Reestruturação axiomática

Em meio a essas controvérsias do sistema lógico, Hanna (1995, p.42) descreve que três escolas famosas surgiram, ou seja, grupos sociais com suas particularidades para dar conta das novas teorias matemáticas que aparecem ao final do século XIX, onde a visão platonista não mais se sustentava, mantendo cada uma desses grupos visões diferentes sobre o papel da demonstração em matemática e ainda sobre os critérios de sua validade.

Essas escolas buscaram leis lógicas que forneciam ou que pudessem fornecer um mecanismo de crenças absolutamente confiáveis, filosofia absolutista4. Tais mecanismos teriam a função de validar os novos resultados para serem incorporados ao conjunto daqueles já aceitos como válidos, influenciando a concepção da matemática é sua evolução. São elas:

LOGICISMO: com origens em Aristóteles e as contribuições dos logicistas: Bertrand Russell, Gottlob Frege e Alfred Whitehead, defenderam que a Matemática era um ramo da Lógica, sendo as leis da aritmética reduzidas às leis lógicas. Ao utilizar as regras de inferências lógicas, pretendiam reduzir todos os conceitos matemáticos a conceitos lógicos e demonstrar todas as verdades matemáticas a partir dos axiomas. Desse modo se distanciaram das concepções empíricas e intuitivas.

4 _{O conhecimento matemático consiste de verdades seguras e incontestáveis. Contrapõem-}

se a essa filosofia o falibilismo, tendo como expoente Irme Lakatos, para ele a matemática é falível e corrigível e sua verdade não está acima de revisão e correção.

26

INTUICIONISMO: nascida por volta de 1908, o topólogo holandês L.E.J. Brouwer negava o infinito atual e defendia que a Matemática teria de ser desenvolvida apenas por métodos construtivos finitos sobre a sequência dos números naturais, dada intuitivamente, ou seja, que existe uma intuição primitiva dos números naturais.

FORMALISMO: Na tentativa de provar a consistência da matemática pretendiam organizá-la numa estrututra lógica e axiomática, restrigindo-a à manipulação de simbolos, sem sentido e significado. Seu defensor mais radical foi David Hilbert (1862–1943) que em 1900 provou a consistência interna da geometria elementar. Hilbert criou a obra Fundamentos da Geometria (1899) para uma nova axiomatização para a geometria euclidiana e propôs, ainda , construir um formalismo matemático do qual seria extinto qualquer tipo de significado. Na demonstração, teríamos sua consistência de forma absoluta e para toda e qualquer proposição da matemática haveria uma maneira formal de se declará-la falsa ou verdadeira.

O objetivo de minha teoria é estabelecer de uma vez por todas a certeza dos métodos matemáticos... O estado atual das coisas, em que nos chocamos com os paradoxos, é intolerável. Imaginem as definições e os métodos dedutivos que todos aprendem, ensinam e usam em matemática, os paradigmas de verdade e de certeza, conduzindo a absurdos! Se o pensamento matemático é defeituoso,

onde acharemos verdade e certeza? (DAVID HILBERT apud DAVIS & HERSH, 1996, p. 315-316).

O grupo de matemáticos franceses Nicolas Bourbaki é um bom exemplo da influência do formalismo. Esse grupo teve grande influência no ensino da matemática nos níveis mais elementares no advento do Movimento da Matemática Moderna (1960).

Essas novas correntes filosóficas trouxeram novas maneiras de enxergar a natureza da matemática e, consequentemente, a sua relação com a verdade e com a certeza dentro da comunidade que vai avaliar. No entanto, não ficaram imunes às controvérsias e argumentos paradoxais. Por exemplo, o paradoxo de Russell atacou a definição de número de Frege, causando abalos no programa logicista.

Já no programa formalista o artigo “Sobre proposições formalmente indecidíveis dos Principia Mathematica e outros sistemas semelhantes”, de Kurt

27

Gödel (1906-1978) em 1931, ficou demonstrado a incompletude de todo sistema axiomático expressivo o suficiente para conter a teoria dos números. Provou-se que não há e nem poderia haver um sistema formal, no qual se pudesse expressar toda a aritmética, como sonhava Hilbert, e que satisfizesse todas as exigências de consistência do programa formalista, ficando mais distante o sonho do rigor absoluto (COURANT & ROBBINS, 2000, p. 106-107).

