uma álgebra então saberemos que ´

e também uma σ-álgebra. Para ver isso, basta mostrar que o fechamento por uniões finitas implica o fechamento por uniões infinitas. Ora, se Ei ∈ M e M for álgebra, então

Fn =Sn_i=1Ei pertencerá a M. A seqüência {Fn} é monótona, logoS ∞

n=1Fn pertencer´a a

M. Por outro lado, S∞

n=1Fn´e igual a

S∞

i=1Ei, de forma que esta uni˜ao pertencer´a a M.

Para mostrar que M ´e uma ´algebra, introduzimos a classe L(F ) = {E ∈ P(X); E \ F, F \ E, E ∪ F ∈ M} , definida para qualquer F ⊂ X.

Observe que se para todo E ∈ M valer M ⊂ L(E), então para todo par de conjuntos E, F ∈ M valerá que E \ F , F \ E e E ∪ F pertencem a M, implicando que M é álgebra. Pela simples manipula¸cão de conjuntos, é fácil ver que se L(F ) é não vazio então é uma classe monótona. No caso em que F ∈ A, é imediato ver que L(F ) contém A,

(7)

portanto contém a classe monótona M gerada por A. Em outras palavras, se E ∈ M e F ∈ A então E ∈ L(F ).

Porém pela simetria da defini¸cão, se E ∈ L(F ) então F ∈ L(E). Podemos dizer então que para quaisquer F ∈ A e E ∈ M vale F ∈ L(E). Logo L(E) é uma classe monótona que contém A, para todo E ∈ M, e conseqüentemente L(E) é uma classe monótona que contém M, para qualquer E ∈ M, mostrando o que quer´ıamos.

Vejamos alguns poucos exemplos, aos quais retornaremos adiante para ilustrar espa¸cos de medida. Olharemos para aqueles que nos serão úteis nos exemplos relevantes. Outros exemplos podem ser encontrados nos livros de Teoria da Medida. Falaremos mais das semi-álgebras, sendo evidente o que são as álgebras geradas por elas, a partir do Teorema acima. Quanto às σ-álgebras, ficam um pouco mais dif´ıceis de serem caracterizadas. No entanto, em todos os exemplos do curso adotaremos as σ-álgebras geradas pelas semi-´

algebras mencionadas abaixo.

Reta real _{Tomemos X = R, e consideremos os subconjuntos da forma (a, b] (com a ≤ b;} se a = b então (a, b] = ∅), juntamente com os subconjuntos da forma (a, ∞) e (−∞, b]. Essa classe de subconjuntos é uma semi-álgebra, à qual chamaremos de semi-álgebra dos intervalos semi-abertos da reta.

Uma semi-´algebra maior, por exemplo, ´e o conjunto de todos os intervalos da reta, abertos, fechados ou semi-abertos, incluindo os casos degenerados (pontos ou o conjunto vazio).

Pode-se tomar também X = [0, 1] e definir a semi-álgebra dos intervalos de [0, 1]. (EXERCÍCIO: as σ-álgebras geradas por essas semi-álgebras contêm os abertos?)

Espa¸co real de dimens˜ao n _{Para X = R}n_{, escolhe-se uma semi-´}_{algebra S em R e}

toma-se a cole¸c˜ao de conjuntos da forma

C1 × C2× . . . × Cn ,

com Cj ∈ S, j = 1, . . . , n. Esses conjuntos são chamados de retângulos. (EXERCÍCIO:

´

e realmente semi-´algebra?)

Seqüências com um número finito de s´ımbolos Seja X = {0, 1, . . . , d − 1}Z _(resp.

X = {0, 1, . . . , d − 1}N_{). Denotaremos X por Σ}

d (resp. Σ+d). Um elemento de X ´e

denotado por x = (. . . x−2x−1x0x1x2. . .) (resp. por x = (x0x1x2. . .)). Considere agora

os cilindros ou retˆangulos

C(n; y−n. . . y−1y0y1. . . yn) =

(8)

(resp. C(n; y0. . . yn)). O conjunto dos cilindros é uma semi-álgebra (EXERCÍCIO).

Outro tipo de elemento, cuja defini¸cão inclui a dos cilindros, é o bloco, que é um conjunto da forma

j[yj. . . yl]l= {x ; xj = yj, . . . , xl = yl} .

Os blocos não formam uma semi-álgebra (EXERCÍCIO), mas estão na álgebra gerada pela semi-álgebra dos cilindros (EXERCÍCIO).

Espa¸cos métricos Seja X um espa¸co métrico. O conjunto de todos os abertos de X não é necessariamente uma semi-álgebra, pois o complementar de um aberto não tem que ser uma união finita de abertos (basta pensar na reta real). Tomar a cole¸cão de abertos e fechados resolveria o problema do complementar, mas não da interse¸cão entre dois conjuntos: a interse¸cão de dois abertos é aberta, a interse¸cão de dois fechados é fechada, mas a interse¸cão de um aberto e um fechado não é necessariamente nem uma coisa nem outra.

A σ-álgebra de Borel (ou dos boreleanos) de X é a menor σ-álgebra que contém os abertos de X. Em geral, é a σ-álgebra adotada quando se fala em espa¸cos métricos.

Nos dois primeiros exemplos, a semi-álgebra mencionada gera a σ-álgebra de Borel. No terceiro também podemos definir uma métrica. Seja X = Σ+_d e seja

ρ(x, y) = ∞ X i=0 |xi− yi| (d + 1)i .

Não é dif´ıcil ver que ρ é uma métrica. Vale também que ρ(x, y) < _(d+1)1 n se e somente se

x0 = y0, x1 = y1, . . ., xn = yn. (EXERCÍCIO) (EXERCÍCIO: tente definir uma métrica

com propriedade semelhante em Σd)

Observe que todo aberto de Rn pode ser escrito como uma união enumerável de retângulos (tome retângulos centrados em racionais com lados de tamanhos racionais). Isto significa que todo aberto está contido na σ-álgebra gerada pela semi-álgebra dos retângulos. Por sua vez, isto implica que a σ-álgebra gerada pelos retângulos no m´ınimo contém a σ-´_{algebra de Borel de R}n_{. Por outro lado, n˜}_{ao ´}_{e dif´ıcil mostrar que todo}

retˆangulo est´a contido na σ-´_{algebra de Borel de R}n_{, da´ı que a σ-´}_{algebra de Borel cont´}_em

a σ-´algebra gerada pelos retˆangulos.

No caso de Σde Σ+_d, os cilindros s˜ao bolas abertas, e todo aberto de um espa¸co m´etrico

pode ser escrito como uma reunião de bolas abertas. No entanto só há uma quantidade enumerável de cilindros, implicando que todo aberto é uma reunião enumerável de cilin-dros. Então os abertos estão contidos na σ-álgebra gerada pelos cilindros. Ao mesmo tempo os cilindros são abertos, portanto a σ-álgebra de Borel coincide com a σ-álgebra gerada pelos cilindros.

(9)

Espa¸cos topológicos Evidentemente a defini¸cão de σ-álgebra de Borel se aplica para espa¸cos topológicos (é que na maioria das vezes os espa¸cos topológicos também serão métricos). Exemplos são os grupos topológicos e os grupos de Lie.

Um grupo topológico é um espa¸co topológico de Hausdorff G que também é um grupo, isto é, existe uma opera¸cão de grupo

· : G × G −→ G

que leva (x, y) em x · y, cont´ınua, e tal que a fun¸cão x 7→ x−1 também é cont´ınua. Um grupo de Lie é uma variedade C∞ também com uma estrutura de grupo, onde a composi¸cão é uma opera¸cão infinitamente diferenciável em G × G (que x 7→ x−1 é C∞ sai como conseqüência).

Exemplos de grupos de Lie s˜ao

1. S1 _{= {z ∈ C; |z| = 1}, com a opera¸c˜ao induzida pelo produto em C.}

2. Tn_{= (S}1₎n_{, com a opera¸c˜}_{ao produto, isto ´}_e,

(z1, z2, . . . , zn) · (w1, w2, . . . , wn) = (z1w1, . . . , znwn) .

3. GL(n), o conjunto dos isomorfismos lineares de Rn_.

4. SL(n) = {A ∈ GL(n) ; det(A) = 1}. 5. O(n) = {A ∈ GL(n) ; AAT _{= Id}.}

6. SO(n) = {A ∈ GL(n) ; AAT _{= Id, det(A) = 1}.}

7. Rn ou Cn, com a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao.

8. {x ∈ R; x > 0}, com a opera¸cão de multiplica¸cão. 9. C \ {0}, com a opera¸cão de multiplica¸cão.

10. Qualquer produto cartesiano de grupos de Lie, com a opera¸c˜ao induzida.

Não usaremos tão cedo o conceito de parti¸cão, mas é interessante introduzir o assunto, uma vez que fornece mais exemplos de semi-álgebras e álgebras.

Seja (X, B) espa¸co mensurável. Uma parti¸cão ξ de X é uma cole¸cão de conjuntos mensuráveis dois a dois disjuntos cuja união é X. Falaremos em geral de parti¸cões finitas.

