4 O CADERNO DE ATIVIDADES
4.2 Aplicação das atividades
4.2.1 O espaço e o público
Como posto, o produto educacional foi aplicado no semestre 2019.2 em uma turma da disciplina Didática da Matemática I (Código MAT151630) ofertada ao curso de licenciatura em matemática da UFRN, que contava com 39 alunos matriculados, sendo que em média 35 frequentam as aulas. A mestranda atuou desde o início das aulas conjuntamente com a professora da disciplina, Giselle Costa de Sousa, como docente assistida31, sendo que a escolha por esse componente curricular para aplicação do caderno de atividades se deu devido ao fato desta disciplina constar em sua ementa as seguintes tendências da educação matemática: História da Matemática como estratégia de ensino da matemática escolar e Investigação Matemática. Dessa forma, consideramos que o produto educacional se enquadra na proposta dessas aulas. Cabe destaca que um dos objetivos da disciplina se refere a refletir sobre a prática docente, sobre a educação matemática na Educação Básica e ainda, estudar e praticar tendências atuais em E.M. Nesse sentido, esse trabalho está em consonância com a proposta desse componente curricular, sendo uma de suas finalidades ampliar a formação docente com relação à HM, TDIC e IM como propostas didáticas.
As Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação, por sua vez, estão presentes em um componente curricular oferecido no 3º período na instituição, Informática no Ensino da Matemática (Código MAT1512). No 4º período é oferecida uma outra disciplina associada a TDIC, a saber, Laboratório de Apoio Computacional (Código MAT 1515). Como são em períodos anteriores e/ou concomitantes à aplicação, esperava-se que os alunos contassem com uma certa bagagem de conhecimentos no que diz respeito ao software Geogebra e outras tecnologias vinculadas ao meio digital, o que foi confirmado pelo questionário inicial. As aulas
30 Disciplina ofertada no 4º período da licenciatura em matemática.
31 A docência assistida ou estágio à docência é uma atividade regulamentada na resolução 063/2010 CONSEPE-
UFRN e consiste na atuação dos alunos de pós-graduação em atividades acadêmicas desenvolvidas nos cursos de graduação sob a supervisão de um professor efetivo da UFRN.
da disciplina Didática da Matemática I ocorriam às quintas-feiras, nos horários dispostos no Quadro 9.
Quadro 9 – Horários das aulas de Didática da Matemática I
Aulas Horários
Primeira Aula 13:00 às 13:50 horas
Segunda Aula 13:50 às 14:40 horas
Intervalo 14:40 às 14:55 horas
Terceira Aula 14:55 às 15:45 horas
Quarta Aula 15:45 às 16:35 horas
Fonte: Acervo da autora
Notamos, pois, que há um encontro semanal com quatro aulas de 50 minutos cada, ou seja, um encontro corresponde a um dia de aula da disciplina com 200 minutos de duração. Os encontros para realização das atividades aconteceram no Laboratório de Micros, localizado na sala H4 do setor de aulas III da UFRN. Esse laboratório possui 42 computadores, todos funcionando normalmente, a maioria com acesso à Internet e o software Geogebra instalado. Destaca-se que a mestranda, anteriormente às aulas planejadas para as atividades, verificou o ambiente com relação aos recursos didáticos como projeção de slides, computadores, instalação de software e acesso à Internet, visto que, conforme Borba e Penteado (2017, p. 57), “problemas técnicos podem obstruir completamente uma atividade”.
Figura 47 – Laboratório de Micros
Fonte: Acervo da autora
É relevante informar que a aplicação da carta de cessão de direitos e questionário inicial (apêndices A e B), assim como uma breve explanação sobre a proposta, não ocorreram nesse
laboratório, pois foram realizados antecipadamente ao primeiro encontro em que demos início à aplicação do caderno de atividades. Isso ocorreu porque, no cronograma da disciplina, no encontro anterior à realização das tarefas do produto educacional, estava prevista a aula teórica acerca da tendência História da Matemática. Dessa forma, se o questionário inicial fosse aplicado após essa aula (no dia em que, de fato, seria iniciado o caderno de atividades), esse contexto poderia interferir nas respostas dos estudantes e, portanto, nos resultados da pesquisa. Destarte, esses instrumentos foram preenchidos pelos estudantes em 40 minutos, previamente à aula teórica no dia 27 de setembro. Neste dia também foi encaminhada a leitura do texto 1 da atividade introdutória, sendo esse disponibilizado no SIGAA32.
