Neste cap´ıtulo, analisamos modelos que utilizam mecanismos diferentes da liga¸c˜ao preferencial e que s˜ao capazes de gerar redes sem escala t´ıpica. Apresentamos, portanto, o modelo de c´opia de v´ertices e o modelo de transforma¸c˜ao de redes aleat´orias, discutimos exemplos de redes geradas por estes modelos e comparamos com as redes decorrentes do modelo de Barab´asi e Albert. Fizemos isso por acreditarmos que estudar modelos distintos que geram resultados similares pode nos proporcionar uma amplia¸c˜ao dos nossos conhecimentos referentes a ´area de Redes Complexas.
Para o modelo de c´opia de v´ertices, esta an´alise nos possibilitou constatar que quando fazemos a fra¸c˜ao γ = 12, a distribui¸c˜ao de conectividade deste torna-se semelhante `a distri- bui¸c˜ao para o modelo de Barab´asi e Albert. J´a para o modelo de transforma¸c˜ao de v´ertices, podemos constatar que seguindo uma regra espec´ıfica de realoca¸c˜ao de arestas e considerando uma determinada fra¸c˜ao de v´ertices a serem removidos da rede, foi poss´ıvel obter uma distri- bui¸c˜ao de conectividade na forma de uma lei de potˆencia truncada cujo expoente tem valor pr´oximo ao expoente referente `a distribui¸c˜ao do modelo de Barab´asi e Albert.
Al´em da distribui¸c˜ao em lei de potˆencia, os modelos estudados possuem outras proprie- dades estruturais importantes. Por isso, nas se¸c˜oes anteriores analisamos tamb´em propriedades conhecidas como coeficiente de agrega¸c˜ao e distˆancia m´edia de uma rede. No caso do modelo de c´opia de v´ertices, observamos que os valores obtidos tanto para o coeficiente de agrega¸c˜ao quanto para a distˆancia m´edia, considerando diferentes tamanhos de redes testadas para o modelo de c´opia de v´ertices, s˜ao ligeiramente diferentes daqueles conhecidos para o modelo de Barab´asi e Albert, apesar de terem distribui¸c˜oes de conectividade bastante semelhantes. Verificamos que esta diferen¸ca ´e mais pronunciada para o coeficiente de agrega¸c˜ao, sendo isto j´a esperado, pois o algoritmo de c´opia de v´ertices tende a favorecer grupos de v´ertices mais agregados. Na verdade, a motiva¸c˜ao inicial para o desenvolvimento deste algoritmo j´a designava esta finalidade. Entretanto, apesar de encontrarmos resultados ligeiramente diferen- tes para estas propriedades, elas concordam ao considerarmos os intervalos fornecidos pelas barras de erro. J´a os valores do coeficiente de agrega¸c˜ao e da distˆancia m´edia obtidos para o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas s˜ao menores do que os obtidos para o modelo de Barab´asi e Albert quando consideramos o tamanho da rede resultante ap´os a remo¸c˜ao dos v´ertices, apesar de tamb´em termos encontrado distribui¸c˜oes de conectividade bastante seme- lhantes para esses modelos. Entretanto, ainda se faz necess´ario que estas propriedades sejam mais estudadas para este modelo. Somente assim poderemos verificar se estas convergem para o mesmo comportamento do modelo de Barab´asi e Albert.
Portanto, neste cap´ıtulo vimos que o mecanismo de liga¸c˜ao preferencial tal como o descrito no modelo de Barab´asi e Albert n˜ao ´e obrigatoriamente necess´ario para que ocorra distribui¸c˜ao em lei de potˆencia. Podemos construir modelos que n˜ao tˆem uma fun¸c˜ao Q(k) expl´ıcita incorporada em sua defini¸c˜ao, mas que geram redes sem escala t´ıpica. Vimos tamb´em
que comparando as redes do modelo de Barab´asi e Albert com as redes decorrentes do modelo de c´opia de v´ertices e do modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas, torna-se evidente que estes modelos, embora seguindo algoritmos de constru¸c˜ao distintos, levam a resultados similares. Conhecer novos mecanismos que resultem em uma distribui¸c˜ao de conectividade em lei de potˆencia amplia nosso conhecimento sobre a ´area de aplica¸c˜ao das redes complexas e sobre os mecanismos capazes de gerar essas redes.
