UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA
JÉSSICA TARGINO MUNIZ
SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS POR ‘ABD AL-HAMID IBN TURK NA FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: UMA
PERSPECTIVA ORIENTADA PELA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
NATAL 2020
SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS POR ‘ABD AL-HAMID IBN TURK NA FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: UMA
PERSPECTIVA ORIENTADA PELA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao curso de Pós-graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática (PPGECNM), da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. Orientadora: Profa. Dra. Giselle Costa de
Sousa.
Coorientadora: Profa. Dr(a). Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes.
NATAL 2020
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET
Muniz, Jéssica Targino.
Soluções de equações quadráticas por 'Abd al Hamid Ibn Turk na formação inicial do professor de matemática: uma perspectiva orientada pela história da matemática / Jéssica Targino Muniz. -
Natal, 2020. 277f.: il.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. Orientador: Giselle Costa de Sousa.
Coorientador: Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes.
1. História da matemática - Dissertação. 2. Álgebra geométrica - Dissertação. 3. Ensino de matemática - Dissertação. 4. Equações
quadráticas - Dissertação. 5. Ibn Turk - Dissertação. 6. Investigação matemática - Dissertação. 7. Tecnologias digitais da informação e comunicação - Dissertação. I. Sousa, Giselle Costa de.
II. Lopes, Gabriela Lucheze de Oliveira. III. Título. RN/UF/CCET CDU 51(091)
SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS POR ‘ABD AL-HAMID IBN TURK NA FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: UMA
PERSPECTIVA ORIENTADA PELA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao curso de Pós-graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática (PPGECNM), da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. Aprovada em: ______/______/______
BANCA EXAMINADORA
______________________________________ Profa. Dr(a). Giselle Costa de Sousa
Orientador(a)
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ______________________________________
Profa. Dr(a). Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes Coorientador(a)
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE __________________________________________________
Prof. Dr. Fabian Arley Posada Balvin (titular) / Prof. Dr. Fernando Guedes Cury (suplente)
Membro interno
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ______________________________________
Profa. Dr(a). Enne Karol Venâncio de Sousa Membro externo
De início, gostaria de agradecer a Deus por me conceder a realização de mais um sonho em minha carreira acadêmico-profissional. Agradeço também à Santa Rita de Cássia por sua intercessão durante todo o percurso até aqui, desde o processo seletivo até a finalização desse mestrado.
As pessoas que me apoiaram nessa caminhada não foram poucas, a principiar pelos meus pais, que sempre buscaram propiciar as melhores condições para que eu estudasse. A minha mãe, pela paciência e o equilíbrio; e, especialmente, pelo companheirismo de sempre. Ao meu pai, pelo exemplo de determinação, trabalho e força.
Ao meu esposo, Dérick, por entender meus momentos de estresse, minha dedicação aos estudos, além de auxílio em todas as ocasiões em que precisei de seu apoio. Sou grata por ter você ao meu lado.
À minha amiga Cristiane, companheira de todas as horas em conversas, risadas, me ajudando sempre que podia... Aos meus queridos amigos que conheci durante o mestrado, que dividiram comigo a jornada das aulas, dos eventos, da escrita da dissertação, tornando tais momentos mais especiais do que já eram.
À todos os amigos (que não são poucos, por isso não listareis aqui) que me viam ocasionalmente, e, ao perguntarem sobre o que eu estava fazendo e obterem a resposta, me encorajavam e me passavam boas vibrações, reagindo (muito) animadamente ao meu progresso como mestranda.
Aos professores com os quais cursei disciplinas no PPGECNM, por todos os conhecimentos compartilhados e pelas contribuições em minha formação como pessoa e profissional.
À toda a linda turma de Didática da Matemática I, participantes da pesquisa, por todo apoio, empenho, entusiasmo, palavras de incentivo, e sobretudo, pelo crescimento que me permitiram ter como docente.
À minha orientadora Giselle, pela disponibilidade, apoio, ajuda, direcionamentos e orientações durante todo o mestrado... Assim como à minha co-orientadora, Gabriela, pelas contribuições inestimáveis ao trabalho, pelos muitos momentos dispendidos no entendimento das construções geométricas e busca nos livros de HM.
