Estudos na ´area de redes complexas tˆem demonstrado a importˆancia destas para a compreens˜ao de sistemas reais. A maioria desses estudos se concentram nas caracter´ısticas topol´ogicas da rede, sem considerar a distˆancia euclidiana existente entre os v´ertices, embora em muitos sistemas reais essa distˆancia seja um fator muito importante. Por exemplo, estudos de propaga¸c˜ao de epidemias tˆem indicado que a distˆancia geogr´afica ´e um fator relevante no espalhamento de doen¸cas [25]. Observando este tipo de comportamento, Soares D. J. B et. al propuseram, em 2004, um modelo que considerava a distˆancia geogr´afica entre os v´ertices [26, 27], tendo como objetivo analisar a rela¸c˜ao entre a estat´ıstica n˜ao extensiva de Tsallis e redes sem escala t´ıpica.
O modelo de Natal3, fundamenta-se nas duas regras do modelo de Barabasi e Albert:
crescimento da rede e liga¸c˜ao preferencial. Entretanto, sua regra de liga¸c˜ao preferencial se diferencia daquelas que j´a foram apresentadas neste cap´ıtulo por levar em considera¸c˜ao a distˆancia euclidiana entre os v´ertices que pretendem estabelecer uma conex˜ao. Desta forma, a dinˆamica do crescimento da rede segue uma regra na qual cada v´ertice que entra na rede deve ser colocado a uma distˆancia r do centro de massa da rede, calculada a partir da fun¸c˜ao PG(r), visualizada na equa¸c˜ao (3.34). Essa fun¸c˜ao tem um parˆametro αG4 que ´e utilizado para
informar o quanto os v´ertices se espalham no plano. Quanto maior αG, menor ´e a distˆancia
entre os v´ertices da rede. O v´ertice que est´a sendo adicionado `a rede tem que considerar tanto a conectividade dos v´ertices j´a existentes, quanto a distˆancia desses v´ertices a ele mesmo. O quanto a distˆancia ir´a influenciar as probabilidades de conex˜ao ´e regulado por um parˆametro αA5. Quanto maior αA, mais o alcance das liga¸c˜oes entre os v´ertices da rede diminui. O
algoritmo para a constru¸c˜ao de uma rede do modelo de Natal ´e o seguinte:
(1) Inicia-se a rede com um ´unico v´ertice, o qual ´e colocado em uma origem arbritr´aria no plano.
(2) Adiciona-se um novo v´ertice a rede, o qual ´e colocado a uma distˆancia r do v´ertice inicial, escolhida aleatoriamente seguindo a distribui¸c˜ao:
PG(r) ∝
1
r2+αG, αG≥ 0 (3.34)
sendo o valor de αG predeterminado antes do in´ıcio da constru¸c˜ao da rede e mantido
constante durante todo seu crescimento. Ap´os isto, o segundo v´ertice liga-se ao primeiro. (3) A partir deste momento o centro de massa6do sistema ´e calculado e o novo v´ertice (j > 2)
3O modelo recebeu este nome em homenagem a cidade de origem do seu surgimento: Natal, capital do
estado do Rio Grande do Norte, Brasil.
4O ´ındice G faz referˆencia `a palavra em inglˆes growth que significa crescimento. 5O ´ındice A faz referˆencia `a palavra em inglˆes attachment que significa liga¸c˜ao. 6A massa do v´ertice ´e fixa e possui valor igual a um [27].
´e colocado no plano a uma distˆancia r do centro de massa, sendo esta distˆancia dada pela distribui¸c˜ao de probabilidade do item anterior. O v´ertice rec´em adicionado j ir´a se ligar a um dos v´ertices j´a existentes na rede i atrav´es da seguinte regra de liga¸c˜ao preferencial:
PA(ki) = kirij−αA P jkir −αA ij (3.35)
(4) Repete-se o passo anterior at´e o tamanho desejado do sistema.
