Nesta Se¸c˜ao, assumiremos que X ´e espa¸co m´etrico compacto e T ´e mensur´avel. N˜ao cobriremos todos os pormenores, para maiores detalhes ver [Ma˜n´e, Cap.II §6].
J´a comentamos anteriormente que n˜ao podemos esperar que para um determinado ponto x n˜ao-peri´odico possamos definir uma medida
µx(A) = lim n→∞
1
n]{0 ≤ j ≤ n − 1; T
jx ∈ A} ,
para qualquer boreleano A, pois sempre podemos encontrar um boreleano para o qual esse limite n˜ao existe.
Mesmo que para todo x exista A tal que as m´edias de Birkhoff de χA n˜ao convirjam,
ainda assim podemos esperar que exista x tal que as m´edias de Birkhoff de qualquer fun¸c˜ao cont´ınua convirja.
Defina Σ0 = {x ∈ X; ∃ lim n→∞ 1 n n−1 X i=0 f (Tix), ∀f ∈ C0(X)} .
Para cada x ∈ Σ0 o funcional Lx : C0(X) → R dado por
Lx(f ) = lim n→∞ 1 n n−1 X i=0 f (Tix) ´
e linear, positivo e L(1) = 1, de forma que existe uma probabilidade µx tal que
Z
f dµx = Lx(f ) .
Em seguida, defina
Σ1 = {x ∈ Σ0; µx ´e invariante} .
Se T for cont´ınua ent˜ao Σ0 = Σ1, pois para toda f cont´ınua vale
Z
f ◦ T dµx = Lx(f ◦ T ) = Lx(f ) =
Z
f dµx.
Se T n˜ao for cont´ınua isso n˜ao ´e necessariamente verdade (EXERC´ICIO). Depois defina
e
Σ = {x ∈ Σ2; x ∈ supp(µx)} .
A igualdade desses dois ´ultimos conjuntos est´a longe de ser prov´avel. Tome um difeo- morfismo do intervalo [0, 1] tal que seus extremos sejam pontos fixos e todas as ´orbitas convirjam para o extremo direito. Para todo x exceto o extremo esquerdo µx = δ1, que
´
e uma medida erg´odica, e para x = 0 vale µx = δ0, outra medida erg´odica,portanto
Σ2 = [0, 1], mas Σ = {0, 1}.
Pode-se mostrar que todos os conjuntos definidos acima s˜ao boreleanos. Agora preci- samos de um conceito para dizer que eles n˜ao s˜ao conjuntos “pequenos”.
Diremos que A ⊂ X tem probabilidade total se µ(Ac) = 0 para toda probabilidade invariante µ. Pode-se mostrar (ver [Ma˜n´e]) que Σ tem probabilidade total, desde que MT(X) seja n˜ao-vazio (o que ´e sempre o caso quanto T ´e cont´ınua).
O seguinte Teorema mostra que uma medida invariante pode ser decomposta em medidas erg´odicas, `a la Fubini. Ver a prova em [Ma˜n´e].
Teorema 4.21. Seja f ∈ L1(µ). Ent˜ao f ´e µ
x-integr´avel para µ-q.t.p. x ∈ Σ e
Z f dµ = Z Z f dµx dµ . Por exemplo, se f = χA, ent˜ao
µ(A) = Z
µx(A)dµ .
Um Corol´ario ´e que se µ(Ac) = 0 para toda medida erg´odica ent˜ao A tem probabilidade
Cap´ıtulo 5
Mixing
5.1
Defini¸c˜oes
Defini¸c˜ao 5.1. Seja (X, B, µ, T ) sistema que preserva medida. Dizemos que T ´e fraca- mente mixing se para quaisquer A, B ∈ B vale
lim n→∞ 1 n n−1 X i=0 |µ(T−iA ∩ B) − µ(A)µ(B)| = 0 .
Dizemos que T ´e fortemente mixing se lim
n→∞µ(T −n
A ∩ B) = µ(A)µ(B) . ´
E imediato que toda transforma¸c˜ao fortemente mixing tamb´em ´e fracamente mixing, e que toda transforma¸c˜ao fracamente mixing ´e erg´odica, pois se {an} ´e uma seq¨uˆencia
de n´umeros reais ent˜ao lim an = 0 implica limn1 Pn−1i=0 |ai| = 0, que por sua vez implica
limn1 Pn−1
i=0 ai = 0. H´a exemplos mostrando que as implica¸c˜oes s˜ao pr´oprias, isto ´e, n˜ao
valem as rec´ıprocas.
