Dizemos que uma transforma¸c˜ao cont´ınua T : X → X de um espa¸co m´etrico compacto X ´e unicamente erg´odica se MT(X) consistir de um ´unico elemento.
Essa ´unica medida de probabilidade invariante ´e erg´odica, pois ´e ponto extremal de MT(X).
A ergodicidade ´unica est´a relacionada com o conceito topol´ogico de minimalidade, que passamos a descrever. Apenas restringiremos um pouco nossa hip´otese, pedindo que T seja um homeomorfismo.
Um homeomorfismo T : X → X ´e minimal se para todo x ∈ X a ´orbita {Tnx; n ∈ Z}
de x, denotada por O(x), ´e densa em X.
Um conjunto minimal de T ´e um conjunto fechado E com T E = E e T |E minimal.
Do Lema de Zorn segue que todo homeomorfismo tem um conjunto minimal. O pr´oximo Teorema d´a maneiras alternativas de se formular a minimalidade.
Teorema 4.16. Se T : X → X ´e um homeomorfismo de um espa¸co m´etrico compacto, ent˜ao s˜ao equivalentes:
1. T ´e minimal.
2. E ⊂ X fechado, T E = E implica E = ∅ ou E = X. 3. Se U ´e aberto n˜ao-vazio ent˜ao S∞
n=−∞T
Demonstra¸c˜ao.
(1) implica (2): Suponha que T ´e minimal e que E ´e um conjunto fechado, n˜ao-vazio satisfazendo T E = E. Se x ∈ E ent˜ao O(x) ⊂ E, ao mesmo tempo em que O(x) ´e densa em X. Logo E ´e denso em X, mas por ser fechado, E = X.
(2) implica (3): Seja U aberto de X n˜ao-vazio. Ent˜ao S∞
n=−∞T
nU ´e aberto e E =
X \S∞
n=−∞T
nU ´e fechado, estritamente contido em X e T E = E, logo pela hip´otese
E = ∅.
(3) implica (1): Seja x ∈ X. Mostraremos que para todo y ∈ X e > 0 existe n ∈ Z tal que Tnx ∈ B
(y). Pela hip´otese, ∞
[
n=−∞
TnB(y) = X
ent˜ao em particular existe n tal que x ∈ T−nB(y), isto ´e, Tnx ∈ B(y).
Obs. Evidentemente se X ´e infinito e minimal ent˜ao n˜ao pode conter pontos peri´odicos. Obs. Se T : X → X ´e um homeomorfismo com pelo menos uma ´orbita densa (em particular se ´e minimal) e f ∈ C0(X) ent˜ao f ◦ T = f implica que f ´e constante.
Teorema 4.17. Seja T homeomorfismo de um espa¸co m´etrico compacto X. Suponha que T seja unicamente erg´odico e µ seja sua ´unica probabilidade invariante. Ent˜ao T ´e minimal se e somente se µ(U ) > 0 para todo aberto n˜ao-vazio U .
Demonstra¸c˜ao. Se T ´e minimal ent˜ao para todo aberto n˜ao-vazio U vale S∞
n=−∞T nU =
X, logo U n˜ao pode ter medida nula.
Por outro lado, suponha que µ(U ) > 0 para qualquer aberto n˜ao-vazio U . Se T n˜ao fosse minimal, existiria U tal que
E = X \ ∞ [ n=−∞ TnU ´
e n˜ao-vazio, fechado e T E = E. Ter´ıamos ent˜ao T |E como transforma¸c˜ao cont´ınua de
um espa¸co compacto, de onde garantimos a existˆencia de uma medida ˜µ de (E, B(E)) invariante por T |E. Podemos ent˜ao definir ˆµ de (X, B(X)) por ˆµ(B) = ˜µ(B ∩ E), ∀B ∈
B(X). Mas ˆµ tem a propriedade de ser invariante por T e ˆµ(X \ E) = 0, logo ˆµ(U ) = 0. Ent˜ao ˆµ n˜ao pode ser a medida µ, de onde chegar´ıamos `a contradi¸c˜ao com a ergodicidade ´
Um homeomorfismo do c´ırculo que tenha um ponto fixo e tal que toda ´orbita convirja a esse ponto fixo, no passado e no futuro, n˜ao ´e minimal, e no entanto sua ´unica medida ´
e a medida de Dirac com suporte no ponto fixo.