(10)

Observe que uma parti¸cão finita não é uma semi-álgebra, mas passa a ser se for acrescida do conjunto vazio.

Portanto, se tomarmos todas as uniões poss´ıveis de elementos de uma parti¸cão finita, formaremos uma álgebra finita (portanto também uma σ-álgebra) contida em B, isto é, uma sub-σ-álgebra finita de B.

Por outro lado, suponha que A = {A1, . . . , Ak} seja uma sub-σ-´algebra finita de B.

Para cada x ∈ X podemos decidir se x ∈ Aj ou x ∈ X \ Aj, e associar um c´odigo

(i1, . . . , ik), onde ij = 0 se x ∈ Aj e ij = 1 caso contrário. O ponto x está na interse¸cão

dos Aj’s ou seus complementares, dependendo dos ij’s. H´a 2k conjuntos desses, alguns

possivelmente vazios. Eles cobrem X e s˜ao dois a dois disjuntos, formando portanto uma parti¸c˜ao (pode-se excluir o conjunto vazio).

Portanto há uma associa¸cão biun´ıvoca entre parti¸cões finitas e sub-σ-álgebras finitas de B.

Quando discutirmos o conceito de entropia falaremos um pouco mais sobre parti¸c˜oes.

1.3 Extens˜

ao

Já definimos uma medida como uma fun¸cão contavelmente aditiva numa σ-álgebra. Con-sideremos agora fun¸cões τ definidas em semi-álgebras, álgebras e σ-álgebras, e como elas se estendem de uma para outra. Isso nos permitirá definir medidas com mais facilidade. Teorema 1.8. Se τ : S → [0, ∞) é finitamente aditiva então se estende unicamente a τ1 : A(S) → [0, ∞), com τ1 finitamente aditiva. Se τ for contavelmente aditiva então τ1

tamb´em ser´a.

Demonstra¸c˜ao. Se A for um conjunto de A(S), ent˜ao A = Sn

k=1Ek, onde os Ek’s s˜ao

conjuntos dois a dois disjuntos de S. A fun¸c˜ao τ1 ´e definida como

τ1(A) = n

X

k=1

τ (Ek) .

No entanto, para mostrar que τ1 está bem definida, é preciso verificar que τ1(A) não

depende da decomposi¸c˜ao de A. Ent˜ao suponha que A = n [ k=1 Ek = m [ j=1 Fj ,

onde os Fj’s s˜ao conjuntos dois a dois disjuntos de S. Defina os conjuntos Hkj = Ek∩ Fj,

(11)

disjuntos. Temos ainda que Ek= m [ j=1 Hkj , Fj = n [ k=1 Hkj .

Como τ ´e aditiva em S (desde que a uni˜ao perten¸ca a S), temos τ (Ek) = m X j=1 τ (Hkj) , τ (Fj) = n X k=1 τ (Hkj) . Logo n X k=1 τ (Ek) = n X k=1 m X j=1 τ (Hkj) = m X j=1 n X k=1 τ (Hkj) = m X j=1 τ (Fj) .

O segundo passo é mostrar que τ1 é finitamente aditiva em A(S). Se A, B são

con-juntos discon-juntos de A(S) ent˜ao A =Pn

k=1Ek e B =

Pm

j=1Fj, como acima. Como A e B

são disjuntos, a cole¸cão conjunta dos Ek’s e Fj’s é dois a dois disjunta, e forma A ∪ B.

Portanto τ1(A ∪ B) = n X k=1 τ (Ek) + m X j=1 τ (Fj) = τ1(A) + τ1(B) .

O terceiro passo é mostrar a unicidade. Suponha que χ seja uma extensão finitamente aditiva de τ . Se A ∈ A(S), então A = Sn

k=1Ek, portanto χ(A) =

Pn

k=1χ(Ek) =

Pn

k=1τ (Ek) = τ1(A), onde a igualdade do meio decorre do fato de χ e τ serem ambas

extens˜oes.

Finalmente, devemos mostrar que se τ ´e contavelmente aditiva ent˜ao o mesmo vale para τ1. Seja E =

S∞

k=1Ek ∈ A(S), onde os Ek’s s˜ao elementos dois a dois disjuntos de

A(S). Ao mesmo tempo, E pode ser escrito como uma uni˜ao disjunta finita de elementos de S: E =Sn

r=1Ar. O mesmo vale para cada Ek: Ek=

Snk

i=1Bki.

Os conjuntos Drki = Ar∩ Bki pertencem a S, pois s˜ao interse¸c˜oes de dois elementos

de S. Para cada k temos

τ1(Ek) = nk X i=1 τ (Bki) = nk X i=1 n X r=1 τ (Drki) ,

pois cada Bki ´e a uni˜ao disjunta dos Drki, com r = 1, . . . , n. A ordem das somas pode

ser trocada (s˜ao finitas), de forma que, somando em k, temos

∞ X k=1 τ1(Ek) = ∞ X k=1 n X r=1 nk X i=1 τ (Drki) .

(12)

Como os termos são todos positivos, a ordem de soma na série não importa, portanto ∞ X k=1 τ1(Ek) = n X r=1 ∞ X k=1 nk X i=1 τ (Drki) .

Observe agora queS∞

k=1

Snk

i=1Drki´e uma decomposi¸c˜ao de Ar ∈ S em infinitos conjuntos

disjuntos de S. Como estamos supondo que τ ´e contavelmente aditiva, as duas ´ultimas somas resultam em τ (Ar). Logo

∞ X k=1 τ1(Ek) = n X r=1 τ (Ar) = τ1(E) .

O próximo Teorema fala de extensão da álgebra para a σ-álgebra, mas requer um argumento mais intrincado em sua demonstra¸cão, do qual exibimos apenas um esbo¸co. Para mais detalhes, ver [Taylor].

Teorema 1.9. Se τ1 : A → [0, ∞) ´e contavelmente aditiva e τ1(X) = 1 ent˜ao τ1 se

estende unicamente a uma medida de probabilidade τ2 : B(A) → [0, ∞).

Roteiro da demonstra¸cão. O primeiro passo para a demonstra¸cão desse Teorema é a de-fini¸cão de medida exterior. Uma medida exterior é uma fun¸cão µ∗ : P(X) → [0, ∞] com as seguintes propriedades: (i) µ∗(∅) = 0; (ii) µ∗ é monótona, isto é, E ⊂ F im-plica µ∗(E) ≤ µ∗(F ); (iii) µ∗ é contavelmente subaditiva, isto é, se E ⊂ S∞

i=1Ei ent˜ao

µ(E) ≤P∞

i=1µ(Ei).

Diremos que um subconjunto E de X ´e mensur´avel com respeito a µ∗ se para todo A ⊂ X vale

µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A \ E) ,

isto é, E não ‘quebra’ nenhum conjunto A em dois subconjuntos nos quais µ∗ não é aditiva.

Pode-se demonstrar que se µ∗ é uma medida exterior e M é a classe dos conjuntos mensuráveis com respeito a µ∗ então M é σ-álgebra e a restri¸cão de µ∗ a M define uma medida em M.

Dada τ1 : A → [0, ∞) contavelmente aditiva, definimos uma fun¸c˜ao µ∗ dada por

µ∗(E) = inf

∞

X

i=1

(13)

onde o ´ınfimo é tomado sobre todas as seqüências {Fi} ⊂ A tais que E ⊂

S∞

i=1Fi (sempre

existe uma, pois X ∈ A).

O passo seguinte é mostrar que µ∗ é realmente uma medida exterior. Em seguida, mostrar que a classe M dos conjuntos mensuráveis com respeito a µ∗ contém A. Como M é σ-álgebra, isso implicará que M contém B(A).

Como µ∗|M é medida, então µ ≡ µ∗|B(A) também é. Finalmente, mostra-se que µ coincide com τ1 em A.

Para mostrar a unicidade, sejam µ1 e µ2 duas extens˜oes de τ1 para B(A). Considere

I a subclasse de B(A) onde µ1 e µ2 coincidem. Essa subclasse ´e uma classe mon´otona

(ver Corol´ario 1.13 abaixo) que cont´em A, logo I = B(A).

Pode ser dif´ıcil checar que uma fun¸cão é contavelmente aditiva numa álgebra. O resultado abaixo pode ajudar.

Teorema 1.10. A ´algebra, τ1 : A → [0, ∞) finitamente aditiva, com τ1(X) = 1. Se para

toda seqüência decrescente F1 ⊃ F2 ⊃ · · · de membros de A com interse¸cão vazia se tem

τ1(Fn) → 0 ent˜ao τ1 ´e contavelmente aditiva.

