Em primeiro lugar, reuniremos uma s´erie de observa¸c˜oes e defini¸c˜oes a respeito do ope- rador UT. Aqui olharemos para L2(µ) como um espa¸co de Hilbert complexo.
Obs 1 J´a vimos que UT : L2(µ) → L2(µ) ´e uma isometria, e da´ı decorre que UT ´e um
operador injetivo. No caso em que T ´e invert´ıvel tamb´em UT ´e invert´ıvel, pois se f ◦T = g
ent˜ao f = g ◦ T−1. Portanto no caso de T ser invert´ıvel o operador UT ´e um isomorfismo
de L2(µ) (isto ´e, ´e um operador unit´ario de L2(µ)).
Defini¸c˜ao 5.14. Diremos que λ ´e autovalor de T se λ ´e autovalor da isometria UT.
Explicitamente, isso significa que existe f ∈ L2(µ) n˜ao-nula tal que f (T x) = λf (x) para µ-q.t.p x ∈ X.
Obs 2 Toda fun¸c˜ao constante ´e invariante por UT, portanto λ = 1 sempre ´e autovalor
de T .
Obs 3 Se λ ´e um autovalor de T ent˜ao |λ| = 1, pois kf k2 = kU
Tf k2 = kλf k2 = |λ|2kf k2 .
Obs 4 Se T ´e erg´odica ent˜ao as ´unicas autofun¸c˜oes do autovalor 1 s˜ao as constantes.
Obs 5 Se UTf = λf ent˜ao |f | ´e constante, pois
|f | ◦ T = |f ◦ T | = |UTf | = |λf | = |f | .
Portanto, se T for erg´odica ent˜ao as autofun¸c˜oes ter˜ao valor absoluto constante q.t.p.
Obs 6 Autofun¸c˜oes correspondentes a diferentes autovalores s˜ao ortogonais entre si. Pois se UTf = λf e UTg = σg, com λ 6= σ e f, g n˜ao-nulas ent˜ao
hf, gi = hUTf, UTgi = hλf, σgi = λσhf, gi ,
Obs 7 Se T ´e erg´odica e f, g s˜ao autofun¸c˜oes associadas ao mesmo autovalor ent˜ao f = cg para µ-q.t.p. x. Como |g| deve ser constante ent˜ao g(x) 6= 0 µ-q.t.p., logo a fun¸c˜ao fg est´a bem definida µ-q.t.p. Por´em
f g ◦ T = f ◦ T g ◦ T = λf λg = f g , e da ergodicidade fg deve ser constante.
Obs 8 Se T ´e erg´odica ent˜ao os autovalores de T formam um subgrupo de S1. Pois se λ ´e autovalor, existe f tal que f ◦ T = λf , logo
f ◦ T = f ◦ T = λf = λ f ,
logo λ = λ−1 ´e autovalor. Da mesma forma, se f ◦ T = λf e g ◦ T = σg ent˜ao (f g) ◦ T = λσ(f g), e f g ´e n˜ao-nula porque |f | e |g| s˜ao constantes diferentes de zero.
Defini¸c˜ao 5.15. Diz-se que T tem espectro cont´ınuo se 1 ´e o ´unico autovalor e as ´
unicas autofun¸c˜oes s˜ao as constantes.
Obs 9 T ´e erg´odica e 1 ´e o ´unico autovalor se e somente se T tem espectro cont´ınuo. Teorema 5.16. T fracamente mixing implica que T tem espectro cont´ınuo.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que UTf = λf , com f 6= 0 e λ 6= 1. Pela Obs 6 f ´e ortogonal
`
as constantes: hf, 1i = 0. Logo, pela hip´otese, lim n→∞ 1 n n−1 X i=0 hUi Tf, f i = 0 . Mas hUi Tf, f i = hλif, f i = |hf, f i| , logo hf, f i = 0 e f = 0 q.t.p.
Obs 10 De fato, ´e poss´ıvel mostrar que a rec´ıproca ´e verdadeira, no caso de T ser invert´ıvel [Walters, usando um Teorema de Halmos].
Duas situa¸c˜oes especiais s˜ao dignas de men¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 5.17. Se T ´e erg´odica dizemos que tem espectro discreto se existe uma base ortonormal de L2(µ) formada apenas por autofun¸c˜oes de T .
Obs 11 Se T tem espectro discreto ent˜ao n˜ao pode ser fracamente mixing.
Se T tem espectro discreto existe uma base mantida fixa por UT. A pr´oxima defini¸c˜ao
´
e completamente diferente: existe uma base em que seus elementos s˜ao trocados por UT.
Defini¸c˜ao 5.18. Uma transforma¸c˜ao invert´ıvel T tem espectro de Lebesgue enu- mer´avel se existe uma seq¨uˆencia {fj}∞j=0 com f0 ≡ 1 tal que {f0} ∪ {UTnfj; j ≥ 1, n ∈ Z}
´
e uma base ortonormal.
Na verdade essa defini¸c˜ao ´e um caso particular de uma mais geral, que vale para transforma¸c˜oes mensur´aveis quaisquer.
