Redes sem escala típica: visão geral, modelos alternativos e técnicas computacionais

Texto

(1)Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Departamento de F´ısica Teórica e Experimental Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica. Redes sem Escala T´ıpica: Visão Geral, Modelos Alternativos e Técnicas Computacionais. Larissa de Farias Ribeiro. Natal–RN Janeiro de 2017.

(2) Larissa de Farias Ribeiro. Redes sem Escala T´ıpica: Visão Geral, Modelos Alternativos e Técnicas Computacionais. Disserta¸cão de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸cão do grau de Mestre em F´ısica. Orientador: Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva Coorientador: Prof. Dr. Tiago Medeiros de Vieira. Natal–RN Janeiro de 2017.

(3) Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Sistema de Bibliotecas – SISBI Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede Ribeiro, Larissa de Farias. Redes sem escala típica: visão geral, modelos alternativos e técnicas computacionais / Larissa de Farias Ribeiro. - 2017. 107 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de PósGraduação em Física. Natal, RN, 2017. Orientador: Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva. Coorientador: Prof. Dr. Tiago Medeiros de Viera. 1. Redes complexas - Dissertação. 2. Redes sem escala típica Dissertação. 3. Redes aleatórias - Dissertação. 4. Distribuição de conectividade - Dissertação. 5. Lei de potência - Dissertação. I. Silva, Luciano Rodrigues da. II. Viera, Tiago Medeiros de. III. Título. RN /UF/BCZM 530.1. CDU.

(4) Larissa de Farias Ribeiro. Redes sem Escala T´ıpica: Visão Geral, Modelos Alternativos e Técnicas Computacionais. Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸cão do grau de Mestre em F´ısica. Aprovada em 13 de janeiro de 2017 pelos membros da banca examinadora.. Banca Examinadora. Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva (Presidente – Orientador) Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Prof. Dr. Tiago Medeiros de Vieira (Examinador Externo – Coorientador) Universidade Federal de Lavras (UFLA). Prof. Dr. Raimundo Silva Junior (Examinador Interno) Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Prof. Dr. Maur´ıcio Lopes de Almeida (Examinador Interno) Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN).

(5) i. Aos meus pais..

(6) ii. Agradecimentos. ` minha querida irmã Camila Ribeiro, Aos meus pais, por toda dedica¸cão e apoio. A pela amizade incondicional. Ao meu companheiro de vida e de sonhos Jadson Tadeu, por todo ` Benjamin, meu companheiro de quatro patas, que com sua forma pura de amor e parceria. A amar torna minha vida mais leve e feliz. Ao professor Luciano Rodrigues da Silva, por ter me concedido a oportunidade de adquirir novos conhecimentos, por todo apoio e incentivo constante. Em especial, ao professor coorientador Tiago Medeiros, por todo ensinamento, paciência e generosidade ao longo desses u´ltimos anos. Muito obrigada por todo seu empenho e dedica¸cão para a conclusão deste trabalho. ` Capes, pelo apoio financeiro que proporcionou o desenvolvimento deste trabalho. Aos A professores do DFTE que contribu´ıram para minha forma¸cão profissional e aos funcionários..

(7) iii. “Um jovem cientista precisa se dedicar a um projeto pelo qual ele se interesse, com o qual ele tenha prazer. Divirtam-se! Quem faz ciência com o objetivo de ganhar prêmios corre um grande risco de ter uma vida miserável. ” (Kurt Wüthrich, Nobel de Qu´ımica.).

(8) iv. Resumo. Estamos inseridos num mundo formado por redes e nos u´ltimos anos estudos sobre redes e suas propriedades têm se expandido consideravelmente. A principal razão é que diversos sistemas podem ser modelados através das chamadas Redes Complexas. Exemplos de sistemas facilmente modelados como redes são: a sociedade, a Web, o cérebro, dentre outros. Para compreender o comportamento desses sistemas, vários modelos na área de Redes Complexas foram propostos. Barabási e Albert propuseram um modelo que inclu´ıa dois mecanismos básicos (crescimento e liga¸cão preferencial), reproduzindo um comportamento caracter´ıstico de alguns sistemas reais: a distribui¸cão de conectividade em lei de potência. Como consequência do modelo de Barabási e Albert, foram surgindo outros modelos de redes, considerando diferentes tipos de fatores inclu´ıdos no mecanismo de liga¸cão preferencial. Modelos que utilizam este mecanismo explicam satisfatoriamente o aparecimento das distribui¸co˜es que seguem lei de potência em redes reais. Entretanto, a liga¸cão preferencial não é o uńico mecanismo através do qual uma rede pode crescer e gerar este tipo de distribui¸cão de conectividade. Por isso, neste trabalho analisamos dois outros modelos que utilizam mecanismos diferentes da liga¸cão preferencial e que são capazes de gerar redes sem escala t´ıpica: o modelo de cópia de vértices e o modelo de transforma¸cão de redes Poissonianas. Comparamos os resultados com as redes decorrentes do modelo de Barabási e Albert, pois acreditamos que estudar modelos distintos que geram resultados similares nos permite ampliar nossos conhecimentos referentes à aplica¸cão de redes complexas e sobre os mecanismos capazes de gerar essas redes. Devido à necessidade de produ¸cão e divulga¸cão de materiais introdutórios às técnicas computacionais fundamentais para a simula¸cão de redes, também apresentamos neste trabalho algumas técnicas utilizadas para implementar as redes dos modelos apresentados.. Palavras-chave: Redes complexas; Redes sem escala t´ıpica; Redes aleatórias; Distribui¸cão de conectividade em lei de potência..

(9) v. Abstract. We are part of a world formed by networks and in recent years studies on networks and their properties have expanded considerably. The main reason is that several systems can be modeled through so called Complex Networks. Examples of systems easily modeled as networks are: society, the Web, the brain, among others. To understand the behavior of these systems, several models in the field of Complex Networks have been proposed. Barabási and Albert proposed a model that included two basic mechanisms (growth and preferential attachment), reproducing a characteristic behavior of some real systems: power-law connectivity distribution. As a consequence of the Barabási and Albert model, other network models have appeared, considering different types of factors included in the preferential attachment mechanism. Models that use this mechanism satisfactorily explain the emergence of distributions that follow power-law in real networks. However, preferential attachment is not the unique mechanism through which a network can grow and generate this type of connectivity distribution. Therefore, in this work we analyze two other models that use different mechanisms of preferential attachment and that are able to generate scale-free networks: the vertex copy model and the Poissonian networks transformation model. We compare the results with the networks derived from the Barabási and Albert model, because we believe that studying different models that lead to similar results allow us to expand our knowledge concerning applications area of complex networks and the mechanisms able to generating such networks. Due to the need of production and dissemination of introductory materials to the fundamental computational techniques for network simulation, we also present in this dissertation some techniques employed to implement the networks of the presented models.. Keywords: Complex Networks; Scale-Free Networks; Random Networks; Power-law Connectivity Distribution..