Demonstra¸c˜ao. Seja E ∈ A com E =S∞

i=1Ei, onde os Ei’s formam uma cole¸c˜ao disjunta

de elementos de A. Os conjuntos Fn= E \ n [ i=1 Ei pertencem a A, e T∞

n=1Fn = ∅. Por hip´otese, τ1(Fn) → 0 quando n → ∞. Por outro

lado, τ1(E) = n X i=1 τ1(Ei) + τ1(Fn) ,

pela aditividade (finita) de τ1, de maneira que

τ1(E) = lim n→∞ n X i=1 τ1(Ei) = ∞ X i=1 τ1(Ei) .

O Teorema acima resvala na no¸c˜ao de continuidade de uma medida.

Defini¸cão 1.11. Uma medida µ : B → [0, ∞] é cont´ınua por baixo se para toda seqüência crescente {Ei} ⊂ B tal que S

∞

i=1Ei = E vale limn→∞µ(Ei) = µ(E). Ela ´e

cont´ınua por cima se para toda seq¨uˆencia decrescente {Ei} ⊂ B tal que

T∞

i=1Ei = E

(14)

Teorema 1.12. Se µ é finita então é cont´ınua.

Demonstra¸cão. Seja E ∈ B e E1 ⊂ E2 ⊂ . . . seqüência crescente em B cujo limite é E.

Ent˜ao E pode ser escrito como uma uni˜ao disjunta: E = E1∪ ∞ [ i=1 (Ei+1\ Ei) . Portanto µ(E) = µ(E1) + ∞ X i=1

µ(Ei+1− Ei) = µ(E1) + lim N →∞

N

X

i=1

µ(Ei+1) \ µ(Ei) = lim

N →∞µ(EN) .

Isso mostra que µ ´e cont´ınua por baixo em E.

A finitude da medida de E foi admitida na segunda passagem, mas o mesmo resultado vale se µ(E) = ∞, portanto nessa demonstra¸cão não é necessário admitir que µ é finita. Já para mostrar que é cont´ınua por cima em E basta passar ao complementar, mas a´ı é preciso usar a finitude.

O Corolário abaixo foi usado na demonstra¸cão da unicidade da extensão, no Teo-rema 1.9.

Corol´ario 1.13. Sejam µ1 e µ2 medidas finitas definidas em B e seja I a subclasse de

B definida por

I = {E ∈ B; µ1(E) = µ2(E)} .

Então I é uma classe monótona.

Demonstra¸cão. Se E é o limite de uma seqüência monótona em I então µ1(E) = µ2(E),

pois pelo Teorema acima ambas as medidas s˜ao cont´ınuas. Segue que E ∈ I.

Finalmente, um teorema de “aproxima¸cão”, bastante útil em demonstra¸cões. Do ponto de vista de medida, pode-se dizer que as álgebras são “densas” na σ-álgebra que geram.

Teorema 1.14. (X, B, µ) espa¸co de probabilidade, A uma ´algebra tal que B(A) = B. Ent˜ao para cada > 0 e B ∈ B existe A ∈ A tal que µ(A4B) < .

Demonstra¸c˜ao. Usaremos o fato obtido na demonstra¸c˜ao do Teorema 1.9 de que µ(B) = inf{X i µ(Ei); B ⊂ [ i Ei, Ei ∈ A, ∀i} .

(15)

Isto implica que existe uma seq¨uˆencia disjunta {Ei} ⊂ A tal que B ⊂ S∞ i=1Ei e µ(B) + 2 > ∞ X i=1 µ(Ei) .

Agora escolha n tal que

∞ X i=n+1 µ(Ei) < 2 e tome A =Sn i=1Ei ∈ A. Como A \ B ⊂S∞ i=1Ei\ B, ent˜ao µ(A \ B) ≤ µ( ∞ [ i=1 Ei) − µ(B) < 2 . Por outro lado, B \ A ⊂S∞

i=1Ei\

Sn

i=1Ei, logo, pela escolha de n, µ(B \ A) < 2.

A desigualdade µ(A4B) < implica, em particular, em |µ(A) − µ(B)| < .

1.4 Integra¸

c˜

ao

Defini¸c˜ao 1.15. Seja (X, B) espa¸co mensur´_{avel. Diz-se que f : X → R ´e mensur´}avel se para todo boreleano B de R valer f−1(B) ∈ B.

A mensurabilidade pode ser testada com conjuntos da forma B = (c, ∞), pois eles geram a σ-´_{algebra dos boreleanos de R. Se X for espa¸co topológico e B for a σ-álgebra} de Borel de X então qualquer fun¸cão cont´ınua será mensurável.

Denotaremos por χA a fun¸c˜ao caracter´ıstica de A: χA(x) = 1 se x ∈ A e χA(x) = 0

caso contr´ario.

Defini¸c˜ao 1.16. Seja (X, B, µ) espa¸_{co de probabilidade. Diz-se que f : X → R ´e simples} se f = n X i=1 aiχAi ,

(16)

A integral de uma fun¸c˜ao simples f = Pn

i=1aiχAi ´e dada por

Z f dµ = n X i=1 aiµ(Ai) ´

E fácil ver que qualquer fun¸cão mensurável não-negativa pode ser aproximada, por baixo e monotonamente, por uma seqüência de fun¸cões simples. A integral de f é definida como sendo o limite das integrais das fun¸cões simples (provando-se que independe da seqüência escolhida). Diz-se que f é integrável seR f dµ < ∞.

Para fun¸cões reais basta decompor f = f+− f− e dizer que f é integrável se f+ e f−

forem integráveis. A fun¸cão f será integrável se e somente se |f | for integrável.

Teorema 1.17 (da Convergência Monótona). Seja seqüência {f1 ≤ f2 ≤ . . .}

de fun¸cões reais integráveis em (X, B, µ). Se {R fndµ} for seqüência limitada então

limn→∞fn existe em quase todo ponto e R (lim fn)dµ = limR fndµ. Se a seqüência não

for limitada ent˜ao ou lim fn n˜ao existe num conjunto de medida positiva ou lim fn existe

num conjunto de medida total mas não é integrável.

Teorema 1.18 (Lema de Fatou). Seja {fn}n seqüência de fun¸cões reais mensuráveis,

limitadas inferiormente por uma fun¸cão integrável. Se lim infnR fndµ < ∞ então lim infnfn

´ e integr´avel e Z (lim inf n fn)dµ ≤ lim infn Z fndµ .

Um exemplo que ilustra um pouco esse Teorema e mostra que não precisa haver igualdade é dado pelas fun¸cões fn: [0, 1] → R com

fn(x) =    n2x , 0 ≤ x ≤ _n1 2n − n2_{x ,} 1 n ≤ x ≤ 2 n 0 , _n2 ≤ x ≤ 1 ,

onde as integrais são sempre iguais a 1, as fun¸cões são limitadas inferiormente por qual-quer fun¸cão integrável não-positiva, e a fun¸cão limite é a fun¸cão nula (embora este exem-plo seja incompleto, pois não é preciso que exista o limite das fun¸cões para que o Teorema seja verdadeiro).

O seguinte teorema ´e corol´ario do anterior.

Teorema 1.19 (da Convergência Dominada). Se g é integrável e {fn}n é seqüência

de fun¸cões mensuráveis com |fn| ≤ g q.t.p. e lim fn = f q.t.p. então f é integrável e

(17)

1.5 Medidas absolutamente cont´ınuas

Seja (X, B) espa¸co mensurável, e µ, ν medidas de probabilidade. A medida ν é absolu-tamente cont´ınua com rela¸cão a µ (ν << µ) se ν(A) = 0 sempre que µ(A) = 0. As medidas são equivalentes se µ << ν e ν << µ.

Teorema 1.20 (Teorema de Radon-Nikodym). Se ν, µ s˜ao probabilidades, ν << µ ´

e equivalente a existir f ∈ L1_{(µ) (isto ´}_{e, integr´}_{avel), n˜}_{ao-negativa e com} _{R f dµ = 1 tal}

que ν(A) =R_Af dµ. A fun¸cão f é única q.t.p.

Nota¸cão: f é a derivada de ν com respeito a µ e é denotada por dν/dµ.

As probabilidades ν e µ s˜ao ditas mutuamente singulares (ν ⊥ µ) se existe B ∈ B tal que ν(B) = 0 e µ(Bc_{) = 0.}

Teorema 1.21. Como acima, sejam ν, µ medidas de probabilidade. Então existe única decomposi¸cão ν = pµ1+ (1 − p)µ2, com µ1 << µ e µ2 ⊥ µ.

1.6 Formas de volume

O determinante ´e uma aplica¸c˜_{ao det : (R}n)n _{→ R com as seguintes propriedades:} 1. det(e1, . . . , en) = +1;

2. det(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , un) = − det(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , un);

3. det(αu + βv, u2, . . . , un) = α det(u, u2, . . . , un) + β det(v, u2, . . . , un).

O determinante de (u1, . . . , un) ´e o (hiper)volume do (hiper)paralelep´ıpedo formado por

esses vetores, com um sinal, de acordo com a orienta¸cão da n-upla em rela¸cão à base canônica (e1, . . . , en). Essas três propriedades determinam univocamente o valor do

de-terminante.

