Estacionaridade e Invertibilidade de um Modelo ARIMA

onde para cada período t, x é construído para assumir valores como _t _t, _t1, ..., _{t q} multiplicados pelo correspondente valor de _i. Uma seqüência formada desta forma é chamada de uma Média-Móvel (MA)4 _{de ordem q e é representada por MA(q). Normalmente,}

a equação (8.1) é normalizada para  ₀ 1.

Continuando a derivação dos modelos ARIMA, considere-se uma equação especial chamada de equação linear de ordem p th com coeficientes constantes como a que se segue; yt a0a y1 t1a y2 t2 ... a yp t p (8.2)

onde o valor de p representa a ordem da equação. Adicionando a equação (8.1) na equação (8.2), obtém-se um processo Autoregressivo Integrado de Média-Móvel (ARIMA) do seguinte tipo;

y_t a₀a y_{1 t1}a y_{2 t2} ... a y_{p t p}    _{t 1 t1} _{q t q} (8.3)

Se, na equação (8.3), todo o _i 0, o processo tornar-se-á em um modelo autoregressivo de ordem p th denominado de AR(p). Na mesma equação, se todos os valores de a até 1 ap forem iguais a zero, o processo tornar-se-á em um modelo MA(q).

8.1.1 Estacionaridade e Invertibilidade de um Modelo ARIMA

Para que um modelo ARIMA como o representado na equação (8.3) possa se tornar estacionário, é necessário que apresente as seguintes condições necessárias e suficientes; - Todos os valores de  que satisfaçam p a₁p1a₂p2...a_p 0 devem estar dentro do circulo unitário, e,

- Cada seqüência deve ter começado em um passado longínquo ou o processo deve sempre estar em equilíbrio.

Se uma ou mais raízes características estiverem fora do circulo unitário, a seqüência t

y será um processo explosivo. Se, exatamente d raízes características forem iguais a 1 e as restantes p-d raízes estiverem dentro do circulo unitário, o processo será integrado de ordem d e será denotado por I(d). Um processo ARIMA (p, d, q) será um processo com p coeficientes

autoregressivos, d raízes características e q coeficientes de média-móvel. A d th diferença de um processo I(d) será sempre estacionária. Um processo I(0) é aquele que apresenta todas as raízes características dentro do circulo unitário, isto é, é um processo estacionário. Modelos com esta característica são chamados de modelos ARMA.

É sempre possível transformar um processo autoregressivo estacionário em um processo de média-móvel de ordem infinita. Por vezes, é possível transformar um processo de média-móvel estacionário (ou um processo misturado autoregressivo de média-móvel) em um processo autoregressivo puro. Quando esta última transformação puder ser realizada, o processo será chamado de processo invertível. Por exemplo, se a₁1, o processo autoregressivo de primeira ordem y_t a y_{1 t1}_t poderá ser escrito como;

1 0 i t t i i y a    



Porém, o processo de média-móvel y_t   _{t t1} não tem uma representação autoregressiva. Se L representar o operador de defasagem tal que Lyt  yt1 e

i

t t i

L y  y_ , o processo de média-móvel puro y_t  (1 ₁L₂L2 ... _qLq)_t será invertível se os valores de L que satisfaçam a equação característica inversa 1₁L₂L2 ... _qLq 0 permanecerem fora do circulo unitário.

8.1.2 A Função de Previsão

A literatura considera a utilidade mais importante de um modelo ARIMA a de prever valores futuros de uma determinada seqüência y . Para ilustrar, assume-se que o processo _t atual gerador de dados e as realizações correntes e passadas das seqüências y e t t sejam conhecidas. Primeiro, considere-se a previsão de um modelo AR(1) como yt a0a y1 t1t. Adiantando este modelo em um período, obtém-se;

y_t1 a₀a y_{1 t}_t1

Se os coeficientes a e 0 a forem conhecidos, será possível realizar a previsão de 1 yt1

condicionada na informação disponível no período t como;

1 0 1

t t t

E y_ a a y (8.4)

onde E y_{t tj} é uma representação da esperança condicional de y_tj, dada a informação disponível no momento t .

Formalmente, E y_{t tj} E y( _tjy y_t, _t1,y_t2,..., , _{t t1},...).