Figura 48 – Estudantes preenchendo questionário inicial
Fonte: Acervo da autora
Com relação aos participantes da pesquisa, destaca-se que a turma em questão conta com 11 mulheres e 24 homens, sendo que desses, 17 estudaram somente ou a maior parte da Educação Básica em escola particular (aproximadamente 49% dos estudantes), e 18 estudaram somente ou a maior parte da Educação Básica em escola pública (aproximadamente 51%). Houve ainda 8 estudantes (aproximadamente 23% dos alunos) que afirmaram ter cursado o Ensino Médio Técnico e 1 (aproximadamente 3%) que declarou ter estudado na Educação para Jovens e Adultos (EJA).
Acerca da idade dos estudantes, o questionário inicial mostrou que as idades deles eram variadas, embora fossem predominantes as idades entre 18 e 22 anos (20 alunos). Outros 10 alunos possuíam entre 23 e 27 anos, havendo 4 estudantes que possuíam de 34 a 38 anos e ainda 1 estudante de 54 anos. Ressalta-se também que dos 35 participantes da pesquisa, 31 cursavam
32 SIGAA ou Sistema Integrado de Gestão de Atividades Acadêmicas é um sistema que informatiza os
procedimentos da área acadêmica. Por meio dessa ferramenta, o professor pode, por exemplo, cadastrar textos/atividades para que os estudantes tenham acesso a esses recursos fora da sala de aula.
o 4º período do curso de licenciatura em matemática, e 4 cursavam o 6º período do mesmo curso (como dito anteriormente, a disciplina Didática da Matemática I é ofertada no 4º período do referido curso).
Uma das perguntas do questionário33 inicial visava entender se os alunos consideravam mais eficientes, em aulas de matemática, as estratégias que seriam utilizadas durante a aplicação do produto educacional: a HM, as TDIC e a IM. O gráfico 1, a seguir, mostra as respostas dos alunos.
Gráfico 1 – Consideração dos alunos quanto à eficiência da HM, TDIC e IM
Fonte: Acervo da autora
Observa-se que grande parte dos estudantes não indicaram a HM e a IM como recursos que eles consideram como mais eficientes para uma aula de matemática. Essa questão, por ser aberta, oferecia muitas possibilidades de resposta: além das TDIC, a maioria delas envolveu resolução de problemas (13 pessoas), materiais manipuláveis (7 pessoas) e metodologias que propiciem maior participação dos alunos (6 pessoas). Porém, percebe-se um paradoxo quando são comparadas as respostas dos alunos nessa pergunta, e em questões fechadas que eram uma forma de reafirmação dessa questão34.Todos os 35 alunos responderam que as três tendências em educação matemática (HM, IM e TDIC) são importantes de serem utilizadas nas aulas de
33 Quais recursos e/ou metodologias que crê que são mais eficientes para uma aula de matemática? Liste ao menos
dois que acredita que são relevantes e justifique.
34 Você considera importante a utilização da História da Matemática nas aulas de matemática?
Você considera importante a utilização da Investigação Matemática nas aulas de matemática?
Você considera importante a utilização das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação nas aulas de matemática? 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 TDIC IM HM
matemática. No entanto, na questão aberta sobre recursos e metodologias nessas mesmas aulas, poucos alunos mencionaram essas abordagens.
Ainda na perspectiva da HM, da IM e das TDIC nas aulas de matemática, foi também questionado o motivo pelo qual os estudantes acreditavam ser importante a utilização dessas em sala de aula. Quanto à História da Matemática, houve vários argumentos: a História da Matemática ajuda na compreensão da matemática enquanto ciência (11 alunos), dá significado ao conteúdo (8 alunos), expõe a importância/necessidade dos conteúdos (8 alunos), mostra aplicações da matemática (7 alunos), propicia a realização de investigações (3 alunos), dá motivação (5 alunos), desmistifica a disciplina (2 alunos) e diminui a dificuldade na aceitação de conceitos (1 aluno).
No que diz respeito à IM, as justificativas dos alunos para a utilização dessa tendência nas aulas foram diversificadas também. Para eles, a investigação matemática propicia pensamento, reflexão, criatividade e senso crítico nos estudantes (10 alunos), conduz a autonomia do aprendizado (9 alunos), facilita o entendimento do conteúdo (5 alunos), motiva (4 alunos) e ajuda na busca por pesquisas e/ou respostas por parte dos estudantes (3 alunos). Houve ainda 3 participantes da pesquisa que, embora tenham declarado que consideram importante a utilização da IM nas aulas, não justificaram a resposta.