Uma aplica¸c˜_{ao n-linear alternada ω : (R}n)n _{→ R satisfaz as duas ´ultimas} propri-edades do determinante. Pode-se mostrar que

ω(u1, . . . , un) = c det(u1, . . . , un) ,

onde

c = ω(e1, . . . , en) .

Em outras palavras, o espa¸co de aplica¸c˜_{oes n-lineares alternadas de (R}n₎n _{em R ´e de}

(18)

Uma n-forma (ou forma de volume) ω em Rn_´_{e uma aplica¸c˜}_{ao (cont´ınua) que para}

cada x associa uma aplica¸c˜_{ao n-linear alternada ω(x) de (R}n)n _{em R.}

Numa variedade M de dimensão n orientada, a forma de volume é uma fun¸cão que para cada p associa uma aplica¸cão n-linear alternada de (TpM )n em R. Se a variedade

(orientável) é abstrata a forma em geral é definida nas cartas, de forma compat´ıvel nas interse¸cões. Isto é, para cada carta φ : U → φ(U ) ⊂ M , define-se

ωφ(x) · (u1, . . . , un) = c(x) det(u1, . . . , un) = c(x)dx(u1, . . . , un) ,

de maneira que se ψ : V → ψ(V ) for outra carta e ωψ for a forma definida em V ter-se-´a

ωφ(x) · (u1, . . . , un) = ωψ(ξ(x)) · (Dξ · u1, . . . , Dξ · un) ,

onde ξ = ψ−1◦ φ, com dom´ınio em φ−1_{(φ(U ) ∩ ψ(V )).}

Para integrar uma forma de volume numa variedade é preciso um procedimento que não dependa demais das cartas. Isso é feito com parti¸cões da unidade, subordinadas ao atlas que define a variedade.

Uma parti¸cão da unidade subordinada à cobertura (do atlas) {φλ(Uλ)}λ é uma

cole¸cão de fun¸cões reais {αλ}λ de classe C1, indexadas pelo mesmo parâmetro do atlas,

com dom´ınio na variedade, que tem ainda as seguintes propriedades:

1. Para cada λ, o suporte de αλ (isto é, o conjunto onde αλ não se anula) está contido

em φλ(Uλ).

2. Para cada x ∈ M , existe apenas um n´umero finito de λ’s para os quais αλ(x) n˜ao

se anula. 3. P

λαλ(x) = 1, para todo x ∈ M (soma bem definida, por causa da propriedade

anterior).

O nome parti¸cão da unidade vem, evidentemente, do fato de que a fun¸cão constante e igual a 1 está sendo escrita como uma soma de fun¸cões criteriosamente escolhidas. Pode-se mostrar também sua existência, para qualquer cobertura (ver [Elon], por exemplo).

A forma αλω ´e tamb´em uma forma de volume cont´ınua em M , com suporte em φλ(Uλ).

Sua integral ´e definida usando a carta correspondente: Z M αλω ≡ Z φλ(Uλ) αλω ≡ Z Uλ αλ(φλ(x))cλ(x)dx ,

(19)

A integral da forma de volume ω em M ´e definida por Z M ω =X λ Z M αλω ,

e de fato é bem definida porque (pode-se mostrar) o resultado não depende da parti¸cão da unidade escolhida.

A integral de uma fun¸cão cont´ınua f em M , segundo a forma de volume ω, é sim-plesmente a integral da forma f · ω. Com isso, podemos falar também em integrais de fun¸cões caracter´ısticas sobre boreleanos de M , e da´ı definir uma medida nos boreleanos de M .

Em conclus˜ao, a forma de volume ω define uma medida em M .

Muitas vezes falamos em “medida de Lebesgue” de uma determinada variedade. Isso pode ter dois significados, mas não há muito perigo de confusão.

Se a variedade est´_{a mergulhada em R}m_{, para algum m ≥ n, a forma canˆ}_{onica de}

volume em Rm (o determinante) induz uma forma de volume em M , da seguinte maneira. Seja p ∈ M e considere TpM como subespa¸co de Rm. Se (u1, . . . , un) ´e uma n-upla

de vetores em TpM , completa-se a n-upla com vetores un+1, . . . , um, todos unit´arios,

ortogonais entre si e ortogonais a TpM , e toma-se

ω(u1, . . . , un) ≡ det(u1, . . . , un, un+1, . . . , um) .

Outra possibilidade ´e quando a variedade ´e definida de maneira abstrata, mas em cada carta a forma de volume se expressa como a forma de volume canˆ_{onica em R}n _(isto

´

e, cλ(x) ≡ 1, para todo λ). Este ´e o caso de Tn visto como o quociente Rn/Zn, onde as

cartas s˜ao naturalmente dadas por aplica¸c˜oes do tipo x 7→ x mod 1.

Se T : U → V ´e um difeomorfismo, e ω ´e uma forma de volume definida em V , definimos o pullback de ω (por T ) como sendo a forma dada por

T∗ω(x) · (u1, . . . , un) = ω(T (x)) · (DT (x) · u1, . . . , DT (x) · un) .

N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que

Z V ω = ± Z U T∗ω ,

onde o sinal ´e determinado de acordo com T : “+” se T preserva e “-” se T reverte orienta¸c˜ao.

Essa fórmula contém a fórmula de mudan¸ca de variáveis da integral. Se ω = f dx, então

T∗ω(x) · (u1, . . . , un) = f (T x)dx · (DT (x) · u1, . . . , DT (x) · un)

(20)

logo T∗ω = (f ◦ T ) det DT dx. Portanto Z V f (x)dx = Z U f (T x)| det DT (x)|dx .

1.7 Medidas regulares

O seguinte Teorema pode ser ´util quando lidarmos com medidas cujo dom´ınio ´e a σ-´

algebra de Borel.

Teorema 1.22. Uma probabilidade de Borel µ num espa¸co métrico X é regular, isto é, para todo A ∈ B(X) e > 0 existe um conjunto aberto U e um conjunto fechado C tais

que C ⊂ B ⊂ U e µ(U\ C) < .

Demonstra¸cão. Seja R a cole¸cão de conjuntos onde vale a regularidade, isto é,

R = {A ∈ B; ∀ > 0 ∃ U aberto e C fechado com C ⊂ A ⊂ U e µ(U\ C) < } .

Primeiramente mostramos que R é uma σ-álgebra. Evidentemente X ∈ R, pois é aberto e fechado, servindo como U e C para todo > 0. Se A ∈ R então X \ A ∈ R, pois X \ U

´

e fechado, X \ C ´e aberto e (X \ C) \ (X \ U) = U\ C. Para mostrar que R ´e fechado

por uni˜oes enumer´aveis, sejam A1, A2, . . . ∈ R e, para todo i = 1, 2, . . . ,, os conjuntos

U,i aberto, C,i fechado tais que C,i ⊂ Ai ⊂ U,i e µ(U,i\ C,i) < ₃i. Chamando de A a

união dos Ai’s, definimos U como sendo a união dos U,i’s, que é um aberto, e ˜C a união

dos C,i’s, que não é necessariamente um fechado. Como µ é medida de probabilidade

então é cont´ınua (Teorema 1.12), logo existe k tal que µ( ˜C\Sk_i=1C,i) < ₂. Tome então

C=

Sk

i=1C,i, que é fechado. É fácil ver que C ⊂ A ⊂ U e µ(U\ C) < .

A prova se completa se mostrarmos que R cont´em todos os fechados de X. Tome C fechado e > 0. Defina C = C. Por outro lado, defina os abertos

Un= {x ∈ X; d(C, x) <

1 n} , n ≥ 1, de forma que T∞

n=1Un = C. Pela continuidade da medida, existe k tal que

µ(Uk\ C) < . Ent˜ao basta escolher U = Uk.

O próximo Teorema mostra que em espa¸cos métricos uma medida é determinada pela maneira como ela integra fun¸cões cont´ınuas.

Teorema 1.23. Seja X espa¸co m´etrico, µ e ν probabilidades de Borel. SeR f dµ = R f dν para toda fun¸c˜_{ao cont´ınua f : X → R ent˜ao µ = ν.}

(21)

Demonstra¸cão. Por causa da regularidade das duas medidas, basta mostrar que elas coincidem em conjuntos fechados. Sejam C um conjunto fechado e > 0. Seja U aberto contendo C, de forma que ν(U ) < ν(C) + , o que é garantido também pela regularidade. Defina a fun¸c˜_{ao f : X → R como zero fora de U e}

f (x) = d(x, X \ U ) d(x, X \ U ) + d(x, C)

para x ∈ U . A fun¸cão f é cont´ınua, não-negativa, vale um em C e zero fora de U . Então µ(C) <

Z

f dµ = Z

f dν < ν(U ) < ν(C) + .

Como isso vale para todo > 0, ent˜ao µ(C) ≤ ν(C). E trocando os pap´eis de µ e ν, conclu´ımos que µ(C) = ν(C).

A toda probabilidade de Borel de um espa¸co m´etrico compacto podemos associar um funcional linear ξ = ξµ : C0(X) → R dado por ξ(f ) = R f dµ.