(10) vi. Lista de Figuras. 2.1 2.2 2.3. (a) Representa¸cão das pontes de Königsberg. (b) Grafo das pontes de Königsberg. Representa¸cão esquemática de uma rede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráficos ilustrativos mostrando a diferen¸ca entre a distribui¸cão de Poisson e a distribui¸cão em lei de potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Exemplo do conceito de coeficiente de agrega¸cão local. . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exemplo do conceito de distância média. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Ilustra¸cão de redes constru´ıdas a partir do modelo de Erdös e Rényi. . . . . . . 2.7 Representa¸cão da estrutura de uma rede gerada pelo modelo de Erdös e Rényi. 2.8 Mapa dos Estados Unidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Processo de reconexão dos vértices proposto pelo modelo de Watts e Strogatz. 2.10 Compara¸cão entre a distância média e o coeficiente de agrega¸cão para o modelo de Watts e Strogatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9. Ilustra¸cão do mecanismo de liga¸cão preferencial para o modelo de Barabási e Albert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribui¸cão de conectividade em lei de potência para o modelo de Barabási e Albert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representa¸cão da estrutura de uma rede para o modelo de Barabási e Albert. . Coeficiente de agrega¸cão versus o tamanho da rede para o modelo de Barabási e Albert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distância média versus o tamanho da rede para o modelo de Barabási e Albert. Ilustra¸cão da dinâmica de crescimento de uma rede seguindo o modelo de Bianconi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfico das fun¸co˜es f (C) = exp(−2/C) e q(C) = 1 − 1/C em fun¸cão de C. . Distribui¸cão de conectividade em lei de potência para o modelo de BianconiBarabási. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportamento da evolu¸cão temporal da conectividade dos vértices para diferentes parâmetros de qualidade η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 4 8 9 10 11 13 16 18 18. 21 24 25 26 27 29 32 33 34.

(11) vii. 3.10 Dependência do expoente dinâmico β(η) com o parâmetro de qualidade η para uma distribui¸cão de qualidade uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Representa¸cão da estrutura de uma rede para o modelo de Bianconi-Barabási. 3.12 Comportamento de um vértice ao variarmos o valor do expoente α. . . . . . . 3.13 Dependência do expoente dinâmico β(η) com o parâmetro de qualidade η e α para a distribui¸cão de qualidade ρ(η) = η α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 Evolu¸cão temporal da conectividade dos vértices para diferentes parâmetros de qualidade η para o modelo de extensão de Bianconi-Barabási. . . . . . . . . . 3.15 Distribui¸cão de conectividade cumulativa para a extensão do modelo de Bianconi-Barabási. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 Distância média e coeficiente de agrega¸cão para a extensão do modelo de Bianconi-Barabási. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 Ilustra¸cão da dinâmica de crescimento da rede para o modelo de afinidade. . . 3.18 Distribui¸cão de conectividade para o modelo de afinidade. . . . . . . . . . . . 3.19 (a) Comportamento da evolu¸cão temporal da conectividade dos vértices para diferentes parâmetros de qualidade η para o modelo de afinidade. (b) Dependência do expoente dinâmico β(η) com o parâmetro de qualidade η para o modelo de afinidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 Distância média e coeficiente de agrega¸cão para o modelo de afinidade. . . . . 3.21 Ilustra¸cão da dinâmica de crescimento da rede gerada pelo modelo de Natal. . 3.22 (a) Análise da distribui¸cão de conectividade para αA = 2 fixo e diferentes valores de αG . (b) Comportamento da rede ao variar αA e manter αG = 2 fixo. 3.23 Representa¸cão da estrutura de uma rede gerada variando os valores de vértices distribu´ıdos no plano para αG e αA para o modelo de Natal. . . . . . . . . . . 3.24 Comportamento da evolu¸cão temporal da conectividade dos vértices para o modelo de Natal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.25 Comportamento do expoente dinâmico β com rela¸cão ao expoente αA para o modelo de Natal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.26 Ilustra¸cão da dinâmica de crescimento da rede para o modelo de afinidade com métrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.27 Distribui¸cão de conectividade para αA = 2 fixo e diferentes valores de αG para o modelo de afinidade com métrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.28 Distribui¸cão de conectividade para αG = 2 fixo e diferentes valores de αA para o modelo de afinidade com métrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.29 Compara¸cão entre o modelo de Natal (MN) e o modelo de afinidade com métrica (AM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30 Representa¸cão da estrutura de uma rede gerada variando os valores de αG e αA para o modelo de afinidade com métrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34 35 36 37 37 38 39 41 42. 43 43 45 46 47 48 48 51 52 52 53 53.

(12) viii. 3.31 Comportamento da evolu¸cão temporal da conectividade de um vértice para o modelo de afinidade com métrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.32 Comportamento de β(η, αA ) com η e com αA . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1 4.2 4.3. Representa¸cão de uma rede com N = 6 vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Matriz de adjacência da rede de intera¸cão prote´ına-prote´ına. . . . . . . . . . . 59 Exemplifica¸cão do vetor de apoio utilizado na constru¸cão do código rápido para o modelo de Barabási e Albert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. 5.1 5.2. 74. Ilustra¸cão do mecanismo de cópia de vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribui¸cão de conectividade em lei de potência para o modelo de cópia de vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Representa¸cão da estrutura de uma rede para o modelo de cópia de vértices. . 5.4 Coeficiente de agrega¸cão versus o tamanho da rede para o modelo de cópia de vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Distância média versus o tamanho da rede para o modelo de cópia de vértices. 5.6 Compara¸cão entre as propriedades do modelo de Barabási e Albert e o modelo de cópia de vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Ilustra¸cão do crescimento de uma rede seguindo o modelo de transforma¸cão de redes Poissonianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Distribui¸cão de conectividade em lei de potência para o modelo de transforma¸cão de redes Poissonianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Representa¸cão da estrutura de uma rede para o modelo de transforma¸cão de redes Poissonianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Coeficiente de agrega¸cão versus o tamanho da rede para o modelo de transforma¸cão de redes Poissonianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Distância média versus o tamanho da rede para o modelo de transforma¸cão de redes Poissonianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76 77 78 79 79 81 82 83 84 84.

(13) ix. Lista de Tabelas. 4.1. Complexidade de tempo das quatro opera¸co˜es para representa¸co˜es de uma rede de N vértices e M arestas utilizando matrizes e listas de adjacência. . . . . . 61.

(14) x. Sum´ ario. Resumo. iv. Abstract. v. 1 Introdu¸c˜ ao. 1. 2 Revis˜ ao Hist´ orica 2.1 Defini¸cão de Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Distribui¸cão de Conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Coeficiente de Agrega¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Distância Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Modelos Clássicos de Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Modelo de Erdös e Rényi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.1 Propriedades Estruturais do Modelo de Erdös e Rényi 2.3.2 Experimento de Milgram: o fenômeno de mundo pequeno . . . 2.3.3 Modelo de Watts e Strogatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Redes sem Escala T´ıpica 3.1 Modelo de Barabási e Albert . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Propriedades do modelo de Barabási e Albert 3.2 Modelo de Bianconi-Barabási . . . . . . . . . . . . 3.3 Extensão do Modelo de Bianconi-Barabási . . . . . 3.4 Modelo de Afinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Modelo de Natal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Modelo de Afinidade com Métrica . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 3 3 6 6 7 9 10 10 12 14 16. . . . . . . .. 19 20 24 27 33 39 44 49. 4 T´ ecnicas Computacionais 56 4.1 Matrizes e Listas de Adjacência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Análise de Algoritmos de Redes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.

(15) xi. 4.2.1 4.2.2. 4.2.3. Rede Aleatória . . . . . . . Rede de Barabási e Albert . 4.2.2.1 Código Padrão . . 4.2.2.2 Código Rápido . . Rede de Bianconi-Barabási . 4.2.3.1 Código Padrão . . 4.2.3.2 Código Rápido . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 5 Redes sem Escala T´ıpica: Modelos Alternativos 5.1 Modelo de Cópia de Vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Propriedades do modelo de Cópia de Vértices . . . . . . . . . . . 5.2 Modelo de Transforma¸cão de Redes Poissonianas . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Propriedades do modelo de Transforma¸cão de Redes Poissonianas 5.3 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. 61 63 63 66 67 67 68. . . . . .. 71 72 77 80 82 85. 6 Considera¸c˜ oes finais. 87. Referˆ encias bibliogr´ aficas. 90.