Com relação às TDIC, as razões mencionadas pelos alunos para utilização delas nas aulas de matemática foram as seguintes: expõe aplicações da disciplina (10 alunos), aumenta o interesse dos estudantes (13 alunos), auxilia no entendimento dos assuntos (8 alunos), otimiza o tempo das aulas (4 alunos), ajuda na visualização do conteúdo (2 alunos) e torna o aluno mais ativo no processo de ensino aprendizagem (2 alunos). Um estudante, apesar de considerar importante a utilização das TDIC nas aulas, não justificou a resposta.
A multiplicidade de argumentos nessas questões indica que os estudantes possuíam bagagem intelectual sobre os temas em questão, pois suas justificativas para a utilização dessas tendências em educação matemática estão em consonância com o que é posto por teóricos da área, tais como Miguel e Miorim (2008), Roque (2012), Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) e Borba e Penteado (2017). O questionário final (ver apêndice C) mostrou que a aplicação do caderno de atividades contribuiu para aprofundar os conhecimentos dos licenciandos acerca dessas tendências em educação matemática, assim como possibilitou que eles vivenciassem experiências da aplicação delas em sala de aula.
Acerca de aulas com HM35, 14 alunos apontaram que não participaram de aulas com essa tendência em educação matemática, enquanto 21 alunos mencionaram que sim. Os estudantes que afirmaram já ter tido aulas com presença da HM, destacaram vários conteúdos em que essa tendência foi utilizada, sendo que a HM, porém, foi em geral utilizada para introduzir o conteúdo com o objetivo de evidenciar seu surgimento e desenvolvimento. Os estudantes declararam achar interessante e enriquecedor para a aprendizagem. Essas respostas dos alunos, ilustram, porém, uma visão ainda limitada do uso da HM nas aulas de matemática, somente como uma informação complementar aos conteúdos, mas que não atenta para outras aplicações que a HM pode ter durante essas mesmas aulas. De acordo com Miguel e Miorim (2008), pode-se promover diferentes tipos de vínculos entre a produção sócio-histórica do conhecimento matemático no passado e a produção e/ou apropriação pessoal desse conhecimento no presente em sala de aula. A resposta de um discente da turma, com relação a esse questionamento, chamou atenção, por destacar o que foi posto anteriormente, conforme Figura 49.
Figura 49 – Resposta de um aluno36 à questão: Caso já tenha sido utilizada, descreva
brevemente como foi e sua opinião sobre essa utilização, do questionário inicial
Fonte: Acervo da autora
Essa resposta condiz com a visão de Mendes, Fossa e Valdés (2006), que apontam que os professores de matemática tendem a agir como se a História da Matemática não fosse importante para a aprendizagem dessa disciplina. A matemática é um assunto técnico – parece ser o argumento – e, portanto, basta entender os algoritmos para usá-la corretamente.
Os alunos que destacaram não ter participado de aulas em que foi utilizada a HM, em sua maioria, ao serem indagados sobre como achavam que seriam essas aulas, opinaram que a história seria utilizada para explicar a origem de determinado conteúdo, ou seja, a motivação
35 A História da Matemática já foi utilizada em alguma aula (Ed. Básica e/ou Ensino Superior) que você participou?
Quanto as Tecnologias Digitais da Informação e da Comunicação (TDIC), você já participou de aulas com esse tipo de recursos?
Durante sua vida escolar, você já desenvolveu alguma atividade de investigação?
36 Foi apresentado pelo professor apenas como uma informação adicional ao tema. (transcrição de resposta de
para criação daquele conhecimento, além das etapas do desenvolvimento desse, contribuindo para nossa análise de que os participantes da pesquisa possuem uma percepção restrita de como seria empregada a HM nas aulas de matemática. Em nosso trabalho, buscamos mostrar aos licenciandos que essa tendência pode ser aplicada de outras formas. Houve 3 alunos que enfatizaram outro ponto importante nesse mesmo questionamento. A figura 50 a seguir traz esse ponto, exposto na resposta de um dos estudantes.