Defini¸cão 1.24. ξ : C0_{(X) → R é funcional linear positivo se é linear, ξ(f ) ≥ 0 se}

f ≥ 0 e ξ(1) = 1.

Assim f 7→ R f dµ é funcional linear positivo. O Teorema acima mostra que se duas probabilidades induzem o mesmo funcional então elas são iguais, o que caracteriza injeti-vidade da aplica¸cão que leva probabilidades em funcionais. O próximo Teorema garante a sobrejetividade da aplica¸cão (sua prova se encontra nos textos clássicos de Análise). Teorema 1.25 (da Representa¸cão de Riesz). Se X é espa¸co métrico compacto e se ξ : C0_{(X) → R é funcional linear positivo, então existe única probabilidade µ tal que}

Z

X

f dµ = ξ(f ) , para toda f ∈ C0(X).

(22)

(23)

Cap´ıtulo 2

Transforma¸

c˜

oes que preservam

medida

2.1 Defini¸

c˜

oes e motiva¸

c˜

ao

Sejam (X1, B1, µ1) e (X2, B2, µ2) espa¸cos de probabilidade, e T : X1 → X2 transforma¸c˜ao.

Dizemos que T ´e mensur´avel se para todo A ∈ B2 se tem T−1(A) ∈ B1. Dizemos

que T preserva medida se µ1(T−1A) = µ2(A).

O caso que mais nos interessa ´e quando X1 = X2 = X, B1 = B2 = B, µ1 = µ2 = µ,

para podermos fazer itera¸c˜oes.

O seguinte Teorema ajuda a verificar se uma transforma¸c˜ao preserva medida.

Teorema 2.1. (X1, B1, µ1) e (X2, B2, µ2), T : X1 → X2 transforma¸c˜ao. Seja S2 uma

semi-´algebra que gera B2. Se para todo A ∈ S2 se tem T−1(A) ∈ B1 e µ1(T−1A) = µ2(A),

então T é mensurável e preserva medida.

Demonstra¸cão. A prova usa os resultados de extensão da Se¸cão 1. Considere C2 = {A ∈ B2 ; T−1(A) ∈ B1 , µ1(T−1A) = µ2(A)} .

Queremos mostrar que C2 = B2. Em primeiro lugar, por hipótese a semi-álgebra S2 está

contida em C2. Como B2 é a menor σ-álgebra que contém S2, então basta mostrar que

C2 ´e uma σ-´algebra.

Com um argumento simples mostra-se que uniões finitas e disjuntas de elementos de S2 estão em C2, ou seja, a álgebra A(S2) está contida em C2. Se mostrarmos que C2 é

uma classe mon´otona, ent˜ao teremos terminado. 23

(24)

Tome uma cole¸c˜ao de conjuntos E1, E2, . . . de C2, crescente: E1 ⊂ E2 ⊂ . . .. Cada

Ei tem a propriedade de que T−1Ei ∈ B1 e µ1(T−1Ei) = µ2(Ei). Temos T−1(

S∞

i=1Ei) =

S∞

i=1T −1_E

i, e como cada T−1Ei está em B1 então a união também está. A preserva¸cão

da medida é demonstrada escrevendo-se a união como uma união disjunta:

∞ [ i=1 Ei = E1 ∪ ∞ [ i=2 Ei\ Ei−1.

Com respeito à interse¸cão o racioc´ınio é o mesmo.

Em nossa investiga¸c˜ao, ser´a importante o seguinte Lema.

Lema 2.2. Se f : X → R é mensurável e µ é T -invariante, então R

Xf ◦ T dµ =

R

Xf dµ,

no sentido de que se uma das integrais existe então a outra também existe, e neste caso elas são iguais.

Demonstra¸cão. Como f pode ser escrita como f+− f−, subtra¸cão de duas fun¸cões

men-suráveis positivas, podemos supor f ≥ 0. Além disso, o Lema é obviamente verdade para fun¸cões simples. Se {fn}né uma seqüência crescente de fun¸cões simples convergindo para

f , ent˜ao Z X f ◦ T dµ = lim n→∞ Z X fn◦ T dµ = lim n→∞ Z X fndµ = Z X f dµ .

Evidentemente, se R f ◦ T dµ = R f dµ, ∀f ∈ L1 _ent˜_{ao µ ´}_{e T -invariante, simplesmente}

pelo fato de que as fun¸cões caracter´ısticas são integráveis.

O próximo Lema diz garante a invariância da medida com menos fun¸cões, porém com hipóteses mais restritivas.

Lema 2.3. Seja X espa¸co métrico, B a σ-álgebra de Borel e µ medida de probabilidade. Seja T transforma¸cão cont´ınua. SeR f ◦ T dµ = R f dµ para toda fun¸cão cont´ınua f então µ é medida invariante.

Demonstra¸cão. Basta provar que µ é invariante para um conjunto fechado C qualquer. Seja {Un}n seqüência decrescente de abertos tal que

T∞

n=1Un = C. Isso implica que

{T−1_U

n}n é seqüência decrescente de abertos tal que

T∞

n=1T −1_U

n = T−1C. Tome fn

cont´ınua que valha 1 em C e zero fora de Un. Ent˜ao fn ◦ T vale um em T−1C e zero

fora de T−1Un. Como µ ´e probabilidade, µ(Un) converge a µ(C) e µ(T−1Un) converge a

µ(T−1C).

Al´em disso, como µ(C) ≤ R fndµ ≤ µ(Un) ent˜ao R fndµ converge a µ(C).

Ana-logamente, R fn ◦ T dµ converge a µ(T−1C). Mas pela hip´otese R fndµ = R fn ◦ T dµ,

(25)

Podem-se apontar várias razões para estudarmos transforma¸cões que preservam me-dida. Em sistemas dinâmicos a motiva¸cão aparece invertida, pois muitas vezes interessa estudar, para uma dada transforma¸cão T de um certo conjunto X quais são as medidas que T preserva. Em geral X é um espa¸co topológico e B é a σ-álgebra de Borel.

O estudo das medidas invariantes por T ´e ´util para se investigar a estat´ıstica das ´

orbitas: dado um conjunto A ∈ B, qual é a freqüência com que a órbita {x, T x, T2_{x, . . .}}

visita o conjunto A? Ou seja, quanto vale (se existir) o limite de 1

n]{0 ≤ j < n ; T

j_{x ∈ A}?}

Suponhamos que valesse a seguinte hipótese, para um dado ponto x: para todo A ∈ B o limite acima existe. Com isso, poder´ıamos definir uma fun¸cão τ : B → [0, 1], tal que τ (X) = 1, fazendo com que τ (A) fosse exatamente esse limite. A fun¸cão τ seria candidata a ser uma medida de probabilidade invariante, pois a freqüência de visita¸cão a A é igual `

a freqüência de visita¸cão a T−1(A).

No entanto não há chance de que a hipótese valha. Tomando por exemplo a σ-álgebra dos boreleanos num espa¸co métrico, seja x um ponto qualquer não-periódico (isto é, Tn_{x 6= x, ∀n ≥ 0). Seja J ⊂ N que não tenha densidade definida, isto é, tal que}

1

n](J ∩ [0, n)) n˜ao converge, e tome A = {T

n_{x; n ∈ J }, que ´}_{e boreleano pois ´}_{e uni˜}_ao

enumerável de pontos. Isso faz com que a freqüência de visita¸cão a A não esteja bem definida.

Poder´ıamos no entanto ter a medida µ invariante já definida e perguntar se a freqüência de visita¸cão das órbitas a um conjunto mensurável coincide com sua medida (note que ´

e melhor que a pergunta seja feita para medidas invariantes, pois se a freqüência de vi-sita¸cão está bem definida então ela está bem definida para a pré-imagem do conjunto e assume o mesmo valor; de fato a pergunta não está sendo feita para a imagem inversa do conjunto, mas faz sentido esperar que a freqüência de visita¸cão também forne¸ca sua medida). Se isso não valer para todas as órbitas (são raros esses casos) então para quais ´

orbitas vale? `

As vezes a estat´ıstica das órbitas é estudada do ponto de vista de um observável, isto ´

e, uma fun¸c˜_{ao f : X → R mensurável. Mede-se então a média temporal} 1 n n−1 X i=0 f ◦ Ti(x) ,

e pergunta-se se ela converge, e se o resultado da convergência é sempre o mesmo. A freqüência de visita¸cão a um conjunto mensurável é um caso particular dessa média

(26)

temporal, bastando tomar f como sendo a fun¸c˜ao caracter´ıstica χA, pois 1 n]{0 ≤ j < n ; T j_{x ∈ A} =} 1 n n−1 X j=0 χA(Tjx) .

No caso da fun¸cão caracter´ıstica, perguntamos se a média temporal converge para µ(A), que é igual a R_XχAdµ. Para uma fun¸cão f integrável, podemos perguntar se a média

temporal converge para R

Xf dµ, sua m´edia espacial.