Defini¸c˜ao 5.19. Uma transforma¸c˜ao mensur´avel T de um espa¸co de probabilidade (X, B, µ) ´
e dita de Lebesgue se existe um subespa¸co fechado E ⊂ L2(µ) tal que
1. UT(E) ⊂ E, 2. S n≥0U −n T (E) = L2(µ), 3. T n≥0UTn(E) = 1,
onde 1 indica o subespa¸co das fun¸c˜oes constantes.
Observe que como UT ´e isometria ent˜ao UT(E) ´e tamb´em um subespa¸co fechado, pois
a uma seq¨uˆencia de Cauchy em UT(E) corresponde uma em E, que ´e fechado. Ent˜ao, se
E0 = E ∩ (UT(E))⊥ ent˜ao
E = E0⊕ UT(E) .
Al´em disso, para qualquer g ∈ UT(E) existe f ∈ E tal que UTf = g. Mas f = f1 + f2,
com f1 ∈ E0 e f2 ∈ UT(E), logo g = g1+ g2, com g1 ∈ UT(E0) e g2 ∈ UT2(E), al´em do que
g1 e g2 s˜ao ortogonais entre si porque UT ´e isometria. Ent˜ao UT(E) = UT(E0) ⊕ UT2(E)
Da mesma forma, por indu¸c˜ao,
E = N M n=0 UTn(E0) ! ⊕ UTN +1(E) .
Usando-se a terceira propriedade de E e teoria elementar de espa¸cos de Hilbert, obt´em- se que E = 1 ⊕ ∞ M n=0 UTn(E0) ! ,
Assim, se T ´e de Lebesgue temos L2(µ) = ∞ [ m=0 UT−m(E) = 1 ⊕ ∞ M n=−∞ UTn(E0) ! .
Se T tem espectro de Lebesgue enumer´avel ent˜ao podemos tomar E0 o menor subespa¸co
fechado que cont´em (de acordo com a defini¸c˜ao acima) as fun¸c˜oes fj, j ≥ 1 e definir
E = 1 ⊕ Ln≥0U n
T(E0). Assim, mostramos que se T ´e invert´ıvel e tem espectro de
Lebesgue enumer´avel ent˜ao T ´e transforma¸c˜ao de Lebesgue.
Teorema 5.20. Se T ´e transforma¸c˜ao de Lebesgue ent˜ao ´e fortemente mixing.
Demonstra¸c˜ao. Seja E o subespa¸co como na defini¸c˜ao de transforma¸c˜ao de Lebesgue e defina E0 como acima. Queremos mostrar que para qualquer par de fun¸c˜oes f , g em
L2(µ) vale hUTnf, gi → hf, 1ih1, gi. Mas f e g podem ser escritos como
f = a + ∞ X m=0 amφm , g = b + ∞ X m=0 bmψm ,
onde φm, ψm ∈ UTm(E0) ePm∈Z|am|2,Pm∈Z|bm|2 < +∞. Ent˜ao s´o ´e preciso demonstrar
o convergˆencia quando f e g s˜ao ou a fun¸c˜ao constante igual a 1 ou uma fun¸c˜ao de algum UTm(E0), m ∈ Z.
Se f ∈ UTm(E0) e g ∈ UTl(E0) ent˜ao existe n0 tal que para n ≥ n0 o produto interno
hUn
Tf, gi vale zero. Por outro lado, hf, 1i e h1, gi s˜ao ambos nulos, e o limite vale.
Se apenas uma das fun¸c˜oes ´e igual a 1 o mesmo racioc´ınio vale: os dois lados s˜ao iguais a zero. Se ambas s˜ao a fun¸c˜ao 1 ent˜ao os dois lados s˜ao iguais a 1.
Seja T a transforma¸c˜ao [x] 7→ [Ax] de Td, com A invert´ıvel. Vimos que a base {φk; k ∈ Zd} dada por
φk(x) = e2πihk,xi
tem a propriedade de que
φ(AT)nk= φk◦ Tn= UTnφk ,
para n ≥ 0.
Se A n˜ao tem autovalor que seja raiz da unidade ent˜ao as ´orbitas {(AT)nk; n ∈ Z},
k 6= 0, s˜ao formadas por um n´umero infinito de pontos. Portanto podemos escolher um elemento fj, j ≥ 1, de cada ´orbita, e f0 = 1, e tomar E como o subespa¸co gerado pelas
fun¸c˜oes Un
Tfj, j ≥ 0, n ≥ 0. Esse subespa¸co ter´a as propriedades requeridas para que
T seja uma transforma¸c˜ao de Lebesgue, e do Teorema acima conclu´ımos que T deve ser mixing.
No caso do shift de Bernoulli bilateral podemos construir seu espectro de Lebesgue enumer´avel, quase explicitamente. Olhemos para o shift de dois s´ımbolos, 0 e 1, para facilitar, com vetor de probabilidade (12,12). Considerando o espa¸co {0, 1} com proba- bilidades iguais para cada elemento, o espa¸co L2 ´e isom´orfico a C2. Uma base para L2
pode ser formada com a fun¸c˜ao identicamente igual a 1 e a fun¸c˜ao t 7→ eiπt. J´a para X = {0, 1}Z, temos a base
{gn1,...,nr ; r ≥ 1, n1 < n2 < . . . < nr} ∪ {1} ,
onde
gn1,...,nr(x) = e
iπ(xn1+xn2+...+xnr).