Mesmo com os problemas, certezas e incertezas no que foi exposto, até o momento, houve uma evolução da Matemática surpreendente. Desde os tempos de Tales de Mileto aos dias atuais, a Matemática e seus processos de validação conseguiram um extraordinário avanço. Podemos dizer que, atualmente, o rigor matemático profissional é estruturado, possuindo uma linguagem universal e confiável, embora ainda existam polêmicas, como as entre formalistas, logicistas e intuicionistas, ou da validação ou não de demonstrações utilizando computadores, como na conjectura das quatro cores, que foi verificada com a utilização desses por W. Haken e K. Appel, em 1976.

A matemática está em uma constante evolução e “todas as pedras encontradas”, como o todo não ser maior que uma parte (teoria dos conjuntos), colaboraram para o fortalecimento de suas estruturas dando-lhe uma precisão, não encontrada em nenhuma outra área do conhecimento humano, mesmo sabendo das limitações de qualquer uma das visões matemáticas adotadas.

A complexidade associada à demonstração matemática formal atual cria dificuldades imensas às demais pessoas. Quando perguntado a Hilbert se os 23 problemas, por ele anunciados, no 2° Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Paris em 1900, estavam todos solucionados, teria ele respondido:

Uma teoria matemática não pode ser considerada completa enquanto não for possível torná-la tão clara a ponto de poder ser explicada ao primeiro homem que se encontre na rua. (YANDELL, 2002).

Essa explicação não tem conseguido alcançar sucesso junto aos estudantes quanto às provas matemáticas, mesmo essas visando à construção de justificativas

28

e compreensão dentro de uma coerência e validação escolar, percebidas como culturalmente determinada e não apenas um acúmulo de conhecimento.

Pelo exposto, podemos observar que a prova matemática pode apresentar significados distintos, em função da época e cultura, mesmo em um cenário social específico. Além disso, a depender da noção de prova adotada por uma comunidade em dado instante, podem ocorrer pontos de controvérsias a respeito da validade dos processos utilizados. O consenso é obtido após influencias, debates e negociações, que conduzem à construção de um modelo aceito por essa comunidade, podendo inclusive, como relatam Harel e Sowder (2007):

[...] Variar de indivíduo para indivíduo, de contexto para contexto, de civilização para civilização e, dentro da mesma civilização, de geração para geração, pois utilizam dois processos: persuadir e convencer que são processos subjetivos. (p.808).

Com o exposto queremos compartilhar com o leitor a nossa visão das provas como uma verdadeira prática social, passando por revisões e reestruturações.

2.2 Educação Matemática

Durante o desenvolvimento desta pesquisa tivemos que nos posicionar em muitos campos e temas, não apenas para nós mesmos, como também para os que nos rodeavam. Dessa forma, nossas leituras convergiram ao histórico e temas de estudos da Educação Matemática.

Educação Matemática, o que estuda? Quais as suas preocupações? Todos concordam que a Educação Matemática tem como objetivo final a melhoria do ensino e da aprendizagem da matemática em todos os níveis.

«Educação matemática» deve ser interpretada como significando todo o campo das ideias e atividades humanas que afeta, ou poderia afetar, a aprendizagem da matemática5_{. (Barwell, 2011, p.}

contracapa, tradução nossa).

5 _{«Mathematics education» should be interpreted to mean the whole field of human ideas and}

29

As preocupações com a compreensão, transmissão, natureza e construção do conhecimento matemático vem de tempos antigos. No diálogo de Mênon de Platão, encontramos conceitos matemáticos utilizados para o ensino (Platão, 1962). No entanto, como comenta D‟ambrósio (2004, p.13):

[...] somente a partir das três grandes revoluções da modernidade – a Revolução Industrial (1767), a Revolução Americana (1776) e a Revolução Francesa (1789) – que as preocupações com a educação matemática da juventude começam a tomar corpo.

A consolidação da Educação Matemática ocorre apenas em 1908 durante a realização, em Roma, do Quarto Congresso Internacional de Matemáticos, com a criação da Comissão Internacional de Educação Matemática (International Commission on the Teaching of Mathematics, posteriormente conhecida como International Commission on Mathematical Instruction - ICMI).