Proposi¸c˜ao 4.18. Uma rota¸c˜ao irracional do c´ırculo ´e minimal e unicamente erg´odica. Demonstra¸c˜ao. Que toda ´orbita ´e densa sob uma rota¸c˜ao irracional ´e um exerc´ıcio, logo a primeira conclus˜ao ´e imediata. Seja µ medida invariante pela rota¸c˜ao Rα. Iremos provar
que µ ´e invariante por qualquer rota¸c˜ao Rβ, o que implicar´a que µ ´e a ´unica medida de
Haar, que no caso do c´ırculo ´e a medida de Lebesgue.
Para isso bastar´a mostrar que R f dµ = R f ◦ Rβdµ, para toda f ∈ C0(S1).
Seja > 0 arbitr´ario. Como f ´e cont´ınua e S1 ´e compacto, ent˜ao existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ implica |f (x) − f (y)| < . Tome {nj} tal que αnj → β quando j → ∞ e seja
j0 tal que j ≥ j0 implique d(αnj, β) < δ.
Para esses nj’s, d(R nj α (x), Rβ(x)) = d(αnj, β) < δ. Ent˜ao Z f ◦ Rnj α dµ − Z f ◦ Rβdµ < . Como R f ◦ Rnαdµ = R f dµ, segue Z f dµ − Z f ◦ Rβdµ < . Sendo arbitr´ario, vale a igualdade.
A Proposi¸c˜ao acima pode ser demonstrada para grupos m´etricos compactos: uma transla¸c˜ao densa ´e unicamente erg´odica.
Sobre homeomorfismos do c´ırculo sem pontos peri´odicos temos o seguinte Teorema. Teorema 4.19. Se T ´e um homeomorfismo do c´ırculo sem pontos peri´odicos ent˜ao ´e unicamente erg´odico. Al´em disso, existe uma transforma¸c˜ao φ : S1 → S1 cont´ınua, so-
brejetora e localmente mon´otona e uma rota¸c˜ao irracional Rα tais que φT = Rαφ (isto ´e,
T ´e semi-conjugado a uma rota¸c˜ao irracional). Se T ´e minimal ent˜ao φ ´e homeomorfismo (neste caso, T ´e conjugado a uma rota¸c˜ao irracional).
Demonstra¸c˜ao. O primeiro fato a observar ´e que se T n˜ao tem pontos peri´odicos ent˜ao n˜ao pode existir µ ∈ MT(X) e z ∈ S1 tais que µ({z}) > 0 (diz-se que µ “n˜ao tem
´
atomos”).
Dada µ ∈ MT(X) (certamente existe pelo menos uma), definiremos φ = φµ por
(a medida dos intervalos ´e contada no sentido anti-hor´ario). A fun¸c˜ao φ ´e (localmente) mon´otona, ´e cont´ınua porque µ n˜ao tem ´atomos e ´e sobrejetiva porque µ ´e medida de probabilidade. ´E evidente tamb´em que a pr´e-imagem de qualquer ponto por φ ou ´
e um ponto ou ´e um intervalo fechado (e se sempre for um ponto ent˜ao φ ser´a um homeomorfismo).
Antes de verificar a semi-conjuga¸c˜ao, vale observar que, se z1, z2, z3 s˜ao pontos quais-
quer de S1, em qualquer ordem, ent˜ao
µ([z1, z2]) + µ([z2, z3]) = µ([z1, z3]) mod 1 ,
portanto
φT (z) = exp {2πi [µ([1, T (1)]) + µ([T (1), T z])]} .
Logo, por µ ser invariante, φT (z) = Rαφ(z), se α for definido por α = µ([1, T (1)]).
Queremos mostrar que α tem que ser irracional. ´E f´acil mostrar que Rn
αφ(z) = φTn(z).
Se α fosse racional, haveria n ≥ 1 tal que Rn
αφ(z) = φ(z) para todo z ∈ S1, isto ´e, para
todo z valeria φ(Tnz) = φ(z). Da´ı sairia que
µ([1, Tnz]) = µ([1, z]) , ∀z .
Como µ([1, z]) + µ([z, Tnz]) = µ([1, Tnz]) mod 1, ent˜ao
µ([z, Tnz]) = 0 mod 1 .
Lembremos que T n˜ao tem pontos peri´odicos, logo z 6= Tnz, para todo z. Mais ainda, a fun¸c˜ao z 7→ d(z, Tnz) ´e cont´ınua, portanto existe δ > 0 tal que d(z, Tnz) > δ. Isso
implicaria que todo z ´e extremo de um intervalo de tamanho pelo menos δ com medida zero (o intervalo evolui de z no sentido anti-hor´ario). Isso obrigaria a que a medida de S1 fosse nula, o que seria uma contradi¸c˜ao.