O presente trabalho trata da apresentação de um caderno de atividades que visa a integração entre a História da Matemática (HM) e as Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDIC) por meio da Investigação Matemática (IM) para o ensino de álgebra geométrica no Ensino Superior, notadamente, na licenciatura em matemática. Em relação ao tópico histórico, resolvemos estudar soluções de equações quadráticas sob a perspectiva de Abd Al-Hamid Ibn Turk, matemático islâmico que viveu no século IX. A partir da pesquisa bibliográfica, primeira fase desse estudo, obtivemos que o principal trabalho acerca de Ibn Turk é de Sayili (1962), intitulado Logical Necessities in Mixed Equations by ‘Abd al Hamid Ibn Turk and the Algebra
of His Time, em português, Necessidades Lógicas em Equações Mistas: ‘Abd al Hamid Ibn
Turk e a Álgebra do Seu Tempo. Dessa forma, tal documento consiste em nossa principal referência, tratando sobre a resolução de equações polinomiais de 2º grau a partir de um raciocínio geométrico. A pesquisa bibliográfica resultou na segunda fase desse trabalho, a elaboração do caderno de atividades, que traz a possibilidade dos estudantes realizarem investigações históricas, com apoio do software Geogebra, estabelecendo relações entre álgebra e geometria. Este caderno de atividades foi aplicado em uma turma de Didática da Matemática I (MAT1516) do curso de licenciatura em matemática da UFRN em 2019.2. Tal aplicação mostrou que as tecnologias auxiliam no processo de (re)construção de descobertas matemáticas à medida que os estudantes otimizam o tempo para elaborar construções, restando assim maior tempo para fazer investigações inspiradas nos problemas da História da Matemática. Além disso, essas atividades causaram interesse em estudar os conceitos matemáticos abordados e proporcionaram participação ativa dos estudantes na construção/desenvolvimento do conhecimento. Ressalta-se que toda essa pesquisa qualitativa resultou em um produto educacional desenvolvido com base no exposto, disponível para os professores que queiram utilizar-se dele em suas aulas.
Palavras-chave: Álgebra Geométrica. Ensino de Matemática. Equações Quadráticas. História
da Matemática. Ibn Turk. Investigação Matemática. Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação.
The present work deals with the presentation of a notebook of activities that aims at the integration between the History of Mathematics (HM) and the Digital Technologies of Information and Communication (TDIC) through Mathematical Research (IM) for the teaching of geometric algebra in Teaching Superior, notably, in the mathematics degree. Regarding the historical topic, we decided to study solutions of quadratic equations from the perspective of Abd Al-Hamid Ibn Turk, an Islamic mathematician who lived in the 9th century. From bibliographic research, the first phase of this study, we found that the main work on Ibn Turk is by Sayili (1962), entitled Logical Necessities in Mixed Equations by 'Abd al Hamid Ibn Turk and the Algebra of His Time, in Portuguese, Necessidades Logics in Mixed Equations: 'Abd al Hamid Ibn Turk and the Algebra of His Time. Thus, this document is our main reference, dealing with the resolution of polynomial equations of the 2nd degree from a geometric reasoning. The bibliographic research resulted in the second phase of this work, the elaboration of the activity booklet, which brings the possibility for students to carry out historical investigations, with the support of the Geogebra software, establishing relations between algebra and geometry. This activity book was applied to a class of Didactics of Mathematics I (MAT1516) of the degree course in mathematics at UFRN in 2019.2. Such an application showed that technologies assist in the process of (re) construction of mathematical discoveries as students optimize the time to elaborate constructions, thus leaving more time to make investigations inspired by the problems of the History of Mathematics. In addition, these activities caused interest in studying the mathematical concepts covered and provided active participation of students in the construction / development of knowledge. It is noteworthy that all this qualitative research resulted in an educational product developed based on the above, available to teachers who want to use it in their classes.
Keywords: Geometric Algebra. Math teaching. History of Mathematics. Ibn Turk. Mathematical Research. Quadratic Equations. Digital Information and Communication Technologies.