Pouco material foi produzido pela Educação Matemática durante seus primeiros anos, exceto algumas compilações de dados, mas conseguiu formular suas próprias questões de pesquisa e abordagens teóricas encontrando sua identidade. As disciplinas que mais tiveram influência sobre as investigações em Educação Matemática realizadas desde a sua origem foram a Matemática e suas reformas e a Psicologia, com seus estudos voltados aos processos mentais ocorridos durante a atividade matemática.

Ao longo da sua história a Educação Matemática desenvolveu um campo próprio de investigação com um grande número de pesquisas realizadas de modo intencional e sistemático com um corpo teórico sustentado, desenvolvido por um corpo de profissionais dedicados a área, sendo reconhecida pelas contribuições ao ensino e aprendizagem da matemática resultante das pesquisas desenvolvidas, não só pela sociedade, como também por toda comunidade científica.

Ernest (1997, p. 80) acredita que a Educação Matemática deve ser definida em termos da variedade de práticas que são realizadas, e não em termos de características essenciais.

30

A investigação em Educação Matemática para Ernest (1994, p. 72-73) objetiva a melhoria do ensino e da aprendizagem da matemática com práticas investigativas envolvendo:

- O ensino e a aprendizagem da matemática em todos os seus níveis (Educação Básica e Universitária), dentro ou fora da escola;

- Os materiais utilizados para o ensino e aprendizagem em matemática em todos os níveis;

- A formação dos professores em seus diversos níveis; - A investigação em todos os níveis.

Tendo em vista serem reflexivas as investigações na Educação Matemática, Ernest (1997, p.75) distinguiu dois tipos de objetivos nas investigações. Os objetivos primários são aqueles fenômenos diretamente relacionados com o ensino e aprendizagem da matemática e, por isso, recebem uma maior atenção principal das pesquisas realizadas:

- A natureza da matemática e do conhecimento matemático escolar. - A aprendizagem da matemática.

- As metas e objetivos do ensino da matemática e da escolarização. - O ensino da matemática, incluindo os métodos e abordagens utilizados.

- O conjunto de textos, materiais, ajudas e recursos eletrônicos utilizados.

- Os contextos sociais e humanos do ensino e aprendizagem da matemática em toda a sua complexidade.

- As interações e relações entre todos os itens anteriores. (tradução nossa).

E os objetivos secundários, cujo estudo é a própria Educação Matemática, são também importantes, não podendo ser negligenciados. Segundo o autor:

- A natureza do conhecimento em educação matemática: conceitos, teorias, resultados, literatura, propósito e função.

- A natureza da investigação em educação matemática: epistemologia, teorias, critérios, metodologia, resultados e objetivos. - O ensino e a aprendizagem da educação matemática na formação de professores, incluindo a prática, técnica, teoria e pesquisa.

31

- As instituições sociais de educação matemática: pessoas, lugares, instituições (universidades, escolas, centros de pesquisa), conferências, organizações, redes, revistas, e outros, e suas relações com os contextos sociais. (p.75, tradução nossa).

A seguir focaremos nas pesquisas realizadas quanto ao ensino e aprendizagem das provas matemáticas. Encontramos na Educação Matemática vários trabalhos desenvolvidos apontando caminhos e também muito a ser feito e esclarecido.

2.3Provas Matemáticas

Ao longo do desenvolvimento da Educação Matemática diversas pesquisas associadas às provas matemáticas têm sido realizadas. Tanto que Reid e Knipping (2010) ao perceber o grande número de trabalho sobre o tema resolveram elaborar um livro com uma síntese da literatura existente.

No Brasil, temos como referência o grupo Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática – PEAMAT, pertencente ao Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática da PUCSP, coordenado pelo Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud, orientador de dezenas de dissertações e teses sobre as provas matemáticas.

Essas pesquisas têm explorado os mais diversos aspectos das provas, inclusive o seu ensino-aprendizagem na Educação Básica, mesmo que essas estejam longe da definição formal de prova matemática, ou seja, prova formal de uma proposição é uma cadeia de deduções lógicas que levam à proposição de um conjunto base de axiomas.

