Inspiração do levantamento histórico para as atividades e estrutura do

Para elaboração do caderno de atividades, inicialmente foi feita a primeira fase dessa pesquisa, ou seja, o estudo bibliográfico, que envolveu diversos aspectos, desde a utilização das tendências HM, TDIC e IM nas aulas de matemática, até a parte histórica, que engloba o contexto histórico da matemática islâmica medieval, e, mais especificamente, a história da solução geométrica de equação quadrática no trabalho de Ibn Turk.

Frente a esse estudo, notadamente no que se refere aos casos apresentados por tal estudioso para solução de equações quadráticas (apresentados detalhadamente no capítulo 3), uma primeira atitude foi a escolha de quais casos de resolução geométrica de equações polinomiais de segundo grau seriam tratados no caderno de atividades, já que utilizar todos os 4 casos desenvolvidos por Ibn Turk, sendo 1 dos casos segmentado ainda em 3 outros (explorados no capítulo 2), constituiria um produto educacional muito longo.

Além disso, optamos utilizar os casos aos quais havíamos finalizado a análise de construção geométrica considerando o trabalho de Saiyli (1962), ou seja, elencamos dois casos a serem trabalhados nos nossos estudos: o caso em que  < 0 e o caso de equações do tipo 𝑥2 =

𝑏𝑥 + 𝑐. Enfatiza-se ainda que tais casos apresentam ainda as seguintes vantagens, ao serem utilizados no produto educacional: o caso em que  < 0 é considerado o principal diferencial de Ibn Turk em relação ao trabalho de Al-Khwarizmi, e o caso de equações do tipo 𝑥2 = 𝑏𝑥 + 𝑐 é um caso em que uma das raízes da equação quadrática é encontrada por meio da construção geométrica, evento que não ocorre no caso em que  < 0.

Do estudo histórico também foram extraídas situações problemas que recaiam em equações quadráticas, especificamente as que se enquadravam nos casos escolhidos para estarem presentes nas atividades do produto educacional. Dessa forma, as equações citadas por Ibn Turk em seu trabalho, e ainda equações citadas por outros islâmicos medievais como Al- Khwarismi, assim como o contexto islâmico medieval serviram de base para elaboração dos quatro problemas que estão presentes no caderno de atividades.

Os textos exploratórios e situações investigativas presentes nas atividades, por sua vez, foram construídos numa tentativa de aproximação de historiografia atualizada29_{, no sentido de} fazer os licenciandos estabelecerem relações entre passado e presente no desenvolvimento da álgebra, refletindo sobre as ideias matemáticas daquele contexto e do contexto contemporâneo no tocante ao estudo de equações quadráticas. Dessa forma, a partir do estudo histórico constituímos blocos de conteúdo a serem trabalhados nesses textos, donde resumimos o que foi exposto no capítulo 2, dividindo-os da seguinte forma:

Texto 01: contextualização histórica da civilização islâmica, desde seu surgimento até o período de interesse para o trabalho (por volta do século IX), contendo uma visão geral dessa sociedade;

Texto 02: características gerais da matemática islâmica medieval, especialmente no tocante à álgebra geométrica;

Texto 03: apresentação de Ibn Turk, sua obra e aspectos importantes da álgebra geométrica desenvolvida por esse estudioso;

Texto 04: situações atuais em que podemos estabelecer relações com o contexto da civilização islâmica medieval.

Nessa linha de raciocínio, Saito (2016, p. 08) coloca que:

29 _{Atualmente, existem duas vertentes historiográficas que aparecem na literatura: a historiografia tradicional e}

historiografia atualizada. De acordo com Saito e Roque (apud Morey e Gomes, 2018), a vertente atualizada é aquela cuja abordagem valoriza os contextos de elaboração, transformação, transmissão e disseminação do conhecimento matemático em diferentes épocas e cultura, enquanto que a perspectiva historiográfica tradicional enfatiza apenas a coerência interna do discurso matemático, tendo como ponto de partida o que nós entendemos por matemática nos dias de hoje.