Usando-se o Teorema de Aproxima¸c˜ao, pode-se mostrar que as condi¸c˜oes de ergo- dicidade, mixing fraco e mixing forte, estabelecidas na forma de limites, podem ser testadas nos elementos de uma semi-´algebra que gera a σ-´algebra. (VER Walters, ou EXERC´ICIO)
Propriedades de seq¨uˆencias de n´umeros reais servem para formular condi¸c˜oes equiva- lentes ao mixing fraco, propiciando uma defini¸c˜ao mais intuitiva e outra eventualmente ´
util.
Lema 5.2. Se {an} ´e uma seq¨uˆencia limitada de n´umeros reais ent˜ao s˜ao equivalentes:
1. limn→∞ n1
Pn−1
i=0 |ai| = 0;
2. Existe um subconjunto J ⊂ N de densidade zero tal que limn→∞an = 0 se n 6∈ J .
3. limn→∞ n1Pn−1i=0 |ai|2 = 0.
Demonstra¸c˜ao. Seja M tal que |an| ≤ M para todo n. Que (1) implica (3) ´e evidente,
pois |an|2 ≤ M |an|. Por outro lado, admitindo que j´a sabemos provar que (1) vale se e
somente se vale (2), podemos aplicar o mesmo racioc´ınio `a seq¨uˆencia {an}2, mostrando
que existe um conjunto J de densidade zero tal que a2nvai a zero fora de J , e isso implicar´a que an vai a zero fora de J , e ent˜ao vale (1).
Para provar que (2) implica (1), fixamos > 0 e escrevemos 1 n n−1 X i=0 |an| = 1 n X 0≤i<j,i6∈J |an| + 1 n X 0≤i<j,i∈J |an| .
O primeiro termo ´e menor do que 2 se n for suficientemente grande, pois fora de J a seq¨uˆencia vai a zero. O segundo termo ´e limitado por
M](J ∩ [0, n))
n ,
que tamb´em pode ser feito menor do que 2 se n for grande, uma vez que J tem densidade zero.
Resta apenas provar que (1) implica (2). Defina J0 = ∅
Jk= {n ≥ 0; |an| ≥
1 k} ,
para todo k ≥ 1. Temos J0 ⊂ J1 ⊂ J2 ⊂ . . . e cada Jk tem densidade zero, sen˜ao seria
contradita a hip´otese de que a soma m´edia vai a zero. Ent˜ao podemos construir seq¨uˆencia 0 = l0 < l1 < l2 < . . ., onde n ≥ lk implica em n1](Jk∩ [0, n)) < 1k, e definir
J =
∞
[
k=0
Jk∩ [lk, lk+1) .
Para ver que an vai a zero com n 6∈ J , seja > 0 e tome k0 tal que k10 < . Seja
n0 = lk0. Para todo n ≥ n0 existe k ≥ k0 tal que lk ≤ n < lk+1. Se al´em disso n 6∈ J
Para ver que J tem densidade zero, basta ver que para todo n existe k tal que n ∈ [lk, lk+1) e ent˜ao J ∩ [0, n) ⊂ Jk∩ [0, n) , implicando que 1 n](J ∩ [0, n)) ≤ 1 n(]Jk∩ [0, n)) < 1 k .
O Lema se aplica facilmente, uma vez que a seq¨uˆencia an = µ(T−nA ∩ B) − µ(A)µ(B)
´
e sempre limitada, em valor absoluto, por 2. Deve-se atentar, no entanto, para o fato de que o conjunto de densidade zero pode depender dos conjuntos A, B ∈ B. Felizmente, se o espa¸co de medida tiver uma boa propriedade (o que acontece na maioria dos casos de interesse), ent˜ao o conjunto de densidade zero pode ser escolhido independentemente de A e B.
Defini¸c˜ao 5.3. O espa¸co de probabilidade (X, B, µ) tem uma base enumer´avel se existe uma cole¸c˜ao enumer´avel {Bk} de membros de B tais que para todo B ∈ B e > 0 existe
algum Bk com µ(B4Bk) < .
Proposi¸c˜ao 5.4. O espa¸co de probabilidade (X, B, µ) tem base enumer´avel se e somente se L2(µ) ´e separ´avel.
Demonstra¸c˜ao. EXERC´ICIO.
No caso de X ser um espa¸co m´etrico com uma base enumer´avel e B ser a σ-´algebra de Borel ent˜ao (X, B, µ) tem uma base enumer´avel para qualquer medida de probabilidade µ. Isto segue diretamente do Teorema 1.22. (EXERC´ICIO)
Lema 5.5. (X, B, µ, T ) preserva medida, com base enumer´avel. Se T ´e fracamente mixing ent˜ao existe um subconjunto J dos naturais de densidade zero tal que para todo A, B ∈ B vale
lim
n6∈Jµ(T −n
A ∩ B) = µ(A)µ(B) . Demonstra¸c˜ao. Seja
an = ∞ X i,j=1 |µ(T−nB i∩ Bj) − µ(Bi)µ(Bj)| 2i+j .