(16) 1. Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ ao Nos u´ltimos anos, os estudos sobre redes e suas propriedades têm se expandido consideravelmente. A principal razão é que diversos sistemas podem ser modelados através das chamadas Redes Complexas. Por exemplo, as sociedades são redes constitu´ıdas por diferentes tipos de relacionamentos entre indiv´ıduos, as células são redes de moléculas ligadas por rea¸co˜es qu´ımicas e, a internet é uma rede de roteadores e computadores ligados através de conexões o´pticas e f´ısicas. Pode-se considerar que o estudo das redes teve sua origem na Teoria dos Grafos, ramo da matemática que iniciou por volta de 1736, quando Euler solucionou o famoso problema das sete pontes de Königsberg. Ao resolver este problema, ele apresentou ao mundo o que seria o primeiro grafo e hoje a ideia de grafo é a representa¸cão mais simples de uma rede do ponto de vista matemático. As redes podem ser basicamente definidas como um conjunto de elementos conectados entre si. Torna-se fácil, então, perceber que as redes estão em toda parte, sendo uma preciosa ferramenta usada para descrever vários sistemas reais. Mas apesar da importância e alcance das redes, durante um bom tempo os pesquisadores dedicaram poucos esfor¸cos na tentativa de compreender completamente suas estruturas e propriedades. No entanto, nas u´ltimas décadas a comunidade cient´ıfica passou a investigar os mecanismos que determinam as caracter´ısticas estruturais e topológicas das redes complexas. Os primeiros estudos rigorosos sobre redes foram realizados por Erdös e Rényi em 1959. Eles propuseram um modelo onde a constru¸cão de uma rede iniciava-se com N vértices e cada um dos poss´ıveis pares de vértices era conectado com uma probabilidade p, produzindo assim uma rede aleatória que apresentava uma distribui¸cão de conectividade do tipo Poissoniana. Este modelo foi a base da teoria das redes por muitas décadas. Porém, nos u´ltimos anos, com os avan¸cos tecnológicos e o aumento do poder computacional, pesquisas nesta área puderam se desenvolver e possibilitaram o estudo das estruturas e propriedades de muitas redes reais, as quais demonstraram que o modelo de rede aleatória não era suficiente para descrevê-las. Os resultados obtidos a partir destas novas redes mostraram que sua distribui¸cão de conectividade segue uma lei de potência do tipo P (k) ∝ k −γ e que, portanto, desvia significativamente da distribui¸cão de Poisson. Este comportamento, indica a ausência de uma escala t´ıpica, fazendo.

(17) 2. com que redes como estas sejam chamadas de Redes sem Escala T´ıpica ou Redes Complexas. No âmbito da f´ısica, redes desse tipo foram inicialmente estudadas por Barabási e Albert, os quais propuseram um modelo que gerasse redes com distribui¸cão de conectividade em lei de potência a partir de um algoritmo simples que inclu´ıa apenas duas regras básicas: crescimento e liga¸cão preferencial [17]. Como consequência do modelo de Barabási e Albert, foram surgindo outros modelos de redes, considerando diferentes tipos de fatores inclu´ıdos no mecanismo de liga¸cão preferencial, dentre os quais apresentaremos com mais detalhes no decorrer deste trabalho: o modelo de Bianconi [22], o modelo de extensão do modelo de Bianconi [12], o modelo de afinidade [23], o modelo de Natal [26, 27] e o modelo de afinidade com métrica [29]. Modelos que utilizam o mecanismo de liga¸cão preferencial explicam satisfatoriamente o aparecimento das distribui¸co˜es que seguem lei de potência em redes reais. Entretanto, este não é o uńico mecanismo através do qual uma rede pode crescer e gerar este tipo de distribui¸cão de conectividade. Outros modelos que utilizam mecanismos diferentes e que são capazes de resultar em redes sem escala t´ıpica são: o modelo de cópia de vértices e o modelo de transforma¸cão de redes Poissonianas. Esta disserta¸cão concentra-se no estudo das redes sem escala t´ıpica e tem como objetivo apresentar uma visão geral dos modelos fundamentais desta área, técnicas computacionais para implementar essas redes e modelos alternativos. O conteúdo apresentado organiza-se da seguinte forma. No cap´ıtulo 2, apresentaremos os principais conceitos para a compreensão da área e os modelos clássicos de redes: modelo de Erdös e Rényi e o modelo de Watts e Strogatz. Esses são modelos que apresentam uma distribui¸cão de conectividade com escala t´ıpica. O cap´ıtulo 3 é dedicado ao estudo das redes sem escala t´ıpica. Neste cap´ıtulo apresentaremos modelos que utilizam o mecanismo de liga¸cão preferencial e que geram distribui¸cão de conectividade em lei de potência: o modelo de Barabási-Albert e modelos derivados deste. No cap´ıtulo 4, apresentaremos técnicas básicas para modelar redes e algoritmos de alguns modelos fundamentais. No cap´ıtulo 5, discutiremos modelos que utilizam mecanismos diferentes da liga¸cão preferencial e que geram redes sem escala t´ıpica: o modelo de cópia de vértices e o modelo de transforma¸cão de redes Poissonianas. Por fim vêm as considera¸co˜es finais e perspectivas para trabalhos futuros..

(18) 3. Cap´ıtulo 2. Revis˜ ao Hist´ orica Estamos inseridos num mundo formado por redes e nos u´ltimos anos estudos sobre redes e suas propriedades têm se expandido consideravelmente. A principal razão é que diversos sistemas podem ser modelados através das chamadas redes complexas. Exemplos de sistemas facilmente modelados como redes são: (i) a sociedade, que é uma rede formada por pessoas conectadas através de algum tipo de rela¸cão entre elas; (ii) a Web, que é a rede virtual formada por “páginas da internet”; (iii) o cérebro, que é uma rede de neurônios interconectados através de sinapses; etc. Para facilitar a discussão dos modelos de redes complexas apresentada nos cap´ıtulos seguintes, no presente cap´ıtulo são revisados os conceitos básicos de redes e apresentados os principais modelos clássicos.. 2.1 Defini¸c˜ ao de Redes O que são redes? De uma forma bastante simples, uma rede é um conjunto de elementos conectados entre si. O estudo das redes teve sua origem na Teoria de Grafos, a qual surgiu em 1736 quando o matemático su´ı¸co Leonard Euler apresentou uma solu¸cão para o problema das pontes de Königsberg. A cidade de Königsberg, capital da Prússia Oriental, era banhada pelo rio Pregel, que ao cruzá-la se ramificava de tal maneira a formar quatro faixas de terra. Estas eram conectadas umas às outras através de sete pontes, as famosas sete pontes de Königsberg (ver figura 2.1). Durante muito tempo os habitantes da cidade se perguntaram se seria poss´ıvel encontrar um caminho cont´ınuo que cruzasse as sete pontes, passando sobre cada uma apenas uma uńica vez. Euler considerou a situa¸cão e para solucionar o problema utilizou um diagrama onde as faixas de terra eram representadas por vértices (A a D) e as pontes por arestas (1 a 7), criando possivelmente o primeiro grafo da história. A partir do grafo de Königsberg, ele provou que era imposs´ıvel existir um caminho que não cruzasse a mesma ponte duas vezes. Esta prova baseou-se na observa¸cão de que vértices que apresentam um número ´ımpar de arestas devem ser o ponto de partida ou de chegada. Além disso, para existir um caminho cont´ınuo que atravessasse as sete pontes era necessário ter um uńico vértice deste tipo. Logo esse caminho não poderia existir caso o grafo tivesse mais de dois vértices com o número ´ımpar de arestas. Como o grafo de Königsberg continha quatro destes vértices, era.

