Em muitos sistemas reais, seus constituintes apresentam uma grande diversidade de qualidade, onde uns s˜ao mais qualificados que outros. Por exemplo, na Web os v´ertices (si- tes) possuem diferentes conte´udos, alguns de baixa qualidade, enquanto que outros de alta qualidade. Observando esse comportamento, Mendes G.A. et al propuseram a inclus˜ao de uma distribui¸c˜ao de qualidade na forma de uma de lei de potˆencia para o modelo de Bianconi- Barab´asi [13], tendo como objetivo obter um modelo generalizado que fosse capaz de recuperar, nos seus limites, tanto o modelo de Barab´asi e Albert (quando α → ∞) quanto o modelo de Bianconi-Barab´asi (quando α = 0). Buscando caracterizar a rede ap´os a inclus˜ao desse novo formato de distribui¸c˜ao de qualidade, vamos calcular o valor da constante C, a partir da
Figura 3.9: Comportamento da evolu¸c˜ao temporal da conectividade dos v´ertices para diferentes parˆametros de qualidade η. Os dados mostram que quando o valor da qualidade ´e maior, a conectividade do v´ertice cresce mais rapidamente durante a evolu¸c˜ao da rede. Simula¸c˜ao realizada para M0 = 1, N = 105 e 1000 amostras. Figura retirada de [13].
Figura 3.10: Dependˆencia do expoente dinˆamico β(η) com o parˆametro de qualidade η para uma distribui¸c˜ao de qualidade uniforme. Simula¸c˜ao realizada para M0 = 1, N = 105 e 1000
Figura 3.11: Representa¸c˜ao da estrutura de uma rede gerada com N = 500 e M0 = 2 para
o modelo de Bianconi-Barab´asi. A escala de cores mostra os v´ertices mais conectados em vermelho e os menos conectados em verde.
equa¸c˜ao (3.22), pois esta nos permitir´a analisar o comportamento dos v´ertices na competi¸c˜ao por liga¸c˜oes e assim, obtermos a distribui¸c˜ao de conectividade do sistema.
Lembrando que a equa¸c˜ao (3.22) ´e dada por:
1 = Z ηmax 0 dη ρ(η)C 1 η − 1 (3.29) E considerando a equa¸c˜ao da distribui¸c˜ao de qualidade escolhida:
ρ(η) = Aηα (3.30) Podemos reescrever a equa¸c˜ao (3.29) ao utilizarmos a equa¸c˜ao (3.30) e realizarmos a mudan¸ca de vari´avel y = C − η: 1 A = Z C C−ηmax dy (C − y) α+1 y (3.31)
sendo a constante A encontrada a partir da normaliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao de qualidade ρ(η):
1 = Z 1 0 ρ(η) dη = A Z 1 0 ηα dη = A η α+1 α + 1 η=1 η=0 ⇒ A = α + 1 (3.32) desde que α > 0 quando for poss´ıvel ter η = 0. De acordo com a equa¸c˜ao (3.21), cada v´ertice ter´a um expoente dinˆamico diferente, dado por β = Cη, onde o valor de C depender´a do valor de α escolhido para o sistema, ou seja, β = C(α)η . Baseado nisto, por meio de simula¸c˜oes computacionais, podemos verificar o comportamento do expoente dinˆamico β para um v´ertice (por conveniˆencia, foi escolhido um v´ertice com qualidade 1) ao variamos o valor do expoente α (ver figura 3.12). Observe que quanto maior ´e o valor de α, mais o valor de β se aproxima de 0, 5, o que significa que no limite α → ∞ o modelo geral proposto cai no caso particular do modelo BA. Tamb´em podemos verificar o comportamento do expoente β com a varia¸c˜ao da qualidade η e do expoente α (ver figura 3.13). A partir deste gr´afico, podemos calcular o valor de C para diferentes valores de α. O modo como a conectividade dos v´ertices evolui com o tempo ´e fun¸c˜ao de β, portanto agora esta depende tanto de η quanto de α (ver figura 3.14).
