Toda estrutura deve ter alguma no¸c˜ao de equivalˆencia que permita dizer se dois espa¸cos, segundo essa estrutura, s˜ao semelhantes. A equivalˆencia deveria permitir estender as con- clus˜oes acerca de um espa¸co para o outro, desde que elas dependam apenas da estrutura em quest˜ao.
Defini¸c˜ao 2.18. Os espa¸cos de medida (X1, B1, µ1) e (X2, B2, µ2) s˜ao isom´orficos se
existe M1 ∈ B1 e M2 ∈ B2 com µ1(M1) = 1 = µ2(M2) e uma transforma¸c˜ao φ : M1 → M2
que preserva medida.
Observa¸c˜ao Assume-se na defini¸c˜ao que Mi ´e equipado com a σ-´algebra Mi ∩ Bi =
{Mi∩ B; B ∈ Bi} e a medida µi|Mi∩ Bi.
No caso em que os espa¸cos est˜ao equipados com uma transforma¸c˜ao, ´e preciso uma no¸c˜ao de equivalˆencia das dinˆamicas sob o ponto de vista das medidas.
Defini¸c˜ao 2.19. Sejam (X1, B1, µ1) e (X2, B2, µ2) espa¸cos de medida, e as transforma¸c˜oes
T1 : X1 → X1 e T2 : X2 → X2 que preservam as respectivas medidas. Dizemos que T1 ´e
isom´orfica a T2 se existem M1 ∈ B1 e M2 ∈ B2 com µ1(M1) = 1 = µ2(M2) e tais que
1. T1M1 ⊂ M1, T2M2 ⊂ M2
2. Existe transforma¸c˜ao φ : M1 → M2 invert´ıvel que preserva medida tal que
φT1(x) = T2φ(x) ,
para todo x ∈ M1.
Algumas observa¸c˜oes se fazem pertinentes. Em primeiro lugar, o isomorfismo ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Al´em disso, se T1 e T2 s˜ao isom´orficas ent˜ao o mesmo ´e v´alido
para Tn
1 e T2n, para todo n > 0, pois
T2n= (φ ◦ T1◦ φ−1)n= φ ◦ T1n◦ φ −1
.
Finalmente, se φ ´e simplesmente um isomorfismo entre espa¸cos de medida, ent˜ao as transforma¸c˜oes identidade nos respectivos espa¸cos s˜ao isom´orficas.
Na hip´otese de T1 e T2 serem invert´ıveis, ´e poss´ıvel tomar M1 e M2 totalmente inva-
riantes, isto ´e, T1M1 = M1 e T2M2 = M2. Pois suponhamos que TiMi ⊂ Mi e definamos
˜ Mi = ∞ \ k=−∞ TikMi .
O conjunto ˜Mi tem medida total e ´e totalmente invariante.
De tudo isso podemos ainda tirar duas defini¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 2.20. T1 = T2 mod 0 se T1 ´e isom´orfica a T2 com φ = Id.
Defini¸c˜ao 2.21. T ´e invert´ıvel mod 0 se T ´e isom´orfica a uma fun¸c˜ao realmente in- vert´ıvel.
N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que T ´e invert´ıvel mod 0 se e somente se existe um conjunto N de medida nula tal que T (X \ N ) = X \ N e T |X\N ´e invert´ıvel (EXERC´ICIO).
Nossa ´ultima defini¸c˜ao relaxa a condi¸c˜ao de invertibilidade de φ.
Defini¸c˜ao 2.22. Sejam (Xi, Bi, µi) espa¸cos de probabilidade e Ti : Xi → Xi trans-
forma¸c˜oes que preservam medida, i = 1, 2. Dizemos que T2 ´e um fator de T1 se existem
Mi ∈ Bi com µi(Mi) = 1 e TiMi ⊂ Mi, i = 1, 2, e existe uma transforma¸c˜ao que preserva
Exemplo de isomorfismo Sejam X = [0, 1], B a σ-´algebra de Borel, µ a medida de Lebesgue e T (x) = 2x mod 1. Seja (Σ+2, C, ν, σ) o shift (12,12) unilateral. Seja
φ : Σ+2 −→ [0, 1] dada por φ(x0, x1, x2, x3, . . .) = x0 2 + x1 22 + x2 23 + . . . .
A fun¸c˜ao est´a bem definida e satisfaz T φ = φσ.
A inversa φ−1(x) seria a expans˜ao bin´aria do ponto x, mas n˜ao est´a bem definida para todo x. Por exemplo, φ(1, 0, 0, 0, . . .) = φ(0, 1, 1, 1, 1, . . .) = 12. De fato, para toda seq¨uˆencia fatalmente (eventually, em inglˆes) constante existe outra tamb´em fatalmente constante que tem a mesma imagem por φ (exceto as duas seq¨uˆencias constantes). Ent˜ao definimos M1 em Σ+2 como o conjunto de seq¨uˆencias que n˜ao s˜ao fatalmente constantes,
e nesse conjunto φ ´e injetiva (EXERC´ICIO). Al´em do mais, σ−1M1 = M1, por raz˜oes
´
obvias, e M1 tem medida total (as seq¨uˆencias fatalmente constantes formam um conjunto
enumer´avel, e a medida ν ´e nula em pontos).
Em seguida, definindo M2 = φ(M1), ´e f´acil ver que T−1M2 = M2e que o complementar
de M2 tem medida zero.