Uma história da matemática pautada em tendências historiográficas atualizadas torna- se mais interessante porque não tem por foco os conteúdos matemáticos em si, nem os procedimentos, métodos, técnicas ou algoritmos, mas o processo da construção desses mesmos conteúdos, métodos, técnicas ou algoritmos historicamente contextualizados. O estudo desse processo conduz a uma linha interpretativa diferenciada que propicia abordar esses mesmos elementos por outra perspectiva, fazendo emergir outros tantos novos na historicidade, tais como processos que conduzem, por exemplo, a compreender o papel da representação, visualização, abstração, raciocínio, demonstração, métodos, definições, etc., na construção do conhecimento, bem como outros aspectos da matemática e de sua prática. (SAITO, 2016, p. 08)

Nessa perspectiva exposta por Saito se viabiliza o trabalho com a investigação matemática, pois tais processos descritos por esse autor podem ser alcançados, em nossas atividades, a partir da (re)construção dos métodos resolutivos de equação quadrática feita por Ibn Turk, por parte dos estudantes. Assim, ao explorarem e levantarem questões com base na leitura dos textos dispostos no caderno de atividades, formularem e testarem conjecturas (re)descobrindo o raciocínio geométrico na resolução de casos de equações quadráticas, justificarem e avaliarem a validade das ideias matemáticas desenvolvidas ao longo do processo investigativo, no momento final de cada atividade, os discentes poderão, de fato, a apreciar da beleza da matemática e da estética inerente a seus métodos de produção e validação do conhecimento (MIGUEL; MIORIM, 2009).

Destacamos ainda o papel das TDIC, especificamente o software Geogebra, implementado nas atividades propostas. Tal tecnologia proporciona, quando articulado com as tendências de HM e IM, apoio para o processo investigativo, por suas ferramentas que permitem comparar, visualizar e explorar, de maneira dinâmica, as construções geométricas. Além disso, oferece como vantagem a otimização do tempo utilizado para elaborar tais construções, pois cria e recria elementos dessas figuras (pontos, segmentos, polígonos, entre outros) em segundos. Assim, o produto educacional se apoia em uma perspectiva que permite aos estudantes participarem de uma proposta pedagógica experimental-com-tecnologia (BORBA; PENTEADO, 2017).

Os aspectos mencionados anteriormente nos levam a estrutura do produto educacional, detalhada a seguir. O caderno de atividades (vide apêndice D) possui duas atividades acerca da resolução geométrica de equações quadráticas, envolvendo a aliança entre HM e TDIC via IM tomando como base o capítulo Logical Necessities in Mixed Equations by ‘Abd al Hamid Ibn

Turk and the Algebra of His Time da obra Kitâb Al Jabr Wa’l Muqâbala de Ibn Turk, que traz

quatro casos como opção de solução de tais equações e dos quais escolhemos dois como referência, sendo um tratado na Atividade II e outro na Atividade III.

Cabe mencionar que o produto educacional conta ainda com uma atividade introdutória e outra, a Atividade I, que visa familiarizar os estudantes com a álgebra geométrica da civilização islâmica medieval (Atividade I), mas não trata de nenhum caso específico de equação quadrática estudado por Ibn Turk. Cada atividade (exceto a introdutória, que conta com apenas com o Texto 01 e questionamentos iniciais) é constituída pelos seguintes elementos:

Informações Gerais – Quadro presente no início de cada atividade, informando conhecimentos prévios que o aluno deve ter para realizar a atividade, recursos necessários para execução da mesma e objetivos.

Seção Texto e Contexto – Texto que contém informações gerais sobre o contexto da civilização islâmica medieval, com foco para a matemática desenvolvida nesse período. Ao final da seção, é apresentado um problema, a ser investigado pelos alunos, envolvendo equação quadrática e o método de Ibn Turk.

Seção Estudando o Texto – Traz questionamentos que objetivam aprofundamento dos conhecimentos apresentados na seção “Texto e Contexto”.

Seção Construindo e Explorando – Apresenta questionamentos que promovem construções no software Geogebra, assim como realização de investigação matemática dessas mesmas construções feitas pelos estudantes. Momento de fazer testes para as conjecturas levantadas.

Seção Ampliando os Horizontes – Aborda questões que visam dar continuidade ao processo de investigação matemática iniciada pelos alunos na seção anterior. Validam-se e/ou refinam-se as conclusões obtidas.

Seção Registrando Entendimentos – Momento de socialização/avaliação das etapas até então concluídas das atividades.

Isso posto, serão detalhadas a seguir considerações sobre o local de realização dos encontros e sobre o público em que o produto foi aplicado, sendo essas últimas obtidas, principalmente por meio do questionário inicial (ver apêndice B), assim como trazemos informações sobre a aplicação propriamente dita do caderno de atividades para alunos do curso de licenciatura em matemática da UFRN durante a disciplina Didática da Matemática I (Código MAT1516) no semestre letivo 2019.2. Além de descrições das aulas, há reflexões e análises acerca dessas à luz da fundamentação que respalda esse trabalho.