Figura 3.12: Comportamento de um v´ertice com qualidade igual 1 ao variarmos o valor do expoente α. O gr´afico interno mostra o comportamento do valor m´edio da qualidade de uma rede com a distribui¸c˜ao de qualidade dada por ρ(η) ∝ ηα. Figura retirada de [13].
Figura 3.13: Dependˆencia do expoente dinˆamico β(η) com o parˆametro de qualidade η e α para a distribui¸c˜ao de qualidade ρ(η) ∝ ηα. Simula¸c˜ao realizada para M
0 = 1, N = 105 e
1000 amostras. Figura retirada de [13].
Figura 3.14: Evolu¸c˜ao temporal da conectividade dos v´ertices. Pode-se observar que a evolu¸c˜ao da conectividade depende de η e α. Simula¸c˜ao realizada para M0 = 1, N = 105 e 1000
amostras. Pode-se identificar as curvas a partir de sua angula¸c˜ao com a horizontal: (i) α = 0.7 e η = 0.3; (ii) α = 0.0 e η = 0.3; (iii) α = 0.7 e η = 0.9; (iv) α = 0.0 e η = 0.9. Figura retirada de [13].
Finalmente, podemos apresentar a distribui¸c˜ao de conectividade para a extens˜ao do modelo de Bianconi-Barab´asi. A partir da equa¸c˜ao (3.24), vemos que ao incluirmos essa nova distribui¸c˜ao de qualidade na forma ρ(η) ∝ ηα, fazemos com que P (k) passe a depender do expoente α. Portanto, a varia¸c˜ao do expoente α modifica a distribui¸c˜ao de conectividade (ver figura 3.15). Ao variarmos o valor de α, obtemos uma nova distribui¸c˜ao de conectividade P (k). Podemos observar que o valor do expoente varia de γ = 2.25 quando α = 0 (modelo Bianconi- Barab´asi) at´e γ = 3 quando α → ∞ (modelo de Bar´abasi e Albert). Observe tamb´em que quando o valor do expoente α ´e grande, os polos possuem conectividade menor do que quando o valor de α ´e pequeno, ou seja, quando aumentamos o valor de α, observamos a diminui¸c˜ao da forma¸c˜ao de polos na rede (caracter´ıstica do modelo BA, quando comparado com o modelo de Bianconi).
Por causa das diferentes curvas encontradas para a distribui¸c˜ao de conectividade P (k), Mendes G. A. et al esperavam que a distˆancia m´edia e o coeficiente de agrega¸c˜ao das redes constru´ıdas seguindo este modelo, tivessem seus valores modificados quando o valor de α fosse variado (ver figura 3.16). Observe que a distˆancia m´edia cresce com log(N ), ou seja, esta rede apresenta comportamento de mundo pequeno. Comparando os resultados encontrados com o modelo BA, vemos que a extens˜ao do modelo de Bianconi-Barab´asi apresenta uma distˆancia m´edia menor e um coeficiente de agrega¸c˜ao maior. Se aumentarmos o valor de α fazemos com que o coeficiente de agrega¸c˜ao diminua, tendendo ao seu valor limite que ´e o do modelo BA.
Figura 3.15: Distribui¸c˜ao de conectividade cumulativa para a extens˜ao do modelo de Bianconi- Barab´asi. Simula¸c˜ao realizada para M0 = 1, N = 105 e 3000 amostras. Torna-se evidente
como a varia¸c˜ao do expoente α modifica a distribui¸c˜ao de conectividade. Figura retirada de [13].
Figura 3.16: (a) Distˆancia m´edia versus o tamanho da rede para a extens˜ao do modelo de Bianconi-Barab´asi. (b) Coeficiente de agrega¸c˜ao versus o tamanho da rede para a extens˜ao do modelo de Bianconi-Barab´asi. Simula¸c˜oes realizadas considerando Mo = 2 para diferentes
tamanhos de rede. Figura retirada de [13].
Portanto, vimos que a utiliza¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao de qualidade na forma de uma lei de potˆencia ρ(η) ∝ ηα faz com que as propriedades das redes sejam modificadas de acordo
com o valor do expoente α. Merece destaque, nesse modelo, o fato de obtermos o modelo de Bianconi como caso particular quando α = 0 e o modelo BA como um caso limite quando α → ∞.