Falta s´o ver que φ|M1 preserva medida, mas basta ver que φ ela mesma preserva
medida. Pelo Teorema 2.1, basta mostrar numa semi-´algebra de [0, 1) que gere a σ- ´
algebra dos boreleanos. Ela poderia ser a semi-´algebra dos intervalos da forma [a, b), mas h´a outra semi-´algebra menor que ´e mais simples de se manipular. Tome a semi-´algebra dos intervalos da forma Ii,n = [2in,
i+1
2n ), onde 0 ≤ i ≤ 2n, juntando o conjunto vazio, o
intervalo inteiro e o conjunto {1}. ´E f´acil mostrar (EXERC´ICIO) que a σ-´algebra gerada por esta semi-´algebra cont´em a semi-´algebra dos intervalos semi-abertos, portanto elas coincidem. Al´em disso, µ(Ii,n) = 21n e φ
−1(I
i,n) ´e um cilindro de ordem n − 1 mais um
ponto de outro cilindro que tem imagem igual a 2in. A medida ν desse cilindro tamb´em
´
e igual a 21n.
Observe que φ tamb´em ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, considerando-se as topologias usuais dos dois espa¸cos, e portanto tamb´em serve como equivalˆencia topol´ogica.
Outra observa¸c˜ao importante, que talvez tenha ficado “disfar¸cada” na maneira como argumentamos. Trata-se da maneira de determinar a imagem inversa, por φ, de um ponto x. A descri¸c˜ao acima recomenda achar a expans˜ao bin´aria desse ponto. Uma maneira alternativa de se pensar, e completamente equivalente, ´e a seguinte. Associa-se o s´ımbolo 0 ao intervalo (0,1
2) e o s´ımbolo 1 ao intervalo ( 1
2, 1). Se x 6∈ M2, ent˜ao para algum n
teremos Tnx igual a 0 ou 1
2. Caso contr´ario, associamos o s´ımbolo xk de acordo com o
Este exemplo revela uma das t´ecnicas mais comuns em Sistemas Dinˆamicos, conhecida como dinˆamica simb´olica. Consiste em dividir o espa¸co em regi˜oes, associando a cada regi˜ao um s´ımbolo, e estabelecer uma equivalˆencia com algum shift de Bernouilli ou de Markov. (GRANDE EXERC´ICIO: estabelecer isomorfismo entre a dinˆamica do automorfismo A = 2 1
1 1
de T2 e um shift de Markov)
Difeomorfismos do c´ırculo O Teorema de Denjoy ´e um resultado famoso em sistemas dinˆamicos que diz: se T ´e um difeomorfismo de S1, de classe C2, sem pontos peri´odicos,
ent˜ao T ´e topologicamente conjugado a uma rota¸c˜ao irracional Tα. Aqui a equivalˆencia
se estabelece por um homeomorfismo φ : S1 → S1 tal que φT = T
αφ. Como a medida
de Lebesgue ´e invariante para Tα, sabemos imediatamente que existe uma medida µ
invariante por T , dada por
µ(A) = λ(φ(A)) ,
para todo boreleano A, onde λ denota a medida de Lebesgue. Para testar a invariˆancia, escrevemos
µ(T−1A) = λ(φ(T−1A)) = λ(φ(φ−1Tα−1φ(A))) = λ(Tα−1φ(A)) = λ(φ(A)) = µ(A) .
Aplica¸c˜oes tenda e quadr´atica H´a tamb´em uma rela¸c˜ao entre a aplica¸c˜ao T : z 7→ z2 no c´ırculo e as aplica¸c˜oes tenda e quadr´atica citadas nos exemplos. Dessa rela¸c˜ao mostraremos como foi obtida a densidade da medida invariante absolutamente cont´ınua da aplica¸c˜ao quadr´atica.
Em primeiro lugar, observamos que a aplica¸c˜ao quadr´atica P : [0, 1] → [0, 1] dada por P (x) = 4x(1 − x) ´e conjugada por uma fun¸c˜ao afim `a aplica¸c˜ao quadr´atica Q : [−1, 1] → [−1, 1] dada por Q(x) = 2x2 − 1. Tome φ como a ´unica fun¸c˜ao afim que leva [0, 1] em [−1, 1] (EXERC´ICIO: confira!). Ent˜ao para todos os efeitos (neste par´agrafo) falaremos de Q como “a” aplica¸c˜ao quadr´atica.
Agora considere ψ : S1 → [−1, 1] dada por ψ(eiθ) = cos θ, isto ´e, ψ ´e a proje¸c˜ao do
c´ırculo sobre o intervalo [−1, 1], que ´e claramente n˜ao-invert´ıvel. Temos, por um lado, ψT (eiθ) = cos 2θ e, por outro, Qψ(eiθ) = 2 cos2θ − 1 = cos 2θ. Ent˜ao Q ´e um fator de T .
Em segundo lugar, considere o homeomorfismo η : [0, 1] → [−1, 1] definido por η(x) = cos(πx), que pode ser entendido como a composi¸c˜ao da aplica¸c˜ao que leva x em eiπx,
mapeando o intervalo [0, 1] no semi-c´ırculo (fechado) superior, com a proje¸c˜ao do c´ırculo em [−1, 1]. Vejamos no que resulta a transforma¸c˜ao η−1◦ Q ◦ η. Para 0 ≤ x ≤ 1
2 temos
J´a para 12 < x ≤ 1 temos tamb´em
η−1◦ Q ◦ η(x) = η−1(cos(2πx)) ,
mas 2πx ´e um ˆangulo maior do que π. No entanto, como cos(2π − 2πx) = cos(2πx) e 2π − 2πx ´e ˆangulo entre 0 e π, segue que
η−1◦ Q ◦ η(x) = 2 − 2x . Portanto η−1◦ Q ◦ η ´e a aplica¸c˜ao tenda!
Como a aplica¸c˜ao tenda tem a medida de Lebesgue como medida invariante, fica f´acil construir uma medida invariante para Q (e para P ) usando a conjuga¸c˜ao topol´ogica (EXERC´ICIO).