Ainda que a itera¸cão de T seja determin´ıstica, a Teoria Ergódica estuda os fenômenos do ponto de vista probabil´ıstico, como delineamos acima e veremos a partir de agora. No entanto, a probabilidade também pode ser enxergada do ponto de vista determin´ıstico (assim, a Teoria Ergódica se coloca entre as teorias dos Sistemas Dinâmicos e da Proba-bilidade).

Por exemplo, imagine uma seqüência de lan¸camentos de uma moeda, que denotaremos pela seqüência x = {xn}n≥0, onde xn = 0 denota “cara” e xn = 1 denota “coroa” no

n-´

esimo lan¸camento. Cada seq¨uˆencia (infinita) de lan¸camentos representa um ponto no espa¸co {0, 1}N_.

Poder´ıamos pensar que no momento em que come¸camos a seqüência de lan¸camentos o futuro já está determinado (por uma entidade superior, por exemplo), mas nós só poderemos conhecer esse futuro realizando os lan¸camentos em ordem, um a um. Assim, nós vamos “puxando” os valores de xn. Ao mesmo tempo, nossa história futura vai

mudando, simplesmente pelo fato de que uma parte dela já ficou para trás: no instante inicial, ela é representada pela seqüência (x0, x1, . . .), enquanto que no instante n ela é

representada pela seq¨uˆencia (xn, xn+1, . . .).

Portanto em cada instante há um deslocamento da história futura em uma unidade. Esse deslocamento, conhecido pelo seu nome original em inglês (shift), é uma trans-forma¸cão

σ : {0, 1}N_{−→ {0, 1}}N

que leva (x0, x1, x2, . . .) em (x1, x2, x3, . . .). Ou seja, foi-nos dada uma hist´oria futura no

instante inicial, e à medida em que fazemos os lan¸camentos nos deslocamos no espa¸co de histórias futuras através da itera¸cão da transforma¸cão σ.

A transforma¸cão σ não é invert´ıvel (seria se considerássemos seqüências bi-infinitas). Para cada seqüência (x0, x1, x2, . . .) há as pré-imagens (0, x0, x1, . . .) e (1, x0, x1, . . .).

Agora podemos introduzir uma medida de probabilidade µ natural em X ≡ {0, 1}N_.

Essa medida deve ter rela¸cão com o que esperamos a respeito da probabilidade das ocorrências dos lan¸camentos. Para isso, a probabilidade de que o primeiro lan¸camento (x0) seja 0 deve ser igual a 1₂, igual à probabilidade de que seja igual a 1, não importando

(27)

qual seja a história futura subseqüente. Isto é o mesmo que dizer que a medida do conjunto de pontos x ∈ X que come¸cam com x0 = i é 1₂, para i = 0, 1. Os conjuntos são

disjuntos e sua união é X, de forma que isso é coerente com o fato de estarmos definindo uma medida de probabilidade.

No entanto, é preciso definir a medida em mais conjuntos, para se ter certeza de defini-la univocamente (os detalhes técnicos serão desenvolvidos abaixo). Por exemplo, esperamos que a probabilidade de que x0 = i0 e x1 = i1, para dados i0 e i1, seja 1₄. Mais

ainda, que a probabilidade de que x0 = i0, . . ., xk = ik seja ₂k+11 . Na linguagem de Teoria

da Medida, estamos supondo que o conjunto

C(k; i0, . . . , ik) ≡ {x ∈ X; x0 = i0, . . . , xk= ik}

tem medida ₂k+11 . Esse tipo de conjunto ´e chamado de cilindro, e a classe dos cilindros

forma uma semi-´algebra, junto com ∅ e X.

Veremos que isso é o bastante para se definir a medida univocamente em X, usando os resultados da Se¸cão 1. Além do mais, podemos ver que ela é invariante na semi-´

algebra dos cilindros, (o que nos garante a invariância propriamente dita, por causa do Teorema 2.1): a pré-imagem de C(k; i0. . . ik) é a união disjunta

C(k + 1; 0i0i1. . . ik) ∪ C(k + 1; 1i0i1. . . ik) ,

que também tem medida ₂k+11 porque ambos os cilindros da união têm medida

1 2k+2.

Qualquer dos cilindros pode ser um conjunto para fazermos uma estat´ıstica. Por exemplo, dado (i0, i1, . . . , ik), podemos nos perguntar qual ´e a probabilidade de, ao longo

de nossa seqüência infinita de lan¸camentos, encontrarmos blocos de tamanho k + 1 exata-mente com a especifica¸cão dada. Ora, isso é o mesmo que perguntar qual é a freqüência média de visita¸cão ao cilindro A = C(k; i0. . . ik), dada pelo limite

1

n#{0 ≤ j < n; T

j_{x ∈ A} .}

Mais uma vez esperamos que essa m´edia temporal seja igual a µ(A) = ₂k+11 . De fato,

veremos que isso vale exceto para um subconjunto de X de medida zero.

2.2 Exemplos

Passemos a analisar alguns exemplos de medidas invariantes. Assumiremos implicita-mente que a σ-álgebra é de Borel quando nenhuma men¸cão for feita a esse respeito.

(28)

´

Orbitas periódicas Suponha que X é um espa¸co topológico e p um ponto tal que Tk(p) = p (e Tj(p) 6= p, ∀j = 1, . . . , k − 1). Seja δx a medida de Dirac associada a um

ponto x, definida assim: δx(A) = 1 se x ∈ A e δx(A) = 0 se x 6∈ A. Ent˜ao a medida

µ = 1 k k−1 X j=0 δTj_(p) ´ e invariante por T . ´

E f´acil mostrar que

Z

X

f dδx = f (x) .

Medidas absolutamente cont´ınuas _{Suponha que T : U ⊂ R}n _{→ T (U ) ⊂ R}n _seja

um difeomorfismo, com U aberto, e que queiramos encontrar uma medida invariante µ absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de Lebesgue. Seja φ a densidade da medida procurada, isto ´e, dµ = φ(x)dx.

A rela¸c˜ao µ(A) = µ(T−1A) se traduz em

Z A φ(x)dx = Z T−1_A φ(y)dy .

Mas o lado direito pode ser reescrito, pela f´ormula de mudan¸ca de vari´aveis, como Z A φ(T−1x)| det DT−1(x)|dx , ou Z A φ(T−1x) | det DT (T−1_x)|dx .

Então a invariância da medida será garantida se sua densidade satisfizer

φ(x) = φ(T

−1_x)

| det DT (T−1_x)| . (2.1)

Por exemplo, qualquer difeomorfismo com determinante igual a ±1 terá a medida de Lebesgue como medida invariante. A maioria dos próximos exemplos faz uso dessa observa¸cão. Também não é necess´_{ario que dom´ınio e contradom´ınio estejam em R}n_:

podem estar numa variedade de dimens˜ao n, com a forma de volume que induz a medida de Lebesgue (como veremos nos exemplos envolvendo toros n-dimensionais).

(29)

Fluxos de divergˆencia nula _{Se X : U ⊂ R}n _{→ R}n _´_{e um campo C}1 _{de divergˆ}_encia

nula e se {φ(t, ·)}t´e o fluxo associado, ent˜ao cada difeomorfismo φ(t, ·) tem determinante

igual a 1, e portanto preserva a medida de Lebesgue.

Para ver isso, evocamos primeiramente que a derivada Dxφ(t, x) satisfaz a equa¸c˜ao

diferencial

d

dtDxφ(t, x) = DX(φ(t, x))Dxφ(t, x) ,

como consta dos textos básicos de equa¸cões diferenciais (e que pode ser memorizada pela diferencia¸cão em rela¸cão a x de _∂t∂φ(t, x) = X(φ(t, x)), e depois “ingenuamente” trocando a ordem de deriva¸cão no lado esquerdo).

Denominando Φ(t) = Dxφ(t, x) e A(t) = DX(φ(t, x)), então a matriz Φ(t) é solu¸cão

do problema de Cauchy

˙

Φ(t) = A(t)Φ(t) , Φ(0) = Id .

Então só é preciso mostrar que det Φ(t) ≡ 1 para conclu´ırmos a afirma¸cão. Para isso, deduziremos que o determinante de Φ(t) satisfaz a seguinte equa¸cão diferencial:

d

dt det Φ(t) = [trA(t)] det Φ(t) , (2.2)

implicando que

det Φ(t) = det Φ(0) exp Z t

0

trA(s)ds

,

e por conseguinte det Φ(t) = 1, pois o tra¸co de A ´e exatamente o divergente de X, que supusemos nulo.

Para chegar à Equa¸cão 2.2 temos que derivar det Φ(t). Neste caso convém escrever Φ(t) = (ϕ1(t), . . . , ϕn(t)), onde os ϕi(t) são as colunas de Φ(t). Usando a defini¸cão de

derivada e a linearidade do determinante com respeito `as colunas, obtemos d dtdet Φ(t) = n X j=1 det(ϕ1(t), . . . , ˙ϕj(t), . . . , ϕn(t)) = n X j=1 det(ϕ1(t), . . . , A(t)ϕj(t), . . . , ϕn(t)) .