Cap´ıtulo 6
Considera¸c˜oes finais
Neste trabalho estudamos inicialmente os modelos cl´assicos de redes: modelo de Erd¨os e R´enyi e, o modelo de Watts e Strogatz, os quais apresentam uma distribui¸c˜ao de conectividade com escala t´ıpica. Apresentamos tamb´em uma revis˜ao geral dos principais modelos de redes sem escala t´ıpica, destacando a motiva¸c˜ao para realiza¸c˜ao de cada modelo, as regras que os regem, os resultados te´oricos e a utilidade pr´atica de cada um deles. Come¸camos apresentando o modelo de Barab´asi e Albert, que sabemos ser capaz de gerar redes sem escala t´ıpica atrav´es dos mecanismos de crescimento e liga¸c˜ao preferencial. Entretanto, ele n˜ao considera um fator bastante importante: nas redes reais nem todos os v´ertices, mesmo possuindo a mesma conectividade, tˆem a mesma habilidade de competir por liga¸c˜oes. Essa quest˜ao deu origem a outros modelos de redes, que adicionaram parˆametros ao mecanismo de liga¸c˜ao preferencial do modelo de Barab´asi e Albert. As principais diferen¸cas dos modelos estudados s˜ao descritas a seguir. No modelo de Bianconi-Barab´asi, o v´ertice possui uma qualidade intr´ınseca que reflete na sua capacidade de competir por liga¸c˜oes, de modo que quanto maior ´e essa qualidade, maior tamb´em ´e a sua capacidade de adquirir liga¸c˜oes. J´a o modelo de extens˜ao de Bianconi- Barab´asi, inclui uma distribui¸c˜ao de qualidade na forma de uma lei de potˆencia para o modelo de Bianconi-Barab´asi, com o objetivo de obter um modelo generalizado capaz de recuperar, nos seus limites, tanto o modelo de Barab´asi e Albert quanto o modelo de Bianconi-Barab´asi. No modelo de afinidade, o v´ertice possui uma dada qualidade e tende a se conectar com v´ertices que sejam semelhantes a ele. Neste aspecto, quanto mais pr´oximos forem os valores das qualidades de dois v´ertices da rede, maior ser´a a probabilidade que estes estabele¸cam conex˜oes. Desta forma, os v´ertices mais conectados s˜ao aqueles que possuem caracter´ısticas mais semelhantes ao todo. O modelo de Natal inclui a distˆancia geogr´afica (m´etrica) entre os v´ertices, n˜ao inclu´ıda no modelo tradicional de Barab´asi e Albert, que ´e um modelo topol´ogico. Neste modelo os v´ertices que est˜ao mais pr´oximos geograficamente tendem a se conectar. J´a o modelo de afinidade com m´etrica considera o conjunto de dois parˆametros: a homofilia e a m´etrica, fazendo com que as conex˜oes dos v´ertices que est˜ao entrando na rede sejam influenciadas pela conectividade, afinidade e m´etrica.
