Geometrias não euclidianas

Esses postulados utilizados por Euclides foram considerados durante séculos como fruto de uma intuição clara e distinta. Hoje, sabe-se que os seus postulados eram insuficientes e suas definições imprecisas, porém toda obra de Euclides serviu de inspiração e avanços em toda a Matemática.

A obra de Euclides, aceita por mais de dois milênios, foi questionada e seu quinto postulado (o postulado das paralelas), alvo de muitas controvérsias e várias tentativas de provas, por muito tempo. O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposição a partir de outros postulados da

22

geometria, pois acreditavam que este postulado fosse independente dos outros quatro não obtendo sucesso.

As tentativas de prová-lo terminaram somente no século XIX, quando o matemático alemão Karl Friedrich Gauss (1777-1855) convenceu-se da não demonstrabilidade desse postulado e a possibilidade da construção de sistemas geométricos não euclidianos. Assim, nascem as Geometrias Não-Euclidianas, com esforços simultâneos de Gauss, Janos Bolyai (1802-1860), Nikolai Ivanovitch Lobatchewski (1792-1856) e Bernhard Riemann (1826-1866), que com trabalhos independentes constroem novas geometrias (as Geometrias Não-Euclidianas), na quais o postulado das paralelas não vale mais, confirmando-se, assim, que o Postulado das Paralelas era realmente independente dos demais.

Apresentamos dois modelos de Geometrias Não Euclidianas:

Geometria de Lobatchevsky ou Geometria Hiperbólica – esse modelo é creditado independentemente a Nicolai Lobachevski e János Bólyai. Nela é possível criar o plano hiperbólico, que é interpretado no espaço tridimensional euclidiano por uma superfície denominada parabolóide hiperbólico, estabelecendo que por um ponto exterior a uma reta podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta reta.

Geometria Riemanniana ou Geometria Elíptica ou Esférica – creditada a Bernhard Riemann, o plano elíptico é interpretado no espaço quadridimencional por uma superfície semelhante à esfera estabelecendo que por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a esta reta.

Um modelo visual baseado na geometria Riemanniana para termos uma melhor compreensão dessa nova geometria, em que o quinto postulado de Euclides não é válido, é a de uma superfície esférica, Figura 4(a). Nesse plano as retas são circunferências, representado pelas circunferências r, s e t, na mesma figura. Um segmento de reta nesse plano é representado por um arco. Observe que o menor caminho entre dois pontos continua sendo um ”segmento de reta”. Na figura podemos verificar esse fato no arco PQ. Podemos, ainda, verificar que no nosso modelo o quinto postulado de Euclides não é válido. Perceba que pelo ponto P podemos traçar s, t e infinitas outras “retas-circunferências” paralelas (não tendo pontos em comum) a “reta-circunferência” r.

23

a) b)

Figura 4: a)Modelo Esférico e b) Círculos máximos

Podemos, ainda, especulando o modelo, Figura 4(b), considerarmos como retas apenas os círculos máximos. Percebemos, assim, que não será possível traçar por nenhum ponto fora da reta r, uma reta paralela a esta. Percebemos também que a soma dos ângulos internos de um triângulo será maior que 180°(a prova de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180° é consequência direta da unicidade das paralelas), observe o triângulo APB no plano no nosso plano esférico.

Uma das preocupações constantes dos matemáticos é a de construir um modelo axiomático para a matemática, deixando-a livre de qualquer contradição, pois, se o conhecimento matemático fosse construído sobre alicerces que gerassem contradições, poder-se-ia ruir todo o edifício matemático construído sobre eles. Dessa forma, se inicia uma nova corrida social para reestruturar as ideias quanto ao rigor matemático.

Após o período da verdade inquestionável, inaugura-se na matemática um período de busca a certeza matemática, um novo rigor. Correntes tinham como objetivo reformular as ideias de demonstração e um novo sentido para esse termo.

Vários trabalhos surgiram com o objetivo de tornar a matemática consistente, ou seja, nos quais as verdades evidentes e qualquer intuição ficassem do lado de fora, como os liderados pelos matemáticos alemães Richard Dedekind (1831-1916)

24

e Karl Weierstrass (1815 -1897), que passaram da geometria à aritmética como fundamento para a matemática. Esse movimento ficou conhecido como aritmetização e é nele que começa a se formar um novo modelo de rigor matemático.

No final do próprio século XIX os estudos da Lógica Matemática deram passos gigantescos para formalizar os fundamentos da matemática. Entre os matemáticos e filósofos que mais contribuíram para os avanços destacaram-se: Gottlob Frege (1848-1925), cujas obras principais datam de 1879 e 1893, contribuiu com a criação do cálculo de predicados dando forma ao conceito de demonstração formal, sendo utilizado como base na matemática os conceitos aritméticos e não mais as noções geométricas gregas.

Giuseppe Peano (1858-1932), um dos pioneiros na lógica matemática e na axiomatização da matemática, responsável pela axiomatização da aritmética em 1899. Axiomas de Peano:

1) Zero é um número;

2) O sucessor de um número é um número; 3) Zero não é sucessor de nenhum outro número; 4) Não existem dois números com o mesmo sucessor e 5) Indução matemática.

Bertrand Russel (1872-1970) e Alfred Whitehead (1861-1970) na obra “Principia Mathematica” procuraram desenvolver o projeto do logicismo, isto é, a redução da matemática à lógica. David Hilbert (1862–1943) com seu enfoque formalista, além de Sofás Lie (1842-1899); Felix Klein (1849-1925); Henry Poincaré (1854-1912); Dery Lebesgue (1875-1941) e L.E.J. Brouwer (1881-1961).

Geoge F. Cantor (1845-1918) escreveu a obra Teoria dos Conjuntos, que parecia simples e poderia servir de alicerce para a construção de toda a matemática partindo-se de princípios lógicos aplicados a eles, no entanto, sua teoria apresentou paradoxos, como o de Russell. Para entender esse paradoxo vamos citar a seguir o paradoxo do Barbeiro que é semelhante na formulação ao de Russell:

25

...como o barbeiro da cidade que barbeia todos aqueles, e somente aqueles, que não barbeiam a si mesmo. O barbeiro está ou não incluído no conjunto daqueles que barbeiam a si mesmo? (BOYER, 1974, p. 449).

Se o barbeiro não se barbeia, ele está no conjunto das pessoas que não barbeiam a si mesmo; logo ele poderia fazer a própria barba. No entanto, no momento em que começa a fazê-la quebra a regra, pois estará barbeando a alguém que faz a própria barba.