Modelo de Bianconi-Barab´ asi - Redes sem escala típica: visão geral, modelos alternativos e té

O modelo de Barabási e Albert, descrito na se¸cão anterior, era baseado nos mecanis- mos de crescimento e liga¸cão preferencial, os quais, sem dúvidas, são fundamentais para a ocorrência da distribui¸cão em lei de potência, ou seja, sem escala t´ıpica. No entanto, este modelo negligencia um importante aspecto de sistemas competitivos: nem todos os vértices são igualmente predispostos a adquirir liga¸cões. O mecanismo de liga¸cão preferencial, prenuncia uma tendência dos vértices mais antigos se tornarem os polos da rede. Entretanto, vários sistemas reais demonstram que vértices mais novos podem atrair um grande número de conexões, conseguindo se tornar os mais conectados da rede. Em outras palavras, esse fato mostra que a taxa com que a conectividade de um vértice varia com o tempo não depende exclusivamente de sua idade, isto é, do tempo que ele já faz parte da rede. Por exemplo, na Web, o site de busca Google se tornou o maior polo (hub) em poucos anos de existência, atraindo grande parte das conexões de sites que já estavam na rede há muito mais tempo [20]. Outro exemplo, são alguns trabalhos cient´ıficos que em um pequeno espa¸co de tempo adquirem um grande número de cita¸cões, ultrapassando trabalhos publicados anteriormente e se tornando polos da rede de cita¸cão de artigos cient´ıficos [21].

Diante disto, em 2001, Bianconi e Barabási propuseram um novo modelo buscando associar este comportamento a alguma qualidade espec´ıfica do vértice, tal como o conteúdo de uma página da Web ou de um artigo cient´ıfico [22]. Este fator reflete a capacidade (fitness) que o vértice possui de competir por liga¸cões e foi chamado de “qualidade” do vértice. Neste

modelo, a cada vértice da rede é atribu´ıdo um parâmetro ηi, que caracteriza o mesmo. Este

parâmetro é a principal caracter´ıstica do modelo de Bianconi, também conhecido como modelo Bianconi-Barabási ou modelo de qualidade, e altera a dinâmica a liga¸cão preferencial. Vejamos então, como isso se reflete na constru¸cão de uma rede de Bianconi. O algoritmo é o seguinte: (1) Inicia-se a rede com N0 vértices conectados entre si, onde cada um deles possui um

parâmetro de qualidade intr´ınseco η. Este parâmetro é escolhido aleatoriamente, a partir de uma distribui¸cão de qualidade ρ(η), que para o modelo original de Bianconi é uniforme. (2) A cada passo de tempo adiciona-se um novo vértice à rede, o qual já possui o seu parâmetro de qualidade η. Este vértice possui um número m´ınimo M0(< N0) de arestas, que co-

nectam o novo vértice a M0 vértices diferentes pré-existentes na rede. A probabilidade de

um vértice pré-existente i receber a liga¸cão do vértice recém adicionado é proporcional à conectividade ki e a qualidade ηi do vértice i pré-existente na rede e é dada por:

Y (ki) = ηiki P jηjkj (3.13)

(3) Repete-se o passo anterior at´e o tamanho desejado do sistema. Depois de t passos de tempo este procedimento resulta em uma rede com N = N0 + t v´ertices e M0(M0 +

1)/2 + M0t liga¸c˜oes.

Note que neste modelo a adi¸cão do parâmetro de qualidade na liga¸cão preferencial torna poss´ıvel que vértices jovens com poucas liga¸cões possam adquirir novas liga¸cões a uma taxa elevada (ver figura 3.6). Este parâmetro dá a oportunidade de um vértice recém inclu´ıdo se tornar um polo da rede, bastando que para isso este possua um alto valor do parâmetro de qualidade. Portanto, enquanto no modelo de Barabási e Albert o fator determinante para que um vértice se torne um polo é apenas a “idade” dele, no modelo de Bianconi e Barabási tanto a idade quanto a qualidade do s´ıtio contribuem para que ele se torne um polo ou não. Bianconi e Barabási mostraram analiticamente que para este modelo proposto, a distribui¸cão de conectividade, agora na forma de uma lei de potência com corre¸cão logar´ıtmica, possui um expoente γ = 2.25, no limite termodinâmico. Pode-se explicar este resultado utilizando o tratamento cont´ınuo introduzido na se¸cão anterior. Os cálculos e considera¸cões a seguir seguem bem de perto as ideias apresentadas por [22, 3].