Figura 50 – Resposta da questão 10 do questionário inicial de um aluno37
Fonte: Acervo da autora
O estudante traz a preocupação com a importância de o docente ter conhecimento acerca da forma como utilizar a HM nas aulas de matemática, o que traria reflexos favoráveis ou prejudiciais para a aprendizagem. A pesquisadora analisou essas respostas como positivas, pois revelam compreensão de que o discernimento do professor quanto à metodologia das aulas e aos recursos didáticos utilizados, a depender dos objetivos, podem contribuir ou não para o rendimento da aula. Nesse sentido, Grattan-Guiness (apud MIGUEL E MIORIM, 2008, p. 65) defende que em nível universitário, a história não só pode como deve estar presente na abordagem dos conteúdos de ensino. Não se trata, acrescenta ele, de fazer da História da Matemática uma disciplina à parte como se ela fosse um ramo separado da matemática, mas de encará-la como parte essencial de todos os ramos.
Em relação às aulas com TDIC, os 35 participantes da pesquisa declararam já ter participado de aulas com esses recursos. Quanto à realização de investigações matemáticas em sala de aula, 28 alunos afirmaram já terem feito esse tipo de atividade anteriormente, e 7 alunos declararam não ter aula de matemática com essa metodologia até então.
Ao início da pesquisa é relevante mencionar que foi perguntado aos estudantes acerca do estudo de equação quadrática e métodos de resolução para a mesma, sendo que 32 alunos disseram já ter estudado sobre esse conteúdo e apenas 3 alunos afirmaram não ter estudado sobre o assunto. Os métodos de resolução indicados pelos estudantes podem ser observados no gráfico 2.
37 É difícil afirmar. Eu estaria diante de varias variaveís, como: “o professor saberia utilizar a historia para a sua
Gráfico 2 – Métodos de resolução de equação quadrática indicada pelos estudantes
Fonte: Acervo da autora
Constata-se então que os estudantes entendiam desse conteúdo, visto que todos conheciam a fórmula do discriminante e Bhaskara para resolução de equações quadráticas, e 31 conheciam mais de uma maneira de resolução para esse tipo de equação. O fato de 100% dos alunos considerarem compreender a resolução de uma equação polinomial de 2º grau por meio da fórmula pode ser um indício de que o ensino de matemática ainda privilegia um enfoque puramente algorítmico desse conteúdo, sem que seja atribuído significados à fórmula.
Essa forma de abordagem, porém, favorece a memorização sem aprendizagem e à visão errônea dessa disciplina como um produto, e não como um processo. A presente pesquisa objetiva contribuir nessa perspectiva, utilizando da história como fonte para o entendimento dos problemas geradores e procedimentos utilizados para lidar com uma equação quadrática, inspirados na contribuição árabe para essa resolução, particularmente por Ibn Turk. Jones (1969) acredita que é na possibilidade de desenvolvimento de um ensino da matemática escolar baseado na compreensão e na significação que se realizaria a função pedagógica da história.
Foi perguntado ainda sobre o conhecimento da história das equações quadráticas. Do instrumento aplicado, há indícios que 23 alunos não possuíam bagagem intelectual sobre o assunto, enquanto 12 demonstraram alguma informação sobre o tema. Desses 12 estudantes, 10 tinham noções sobre os babilônicos e Bhaskara estarem envolvidos na história de alguma forma e 2 citaram o personagem Al-Khwarizmi. Pode-se inferir, pelas respostas dos participantes da
0 5 10 15 20 25 30 35 Fórmula do discriminante e Bhaskara Soma e produto das raízes Completamento de quadrados Fatoração Métodos geométricos de Euclides
pesquisa, que o entendimento deles sobre a história das equações quadráticas era bastante superficial.
Uma outra questão que nos chamou atenção diz respeito à compreensão da álgebra geométrica38. O gráfico 3 aponta a resposta dos alunos quanto a esse questionamento.
Gráfico 3 – Conhecimento dos estudantes quanto à álgebra geométrica
Fonte: Acervo da autora
Dos participantes da pesquisa que afirmaram possuir algum conhecimento sobre o tema, a maioria associou o termo a “comportamentos algébricos em estruturas geométricas”, uma resposta vaga que indica pouca informação sobre álgebra geométrica. Apenas um aluno estabeleceu vínculo com Al-Khwarizmi e sua forma de resolver equações, o que de certa forma foi a resposta mais próxima do que esperávamos. Daqueles estudantes que relataram não ter conhecimento sobre o assunto, 11 pessoas opinaram sobre o tema: relacionaram álgebra geométrica a cálculo de áreas, geometria analítica ou ainda a união entre álgebra e geometria. Uma resposta interessante e que reforça a dicotomia feita entre os campos da matemática em sala de aula é mostrada a seguir.