(19) 4. Figura 2.1: (a) Representa¸cão das pontes de Königsberg. (b) Grafo das pontes de Königsberg. As faixas de terra são representadas pelos vértices e as pontes pelas arestas. Figura adaptada de [1]. imposs´ıvel encontrar o caminho desejado [2]. Encontramos então na teoria de grafos, o formalismo matemático para podermos representar e descrever redes. Na literatura cient´ıfica os termos rede e grafo são usados frequentemente como sinônimos, entretanto existe uma diferen¸ca conceitual entre essas duas terminologias que deve ser evidenciada. As redes na maioria das vezes referem-se a sistemas reais onde os seus elementos possuem propriedades espec´ıficas do sistema que desejam descrever, enquanto que os grafos são representa¸cões puramente matemáticas de redes, tratando estas como conjuntos de vértices e arestas. Os cientistas da área das redes complexas, em geral, utilizam a seguinte nomenclatura: os vértices são denominados de nós ou s´ıtios e as arestas são chamadas de conexões ou liga¸co˜es [3]. Deve-se ressaltar que a distin¸cão entre vértices e nós ou s´ıtios raramente é obrigatória. Do mesmo modo, geralmente as nomenclaturas aresta, conexão e liga¸cão são intercambiáveis. Assim, uma rede pode ser definida como um conjunto de elementos (s´ıtios ou nós) conectados entre si por linhas (liga¸cões ou conexões), conforme esquematizado na figura (2.2).. Figura 2.2: Representa¸cão esquemática de uma rede..

(20) 5. Uma caracter´ıstica importante de um vértice é o número total de conexões que este realiza, ou seja, o número de arestas que possui. Essa grandeza é chamada de conectividade (k) ou grau do vértice. Quando dois vértices estão conectados diretamente, dizemos que estes são vizinhos ou adjacentes. Vértices muito conectados são chamados de polos (hubs). As redes podem ser direcionadas ou não direcionadas. Elas são direcionadas quando há uma dire¸cão associada a cada conexão, isto é, quando está expl´ıcito a origem da conexão e seu destino. No caso das redes direcionadas, pode-se definir duas conectividades para cada vértice: a conectividade de entrada ki 1 se refere ao número de arestas que chegam até ele (o vértice é o destino delas) e a conectividade de sa´ıda ko 2 se refere ao número de arestas que partem dele (o vértice é a origem delas). Com isso, a conectividade total de um vértice em uma rede direcionada é k = ki + ko . Quando as redes são não direcionadas falamos apenas em conectividade k do vértice, pois não há as no¸co˜es de origem e destino associadas a cada ´ interessante conexão. Neste trabalho focaremos exclusivamente em redes não direcionadas. E notar que a quantidade máxima de arestas Mmax que uma rede deste tipo composta por N vértices pode ter é apenas um problema de análise combinatória. Cada vértice pode se ligar a no máximo outros N − 1 vértices. Se cada vértice realizar todas essas conexões, então a rede terá um total de N (N − 1) arestas. Nota-se, porém, que nesse caso cada par de vértices estará conectado por duas arestas, por isso se torna necessário dividir essa quantidade de arestas por 2. Isso é a combina¸cão de N elementos 2 a 2: Mmax. N (N − 1) N N! = = = (N − 2)!2! 2 2. (2.1). De certa forma, definimos o termo rede de uma maneira bem simples e formal. Mas sabemos que definir este conceito não envolve somente explicar “o que é uma rede”, mas ´ interestambém apresentar os diferentes tipos de redes existentes e suas caracter´ısticas. E sante notarmos que não devemos nos restringir somente à estrutura bruta que uma rede nos apresenta, mas que também devemos procurar entendê-la de uma maneira universal, isto é, um conjunto de vértices e arestas podem nos fornecer informa¸cões u´teis quando usados para modelar sistemas adequados e quando são analisados corretamente. Exemplos dessas informa¸co˜es são previsões sobre o fluxo de dados na internet ou sobre como uma doen¸ca se espalhará em uma comunidade. Sabemos que procurar ter esta visão mais universal é uma tarefa dif´ıcil, mas que pode trazer recompensas relevantes para nossa percep¸cão da dimensão desta área. Por isso, no próximo tópico, apresentamos algumas caracter´ısticas fundamentais para a compreensão das redes complexas: a distribui¸cão de conectividade, o coeficiente de agrega¸cão médio e a distância média. 1 2. O ´ındice i faz referência à palavra em inglês input. O ´ındice o faz referência à palavra em inglês output..

(21) 6. 2.2 Conceitos B´ asicos 2.2.1 Distribui¸c˜ ao de Conectividade Uma importante propriedade estrutural de qualquer rede é a distribui¸cão de conectividade P (k). Ela é a caracteriza¸cão mais básica de uma rede e representa somente o passo inicial para sua descri¸cão e compreensão. A distribui¸cão de conectividade nos fornece a probabilidade de que um vértice, escolhido de forma aleatória, possua k liga¸co˜es. De forma equivalente, podemos dizer que esta nos mostra a fra¸cão de vértices de uma rede que apresenta conectividade k. A forma como a conectividade k está distribu´ıda entre os vértices de uma rede é visualizada através do gráfico P (k) versus k. Mais informa¸co˜es podem ser extra´ıdas através do cálculo dos momentos da distribui¸cão, sendo que a equa¸cão para o momento de ordem n é hk n i =. X. k n P (k). (2.2). k. Dessa equa¸cão vemos que, o primeiro momento hki é a conectividade média da rede, enquanto que o segundo momento, hk 2 i, determina as flutua¸cões existentes na distribui¸cão de conectividade. Note que hki pode ser calculado diretamente a partir do número N de vértices e M de arestas: hki =. N 2M 1 X ki = N i=1 N. (2.3). Para auxiliar no entendimento do conceito de distribui¸cão de conectividade, listamos abaixo alguns exemplos comuns de distribui¸cões presentes nas redes complexas. A. Distribui¸c˜ ao de Poisson: A distribui¸cão de Poisson é uma distribui¸cão de probabilidade discreta que expressa a probabilidade que um certo número de eventos ocorra em um intervalo cont´ınuo (tempo ou espa¸co). Esta nos proporciona descrever situa¸co˜es nas quais são observadas duas caracter´ısticas principais: (i) o número N de elementos (objetos) envolvidos é grande (N → ∞); e (ii) os eventos ocorrem com probabilidade p pequena (p → 0). Ela é definida por: e−hki hkik (2.4) k! Podemos citar como exemplo de uma rede que segue essa distribui¸cão, a rede aleatória. Observa-se o comportamento poissoniano quando seu número de vértices tende ao infinito e sua conectividade média hki é fixa (ver figura 2.3). Em razão dessa propriedade, dizemos que esse sistema possui uma distribui¸cão com escala t´ıpica. P (k) =.

