J´a sabemos que o modelo de Redes Complexas apresentado por Barab´asi e Albert fez os f´ısicos voltarem sua aten¸c˜ao para o estudo das redes em geral, especialmente aquelas cuja distribui¸c˜ao de conectividade dos v´ertices P (k) ´e do tipo lei de potˆencia (se¸c˜ao 3.1). At´e ent˜ao, estudava-se basicamente o modelo de rede aleat´oria cuja P (k) tinha a forma de uma Poissoniana (se¸c˜ao 2.3.1). Esses modelos usam mecanismos completamente diferentes para gerar suas respectivas redes: as redes sem escala t´ıpica usam as regras de crescimento e liga¸c˜ao preferencial, enquanto que nas redes Poissonianas (redes aleat´orias) as regras s˜ao o tamanho constante e liga¸c˜oes completamente aleat´orias. An´alises emp´ıricas mostram que muitas das redes reais tˆem caracter´ısticas que s˜ao melhor reproduzidas pelas regras do modelo de rede sem escala t´ıpica, visto que nas redes reais a quantidade de elementos tende a aumentar com o tempo e tamb´em que os novos elementos tˆem tendˆencia a se conectar com os elementos mais conectados pr´e-existentes.
Os estudos realizados sobre Redes Complexas costumam analisar as redes sem escala t´ıpica e Poissonianas de modo independente, sem estabelecer uma ponte entre os dois modelos. Observando este fato e buscando relacionar estes dois modelos, nesta se¸c˜ao apresentamos o Modelo de Transforma¸c˜ao de Redes Poissonianas que ´e capaz de gerar redes sem escala t´ıpica a partir de redes Poissonianas, seguindo duas regras b´asicas: remo¸c˜ao de v´ertices e realoca¸c˜ao de conex˜oes pertencentes aos v´ertices removidos. O algoritmo para a constru¸c˜ao de uma rede seguindo o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas ´e o seguinte:
(1) Inicia-se construindo uma rede Poissoniana com N v´ertices e M arestas.
(2) A cada passo de tempo ´e escolhido aleatoriamente um v´ertice para ser removido da rede. (3) Em seguida, as arestas do v´ertice a ser removido s˜ao realocadas ao seu vizinho mais
conectado, sendo o v´ertice escolhido no passo (2) exclu´ıdo.
(4) Repete-se o passo anterior at´e o tamanho desejado de v´ertices a serem removidos da rede. Observe que, apesar de termos o car´ater aleat´orio expl´ıcito no processo de trans- forma¸c˜ao da rede, o mecanismo de realoca¸c˜ao de conex˜oes privilegia o v´ertice mais conectado entre os vizinhos do v´ertice que ser´a removido da rede. Isso consequentemente resultar´a no aumento de sua conectividade e na maior probabilidade de tal v´ertice adquirir novas conex˜oes nas pr´oximas retiradas de v´ertices, fazendo com que ele provavelmente torne-se um polo da rede (ver figura 5.7). Ou seja, podemos dizer que este mecanismo realiza um papel semelhante ao da liga¸c˜ao preferencial no modelo de Barab´asi e Albert.
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E f´acil percebermos que a fra¸c˜ao de v´ertices que ser´a removida da rede para transform´a- la influenciar´a fortemente os resultados que ser˜ao obtidos. Vamos considerar os dois casos limites: quando nenhum dos v´ertices for removido, a rede aleat´oria inicial permanece inalterada;
Figura 5.7: Ilustra¸c˜ao do crescimento de uma rede seguindo o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas. Em t = 0, temos uma rede Poissoniana j´a constru´ıda. Nos passos seguintes, um v´ertice ´e escolhido aleatoriamente (na cor vermelha) para ser removido e suas arestas s˜ao realocadas ao seu vizinho mais conectado (na cor preta). Esta rede inicialmente possui 13 v´ertices, sendo removidos (na cor branca) 3 deles, o que representa aproximadamente 23% dos v´ertices iniciais. Desta forma, ao final do processo obtemos uma rede com 10 v´ertices, a qual possui caracter´ısticas de redes livres de escala, como a presen¸ca de um polo.
enquanto que quando todos os v´ertices forem removidos, simplesmente n˜ao haver´a rede. Com base nisso, procuramos encontrar um valor para a fra¸c˜ao de v´ertices removida que resultaria numa rede com caracter´ısticas interessantes. Por meio de simula¸c˜oes num´ericas observamos que a remo¸c˜ao de aproximadamente 23% dos v´ertices da rede2 levava a uma distribui¸c˜ao de conectividade aparentemente obdecendo, a partir de certos valores de conectividade, a uma lei de potˆencia. Verificou-se que o expoente da referida lei de potˆencia (truncada) tinha valor semelhante ao da lei que regula a distribui¸c˜ao de conectividade do modelo de Barab´asi e Albert (ver figura 5.8).