Pode-se mostrar que Φ(0) é não singular se e somente se Φ(t) é não singular, o que é o caso, uma vez que Φ(0) é a identidade. Da´ı que as colunas de Φ(t) formam uma base, e podemos escrever A(t)ϕj(t) = n X k=1 βjk(t)ϕk(t) .

(30)

A matriz (βjk(t))jk ´e a express˜ao de A(t) na base {ϕ1(t), . . . , ϕn(t)}, e como o tra¸co de

uma transforma¸cão linear não depende de sua representa¸cão, segue que

trA(t) =

n

X

k=1

βkk(t) .

Por outro lado, substituindo a express˜ao de A(t)ϕj(t) nessa base na f´ormula da derivada

do determinante segue que d dtdet Φ(t) = n X k=1 βkk(t) ! det Φ(t) ,

como quer´ıamos demonstrar.

Por exemplo, considere o sistema de equa¸c˜oes diferenciais em R2n= {(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn); qi, pi ∈ R} , dado por ˙ qi = ∂H ∂pi , ˙pi = − ∂H ∂qi ,

onde H : R2n _{→ R ´e uma fun¸c˜ao C}2_{. O fluxo associado ´}_{e chamado de fluxo}

hamiltoni-ano (n˜ao consideraremos casos gerais de fluxos hamiltonianos porque localmente eles se escrevem dessa forma).

O campo de vetores que determina o sistema tem divergˆencia nula, por causa do Teorema de Schwarz (_∂x∂y∂2f = _∂y∂x∂2f , se f ´e C2_).

Rota¸c˜oes no c´ırculo O c´ırculo pode ser visto de duas maneiras. Primeiro, como um subconjunto do plano complexo:

S1 _{= {z ∈ C; |z| = 1} = {e}2πix_{; x ∈ R} ,}

que é um grupo sob a opera¸cão de multiplica¸cão complexa, ou como o grupo quociente R/Z ,

onde a opera¸cão de grupo é a adi¸cão módulo 1. A aplica¸cão φ : S1 _{→ R/Z}

(31)

que leva e2πix _{em [x], a classe de equivalˆ}_{encia de x, ´}_{e um isomorfismo entre os grupos,}

isto é, é uma aplica¸cão bijetiva e

φ(e2πix1 _{· e}2πix2_{) = φ(e}2πi(x1+x2)_{) = [x}

1+ x2] = [x1] + [x2] = φ(e2πix1) + φ(e2πix2) .

Falaremos em medida de Lebesgue em S1 _{nos dois sentidos comentados na Se¸c˜}_{ao 1:}

como subvariedade de R2ou como variedade abstrata R/Z, com cartas “naturais”, porque ambas coincidem.

A fam´ılia de rota¸cões constitui o primeiro conjunto de exemplos de transforma¸cões do c´ırculo. Uma rota¸cão (ou transla¸cão, curiosamente, mas facilmente explicável depen-dendo de como se vê o c´ırculo) é a composi¸cão com um elemento (fixo) do c´ırculo. Em S1 _{⊂ C denotamos}

Tα(e2πix) = e2πiαe2πix ,

enquanto em R/Z denotamos

Tα([x]) = [x + α] = [x] + [α] .

N˜ao ´e dif´ıcil ver que Tα preserva a medida de Lebesgue: basta testar em intervalos

(que formam uma semi-´algebra) e usar o Teorema 2.1.

Há essencialmente dois tipos de dinâmica, segundo o valor de α. Se α for racional, isto é, α = p_q, onde p e q não têm fatores comuns, então todo ponto é ponto periódico de per´ıodo q. Já se α for irracional, então a órbita de qualquer ponto será densa em S1.

Exemplo de não boreleano usando rota¸cão irracional Usemos o exemplo de rota¸cão irracional para construir um exemplo de conjunto que não é boreleano.

Seja Tα uma rota¸cão irracional do c´ırculo e defina a seguinte rela¸cão de equivalência

em S1_{: x ´}_{e equivalente a y se y est´}_{a na ´}_{orbita de x (passada ou futura). As classes de}

equivalência são conjuntos enumeráveis, e há um conjunto não-enumerável de classes de equivalência.

Agora defina um conjunto E que tenha um e somente um ponto de cada classe de equivalência (defini¸cão poss´ıvel pelo Axioma da Escolha). Se E fosse boreleano, então ter´ıamos µ(TnE) = E, onde µ é a medida de Lebesgue, pois já vimos que a medida de Lebesgue é invariante por rota¸cões, e além disso as rota¸cões são invert´ıveis. Por outro lado,

S1 = [

n∈Z

TnE ,

e todos os conjuntos Tn_{E s˜}_{ao dois a dois disjuntos. Logo}

1 = µ(S1) =X

n∈Z

µ(TnE) =X

n∈Z

(32)

e esta última soma só pode ser zero (se µ(E) = 0) ou infinito (se µ(E) > 0). Portanto a medida de Lebesgue não está definida em E, e E não pode ser boreleano.

Superf´ıcies de energia em fluxos hamiltonianos _{Seja H : R}2n _{→ R e o fluxo}

hamiltoniano associado a H. Observamos que H é constante ao longo das trajetórias, isto é, se definirmos H(t) ≡ H(q1(t), . . . , qn(t), p1(t), . . . , pn(t)) então ˙ H = n X i=1 ∂H ∂qi ˙ qi+ ∂H ∂pi ˙ pi . Como ˙ qi = ∂H ∂pi , ˙pi = − ∂H ∂qi , segue que ˙H = 0.

Portanto as trajetórias do fluxo “vivem” dentro das (hiper)superf´ıcies de n´ıvel da fun¸cão H, e seria muito mais interessante restringir a dinâmica a elas, obtendo uma medida invariante para o fluxo dentro delas.

Se {Xt}té o fluxo então para t fixo, Xté um difeomorfismo tal que H(Xt(x)) = H(x),

e ainda por cima tem determinante igual a 1. Pensando assim, sejam H : Rn→ R e um difeomorfismo T : Rn _{→ R}n _{tal que | det DT (x)| = 1 e H(T (x)) = H(x) para todo x.}

Seja M a variedade dada pela pré-imagem de um valor regular c, isto é, M = H−1(c). Analisaremos o determinante da restri¸cão de T a M para procurar uma medida invariante por T em M .

Sejam x ∈ M , TxM o espa¸co tangente a M em x (visto como subespa¸co (n −

1)-dimensional de Rn) e {v1, . . . , vn} base ortonormal de Rn tal que {v1, . . . , vn−1} ⊂ TxM

e vn assuma o mesmo sentido que o gradiente de H. Em particular,

vn =

∇H(x) k∇H(x)k

O determinante de T , que j´a sabemos ser igual a 1, ser´a dado pelo volume (orientado) do (hiper)paralelep´ıpedo definido pelos vetores {DT (x) · v1, . . . , DT (x) · vn}, que por sua

vez ´e o (n − 1)-volume em TT (x)M de {DT (x) · v1, . . . , DT (x) · vn−1} multiplicado pelo

tamanho da proje¸c˜ao de DT (x) · vn em ∇H(T (x)), dado por

hDT (x) · ∇H(x), ∇H(T (x))i k∇H(x)k · k∇H(T (x))k .

(33)

O determinante da restri¸c˜ao de T a M ´e exatamente o (n − 1)-volume em TT (x)M de

{DT (x) · v1, . . . , DT (x) · vn−1}, que pelo exposto ´e o inverso da express˜ao acima.

Definindo F : Rn_{→ R por F (x) = H(T (x)), teremos, pela Regra da Cadeia, que}

DF (x) · ∇H(x) = hDT (x) · ∇H(x), ∇H(T (x))i . Por outro lado, H(x) = H(T (x)) = F (x) implica que

DF (x) · ∇H(x) = h∇H(x), ∇H(x)i = k∇H(x)k2 ,

de onde tiramos que o determinante da restri¸c˜ao de T a M ´e dado por k∇H(T (x))k

k∇H(x)k .

Da´ı que se φ for densidade de medida invariante absolutamente cont´ınua, ent˜ao pela Equa¸c˜ao 2.1 deve valer

φ(T x)k∇H(T x)k = φ(x)k∇H(x)k , logo φ(x) = 1 k∇H(x)k ´ e a densidade procurada.

Em particular, a densidade da medida será mais concentrada nas regiões da superf´ıcie de n´ıvel que estiverem mais próximas de uma singularidade.

Bilhares Seja M uma regi˜_{ao conexa de R}2 _{com bordo ∂M regular (parametrizado por}

uma curva C2, por exemplo, mas em geral consideram-se bordos regulares por partes). Um bilhar é o sistema dinâmico que resulta do movimento de uma part´ıcula em M a velocidade constante, que colide com o bordo e desvia sua trajetória segundo a regra de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de sa´ıda, contado em rela¸cão à tangente ao ponto de colisão.