(22) 7. B. Distribui¸c˜ ao em Lei de Potˆ encia: A distribui¸cão de conectividade é dita ser do tipo lei de potência quando sua fun¸cão de probabilidade tem a forma: P (k) = Ak −γ. (2.5). onde A é apenas uma constante de normaliza¸cão, k 6= 0 e γ é o expoente padrão da distribui¸cão. Deve-se notar que embora a distribui¸cão em lei de potência decaia rapidamente quando o valor de k cresce, o decaimento ainda é mais lento do que o de qualquer outra distribui¸cão, o que implica numa probabilidade muito maior de existir eventos extremos. Uma maneira conveniente de apresentar a distribui¸cão em lei de potência é no gráfico log-log, onde é fácil medir o expoente da distribui¸cão γ (ver figura 2.3). Ao contrário da distribui¸cão de Poisson, a distribui¸cão em lei de potência não possui um valor caracter´ıstico para sua conectividade. Essa propriedade faz com que redes descritas por essas distribui¸co˜es sejam chamadas de redes sem escala t´ıpica ou redes livre de escala. Ou seja, como não existe um uńico elemento que seja representativo das conexões de todos os outros elementos, essa rede não possui uma escala t´ıpica de conectividade – da´ı o termo “livre de escala”.. 2.2.2 Coeficiente de Agrega¸c˜ ao O coeficiente de agrega¸cão é um parâmetro que nos informa sobre a presen¸ca de conexões entre os vizinhos de um dado vértice. Considere, por exemplo, um vértice que possua dois vizinhos. Qual é a probabilidade de que estes dois vizinhos estejam conectados entre ´ o coeficiente de agrega¸cão que nos fornece este resultado. Formalmente, seja um dado si? E vértice i que possui ki vizinhos, o valor do coeficiente de agrega¸cão (local) de i é dado pelo quociente entre o número de arestas mi que os vizinhos de i possuem entre si e o número total ki (ki − 1)/2 de arestas poss´ıveis que eles poderiam possuir: ci =. mi ki (ki − 1)/2. (2.6). onde ci assume valores dentro do intervalo 0 ≤ ci ≤ 1. Logo, quando ci = 0, temos que os vizinhos do vértice i não se conectam entre si e quando ci = 1, todos os vizinhos do vértice i também são vizinhos entre si (ver figura 2.4). Observe que a defini¸cão acima somente é válida para vértices que tenham pelo menos dois vizinhos. Podemos também obter o coeficiente de agrega¸cão de toda a rede, isto é, o coeficiente de agrega¸cão médio. Este é definido como a média dos ci pelo número total de vértices: 1 X mi C¯ = N i ki (ki − 1)/2. (2.7).

(23) 8. Figura 2.3: Gráficos ilustrativos, gerados a partir da simula¸cão de redes, mostrando a diferen¸ca entre a distribui¸cão de Poisson e a distribui¸cão em lei de potência. (a) Distribui¸cão de Poisson: vemos que existe um valor t´ıpico para k, o valor médio, e que os demais valores de k não se distanciam muito desse valor médio. (b) Distribui¸cão em lei de potência em um gráfico com eixos em escala linear: é poss´ıvel observar valores de k muito altos, correspondendo aos casos extremos que são menos raros do que na distribui¸cão de Poisson. (c) Distribui¸cão em lei de potência em um gráfico cujos eixos têm escala semi-logar´ıtmica: comportamento linear com inclina¸cão aproximadamente igual ao expoente da equa¸cão (2.5). Depois da distribui¸cão de conectividade, o coeficiente de agrega¸cão é um dos parâmetros mais utilizados na descri¸cão de redes complexas. Nas redes sociais, por exemplo, essa propriedade fica expl´ıcita na ideia de que “os meus amigos são provavelmente amigos entre si”. ´ interessante ressaltar que existem outras defini¸cões para o coeficiente de agrega¸cão E de uma rede, por exemplo, a defini¸cão relacionada com a contagem de ciclos de comprimento três, ou seja, triângulos, a qual também é conhecida como transitividade da rede. Contudo, as men¸cões feitas ao coeficiente de agrega¸cão neste texto se referem à defini¸cão apresentada anteriormente..

(24) 9. Figura 2.4: Exemplo do conceito de coeficiente de agrega¸cão local. Veja que para o vértice i, temos ki = 6 e mi = 5, resultando em um coeficiente de agrega¸cão local ci = 1/3.. 2.2.3 Distˆ ancia M´ edia A distância média é outra propriedade importante que nos ajuda a compreender o comportamento de uma rede. Porém, antes de definirmos o que é distância e distância média, ´ dito que existe um caminho entre dois vértices precisamos conhecer o que é um caminho. E i e j quando existe uma sequência de vértices, vizinhos aos pares, que permite sair de i e chegar a j ou vice-versa. Portanto, caminho é a sequência dos vértices ou das arestas que devem ser atravessadas no percurso entre os vértices i e j. O comprimento de um caminho é definido como o número de arestas que o formam. Já no caso de o caminho ser especificado pela sequência de vértices atravessados, o comprimento é definido como o número de vértices menos 1, desde que sejam inclu´ıdos no caminho os vértices inicial e final. Como exemplo, podemos usar a rede da figura (2.5). Um dos vários caminhos entre os vértices 1 e 7 é a sequência de vértices (1, 3, 7), cujo comprimento é 2. A distância entre dois vértices, por sua vez, é definida como o comprimento do caminho mais curto. Quando os dois vértices estão desconectados, define-se a distância entre eles como infinita. A distância média entre os vértices de uma rede é definida como a média da distância entre todos os pares de vértices da rede. Formalmente, seja dij a distância entre os vértices i e j de uma rede arbitrária, a distância média entre os vértices da rede é dada pela equa¸cão: ¯l =. X 2 dij N (N − 1) i<j. (2.8). A distância média possui uma fun¸cão central no estudo da estrutura de redes, pois informa quão próximos os vértices estão uns dos outros. No transporte de informa¸co˜es, onde podemos citar como exemplo o envio de pacotes de dados de um computador para o outro.

(25) 10. Figura 2.5: Exemplo do conceito de distância média. A distância média entre os vértices da rede é 1,6 e o diâmetro é 3. através da Internet, a menor distância fornece a melhor alternativa de tráfego desses pacotes de dados, fazendo que com estes sejam transferidos da maneira mais eficiente poss´ıvel. Dito isto, vemos que esta propriedade é muito relevante para a comunica¸cão e propaga¸cão de informa¸co˜es em uma rede. Ao falarmos da distância média é interessante termos no¸cão de um conceito relacionado: o diâmetro de uma rede, o qual também é frequentemente usado. O diâmetro de uma rede é definido como a maior das distâncias entre todos os pares de vértices que formam a rede.. 2.3 Modelos Cl´ assicos de Redes Nesta se¸cão, iremos apresentar e discutir alguns modelos clássicos de redes, abordando suas fundamenta¸co˜es, procedimentos de constru¸cão e propriedades. Come¸caremos fazendo a descri¸cão de um dos modelos que formam a base da teoria de redes complexas, o modelo de Erdös e Rényi. Em seguida, apresentaremos o experimento de Stanley Milgram, o qual teve um papel importante para o estudo das redes sociais e que foi fundamental para o surgimento do modelo de Watts e Strogatz, que também discutiremos ao final desta se¸cão.. 2.3.1 Modelo de Erd¨ os e R´ enyi Entre 1959 e 1968, Paul Erdös e Alfred Rényi desenvolveram a teoria dos grafos aleatórios, a qual era uma combina¸cão da teoria da probabilidade e da análise combinatória com a teoria dos grafos, estabelecendo assim um novo ramo da matemática. Baseado nesta teoria, eles propuseram um dos primeiros modelos de redes, o qual ficou conhecido por vários nomes, como modelo binomial, modelo de rede aleatória, modelo de rede Poissoniana e até mesmo modelo de Erdös e Rényi, devido ao impacto e importância do trabalho deles na compreensão das propriedades dessas redes [4, 5]. O modelo de rede aleatória foi também introduzido, de forma independente, por Edgar Gilbert no mesmo ano em que Erdös e Rényi.