Assim, UTgn1,...,nr = g1+n1,...,1+nr. A´ı basta pegar um elemento de cada ´orbita e enumerar
Cap´ıtulo 6
Entropia
Conduziremos a narrativa rapidamente para o conceito de entropia de uma transforma¸c˜ao que preserva medida. Depois precisaremos mostrar que ela est´a bem definida (pois ´e pre- ciso mostrar a existˆencia de um limite), e dessa forma apresentaremos outras propriedades envolvendo as defini¸c˜oes dadas anteriormentes.
6.1
Entropia de uma parti¸c˜ao: defini¸c˜ao
Seja (X, B, µ) espa¸co de probabilidade. Uma parti¸c˜ao ξ de X ´e uma cole¸c˜ao de conjuntos mensur´aveis dois a dois disjuntos cuja uni˜ao ´e X. Falaremos em geral de parti¸c˜oes finitas. Observe que se tomarmos todas as uni˜oes poss´ıveis de elementos de uma parti¸c˜ao finita, formaremos uma σ-´algebra contida em B, com um n´umero finito de elementos, isto ´e, uma sub-σ-´algebra finita de B.
Por outro lado, suponha que A = {A1, . . . , Ak} seja uma sub-σ-´algebra finita de B.
Para cada x ∈ X podemos decidir se x ∈ Aj ou x ∈ X \ Aj, e associar um c´odigo
(i1, . . . , ik), onde ij = 0 se x ∈ Aj e ij = 1 caso contr´ario. O ponto x est´a na interse¸c˜ao
dos Aj’s ou seus complementares, dependendo dos ij’s. H´a 2k conjuntos desses, alguns
possivelmente vazios. Eles cobrem X e s˜ao dois a dois disjuntos, formando portanto uma parti¸c˜ao (pode-se excluir o conjunto vazio).
Isso mostra que as defini¸c˜oes podem ser feitas tanto com parti¸c˜oes quanto com sub- σ-´algebras finitas.
Para definir a entropia de uma parti¸c˜ao ξ = {A1, . . . , Ak}, usaremos o conceito de
informa¸c˜ao. Trataremos os conjuntos da parti¸c˜ao como os poss´ıveis resultados de um experimento onde um ponto x ´e escolhido ao acaso, regido pela probabilidade µ. Isso significa que Aj ocorre com probabilidade µ(Aj). Pode-se dizer que o experimento traz
tanto mais informa¸c˜ao sobre x quanto menor for a medida de Aj. Por exemplo, se
Aj = X (neste caso, o ´unico elemento da parti¸c˜ao), a informa¸c˜ao trazida sobre X seria
nula. Deseja-se tamb´em que a informa¸c˜ao dependa apenas da medida de Aj (de que mais
dependeria?), e continuamente.
Outra exigˆencia que se faz ´e que a informa¸c˜ao seja aditiva, mas ´e preciso entender o que isso significa. Na hip´otese de se fazerem dois experimentos, obtendo-se Aj no primeiro
e Al no segundo, a informa¸c˜ao total deve ser a soma das informa¸c˜oes individualmente
trazidas por cada experimento.
Por outro lado, pensando nos dois experimentos como um experimento no espa¸co produto, com a medida produto, a informa¸c˜ao ser´a determinada pela medida de Aj× Al,
que ´e µ(Aj)µ(Al). Ent˜ao, se I(t) ´e a fun¸c˜ao informa¸c˜ao (dependendo da medida t),
teremos
I(µ(Aj)µ(Al)) = I(µ(Aj)) + I(µ(Al)) .
Em outras palavras, I deve satisfazer
I(st) = I(s) + I(t) , com I(1) = 0 e I cont´ınua decrescente.
´
E um exerc´ıcio concluir que I deve ser um logaritmo (em alguma base), multiplicado por −1. Fixaremos o logaritmo natural, denotado por log.
A entropia da parti¸c˜ao, denotada por H(ξ) = Hµ(ξ) ´e a quantidade m´edia de in-
forma¸c˜ao trazida numa seq¨uˆencia de experimentos, ou seja,
H(ξ) = −
k
X
j=1
µ(Aj) log µ(Aj) .
(Observe que nesta f´ormula se permite µ(Ai) = 0, pois considera-se que a fun¸c˜ao x log x
vale zero em x = 0)
Por exemplo, podemos considerar os 36 resultados poss´ıveis de um lan¸camento de dois dados distingu´ıveis, e definir uma parti¸c˜ao ξ = {A2, A3, . . . , A12}, onde Aj representa o
conjunto dos resultados que somam j. Assim, µ(A7) = 366, µ(A6) = µ(A8) = 365, . . .,
µ(A2) = µ(A12) = 361. A entropia resulta em 2.33 . . . (segundo meus c´alculos...).