Antes de mostrar a ergodicidade ´unica de T , observemos que se φ ´e semi-conjuga¸c˜ao entre T e Rα e µ ∈ MT(X) (sem que necessariamente φ tenha sido constru´ıda a partir
de µ como acima) ent˜ao µ ◦ φ−1 ´e medida invariante por Rα, logo µ ◦ φ−1 ´e a medida de
Lebesgue, que chamaremos de λ, porque a rota¸c˜ao irracional ´e unicamente erg´odica. Para mostrar que T ´e unicamente erg´odica, considere µ1, µ2 ∈ MT(X), µ = 12(µ1+µ2)
e φ = φµ. Pela observa¸c˜ao acima, as medidas µ1◦ φ−1, µ2◦ φ−1 e µ ◦ φ−1 s˜ao todas iguais
`
a medida de Lebesgue, logo
µ1(φ−1φ([a, b])) = µ2(φ−1φ([a, b])) = µ(φ−1φ([a, b]))
para todo intervalo [a, b]. Pela constru¸c˜ao de φ, temos tamb´em µ(φ−1φ([a, b])4[a, b]) = 0 ,
logo µi(φ−1φ([a, b])4[a, b]) = 0, i = 1, 2, pois µ ´e a m´edia de µ1 e µ2. Ent˜ao
µ1([a, b]) = µ2([a, b]) = µ([a, b]) ,
implicando que µ1 = µ2 = µ e da´ı que T ´e unicamente erg´odica.
Se T for minimal ent˜ao do Teorema 4.17 segue que µ([a, b]) > 0 se a 6= b. Portanto n˜ao pode haver pontos cuja pr´e-imagem por φ seja um intervalo.
Finalmente, o Teorema abaixo descreve o que acontece com as m´edias de Birkhoff no caso unicamente erg´odico.
Teorema 4.20. Seja X espa¸co m´etrico compacto e T : X → X transforma¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao s˜ao equivalentes:
1. T ´e unicamente erg´odica.
2. Existe µ ∈ MT(X) tal que para toda f ∈ C0(X) e qualquer x ∈ X
lim n→∞ 1 n n−1 X i=0 f (Tix) = Z f dµ . 3. Para toda f ∈ C0(X), 1 n Pn−1 i=0 f (T
ix) converge pontualmente a uma constante.
4. Para toda f ∈ C0(X), 1 n
Pn−1
i=0 f (Tix) converge uniformemente a uma constante.
Demonstra¸c˜ao. Que (4) implica (3) ´e trivial. Para mostrar que (3) implica (2), basta ver que ξ : C0(X) → R dado por
ξ(f ) = lim n→∞ 1 n n−1 X i=0 f (Tix)
(para qualquer x) ´e um funcional linear positivo. Pelo Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz, existe ´unica probabilidade µ tal que R f dµ = ξ(f ), ∀f ∈ C0(X). A medida µ ´e invariante pois ξ(f ◦ T ) = ξ(f ). Para mostrar que (2) implica (1), supomos a existˆencia de ν ∈ MT(X). A m´edia de Birkhoff converge ν-q.t.p. a uma fun¸c˜ao ˆf tal
que R f dν = R ˆf dν. Mas do fato que as m´edias convergem pontualmente para a fun¸c˜ao constante igual aR f dµ segue que R ˆf dν =R f dµ. Como ν e µ integram fun¸c˜oes cont´ınuas da mesma forma ent˜ao s˜ao idˆenticas (Teorema 1.23).
Para mostrar que (1) implica (4), observamos primeiro que a constante para a qual a m´edia de Birkhoff converge tem que serR f dµ, onde µ ´e a ´unica probabilidade invariante
de T . Suponhamos que (4) n˜ao valha. Ent˜ao existem g ∈ C0(X) e > 0 tais que para
todo n0 ≥ 1 existe n ≥ n0 e xn tais que
1 n n−1 X i=0 g(Tixn) − Z gdµ ≥ .
Ou seja, existe subseq¨uˆencia {nj}j e para cada j um ponto xnj tais que
1 nj nj−1 X i=0 g(Tixnj) − Z gdµ ≥ .
Tome as medidas µnj dadas por
µnj = 1 nj nj X i=0 δTix nj .
Para elas, temos
Z gdµnj − Z gdµ ≥ .
Por causa da compacidade de M(X), existe subseq¨uˆencia de {nj}j (suporemos que ´e a
mesma, para facilitar a nota¸c˜ao) tal que µnj → µ∞, e por causa da desigualdade acima,
µ∞ 6= µ. A contradi¸c˜ao vem do fato de que µ∞ ´e uma medida invariante (veja a prova
de que MT(X) ´e n˜ao-vazio).