(26) 11. publicaram seu trabalho sobre este assunto [6]. Entretanto, as contribui¸cões de Erdös e Rényi foram tão fundamentais para o desenvolvimento dessa área que eles são considerados os fundadores da teoria dos grafos aleatórios. O modelo de rede aleatória é relativamente simples e não possui um critério que privilegie certas liga¸cões em rela¸cão a outras. Existem duas defini¸cões desde modelo, ambas baseadas apenas em dois parâmetros. A primeira defini¸cão assume como fixo o número N de vértices e o número M de arestas, ficando por isso conhecida como modelo G(N, M ). De acordo com esta defini¸cão, ao construirmos uma rede, os N vértices da rede são conectados por M arestas escolhidas aleatoriamente dentre as N (N − 1)/2 poss´ıveis. Erdos e Rényi usaram esta defini¸cão em seus trabalhos sobre redes aleatórias. A segunda defini¸cão deste modelo foi introduzida por Gilbert e segue diretamente a ideia por trás da distribui¸cão binomial, a qual é caracterizada pelos parâmetros N e p fixos, e por isso ficando conhecida como modelo G(N, p). Seguindo esta segunda defini¸cão, a constru¸cão de uma rede inicia-se com N vértices e cada par de vértices é conectado com probabilidade p, a mesma probabilidade para todos os pares (ver figura 2.6). Deste modo, é feita a tentativa de adicionar cada uma das N (N − 1)/2 arestas que podem estar presentes na rede. Cada uma tem probabilidade p de ser adicionada e essa probabilidade é independente das demais. Note que é como se tentássemos adicionar todas as arestas poss´ıveis, uma por uma, mas somente a adi¸cão de uma fra¸cão p delas fosse efetivamente realizada, de modo que o valor esperado de arestas é dado por pN (N − 1)/2. Portanto, a conectividade média (equa¸cão 2.3) relaciona-se com p da seguinte forma: hki =. 2pN (N − 1)/2 = p(N − 1) ∼ = pN N. (2.9). assumindo que N 1.. Figura 2.6: Ilustra¸cão de redes constru´ıdas a partir modelo de Erdös e Rényi. Consideramos três redes, cada uma com N = 10 vértices e com uma determinada probabilidade p. (a) Rede com p = 0, onde evidentemente obtemos vértices isolados. (b) e (c) Redes onde conectamos cada par de vértices com probabilidade p = 0.1 e p = 0.2, respectivamente..

(27) 12. Neste trabalho, vamos explorar a segunda defini¸cão apresentada, o modelo G(N, p), pois além dele nos permitir calcular as principais caracter´ısticas da rede com maior facilidade, também representa as redes reais com maior veracidade, devido ao fato que em redes reais o número de liga¸co˜es dificilmente é conhecido com antecedência. Percebe-se que esse modelo segue duas regras básicas: tamanho constante e liga¸co˜es completamente aleatórias. O algoritmo para a constru¸cão de uma rede aleatória é o seguinte: (1) Inicie a rede com N vértices. (2) Fa¸ca uma listagem de todos os N (N − 1)/2 pares de vértices distintos. (3) Selecione um par de vértices e gere um número aleatório entre 0 e 1, considerando uma distribui¸cão de probabilidade uniforme. (3.1) Se o número gerado for menor ou igual a probabilidade predeterminada p, estabele¸ca uma liga¸cão entre o par de vértices selecionado. (3.2) Se o número gerado for maior que p, não estabele¸ca nenhuma liga¸cão entre o par de vértices selecionado. (4) Repita o passo (3) para cada um dos N (N − 1)/2 pares de vértices da rede, garantindo que cada par de vértice só seja visitado uma uńica vez. Baseado neste algoritmo, constru´ımos uma representa¸cão de uma rede gerada pelo modelo de Erdös e Rényi (ver figura 2.7). Esta representa¸cão nos permite observar que vários vértices não possuem nenhuma liga¸cão (k = 0), sendo representados por vértices isolados (na cor azul), enquanto a maioria realiza várias liga¸co˜es. Erdös e Rényi estudaram propriedades associadas a redes aleatórias quando N → ∞. Um dos resultados mais importantes que eles obtiveram foi que as redes aleatórias possuem uma transi¸cão de fase, ou seja, eles mostraram que existe uma probabilidade p a partir da qual observamos uma mudan¸ca abrupta na rede, onde esta deixa de ser formada por pequenos conjuntos de vértices conectados entre si, passando a ser um grande aglomerado formado pela fusão da maioria dos pequenos grupos. Esta caracter´ıstica está diretamente relacionada ao processo conhecido como percola¸cão. Para mais informa¸co˜es sobre percola¸cão veja [7]. A seguir faremos uma análise das principais caracter´ısticas das redes aleatórias. 2.3.1.1 Propriedades Estruturais do Modelo de Erd¨ os e R´ enyi. A) Distribui¸c˜ ao de conectividade Em uma rede aleatória com probabilidade de conexão p, a conectividade ki de um vértice i, segue uma distribui¸cão binomial:.

(28) 13. Figura 2.7: Representa¸cão da estrutura de uma rede gerada com N = 80 e p = 0.03 pelo modelo de Erdös e Rényi.. P (k = ki ) = CNk −1 pk (1 − p)N −1−k. (2.10). onde o primeiro termo, CNk −1 , é o número de maneiras equivalentes de selecionar k vértices dentre os N −1 diferentes de i, com a inten¸cão de se realizarem k conexões. O segundo termo, pk , representa a probabilidade de que o vértice escolhido esteja conectado a k outros, enquanto o terceiro termo, (1 − p)N −1−k , representa a probabilidade de que tal vértice não esteja conectado aos (N − 1 − k) vértices restantes. Como todos os vértices em uma rede aleatória são equivalentes estatisticamente, a probabilidade de um vértice selecionado aleatoriamente possuir k liga¸cões é a mesma para todos. Para N suficientemente grande e p suficientemente pequeno, essa distribui¸cão tende a uma distribui¸cão de Poisson: e−pN (pN )k e−hki hkik = (2.11) k! k! onde hki é a conectividade média que é dada por hki = p(N −1). Podemos observar então que as redes constru´ıdas segundo essas regras apresentam uma distribui¸cão de conectividade onde a maioria dos vértices possui uma quantidade liga¸cões em torno de um valor médio, enquanto poucos vértices possuem uma quantidade de liga¸co˜es que difere muito da média (ver figura 2.3). P (k) ≈.

(29) 14. B) Coeficiente de Agrega¸c˜ ao Considerando um vértice qualquer em uma rede aleatória, a probabilidade de que dois vértices vizinhos dele estejam ligados entre si é igual à probabilidade de que dois vértices aleatoriamente selecionados estejam conectados, pois já sabemos que todas as arestas têm igual probabilidade de existirem. Logo, o coeficiente de agrega¸cão médio é dado por: hki C¯ = p = N. (2.12). C) Distˆ ancia M´ edia Considere uma rede aleatória onde os vértices tenham em média k liga¸co˜es, hki. Isto significa que de um vértice qualquer, pode-se visitar, em média, outros k vértices afastados com uma distância unitária, ou seja, l = 1. De cada um desses k vértices, podemos visitar, em média, outros k vértices, os quais são vizinhos com l = 2 em rela¸cão ao vértice considerado inicialmente e, portanto, o número médio de vértices visitados é hki2 . De forma geral, para a distância l dizemos que o número médio de vizinhos é aproximadamente hkil , ou melhor, podemos visitar hkil vértices com l passos. Se a rede contém N vértices hkil não pode ultrapassar o tamanho N , ou seja, N = hkil . Portanto, para atingir os N vértices da rede são necessários em média ¯l = ln N ln hki. (2.13). passos. Isso sugere que a distância média entre os vértices é pequena em compara¸cão com o tamanho da rede. Esta caracter´ıstica dá origem ao fenômeno conhecido como mundo pequeno (small-world), o qual serviu de base para explicar o resultado do experimento de Stanley Milgram que discutiremos no próximo tópico.. 2.3.2 Experimento de Milgram: o fenˆ omeno de mundo pequeno O estudo da distância média ganhou destaque em 1967, quando o psicólogo e sociólogo norte-americano Stanley Milgram realizou um experimento com a inten¸cão de saber se duas pessoas desconhecidas e escolhidas aleatoriamente nos Estados Unidos, poderiam ser conectadas através de pessoas que se conheciam. Se isso fosse poss´ıvel, quantas pessoas formariam a corrente de conhecidos que ligaria as duas pessoas aleatórias? Desta forma, a questão central desse experimento focava em medir a “distância social”3 entre duas pessoas quaisquer nos EUA, o que nos forneceria uma ideia geral sobre a rede de contatos sociais deste pa´ıs. 3 Usamos a expressão “distância social” para enfatizar que o experimento teve a inten¸cão de medir a distância topol´ ogica dentro da rede social na qual cada indiv´ıduo está imerso e não a distância espacial..