Apresentamos tamb´em modelos que utilizam mecanismos diferentes da liga¸c˜ao pre- ferencial e que s˜ao capazes de gerar redes sem escala t´ıpica, pois consideramos importante estudarmos modelos cujas regras de conex˜ao s˜ao baseadas em mecanismos diferentes, mas que convergem para um comportamento semelhante ao do modelo de Barab´asi e Albert. Os modelos discutidos foram: o modelo de c´opia de v´ertices e o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas. No primeiro, o mecanismo de c´opia de v´ertices ocorre de tal forma que ao se introduzir um novo v´ertice na rede, este herda uma parte dos vizinhos de um v´ertice presente nela. A literatura [44] informa que a distribui¸c˜ao de conectividade do modelo de Barab´asi e Albert ´e apenas um caso particular de todas as distribui¸c˜oes que podem ser obtidas a partir do modelo de c´opia de v´ertices, desde que sejam ajustados corretamente os parˆametros do modelo. Com isto em mente, mostramos os passos iniciais do desenvolvimento anal´ıtico que mostra que uma rede gerada atrav´es do modelo de c´opia cujos v´ertices herdam exatamente 50% das adjacˆencias de um v´ertice aleatoriamente escolhido entre os que j´a est˜ao na rede, tem distribui¸c˜ao de conectividade seguindo a mesma lei de potˆencia que governa a distribui¸c˜ao de conectividade de uma rede do modelo de Barab´asi e Albert. Verificamos tamb´em que outras propriedades macrosc´opicas destas redes tamb´em convergiam para o mesmo comportamento: coeficiente de agrega¸c˜ao decrescendo com o tamanho da rede e a distˆancia m´edia crescendo. No segundo modelo, os mecanismos de remo¸c˜ao de v´ertices e realoca¸c˜ao de conex˜oes perten- centes aos v´ertices removidos, agem de tal forma que s˜ao obtidas redes sem escala t´ıpica a partir de redes Poissonianas. Por meio de simula¸c˜oes num´ericas, mostramos que a remo¸c˜ao de 23% dos v´ertices da rede leva a uma distribui¸c˜ao de conectividade na forma de uma lei de potˆencia truncada cujo expoente tem valor pr´oximo ao expoente referente `a distribui¸c˜ao do modelo de Barab´asi e Albert. Verificamos tamb´em que os valores do coeficiente de agrega¸c˜ao e da distˆancia m´edia obtidos para este modelo s˜ao menores do que os obtidos para o modelo de Barab´asi e Albert. Entretanto, ainda se faz necess´ario que estas propriedades sejam mais estudadas. Estes modelos nos proporcionaram conhecer novos mecanismos que resultam em redes com distribui¸c˜ao de conectividade em lei de potˆencia, ampliando nosso conhecimento sobre a ´area das Redes Complexas.
Al´em das discuss˜oes sobre v´arios aspectos te´oricos dos modelos, apresentamos algumas t´ecnicas computacionais para implementar alguns dos v´arios modelos de redes mencionados. Argumentamos que a t´ecnica provavelmente mais utilizada nesta ´area ´e a das listas de ad- jacˆencia, devido as suas vantagens em rela¸c˜ao ao armazenamento e tempo de execu¸c˜ao dos algoritmos de constru¸c˜ao das redes. Ao apresentarmos os algoritmos de alguns modelos fun- damentais, ressaltamos que de um modo geral o algortimo de uma simula¸c˜ao de rede pode ser dividido em trˆes etapas: (i) defini¸c˜ao e inicializa¸c˜ao de vari´aveis, (ii) constru¸c˜ao da rede e (iii) extra¸c˜ao de dados. Este assunto foi abordado pela not´avel necessidade de divulga¸c˜ao de materiais introdut´orios `as t´ecnicas computacionais b´asicas para modelar redes escritos em portuguˆes. Soma-se a isso o importante papel que as simula¸c˜oes computacionais tˆem desem- penhado nos estudos de redes complexas.
Sabemos que a an´alise te´orica e computacional dos modelos de redes complexas s˜ao apenas uma parte de todo o universo que constitui a ´area dos Sistemas Complexos. Pode- se afirmar que as Redes Complexas s˜ao hoje um dos ramos mais ativos e promissores da ciˆencia, pois sua validade e aplica¸c˜ao n˜ao se limita `a F´ısica, sendo uma ´area de pesquisa interdisciplinar. Portanto, torna-se inevit´avel que novos modelos estejam sempre surgindo e que estes tragam consigo importantes consequˆencias. O estudo destes novos modelos, suas consequˆencias e aplica¸c˜oes s˜ao de extrema importˆancia para os posteriores avan¸cos da ´area. N˜ao podemos deixar de mencionar que ao longo deste trabalho surgiram algumas ideias para estudos futuros. Podemos citar, a t´ıtulo de exemplo, uma extens˜ao do modelo de c´opia de v´ertices de modo a tentar reobter redes semelhantes `as redes de Bianconi e do modelo de afinidade. Outro caminho bastante interessante e poss´ıvel de ser seguido ´e continuar explorando o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas, uma vez que atualmente ele ´e um modelo em seus est´agios iniciais de desenvolvimento e muitos aspectos deste podem ser explorados. Al´em de continuar investigando a conex˜ao entre o mundo das Redes Complexas e o mundo da estat´ıstica n˜ao extensiva de Tsallis.
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