Figura 1 – Mapa da Península Arábica... 46
Figura 2 – Expansão do Islã Medieval... 49
Figura 3 – Linha do tempo – matemáticos... 63
Figura 4 – ‘Abd Al-Hamid Ibn Turk... 66
Figura 5 – Regiões prováveis do nascimento de Ibn Turk... 68
Figura 6 – Artigo Logical Necessities in Mixed Equations by ‘Abd al Hamid Ibn Turk and the Algebra of His Time, de Aydin Sayili... 71
Figura 7 – Quadrado ABDC... 78
Figura 8 – Figura ilustrando o caso em que 𝑥2 = 3𝑥... 79
Figura 9 – Superfície AD... 80
Figura 10 – Construção dos retângulos QD e DH... 81
Figura 11 – Construção do quadrado DZKT... 81
Figura 12 – Construção geométrica que soluciona o caso 2, na perspectiva de Saiyli (1962)... 82
Figura 13 – Quadrado de área igual a 𝑥2 ... 84
Figura 14 – Construção do retângulo ZBAH... 84
Figura 15 – Localização do ponto Q... 85
Figura 16 – Construção do segmento QT... 86
Figura 17 – Completamento do quadrado KZQT... 86
Figura 18 – Construção do segmento KL... 87
Figura 19 – Construção do quadrilátero KLMH... 88
Figura 20 – Construção geométrica para resolução da equação 𝑥2+ 21 = 10𝑥, de acordo com Saiyli (1962)... 89
Figura 21 – Construção do segmento QT no segmento BD... 89
Figura 22 – Completamento do quadrado ZQTK... 90
Figura 23 – Construção do segmento TL... 90
Figura 24 – Construção do segmento LM... 91
Figura 25 – Construção para encontrar uma das raízes da equação 𝑥2+ 21 = 10𝑥, de acordo com Saiyli (1962)... 92
Figura 26 – Superfície AD, de área 𝑥2... 93
de Sayili (1962)... 95
Figura 30 – Quadrado de lado 𝑥... 96
Figura 31 – Construção do retângulo BZHA... 97
Figura 32 – Localização do ponto Q, no segmento DZ... 97
Figura 33 – Elaboração do segmento QT... 98
Figura 34 – Elaboração do quadrado KZQT... 99
Figura 35 – Construção para a equação 𝑥2+ 30 = 10𝑥, de acordo com Sayili (1962)... 100
Figura 36 – Elaboração do segmento QT, de mesmo comprimento dos segmentos ZQ e ZD... 100
Figura 37 – Completamento do quadrado ZQTK, de área igual a 25 unidades de área... 101
Figura 38 – Construção geométrica para a equação 𝑥2+ 30 = 10𝑥, na perspectiva de Sayili (1962)... 101
Figura 39 – Quadrado que representa a quantidade quadrada (𝑥2)... 102
Figura 40 – Construção do segmento HZ... 103
Figura 41 – Construção do ponto Q, ponto médio de HC... 103
Figura 42 – Construção do segmento QT... 104
Figura 43 – Completamento do quadrado KHQT... 104
Figura 44 – Elaboração do segmento TL... 105
Figura 45 – Elaboração do segmento LM... 105
Figura 46 – Representação geométrica da equação 4𝑥 + 5 = 𝑥², na perspectiva de Sayili (1962)... 106
Figura 47 – Laboratório de Micros... 116
Figura 48 – Estudantes preenchendo questionário inicial... 116
Figura 49 – Resposta de um aluno à questão: Caso já tenha sido utilizada, descreva brevemente como foi e sua opinião sobre essa utilização, do questionário inicial... 120
Figura 50 – Resposta da questão 10 do questionário inicial de um aluno... 120
Figura 51 – Resposta da questão 23 do questionário inicial de um aluno... 123
Figura 55 – Respostas de dupla referente aos questionamentos intitulados: Pesquise
sobre o papel histórico da Casa da Sabedoria na civilização islâmica e Como o contexto político, econômico, social e até religioso influenciou a produção de conhecimentos na civilização islâmica medieval? Compare com o período da Idade Média (medieval), na Europa,
respectivamente... 128
Figura 56 – Momentos que evidenciam a participação dos alunos na discussão do Texto 01... 129
Figura 57 – Passagens do Texto 02 grifadas por estudantes... 131
Figura 58 – Resposta de dupla referente à questão intitulada: Como aconteceu a evolução da álgebra, citada no parágrafo 3 do texto 02? Há outras fases além da álgebra retórica? ... 132