Note que a liga¸c˜ao preferencial privilegia a liga¸c˜ao entre v´ertices que possuem alta co- nectividade e/ou menor distˆancia euclidiana, gerando uma competi¸c˜ao entre estes dois fatores (ver figura 3.21). Ou seja, a probabilidade de um v´ertice que est´a entrando na rede se ligar a um v´ertice mais popular e/ou mais pr´oximo a ele ´e maior.
Utilizando simula¸c˜oes computacionais e variando os parˆametros αG e αA podemos
obter informa¸c˜oes sobre a dinˆamica das redes formadas a partir deste modelo. Ao variar αG
e manter αA fixo, Soares D. J. B et al observaram que a distribui¸c˜ao de conectividade n˜ao
sofre altera¸c˜oes significativas. Entretanto, ao variarem αA e manterem αG fixo, observaram
uma importante mudan¸ca na distribui¸c˜ao de conectividade (ver figura 3.22), ou seja, esta ´e muito influenciada pelo expoente αA. Note que quando αAtem valores na vizinhan¸ca de zero,
a rede tende ao comportamento previsto pelo modelo de Barab´asi e Albert.
Figura 3.21: Ilustra¸c˜ao da dinˆamica de crescimento de uma rede gerada pelo modelo de Natal conforme o algoritmo apresentado. Note que r ´e a distˆancia euclidiana entre o novo v´ertice e o centro de massa (CM) da rede. Figura adaptada de [28].
Figura 3.22: (a) An´alise da distribui¸c˜ao de conectividade para αA = 2 fixo e diferentes valores
de αG. Simula¸c˜ao realizada para N = 104 e 3000 amostras. (b) Comportamento da rede ao
variar αA e manter αG = 2 fixo. Simula¸c˜ao realizada para N = 105 e 1000 amostras. Figura
J´a quando αA cresce, a rede vai se aproximando de um comportamento exponencial,
ou seja, gera uma rede com escala t´ıpica, onde pode-se observar a diminui¸c˜ao dos polos (ver figura 3.23). A evolu¸c˜ao temporal da conectividade dos v´ertices tamb´em foi verificada, onde se observou a dependˆencia desta com o expoente αA (ver figura 3.24) . Para αA = 0 temos
β = 0, 5, o que j´a era esperado, pois esse caso produz uma rede meramente topol´ogica cujas propriedades s˜ao iguais `as propriedades do modelo de Barab´asi. Quando αA assume valores
maiores, β diminui at´e chegar a um valor que fica (aproximadamente) estacion´ario (ver figura 3.25).
Ao considerarmos problemas de redes incluindo a distˆancia euclidiana, estes passam a fazer parte da classe de sistemas de intera¸c˜ao de longo alcance, podendo assim se torna- rem candidatos a serem descritos pela mecˆanica estat´ıstica n˜ao extensiva [35]. Esta rela¸c˜ao era a principal motiva¸c˜ao do modelo de Natal. Desta forma, as curvas de distribui¸c˜ao de conectividade deste modelo podem ser ajustadas pela equa¸c˜ao:
P (k) = P0e−k/ηq q (3.36)
onde a fun¸c˜ao q-exponencial ´e definida da seguinte forma:
exq ≡ [1 + (1 − q)x]1/(1−q) (ex 1 = e
x) (3.37)
e ηq > 0 ´e o n´umero caracter´ıstico de liga¸c˜oes.
Figura 3.23: Representa¸c˜ao da estrutura de uma rede gerada com N = 250 e variando os valores de v´ertices distribu´ıdos no plano para αG e αA para o modelo de Natal. (a) V´ertices
distribu´ıdos no plano para αG = 1 e αA = 0, onde podemos observar a forte presen¸ca de
polos. (b) V´ertices distribu´ıdos no plano para αG = 1 e αA = 4, onde podemos observar que
Figura 3.24: Comportamento da evolu¸c˜ao temporal da conectividade dos v´ertices para o modelo de Natal. Figura retirada de [29].
Figura 3.25: Comportamento do expoente dinˆamico β com rela¸c˜ao ao expoente αA para o