Para os matemáticos a prova formal é a única maneira de termos certeza da validez de uma conjectura, sendo, portanto, utilizada como um método de verificação, descobrimento e comunicação, devido a sua precisão, por não permitir ambiguidades. No entanto, está disponível apenas para aqueles familiarizados com sua linguagem e gramática.

Durante a formação em nível superior na área de matemática, os estudantes se apropriam da linguagem e gramática necessária para a compreensão e utilização

32

dos métodos demonstrativos utilizados e reconhecidos por sua comunidade. Para isso, buscam ler e entender as provas formais elaboradas e identificam as técnicas utilizadas como: Método direto, redução ao absurdo-indireto, construtivos, contraexemplo, com o objetivo de que, no final do processo de formação, possam com a experiência adquirida, engenhosidade, intuição e criatividade desenvolverem e comunicarem suas próprias provas.

Mesmo assim, encontramos trabalhos que apontam dificuldades com relação ao tema também nesse nível, em grande parte atribuída à complexidade das provas matemáticas utilizadas no contexto profissional matemático. Constatamos, desse modo, não ser a abordagem realizada no nível superior a mais apropriada para o ensino e aprendizagem das provas matemáticas na Educação Básica.

Na formação de professores muito se tem pesquisado para possibilitar uma abordagem mais significativa das provas matemáticas, convergindo para um aspecto mais crítico em vez de técnico. Garnica (1995) ao buscar o significado atribuído à prova rigorosa nas Licenciaturas em Matemática, se concentrou na formação de professores e encontrou duas categorias quanto à importância da prova formal na formação do docente, geradas por duas leituras distintas: A técnica fundada na prática cientifica da matemática, e o estabelecimento da crítica como ponto de vista a ser defendido pela Educação Matemática.

Pietropaolo (2005) pesquisou a necessidade e a acessibilidade da implementação das provas matemáticas nos currículos de Matemática da Educação Básica e investigou as implicações que essa inovação traz aos currículos de formação inicial de professores. Para ele, o currículo brasileiro indica o trabalho das provas matemáticas em sala de aula de forma bem mais tímida, em comparação com os currículos de outros países, por exemplo, o norte americano. Para os educadores matemáticos entrevistados por Pietropaolo (2005, p. 210), o ensino das provas matemáticas deveria ser desenvolvido como processo de questionamento, de conjecturas, de contraexemplos, de refutação, de aplicação e de comunicação na Educação Básica, recomendações semelhantes à realizada pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000).

33

[...] a prova deve fazer parte da formação dos alunos da Educação Básica, desde que o significado a ela atribuído seja ampliado e que se caracterize por um processo de busca, de questionamento, de conjecturas, de contra-exemplos, de refutação, de aplicação e de comunicação e não com o sentido formalista que a caracterizou nos currículos praticados em outros períodos. (Pietropaolo, 2005, p. 212).

Essas pesquisas apontam um caminho de formação inicial dos professores de matemática quanto às provas matemáticas, tendo com foco a preparação dos futuros professores para enfrentarem os desafios em sala de aula, possibilitando uma abordagem mais próxima das indicadas na literatura atual e documentos oficiais.

[...] resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; (PCN, 1998, p. 48, grifo nosso).

Para a matemática escolar na Educação Básica encontramos vários objetivos presentes nos parâmetros, orientações, materiais, artigos, entre outros. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCN) indicam desafios como a seleção de conteúdos para alcançar os objetivos traçados, como sua relevância social e desafio intelectual para o aluno, precisando o professor estar preparado. O texto ressalta ainda que:

Embora nos Parâmetros a Lógica não se constitua como um assunto a ser tratado explicitamente, alguns de seus princípios podem e devem ser integrados aos conteúdos, desde os ciclos iniciais, uma vez que ela é inerente à Matemática. No contexto da construção do conhecimento matemático é ela que permite a compreensão dos processos; é ela que possibilita o desenvolvimento da capacidade de argumentar e de fazer conjecturas e generalizações, bem como o da capacidade de justificar por meio de uma demonstração formal. (PCN, 1998, p. 49).