(30) 15. Para dar in´ıcio a este experimento, Milgran selecionou pessoas aleatoriamente nos estados de Nebraska e Kansas, e as pediu para participarem de um estudo relacionado à sociedade americana, onde deveriam entregar uma carta para duas pessoas escolhidas como alvos no estado de Massachusetts (ver figura 2.8). A primeira pessoa alvo era a esposa de um estudante de gradua¸cão e a segunda um corretor da bolsa de valores de Boston. A carta continha o objetivo do estudo, uma fotografia, o nome, o endere¸co, alguns dados pessoais da pessoa alvo e as seguintes instru¸cões: (1) Cada pessoa que receber a carta deve se identificar colocando seu nome na mesma. Isto serve para rastrear a origem da carta, evitando que esta retorne para a mesma pessoa. (2) Se você conhece a pessoa alvo, envie este documento diretamente para ele(a). (3) Se você não conhece diretamente a pessoa alvo, repasse este documento para algum conhecido que você acredite que tenha maior probabilidade de conhecer o destinatário. (4) Ao enviar a carta, cada pessoa deve remeter ao cientista uma confirma¸cão de sua participa¸cão. Esta etapa é muito importante para o desenvolvimento do estudo, pois proporciona ao pesquisador o acompanhamento do trajeto da experiência. Quando a carta chegar à pessoa alvo, esta deverá enviar a mesma para o pesquisador para completar a experiência. O resultado da experiência foi surpreendente, pois esperava-se que o número de cartas para chegar à pessoa alvo fosse muito grande. Entretanto, o número de intermediários dessas cartas variou entre 1 e 10, com média 6. Este trabalho foi publicado em 1967, na revista “Psychology Today” intitulado como “Problema de Mundo Pequeno” e mostrou que dois indiv´ıduos quaisquer nos EUA estão conectados por, em média, seis intermediários [8]. Da´ı surgiu a famosa expressão “Seis Graus de Separa¸cão”, a qual já inspirou pe¸cas de teatro, filmes e livros [9]. Apesar deste experimento ter se restringido apenas aos Estados Unidos, admite-se que seu resultado seja universal. O advento de novas tecnologias de comunica¸cão agu¸cou a curiosidade dos estudiosos da área, de modo que novos experimentos desse tipo foram realizados utilizando a outrora famosa plataforma de mensagens instantâneas da Microsoft, o MSN Messenger. Esse estudo data de 2006 e analisou cerca de 30 bilhões de mensagens de 240 milhões de usuários da plataforma espalhado por todo o globo. Os resultados encontrados confirmaram a tese dos seis graus de separa¸cão [10, 11]. Empresas como o Facebook têm repetido o experimento mais recentemente e têm encontrado um padrâo que indica que essa distância média vem caindo com o tempo, o que indica que as pessoas estão se tornando cada vez mais conectadas umas às outras. No entanto, deve-se tomar o cuidado de perceber que a liga¸co˜es sociais em meios virtuais não refletem necessariamente as rela¸co˜es interpessoais do mundo real. Apesar disso, todas essas novas iniciativas de medir o grau de separa¸cão entre as pessoas refor¸cam o conceito de mundo pequeno..

(31) 16. Figura 2.8: Mapa dos Estados Unidos. Os estados de Nebraska e Kansas, em vermelho, representam os pontos de sa´ıda das cartas e o estado de Massachusetts, em verde, representa o ponto de chegada. Figura adaptada de [13]. ´ importante ressaltar, que a contribui¸cão de Milgram foi além de medir a distância E entre pessoas e mostrar o quanto estamos conectados, pois com este estudo ele nos forneceu uma das primeiras demonstra¸cões do fenômeno de mundo pequeno e motivou estudos teóricos mais aprofundados, que resultaram em modelos de redes mais próximos das redes reais.. 2.3.3 Modelo de Watts e Strogatz Em 1998, Duncan Watts e Steven Strogatz ao estudarem a estrutura de diferentes redes reais em diversos dom´ınios, verificaram que algumas destas redes possuiam caracter´ısticas em comum, como o coeficiente de agrega¸cão médio ser superior ao das redes aleatórias, enquanto a distância média possu´ıa valores pequenos [14]. Isso indicou que apesar do modelo de Erdös e Rényi ser um dos mais estudados para representar redes, este não era suficiente para capturar aspectos fundamentais das estruturas presentes em muitas redes reais. Então, para modelar muitas dessas redes, era necessário um modelo que conseguisse unir caracter´ısticas de mundo pequeno e alto coeficiente de agrega¸cão. Assim, Watts e Strogatz foram os primeiros a propor um algoritmo para gerar redes de mundo pequeno, com o propósito de explicar os valores elevados de C¯ encontrados em seus estudos. O modelo de Watts e Strogatz pode ser constru´ıdo a partir de uma rede de N vértices com a forma de um anel e com topologia de conexão regular. As conexões são estabelecidas de modo que cada vértice se liga aos seus k vizinhos mais próximos, sendo m vizinhos à sua esquerda e m à sua direita, logo k = 2m. Este modelo propõe que uma fra¸cão das liga¸co˜es dessa rede seja reconectada. O processo de reconexão consiste em percorrer cada liga¸cão da rede e, com probabilidade p, reconectar uma das extremidades da liga¸cão a um novo vértice escolhido.

(32) 17. aleatoriamente nesta rede. Nesse procedimento não se permite autoconexões e nem conexões múltiplas entre um mesmo par de vértices. Deve-se ressaltar que, embora as liga¸co˜es iniciais sejam limitadas aos m primeiros vizinhos, após o processo de reconexão algumas liga¸cões de longo alcance são estabelecidas, conectando muitas vezes vértices diametralmente opostos. Esse processo está ilustrado na figura (2.9). O algoritmo para a constru¸cão de uma rede de Watts e Strogatz é o seguinte: (1) Inicie construindo uma rede com N vértices em forma de um anel. (2) Estabele¸ca liga¸co˜es de cada vértice da rede com seus k vizinhos mais próximos, metade à esquerda e metade à direita. (3) Selecione uma liga¸cão e com probabilidade p, reconecte-a a um novo vértice escolhido aleatoriamente, evitando autoconexões e conexões duplicadas. (4) Repita o passo (3) para todas as liga¸co˜es da rede. O processo de reconexão possibilita, ao modelo de Watts e Strogatz, transformar uma rede com caracter´ısticas de rede regular em uma rede aleatória. Vejamos: quando p = 0 e k = 4, temos uma rede regular, a qual possui um coeficiente de agrega¸cão médio dado por: 1 3(m − 1) = C¯ = 2(2m − 1) 2. (2.14). e a distância média dada por: ¯l = N (2.15) 4 Como esperado, neste caso temos um coeficiente de agrega¸cão alto e uma distância média proporcional a N/k. Já quando p = 1, obtemos uma rede aleatória, pois cada liga¸cão é reconectada a um novo vértice, transformando uma rede regular em uma rede completamente N aleatória. Já sabemos que a rede aleatória tem C¯ = hki e ¯l ∼ , o que significa um coe= lnlnhKi N ficiente de agrega¸cão baixo, inversamente proporcional a N , e uma distância média pequena, proporcional a ln N . Através da varia¸cão de p, Watts e Strogatz mostraram que existe um intervalo considerável de valores para a probabilidade p, no qual o modelo apresenta paralelamente um coeficiente de agrega¸cão médio alto e uma distância média baixa, como podemos observar na figura (2.10). Com isso, vemos que a rede de mundo pequeno pode ser considerada um caso intermediário entre a rede regular e a rede completamente aleatória. A distribui¸cão de conectividade P (k) de uma rede desse tipo é baseada no fato de ¯ pois todos os vértices têm a que para p = 0, a distribui¸cão segue a fun¸cão P (k) = δ(k − k), ¯ Enquanto isso, à medida que p cresce, os vértices passam a ter outros mesma conectividade k. valores de k. Consequentemente, quando chegarmos em p = 1, recuperamos a distribui¸cão ¯ binomial esperada para uma rede aleatória, com o máximo em torno do valor médio k = k..