Tratamento cont´ınuo: Um v´ertice i qualquer da rede aumenta a sua conectividade ki com uma taxa que varia de acordo com a probabilidade Q(ki) (equa¸c˜ao 3.13). Assim:

dki dt = M0 Y (ki) = M0 ηiki P jηjkj (3.14) onde o fator M0 representa as liga¸c˜oes que cada v´ertice realiza ao entrar na rede. Baseados

no modelo BA, Bianconi e Barabási assumiram que a evolu¸cão de conectividade de um vértice neste modelo é dado por:

Figura 3.6: Ilustra¸cão da dinâmica de crescimento de uma rede seguindo o modelo de Bianconi com m = 1. No centro de cada vértice está indicado o seu parâmetro de qualidade η. Os valores ao lado de cada vértice representam sua conectividade k e sua probabilidade de adquirir liga¸cões naquele determinado momento. Em t = 0, inicia-se a rede com N0 vértices e a cada passo

de tempo, adiciona-se um novo vértice (vermelho), o qual será conectado de acordo com a probabilidade que é proporcional a conectividade e a qualidade de cada vértice já existente na rede. Figura adaptada de [13].

kηi(t, t0) = M0

t t0

β(ηi)

(3.15) onde t0 representa o tempo em que o v´ertice foi introduzido na rede. Note que o expoente β

não é mais constante como era no modelo de Barabási e Albert, sendo agora dinâmico, pois depende da qualidade ηi. Sabemos que um vértice sempre aumenta seu número de liga¸cões

no tempo, logo β(η) > 0. Tamb´em sabemos que sua conectividade ki(t) n˜ao pode aumentar

a uma taxa maior do que t, por isso β(η) < 1. Portanto, este expoente deve estar limitado ao intervalo de valores 0 < β(η) < 1.

Para encontrarmos uma equa¸cão para o expoente dinâmico, iniciaremos calculando a média da soma P

jηjkj presente na equa¸cão (3.13). Considerando que cada vértice é intro-

integral sobre t0: * X j ηjkj + = Z dηρ(η)η Z t 1 dt0kηi(t, t0) = Z dηρ(η)M0tβ(η) Z t 1 dt0 tβ(η)₀ = Z dηηρ(η)M0 (t − tβ(η)₎ 1 − β(η) (3.16)

Como β(η) < 1, no limite em que t → ∞, tβ(η) _{pode ser desprezado quando comparado com}

t, assim obtemos: * X j ηjkj + = CM0t (3.17) onde C = Z dη ρ(η) η 1 − β(η) (3.18)

Usando a equa¸cão (3.17) e a nota¸cão kη = kηi(t, t0), a equa¸cão (3.14) pode ser reescrita

como:

dkη

dt = ηkη

Ct (3.19)

a qual tem como solu¸c˜ao:

ln kη =

Cln t + τ (3.20)

onde τ é uma constante aditiva. Essa equa¸cão pode ser escrita na forma da equa¸cão (3.15) se a constante aditiva for expressa em termos de t0. Fazendo isso, conclu´ımos que

β(η) = η

C (3.21)

que confirma a consistência na suposi¸cão da equa¸cão (3.15). O valor da constante C pode ser determinado substituindo β(η) por _Cη na equa¸cão (3.18):

1 = Z ηmax 0 dηρ(η)_C 1 η − 1 (3.22) onde ηmax é a máxima qualidade poss´ıvel do sistema. Aparentemente, esta equa¸cão possui

uma singularidade. Entretanto, como β(η) = _Cη < 1 para qualquer valor de η, temos que C > ηmax, com isso o limite de integra¸c˜ao nunca atingir´a essa singularidade. Observe que se

jηjkj ≤ ηmax

jkj = 2mtηmax, obteremos, usando a equa¸c˜ao (3.17), o valor C ≤ 2ηmax.

Para calcularmos a distribui¸c˜ao de conectividade P (k) do modelo de Bianconi, devemos primeiro escrever a probabilidade de que um v´ertice tenha conectividade kη(t) maior que k,

ou seja, P [kη(t) > k]. Usando a equa¸c˜ao (3.15) temos:

P [kη(t) > k] = P " t0 < t M0 k C_η# = t M0 k C_η (3.23)

Assim, a distribui¸cão de conectividade, isto é, a probabilidade que um vértice tenha k liga¸cões é obtida através da integral:

P (k) = Z ηmax 0 dη ∂P [kη(t) > k] ∂t ∝ Z ηmax 0 dη ρ(η)C η M0 k C_η+1 (3.24)