Nas finalidades do ensino da matemática em sala de aula encontramos recorrentemente atributos como o desenvolvimento da capacidade de raciocínio matemático. Para Oliveira (2008, p.3), a expressão raciocínio matemático designa:

34

[...] um conjunto de processos mentais complexos através dos quais se obtêm novas proposições (conhecimento novo) a partir de proposições conhecidas ou assumidas (conhecimento prévio). É frequente considerar-se que a obtenção dessas novas proposições se faz através do raciocínio dedutivo, esquematizável na forma «Se A então B» (simbolicamente, A ⇒ B). A uma sequência de deduções, do tipo A _{⇒ B ⇒ . . . ⇒ Z, chama-se demonstração. A} demonstração é, por isso, central ao raciocínio tipicamente matemático.

As provas matemáticas são defendidas como uma importante atividade matemática escolar, devendo ser uma preocupação em todos os níveis de ensino, como um meio essencial na compreensão matemática e importante característica dos métodos científicos. Para isso é primordial ser valorizada e reconhecida tanto pelos educadores matemáticos em sala de aula, como pelas pessoas encarregadas de traçar as políticas educacionais, para que o tema venha a ser abordado na Educação Básica e os alunos se apropriem do tema.

Estudos realizados defendem as provas matemáticas em todos os níveis, começando com uma rica prática de argumentação e justificativas em defesa de suas conjecturas e afirmações no ambiente escolar, obtidas durante um processo de investigação. Torna-se importante explorar, ainda, as funções e níveis das provas elaboradas nas diversas etapas da escolarização para uma convergência para tipos de provas mais bem elaboradas.

Demonstrar e argumentar, como processos, têm muitos aspectos comuns, tanto do ponto de vista epistemológico como cognitivo, apesar de existirem diferenças significativas entre demonstração e argumentação como produtos socialmente situados. (DOUEK, 1998

apud LOUREIRO, 2002, p.112 ).

Na Educação Matemática a argumentação é compreendida como apresentação de razões, argumentos para uma proposição matemática, e utiliza uma forma em que prevalece o raciocínio de caráter explicativo/justificativo, com o intuito de convencer um auditório a aceitar ou recusar essa preposição, mesmo considerando outros elementos na argumentação o que predomina é o uso da linguagem natural.

Levando-se em conta que existem alguns teóricos na Educação Matemática que separam os processos demonstrativos dos argumentativos, encontramos uma

35

prevalência de estudos que veem a demonstração incluída na argumentação e é com ela que concordamos. Por exemplo, Boero (1999) defende uma continuidade entre a argumentação e a demonstração matemática, sendo esta vista como produtiva e inevitável, mesmo com toda a sua complexidade, quando observada de maneira ampla nos processos de ensino e aprendizagem.

Outros autores, Balacheff (1999) e Duval (1993), centralizando a comunicação e estruturas internas dos raciocínios envolvidos, defendem a existência de uma ruptura entre a argumentação e a demonstração, sendo a demonstração vista mais por sua ligação à lógica formal, de forma impessoal e isolada de qualquer contexto, divergindo, desse modo, da argumentação que é situada e usa a linguagem natural, dependente da opinião, adesão e da persuasão.

As pesquisas encontradas em Educação Matemática com foco no ensino e aprendizagem das provas matemáticas são abordadas em várias frentes de pesquisas:

- Didática, estudos focados no papel das provas no currículo de matemática e os estudos que buscam possíveis abordagens para o trabalho com elas em contextos de ensino e aprendizagem, por exemplo, o trabalho de Hanna (2001).

Hanna (2001) defende, entre outras funções presentes nas provas matemáticas, a utilização das explicativas como sendo as mais adequadas e pertinentes ao contexto escolar. Indicando a geometria como a área da matemática com maior potencialidade de exploração de atividades com essa função.

- Epistemológica, estudos focados no status dos objetos matemáticos, suas propriedade e relações que são colocados em jogo nos processos de provas matemáticas, por exemplo, o trabalho de Balacheff (1987) que estabelece níveis de provas elaboradas, estabelecendo ainda um marco teórico para avaliar e avançar nos tipos de provas elaboradas pelos alunos.

- Histórica, focados na evolução histórica das concepções das provas matemáticas e a atividade demonstrativa no tempo, por exemplo, encontramos o trabalho de Arsac (1987).

36

Arsac (1987), que estudou a gênese histórica da demonstração matemática,