Como T ´e fracamente mixing, segue que lim n→∞ 1 n n−1 X k=0 ak = 0 .
Mas isso implica que existe um conjunto J de densidade zero tal que an vai a zero fora
de J . Logo, fora de J vale
µ(T−nBi∩ Bj) → µ(Bi)µ(Bj)
para qualquer par Bi, Bj. Para lidar com quaisquer conjuntos A e B, basta aproxim´a-los
por Bi e Bj da base enumer´avel e levar em conta que µ(T−nBi4T−nB) = µ(Bi4B).
Mostra-se ent˜ao que para qualquer > 0 existem Bi e Bj tais que µ(Bi4B) < ,
µ(Bj4B) < e µ(Bi)µ(Bj) − 3 ≤ lim n6∈Jµ(T −n A ∩ B) ≤ µ(Bi)µ(Bj) + 3 . E o Lema segue.
Uma rota¸c˜ao irracional do c´ırculo ´e erg´odica, mas n˜ao ´e fracamente mixing. Basta tomar dois intervalos pequenos A e B e verificar que para pelo menos metade dos iterados T−nA ∩ B = ∅, logo existe um conjunto de densidade positiva para o qual µ(T−nA ∩ B) n˜ao converge a µ(A)µ(B).
O Teorema seguinte relaciona as propriedades de ergodicidade e mixing fraco entre T e T × T . Neste caso, T × T ´e tomada no espa¸co X × X, com a σ-´algebra produto, isto ´e, aquela gerada pelos retˆangulos, que s˜ao os produtos cartesianos de elementos da σ-´algebra de X. Esses retˆangulos formam uma semi-´algebra, portanto basta testar neles os limites que definem as propriedades que queremos demonstrar.
O Teorema mostra tamb´em que nenhuma transforma¸c˜ao do tipo T × T pode ser erg´odica sem ser fracamente mixing.
Teorema 5.6. S˜ao equivalentes: 1. T ´e fracamente mixing; 2. T × T ´e erg´odica;
Demonstra¸c˜ao. A prova (3) implica (2) ´e trivial. Iremos mostrar primeiro que (1) implica (3). Tome A1, A2, B1, B2 ∈ B. Pela hip´otese, sabemos que existem subconjuntos J1 e J2
de densidade zero nos naturais tais que lim n6∈J1 µ(T−nA1∩ B1) = µ(A1)µ(B1) e lim n6∈J1 µ(T−nA2∩ B2) = µ(A2)µ(B2) .
Analisemos agora os retˆangulos A1× A2 e B1× B2, e tomemos J = J1∪ J2. Ent˜ao
(µ × µ)((T × T )−n(A1× A2) ∩ (B1× B2)) = µ(T−nA1∩ B1)µ(T−nA2∩ B2) ,
que tende a
µ(A1)µ(B1)µ(A2)µ(B2) = (µ × µ)(A1× A2) · (µ × µ)(B1× B2)
fora de J .
Agora mostremos que (2) implica (1). Faremos isso mostrando que para qualquer A, B ∈ B vale 1nPn
i=0(µ(T
−iA ∩ B) − µ(A)µ(B))2 = 0. Como
(µ(T−iA ∩ B) − µ(A)µ(B))2 = µ(T−iA ∩ B)2− 2µ(A)µ(B)µ(T−iA ∩ B) + µ(A)2µ(B)2 , basta mostrar que n1 Pn
i=0µ(T
−iA ∩ B) = µ(A)µ(B) (isto ´e, a ergodicidade de T ) e
tamb´em que n1 Pn
i=0µ(T
−iA ∩ B)2 = µ(A)2µ(B)2, e para isso faz-se uso esperto da er-
godicidade de T × T . Para o primeiro limite, aplicamos a ergodicidade em A × X e B × X: 1 n n−1 X i=0 µ(T−iA ∩ B) = 1 n n−1 X i=0 (µ × µ) (T × T )−i(A × X) ∩ (B × X) → (µ × µ)(A × X) · (µ × µ)(B × X) = µ(A)µ(B) . O segundo limite ´e an´alogo, bastando ver que
µ(T−iA ∩ B)2 = (µ × µ) T × T )−i(A × A) ∩ (B × B)
e que (µ × µ)(A × A) = µ(A)2.
Os argumentos da demonstra¸c˜ao mostram tamb´em que T ´e fortemente mixing se e somente se T × T ´e fortemente mixing.