Dada a distribui¸cão de qualidade ρ(η), o tratamento cont´ınuo nos permite prever a dinâmica da rede por meio do expoente dinâmico β(η) (equa¸cão 3.21) e sua topologia, descrita pela distribui¸cão de conectividade P (k) (equa¸cão 3.24). Note que o modelo de Barabási e Albert é um caso particular do modelo em questão, pois nele todos os vértices da rede têm o mesmo valor para a qualidade η, ou seja, a distribui¸cão de qualidade ρ(η) é uma fun¸cão pontual como a Delta de Dirac. É fácil ver que quando fazemos ηi e ηj assumirem um único valor

independente dos ´ındices, a equa¸cão (3.13) se reduz a equa¸cão (3.1). Desta forma, podemos representar a distribui¸cão de qualidade deste modelo como ρ(η) = δ(η − 1) e inserindo na equa¸cão (3.22), encontramos o valor da constante como sendo C = 2, que representa o seu maior valor poss´ıvel. A partir da equa¸cão (3.21), obtemos β = 1₂ e utilizando a equa¸cão (3.24), chegamos a famosa rela¸cão do modelo de Barabási e Albert: P (k) ∼ k−3. Portanto, usando a distribui¸cão de qualidade ρ(η) = δ(η − 1) no modelo de Bianconi, recuperamos o modelo de Barabási e Albert.

Entretando, o modelo de Bianconi-Barabási considera um sistema composto por vértices que possuem qualidades diferentes e disputam por liga¸cões. Para conseguirmos des- crever essa dinâmica de uma forma simples, devemos considerar uma distribui¸cão de qualidade uniforme, a qual é obtida quando as qualidades dos vértices são escolhidas uniformemente no intervalo entre 0 e 1, ou seja, ρ(η) = constante. Com isso, podemos calcular o valor da constante C a partir da equa¸cão (3.22). Para isso, levamos em considera¸cão a condi¸cão de normaliza¸cão da distribui¸cão:

1 = Z 1 0 ρ(η)dη = ρ(η) Z 1 0 dη = ρ(η) (3.25)

Assim a equa¸c˜ao (3.22) torna-se:

1 = Z 1

dη η

C − η (3.26)

Esta integral nos fornece a express˜ao para encontramos o valor de C:

exp(−2/C) = 1 − 1/C (3.27)

cuja solu¸cão numérica é C = 1.255. Resultado que pode ser conferido na figura (3.7). Agora podemos utilizar a equa¸cão (3.24), para obtermos a distribui¸cão de conectividade para o modelo de Bianconi considerando uma distribui¸cão de qualidade uniforme:

P (k) ∝ Z 1 0 dη C η 1 k1+Cη ∼ k −(1+C) log(k) (3.28)

isto é, a distribui¸cão de conectividade segue uma lei de potência, onde o expoente é dado por γ = 1 + C = 1 + 1.255 ≈ 2.25, com um logaritmo inverso. Este valor concorda corretamente com os resultados numéricos (ver figura 3.8). Na figura (3.7) é mostrado o melhor ajuste em lei de potência pura para a distribui¸cão de conectividade do modelo de Bianconi-Barabási.

A partir de simula¸cões computacionais, verifica-se também o comportamento da evolu¸cão temporal da conectividade dos vértices com diferentes parâmetros de qualidade η (ver

Figura 3.7: Gráfico das fun¸cões f (C) = exp(−2/C) e q(C) = 1 − 1/C em fun¸cão de C. Observe que o ponto de cruzamento das duas curvas ocorre em C ≈ 1.255, o que mostra que este valor de C é a solu¸cão da equa¸cão (3.27).

Figura 3.8: Distribui¸cão de conectividade em lei de potência para o modelo de Bianconi- Barabási obtida a partir de simula¸cões computacionais. Simula¸cão realizada para M0 = 2,

N = 105 _{e 100 amostras.}

figura 3.9), previsto pela equa¸cão (3.15), assim como a dependência do expoente dinâmico β(η) com o parâmetro de qualidade η (ver figura 3.10), em concordância com o cálculo anal´ıtico (equa¸cão 3.21). Do mesmo modo que foi feito para a rede de Barabási e Albert, constru´ımos uma representa¸cão de uma rede gerada pelo modelo de Bianconi-Barabási (ver figura 3.11). Esta representa¸cão nos permite identificar os polos (em vermelho), que são os vértices que possuem uma maior quantidade de conexões, e suas intera¸cões com os demais vértices. Também podemos notar que a maioria dos vértices possui poucas conexões (vértices verdes).

No documento Redes sem escala típica: visão geral, modelos alternativos e técnicas computacionais (páginas 42-48)