Da mesma forma, se y_t2 a₀a y_{1 t1}_t2, a previsão de y_t2 condicionada na informação disponível no período t será ;

2 0 1 1

t t t t

E y_ a a E y_ (8.5) Substituindo a equação (8.4) na equação (8.5), obtém-se;

2 2 0 0 1 1 t t t E y_ a a a a y (8.6) Da mesma forma; 2 3 3 0 0 1 0 1 1 t t t E y_ a a a a a a y e o caso geral será;

2 1

0(1 1 1 ... 1 ) 1

j j

t t j t

E y_ a  a a  a  a y (8.7)

A equação (8.7) – chamada de função de previsão – produz a previsão dos j passos-à-frente para cada valor ytj. Se a11, a equação (8.7) irá produzir uma seqüência convergente de

previsões. Se for tomado o limite de E y_{t tj} como j , obtém-se que E y_{t t j} a₀/(1a₁). Em qualquer modelo ARIMA estacionário, a previsão condicional de y_tj irá convergir a uma média não condicional como j . Contudo, as previsões de um modelo ARIMA não serão exatamente perfeitas.

Efetuando uma previsão a partir do período t , pode ser definido o erro de previsão dos j passos-à-frente, f j - como a diferença entre o valor realizado de _t( ) y_tj e o seu valor previsto;

( )

t t j t t j f j  y_ E y_

Assim, o erro de previsão de um passo-à-frente será: f_t(1) y_t1E y_{t t1} _t1 (ou seja, a porção não previsível de y_t1 dada a informação disponível em t ). Para obter o erro de previsão dois passos-à-frente, forma-se ft(2) yt2E yt t2. Desde que

2 2 0 0 1 1 2 1 1 t t t t y_ a a a a y _ a _ e 2 2 0 0 1 1 t t t E y_ a a a a y , segue-se que; 2 1 1 (2) t t t f _ a _

( ) 1 1 12 2 13 3 ... 1 1 1

j

t t j t j t j t j t

f j _ a _{ } a _{ } a _{ }  a _ (8.8)

A equação (8.8) mostra que as previsões realizadas pela equação (8.7) produzem estimadores não-viesados de cada valor dey_tj. Se E_t_tj E_t_{t j 1}  ... E_t_t1 0, a esperança condicional da equação (8.8) será E f j_{t t}( )0. Se o valor esperado do erro de previsão for igual a zero, as previsões serão não-viesadas. Embora não sejam viesadas, as previsões de um modelo ARIMA não serão exatas. Para obter a variância do erro de previsão, assume-se que os elementos da seqüência _t sejam independentes com variância 2. Assim, pela equação (8.8), a variância do erro de previsão é;

[ ( )] 2[1 12 14 16 ... 12( 1)]

j t

Var f j  a a a  a  (8.9)

Se a variância do erro de previsão um passo-à-frente for 2, a variância do erro de previsão dois passos-à-frente será 2(1a₁2), e assim sucessivamente. O ponto essencial a reter é o fato de a variância do erro de previsão ser uma função crescente de j . Assim, pode-se obter mais confiança em previsões realizadas para o curto-prazo do que em previsões realizadas para o longo-prazo. Em um limite como j , a variância do erro de previsão irá convergir à 2/(1a₁2); portanto, a variância do erro de previsão convergirá à variância não condicional da seqüência y . _t

Considerando que a seqüência _t seja normalmente distribuída, pode-se assumir intervalos de confiança sobre as previsões. A previsão um passo-à-frente de y_t1 será a₀ a y_{1 t} e a variância será 2. Deste modo, o intervalo de confiança de 95% para uma previsão um passo-à-frente pode ser calculado como;

a₀a y_{1 t}1,96

Pelo mesmo procedimento, a previsão dois passos-à-frente será a₀(1a₁)a y₁2 _t e a equação (8.9) indicará que Var f[ (2)]_t = 2(1a₁2). Deste modo, o intervalo de confiança de 95% para a previsão dois passos-à-frente será5_;

2 2 1/ 2

0(1 1) 1 t 1,96 (1 1)

a a a y   a

É possível utilizar a técnica interativa para derivar a função de previsão de qualquer modelo ARMA(p, q). Simplificando o procedimento, considere-se o seguinte modelo ARMA(2, 1);

y_t a₀a y_{1 t1}a y_{2 t2}   _{t 1 t1} (8.10) Adiantando a equação (8.10) em um período, obtém-se;

1 0 1 2 1 1 1

t t t t t

y_ a a y a y_  _  

Mantendo a suposição de que todos os coeficientes sejam conhecidos; de que todas as variáveis sub-escritas em t , t1, t2, etc. são conhecidas no período t e que E_t_tj 0

para j0, a esperança condicional de y_t1 será;