Figura 51 – Resposta da questão 23 do questionário inicial de um aluno
Fonte: Acervo da autora
38 Você estudou sobre álgebra geométrica?
O que você sabe sobre álgebra geométrica? 0 5 10 15 20 25 30 Sim Não
Embora no Brasil a divisão entre álgebra, geometria e aritmética já existisse por volta de 1600, foi em 1808, a partir da criação da Academia da Marinha, que o ensino de matemática foi segmentado em aritmética, álgebra, geometria e trigonometria. (LORENZATO, 2008). Ainda de acordo com esse autor:
[...] todos os campos da matemática previstos no currículo oficial devem ser ensinados, e mais, de modo integrado. Se concordarmos com as vantagens do ensino interdisciplinar, com mais forte razão devemos professar o ensino intradisciplinar, o qual pode ser reduzido, sinteticamente, ao ensino integrado de aritmética, geometria e álgebra. Assim fazendo, os alunos irão perceber a harmonia, coerência e beleza que a matemática encerra, apesar de suas várias partes possuírem diferentes características, tal qual uma orquestra. Além disso, seriam eliminadas do ensino de matemática algumas prolixidades que nele persistem, e ainda, seria facilitada a muitos estudantes a desejada aprendizagem. (LORENZATO, 2008, p. 60).
O caderno de atividades foi elaborado sob um ponto de vista unificador, em que a álgebra e geometria são complementares, na medida em que se associam os procedimentos feitos por ‘Abd al-Hamid Ibn Turk para lidar com equações quadráticas geometricamente e as fórmulas resolutivas utilizadas atualmente (discriminante e Bhaskara). Acreditamos, assim como Lorenzato (2008), que essa perspectiva amplia a compreensão da ideia fundamental que está em estudo, eliminando a fragmentação desses conhecimentos.
Após essas considerações acerca do público participante da pesquisa, será feita a descrição da aplicação do caderno de atividades na turma em questão, com reflexões em relação aos acontecimentos durante esse processo, tendo em vista o que foi apresentado até o presente momento.
4.2.2 O processo de aplicação
A aplicação das atividades se deu em três encontros39, sendo que o último deles foi efetuado em duas aulas. Dessa forma, as atividades foram realizadas em dez aulas de 50 minutos cada. No cronograma de aplicação, no entanto, eram previstos dois encontros (totalizando oito aulas de 50 minutos), porém, devido a alguns imprevistos e ao caráter de algumas atividades foram necessárias mais duas aulas para finalizar a aplicação.
39 Três encontros com exceção do encontro do dia 20 de setembro de 2019, onde foram aplicados o questionário
4.2.2.1 O primeiro encontro
O primeiro encontro ocorreu no dia 27 de setembro de 2019, com início quinze minutos após as treze horas, devido ao atraso de vários estudantes. A aula foi iniciada com uma breve apresentação da mestranda acerca da origem do produto educacional e de aspectos gerais das atividades tais como o tema (álgebra geométrica), tendências da educação matemática envolvidas com as tarefas, além de orientações gerais como a realização de todas as atividades em duplas e a desconsideração da Janela de Álgebra do software Geogebra.
Figura 52 – Apresentação inicial do produto educacional
Fonte: Acervo da autora
É importante ressaltar que, como posto, o questionário inicial e a carta de cessão de direitos autorais e de imagens já haviam sido preenchidos em um momento anterior (dia 20 de setembro de 2019), pois a aula da disciplina prevista para aquele dia tinha como temática principal a utilização da História da Matemática no processo de ensino-aprendizagem de matemática, e isso poderia influenciar as respostas dos alunos. Assim, esses instrumentos de coleta de dados foram aplicados no início da aula do dia 20 de setembro de 2019.
Prosseguindo com a descrição do primeiro encontro, foi feita uma sondagem inicial acerca da leitura prévia (em casa) de um texto cadastrado anteriormente no SIGAA pela docente da disciplina. O título do texto era TEXTO 01 - CONHECENDO A CIVILIZAÇÃO ISLÂMICA MEDIEVAL E SUA CIÊNCIA40 (ver apêndice D). A maioria dos estudantes fez
40 O texto 01 aborda uma contextualização histórica da civilização islâmica, evidenciando o cenário de seu
surgimento, a sua expansão e os seus aspectos políticos e econômicos, contendo uma visão geral dessa sociedade. Em seguida é dado foco à ciência islâmica medieval, com destaque para a instituição Casa da Sabedoria,
a leitura e demonstrou entendimento acerca dos tópicos tratados nesse texto. Uma observação