A representa¸c˜ao visual de uma rede obtida atrav´es desse modelo de transforma¸c˜ao (ver figura 5.9) nos possibilita verificar que ela apresenta caracter´ısticas comuns a redes Poissonia- nas juntamente com caracter´ısticas comuns a redes livres de escala. Podemos observar v´ertices isolados, o que ocorre em redes Poissonianas mas n˜ao em redes geradas do modelo de Barab´asi e Albert. Por outro lado, podemos identificar polos (v´ertices em vermelho), sendo esta uma caracter´ıstica de redes livres de escala mas n˜ao de redes Poissonianas. Tamb´em podemos notar que a maioria dos v´ertices possui poucas conex˜oes (v´ertices roxos). Os v´ertices removidos da rede s˜ao representados na cor amarela.
Entretanto, este resultado n˜ao ´e suficiente para podermos afirmar que os mecanismos de remo¸c˜ao de v´ertices e realoca¸c˜ao de conex˜oes geram redes semelhantes `as geradas pelo me- canismo de liga¸c˜ao preferencial. Portanto, vamos verificar isto analisando outras propriedades deste modelo, como o coeficiente de agrega¸c˜ao e a distˆancia m´edia.
2An´alises feitas mostraram que quando a quantidade de v´ertices removidos era igual a 30% da quantidade
de v´ertices que permaneceram na rede, os resultados indicavam uma rede com caracter´ısticas parecidas com as de uma rede livre de escala. Os v´ertices removidos representam, portanto, 23% dos v´ertices iniciais da rede aleat´oria.
Figura 5.8: Distribui¸c˜ao de conectividade em lei de potˆencia para o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas obtida a partir de simula¸c˜oes computacionais. Deve-se notar como o valor do expoente encontrado atrav´es da simula¸c˜ao ´e pr´oximo do valor do expoente do modelo de Barab´asi e Albert. Simula¸c˜ao realizada para N = 106 e 10 amostras, removendo 23% dos v´ertices iniciais da rede.
5.2.1 Propriedades
do
modelo
de
Transforma¸c˜ao
de
Redes
Poissonianas
A) Coeficiente de Agrega¸c˜ao
Baseados na previs˜ao do coeficiente de agrega¸c˜ao m´edio para o modelo de redes aleat´orias (equa¸c˜ao 2.13) e nos resultados encontrados para redes geradas pelo modelo de Barab´asi e Albert, supomos que para o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas o valor coeficiente de agrega¸c˜ao ¯C aumentaria. Este resultado foi confirmado (ver figura 5.10) e ´e condizente com o fato de a rede livre de escala ser mais coesa que a rede aleat´oria.
B) Distˆancia M´edia
A distˆancia m´edia ¯l tamb´em foi calculada para o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas e percebemos que esta diminui durante o processo de transforma¸c˜ao (ver figura 5.11). Este resultado era esperado, pois ao removermos uma fra¸c˜ao de v´ertices da rede e realocarmos suas conex˜oes o comprimento do caminho entre os v´ertices diminui. Isto indica que
Figura 5.9: Representa¸c˜ao da estrutura de uma rede gerada com N = 500 para o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas. Pode-se observar tanto caracter´ısticas das redes livres de escala, por exemplo, os polos (vermelhos), quanto caracter´ısticas das redes Poissonianas, por exemplo, os v´ertices isolados. Os v´ertices amarelos identificam aqueles que foram removidos da rede, os quais representam 23% do valor total da rede.
a rede obtida ap´os a remo¸c˜ao dos v´ertices ´e mais compacta que as redes aleat´orias. O c´alculo da distˆancia m´edia foi realizado dentro do maior aglomerado da rede, devido a existˆencia de forma¸c˜ao de pequenos grupos de v´ertices que ficam desconexos. O maior aglomerado abrange mais de 90% dos v´ertices da rede, ent˜ao consideramos que este representa satisfatoriamente o valor total desta.
Figura 5.10: Coeficiente de agrega¸c˜ao versus o tamanho da rede para o modelo de trans- forma¸c˜ao de redes Poissonianas. O gr´afico mostra os valores do coeficiente de agrega¸c˜ao durante o processo de transforma¸c˜ao: N = 13000 temos uma rede aleat´oria; N = 10000 temos a rede resultante da remo¸c˜ao de 3000 v´ertices.
Figura 5.11: Distˆancia m´edia versus o tamanho da rede para o modelo de transforma¸c˜ao de redes Poissonianas. O gr´afico mostra os valores da distˆancia m´edia durante o processo de transforma¸c˜ao: N = 13000 temos uma rede aleat´oria; N = 10000 temos a rede resultante da remo¸c˜ao de 3000 v´ertices.