E y_{t t1} a₀a y_{1 t}a y_{2 t1} _{1 t} (8.11)

A equação (8.11) será a previsão de y_t1 um passo-à-frente. Para se obter a mesma previsão dois passos-à-frente, adianta-se a equação (8.10) em dois períodos;

y_t2 a₀a y_{1 t1}a y_{2 t}_t2 _{1 t1} (8.12)

e a esperança condicional de y_t2 será;

E y_{t t2} a₀a E y_{1 t t1}a y_{2 t} (8.13)

A equação (8.13) representa a previsão dois passos-à-frente em termos da previsão em passo- à-frente e o valor corrente de y . Combinando a equações (8.12)_t e (8.13), obtém-se;

2 0 1( 0 1 2 1 1 ) 2 t t t t t t E y_ a a a a y a y_   a y 2 2 0(1 1) ( 1 2) 1 2 1 1 1 t t t t t E y_ a a  a a y a a y_ a 

Da mesma forma, a previsão três passos-à-frente será;

3 0 1 2 2 1 t t t t t t E y_ a a E y_ a E y_ 2 3 0 1{( 0(1 1) [ 1 2] 1 2 1 1 1 } 2( 0 1 2 1 1 ) t t t t t t t t E y_ a a a a  a a y a a y_ a  a a a y a y_   2 3 2 2 2 3 0(1 1 1 2) ( 1 2 1 2) ( 1 2 2) 1 1( 1 2) t t t t t E y_ a  a a a  a  a a y  a a a y_  a a 

De forma geral, as previsões todos os j passos-à-frente serão obtidos por; E y_{t tj} a₀a E y_{1 t t j 1}a E y_{2 t t j 2} j 2 (8.14)

Se as raízes características da equação (8.14) estiverem dentro do círculo unitário, as previsões irã convergir à média não condicional a0/(1 a1 a2).

8.2 MODELO UNIVARIADO DECOMPOSTO EM COMPONENTES NÃO OBSERVADOS

A metodologia básica na estimação de modelos decompostos em componentes não observados é o uso do método da Média-Móvel Exponencialmente Ponderada (EWMA)6_{. A}

construção de modelos de séries temporais com componentes não-observados é baseada em suposições probabilísticas cujo objetivo é captar características essenciais do comportamento dos dados. Se um modelo for construído sob tais suposições, é possível estimar os seus parâmetros através de diversos métodos estatísticos, prever intervalos de confiança para as estimativas do modelo e realizar diversos testes estatísticos para verificar se o modelo pode ser simplificado ou generalizado. O ponto inicial para o desenvolvimento de modelos de séries temporais em um modelo de regressão no qual as variáveis explicativas são função do tempo, pode ser considerar o seguinte modelo com componentes de tendência e sazonalidade, formulado da seguinte forma;

t j jt t j

y   t



 z  (8.15)

onde  e  são os coeficientes associados com a tendência e os j são os coeficientes sazonais construídos de forma que a sua soma seja igual a zero. Esta equação é construída pela determinação dos zjt como variáveis dummy definidos de tal forma que, para

1,..., 1 j s ; 1, , , 2 ,... 0, , , 2 ,... 1, , 2 ,3 ,... jt t j j s j s z t j j s j s t s s s      _       (8.16)

A tendência pode ser modificada através da inclusão de um termo de erro na equação como

2

t , enquanto que outros componentes representando outras características como ciclos também poderão ser acrescentados. O único componente estocástico na equação (8.16) é o termo _t, que é assumido como sendo um termo de perturbação aleatório, normalmente distribuído com média zero e variância 2, ou seja, _t NID(0,2). Além desta parte introdutória, o capítulo está dividido em mais quatro partes. A primeira parte apresenta a metodologia básica da forma de estado de espaço, importante procedimento matemático para a derivação dos modelos UCARIMA. A segunda e terceira partes do capítulo apresentam a

6 _{Tradução da expressão em inglês “Exponentially Weighted Moving Average”. Para mais detalhes do método}

essência do Filtro de Kalman, procedimento recursivo utilizado no cálculo do estimador ótimo do vetor de estado. A quarta e última parte do capítulo apresenta a derivação do modelo estrutural básico, modelo que apresenta uma combinação de três componentes (tendência, sazonalidade e irregularidade).

No documento Políticas macroeconômicas em Moçambique : (1995-2014) (páginas 137-143)