O espa¸co adequado para o estudo da dinâmica não é propriamente M . Como nada acontece de surpreendente entre duas colisões, vale mais analisar os instantes em que elas ocorrem, contando o tempo pelo número de colisões.

A posi¸cão de uma colisão não determina sozinha o futuro da trajetória: é preciso também saber o ângulo de sa´ıda. Convencionaremos esse ângulo da seguinte maneira: é o ângulo entre −π₂ e π₂ da reta normal ao bordo para a reta da trajetória de sa´ıda, com

(34)

sinal positivo se no sentido horário. À i-ésima colisão corresponde um ponto (pi, θi) em

∂M × (−π₂, +π₂), e (pi+1, θi+1) ´e obtido de (pi, θi) pela transforma¸c˜ao T .

Não é dif´ıcil ver que T pode ter pontos de descontinuidade, mas os ignoraremos a t´ıtulo de simplifica¸cão. Para achar uma medida invariante para T vale analisar o determinante Jacobiano de T .

Faremos isso de modo emp´ırico no caso de bordo formado por segmentos de reta. (EXERC´ICIO: obter a medida invariante (ser´a a mesma) no caso geral.)

Sejam (p0, θ0) = T (p, θ), p + ∆p um ponto vizinho a p (∆p indica a distˆancia, ao longo

de ∂M , entre p e p + ∆p), e T (p + ∆p, θ + ∆θ) = (p0+ ∆p0, θ0+ ∆θ0). Nosso argumento consistirá em desprezar a curvatura de ∂M perto de p e p0, supondo que nesses pontos o bordo é um segmento de reta, para calcular ∆p_∆p0, ∆p_∆θ0, ∆θ_∆p0 e ∆θ_∆θ0, que nos darão as derivadas parciais de T . Como ∆θ_∆p0 deve ser zero, não precisaremos calcular ∆p_∆θ0, e o determinante Jacobiano de T será dado por

∆p0 ∆p ·

∆θ0 ∆θ .

Além disso, não é dif´ıcil ver que o valor absoluto de ∆θ_∆θ0 vale 1, pois à varia¸cão do ˆ

angulo de sa´ıda em p corresponde uma varia¸cão exatamente no mesmo montante em p0. Resta-nos apenas calcular |∆p_∆p0| (pois interessa apenas o valor absoluto do determinante). (EXERCÍCIO: T preserva orienta¸cão?)

Seguindo a figura abaixo, notamos que a rela¸c˜ao entre ∆p e ∆p0 se encontra no triˆangulo destacado. Usando a Lei dos Senos, temos

∆p sen (π₂ + θ0₎ == ∆p0 sen (π₂ − θ) . Da´ı que | det DT (p, θ)| = cos θ cos θ0 .

(35)

θ

´

π

2

−

θ

θ θ

− ´

θ θ

− ´

π

2

−

θ

π

2

+ ´

θ

∆p ∆p ∆p ´

θ

Suponha que λ seja a medida de Lebesgue em ∂M × (−π 2, +

π

2), produto da medida

de Lebesgue em ∂M pela medida de Lebesgue no intervalo (−π₂, +π₂). Se quisermos achar uma medida absolutamente cont´ınua com densidade φ(p, θ), teremos que usar a Equa¸c˜ao 2.1. Chamando x = (p0, θ0) e T−1x = (p, θ), teremos

φ(p0, θ0) cos θ0 =

φ(p, θ) cos θ .

Portanto a densidade φ(p, θ) = cos θ define uma medida invariante! Para que ela seja uma medida de probabilidade h´a que se introduzir um fator de normaliza¸c˜ao.

Vejamos um exemplo simples onde o bilhar é aplicado, facilmente generalizável para situa¸cões mais complicadas. Suponha duas part´ıculas no intervalo [0, 1], com posi¸cões dadas por q1 e q2, e massas m1 e m2. As part´ıculas se movem com velocidade constante,

e mudam o sentido de suas trajet´orias quando colidem entre si ou com os pontos 0 e 1. Vamos mostrar que esse sistema pode ser modelado por um bilhar sobre uma regi˜ao triangular.

O espa¸co de estados ´e o plano (q1, q2), mas com a restri¸c˜ao 0 ≤ q1 ≤ q2 ≤ 1 (supondo

que a part´ıcula 1 está à esquerda da part´ıcula 2). No entanto, faremos um reescalona-mento linear nas variáveis, definindo q_i0 =√miqi, i = 1, 2. Isso implica que 0 ≤ qi0 ≤

√ mi e q₁0 √ m1 ≤ q 0 2 √ m2 . A figura abaixo mostra a regi˜ao dos poss´ıveis (q0₁, q₂0).

(36)

q´₂

q₁´ m₂

m₁

Denotemos por v1 e v2 as velocidades das part´ıculas, e por v10 e v 0

2 as velocidades nas

novas coordenadas, isto ´e, v_i0 =√mivi, i = 1, 2. O vetor (v01, v20) representa a velocidade

do movimento no espa¸co de configura¸c˜oes (q₁0, q₂0).

Queremos mostrar que o movimento no espa¸co de configura¸cões segue as regras de um bilhar, isto é, a velocidade absoluta é constante e o choque com a fronteira da região de confinamento satisfaz a lei de reflexão usual.

Para analisar as colis˜oes, precisamos introduzir a seguinte nota¸c˜ao: v0_i,a, v_i,d0 , vi,a, vi,d,

onde “a” indica antes e “d” indica depois da colisão. Temos duas leis f´ısicas para utilizar, com respeito ao sistema original: a conserva¸cão da energia e a conserva¸cão do momento. Por exemplo, a conserva¸cão da energia nos diz que

m1v1,a2 + m2v2,a2 = m1v1,d2 + m2v2,d2 ,

ou seja,

(v_1,a0 )2+ (v_2,a0 )2 = (v0_1,d)2+ (v0_2,d)2 .

Então a velocidade absoluta, isto é, a norma do vetor (v0₁, v₂0) não muda, e a primeira propriedade está demonstrada.

Agora analisemos o caso espec´ıfico da colisão entre as part´ıculas, que no espa¸co de configura¸cões corresponde à colisão com a parede q0₂ = qm2

m1q

0

1. As outras colis˜oes s˜ao

mais simples, e podemos considerar indefinido o resultado da colis˜ao simultˆanea das duas part´ıculas com os bordos do intervalo.

Da conserva¸c˜ao do momento obtemos, nas novas coordenadas, √ m1v1,a0 + √ m2v2,a0 = √ m1v1,d0 + √ m2v02,d , isto ´e, (√m1, √ m2) · (v01,a, v 0 2,a) = ( √ m1, √ m2) · (v1,d0 , v 0 2,d) .

(37)

O vetor (√m1,

√

m2) é tangente à parede e o vetor velocidade mantém sua norma e ao

mesmo tempo seu produto escalar com esse vetor (além de não poder ser o mesmo que antes da colisão), portanto vale a lei de reflexão.

Essas idéias se generalizam para um sistema com mais part´ıculas (no mesmo intervalo), que acaba sendo modelado num simplexo de dimensão mais alta. Os bilhares em si podem ser concebidos em dimensão mais alta. Mesmo o sistema de part´ıculas poderia ser mais complexo e mesmo assim ser modelado por um bilhar: por exemplo, bolas (não mais part´ıculas pontuais) circulando numa caixa tridimensional. Este último exemplo estabelece forte conexão entre a dinâmica de bilhares e o estudo de gases na Mecânica Estat´ıstica e na Termodinâmica. Como no estudo dos gases o interesse se volta para suas propriedades estat´ısticas, a Teoria Ergódica se posta no meio caminho entre as duas ´

areas.

Medidas absolutamente cont´ınuas II Vimos acima que a densidade φ de uma me-dida invariante absolutamente cont´ınua de um difeomorfismo T de classe C1 _deve

satis-fazer

φ(x) = φ(T

−1_x)

| det DT (T−1_x)|

(na verdade não é preciso que essa equa¸cão seja satisfeita em todo ponto, basta um conjunto de medida total com essa propriedade).

Quando T não é injetiva, entretanto, pode-se formular uma condi¸cão análoga. O mesmo racioc´ınio conduz à seguinte equa¸cão para φ:

φ(x) = X

y:T y=x

φ(y)

| det DT (y)| . (2.3)

Por exemplo, se o determinante Jacobiano é constante e igual a n, mas cada ponto tem n pré-imagens, então a medida de Lebesgue é invariante. Exemplos deste tipo veremos abaixo, com os endomorfismos do toro.

Essa equa¸c˜ao sugere inclusive uma abordagem para a busca de medidas absolutamente cont´ınuas, a saber define-se o operador L num espa¸co adequado de fun¸c˜oes, onde

(Lφ)(x) = X

y:T y=x

φ(y) | det DT (y)| ,

de forma que a densidade procurada será ponto fixo desse operador. Se o operador tiver boas propriedades de contra¸cão, o limite da seqüência {Ln_φ

0}n, a partir de uma condi¸c˜ao

inicial φ0, ser´a o ponto fixo procurado.