(33) 18. Figura 2.9: Processo de reconexão dos vértices proposto pelo modelo de Watts e Strogatz capaz de tornar uma rede regular em aleatória. A ilustra¸cão da esquerda (p = 0) mostra uma rede regular, na qual cada vértice se liga aos 4 vizinhos mais próximos. A distância entre os dois vértices nas cores azul e vermelho é 5. A ilustra¸cão do centro (0 < p < 1) mostra a mesma rede depois que 3 vértices tiveram suas conexões iniciais alteradas. Pode-se notar claramente que foram inclu´ıdas liga¸co˜es de longo alcance, pois a distância entre os vértices azul e vermelho agora passou a ser 3. Isto mostra que a inclusão de liga¸co˜es aleatórias, geradas neste modelo pelo processo de reconexão, é fundamental para que a rede tenha a caracter´ıstica de mundo pequeno. Por outro lado, a ilustra¸cão da direita (p = 1) mostra uma rede na qual todas as conexões foram redirecionadas aleatoriamente, logo o que temos é uma rede aleatória. Figura adaptada de [15].. Figura 2.10: Compara¸cão entre a distancia média e o coeficiente de agrega¸cão para o modelo de Watts e Strogatz. Note a rápida queda da distancia média, enquanto o coeficiente de agrega¸cão permanece constante durante boa parte do intervalo, demonstrando que a rede apresenta o efeito mundo pequeno. Figura retirada de [13]..

(34) 19. Cap´ıtulo 3. Redes sem Escala T´ıpica O estudo da maioria das redes complexas têm sido motivado pelo desejo de compreender os sistemas reais, por exemplo, as redes sociais ou as redes biológicas. Com o avan¸co da tecnologia e a disponibilidade de computadores que permitem a análise de dados em grandes quantidades, houve uma mudan¸ca significativa nesta área. Por causa disso, as pesquisas atuais podem considerar redes envolvendo uma enorme quantidade de vértices e arestas, o que tem revelado várias caracter´ısticas que diferenciam substancialmente as redes reais das redes aleatórias. Assim, desde o final da u´ltima década, os estudos das redes reais têm levado pesquisadores de diversas áreas a descobrirem a presen¸ca de estruturas sem escala caracter´ıstica em uma quantidade cada vez maior de sistemas. Devido a isto, pesquisas sobre redes sem escala t´ıpica estão sendo amplamente difundidas. Estes sistemas apresentam uma distribui¸cão de conectividade seguindo uma lei de potência e é este tipo de comportamento que indica a ausência de uma escala t´ıpica. Por isso, como já vimos, estas redes são chamadas de redes sem escala t´ıpica ou redes livres de escala. As redes sem escala t´ıpica são bastante distintas das redes aleatórias clássicas. Nos modelos discutidos no cap´ıtulo anterior, vimos que o número N de vértices permanece fixo, que as liga¸co˜es são realizadas de forma completamente aleatória e que estes apresentam uma distribui¸cão de conectividade P (k) do tipo Poissoniana, com um valor caracter´ıstico hki. Mas, apesar de serem modelos bastante estudados para descrever a estrutura de redes, estes falham em reproduzir caracter´ısticas presentes em muitas redes reais. Por exemplo, em redes reais o número de vértices cresce continuamente devido à adi¸cão de novos vértices. Portanto se queremos modelar essas redes não podemos recorrer a um modelo estático. Além disso, na maioria das redes reais novos vértices preferem realizar liga¸cões com os vértices mais conectados, fazendo com que estas apresentem alguns poucos vértices com uma conectividade muito alta, enquanto que a maioria dos vértices apresentam baixa conectividade. Redes com essas caracter´ısticas têm topologia heterogênea, a qual se traduz em uma distribui¸cão de conectividade que decai em lei de potência..

(35) 20. A existência desse tipo de distribui¸cão em várias redes reais levou os pequisadores a questionar quais tipos de mecanismos seriam responsáveis por gerar tal comportamento [17]. A resposta surgiu a partir dos trabalhos de Barabási e Albert ao mostrarem que o comportamento de redes reais pode ser reproduzido através da imposi¸cão de algumas regras para o crescimento das redes, resultando no famoso modelo de Barabási e Albert capaz de gerar redes sem escala t´ıpica [16, 17, 18]. Neste cap´ıtulo, apresentaremos modelos de redes sem escala t´ıpica. Come¸caremos apresentando o modelo de Barabási e Albert, o qual nos fornece a fundamenta¸cão inicial para construir redes com distribui¸cão de conectividade em lei de potência. Em seguida, apresentaremos modelos derivados do modelo de Barabási e Albert: Modelo de Bianconi, Modelo de extensão do modelo de Bianconi, Modelo de Afinidade, Modelo de Natal e o Modelo de Afinidade com Métrica.. 3.1 Modelo de Barab´ asi e Albert Sabemos que leis de potência regulam várias distribui¸cões de probabilidade utilizadas para descrever caracter´ısticas de diversos sistemas f´ısicos. Nas redes complexas, a distribui¸cão de conectividade em lei de potência foi inicialmente estudada por Albert-László Barabási e Réka Albert em 1999 [17]. Estudos sobre propriedades de sistemas reais associados a leis de potência já existiam nas ciências sociais [39], por exemplo, no entanto dentro da área das redes complexas o crédito pela aten¸cão que se dá atualmente a este tópico vem da análise de Barabási e Albert sobre a estrutura da Web. Eles analisaram como as páginas da Web estavam conectadas umas às outras e perceberam que a distribui¸cão de conectividade ocorria seguindo uma lei de potência. Buscando explicar este fenômeno, eles propuseram um modelo baseado em duas regras básicas, as quais tinham rela¸cão com as regras de forma¸cão de redes reais. A primeira regra mencionada por Barabási e Albert é o crescimento da rede, partindo da observa¸cão de que as redes reais não são estáticas, ou seja, a quantidade de vértices que as compõem está em constante altera¸cão e tende a aumentar com o tempo. A segunda regra é a liga¸cão preferencial (preferential attachment)1 , a qual expressa o fato de que os vértices mais conectados tendem a ficar ainda mais conectados, pois os vértices recém adicionados à rede tendem a se ligar àqueles que são mais conectados (os polos). Vale salientar que os polos representam a diferen¸ca estrutural mais marcante entre uma rede aleatória e uma rede sem escala t´ıpica. Portanto, a ideia fundamental do modelo consiste no crescimento da rede via liga¸cão preferencial. Essas duas regras formam a base do modelo de Barabási e Albert, também conhecido como modelo BA ou modelo livre de escala, que é um dos primeiros modelos teóricos a gerar 1. Também conhecido por efeito Mateus, devido ao vers´ıculo deste evangelho que diz “Porque todos aqueles que têm, mais lhes será dado e terão em abundância.” ou pelo chamado fenômeno “Ricos ficam cada vez mais ricos”..