Figura 59 – Problema 2... 132
Figura 60 – Rascunho de alunos respondendo a questão intitulada: Traduza a linguagem retórica do Problema 2 do texto 02 para a linguagem simbólica... 133
Figura 61 – Resposta dada pelos estudantes nas questões 1 e 2 da seção Construindo e Explorando... 134
Figura 62 – Outra resposta dada pelos estudantes nas questões 1 e 2 da seção Construindo e Explorando... 135
Figura 63 – Respostas dadas por grupos para a questão intitulada: Tem possibilidade de resolver o problema proposto utilizando um raciocínio geométrico, assim como os estudiosos islâmicos? Como você faria isso? ... 136
Figura 64 – Página do site Answergarden com a pergunta feita aos estudantes... 138
Figura 65 – Respostas dos estudantes aparecendo gradativamente no Answergarden. 139 Figura 66 – Respostas de todas as duplas dispostas no AnswerGarden... 139
Figura 67 – Discussão acerca do brainstorming realizado com os estudantes... 140
Figura 68 – Momentos durante a leitura coletiva do texto 03... 143
Figura 69 – Problema 3... 143
Figura 72 – Resolução correta do Problema 3... 148
Figura 73 – Alunos utilizando diferentes estratégias para encontrar a área do quadrado construído no software... 149
Figura 74 – Recorte do quadro da seção Construindo e Explorando... 151
Figura 75 – Alunos retomando texto e resolução algébrica do Problema 02... 152
Figura 76 – Estudantes investigando em pequenos grupos... 154
Figura 77 – Evidências de que os alunos não seguiam rigorosamente os passos propostos para construção no Geogebra... 154
Figura 78 – Rascunho de estudantes justificando medidas de segmentos... 155
Figura 79 – Resposta de dupla para primeiros questionamentos propostos na Seção Construindo e Explorando... 156
Figura 80 – Raciocínio de dupla para primeiros questionamentos propostos na Seção Construindo e Explorando... 158
Figura 81 – Conclusões de estudantes acerca da figura geométrica construída... 159
Figura 82 – Alunos explorando associações de figuras geométricas com raízes das equações quadráticas no software Geogebra... 160
Figura 83 – Aula expositiva dialogada retomando o encontro anterior... 162
Figura 84 – Estudantes em diferentes momentos da construção no Geogebra... 163
Figura 85 – Mestranda atuando como mediadora durante as investigações... 164
Figura 86 – Dinâmica de movimento da construção geométrica proporcionada pelo Geogebra... 165
Figura 87 – Investigações sendo feitas no Geogebra... 166
Figura 88 – Respostas de grupos para a questão intitulada: O estudioso Ibn Turk, ao construir essa figura, observou uma impossibilidade lógica (absurdo) na resolução da equação que modela o problema 3. Essa impossibilidade diz respeito à relação entre a área do quadrado ZQTK e do retângulo BAHZ. Explique essa contradição... 167
Figura 89 – Resposta de dupla para a questão intitulada: Investigue a resolução geométrica dessa equação, considerando a figura geométrica obtida e o contexto matemático da álgebra na época de Ibn Turk... 169
equação quadrática proposta... 169
Figura 91 – Associação feita por dupla, da equação 𝑥2 + 40 = 10𝑥 com a figura geométrica construída no Geogebra... 171
Figura 92 – Explicações dos estudantes quanto a enunciação do caso 3c... 172
Figura 93 – Trecho que ilustra importância da Casa da Sabedoria e influência religiosa nos estudos da sociedade islâmica medieval... 174
Figura 94 – Trecho de relatório apresentando o modo de Ibn Turk lidar com equações quadráticas... 174
Figura 95 – Trechos de relatórios apresentando dúvidas, limitações e vantagens do método histórico para resolução de equações quadráticas... 175
Figura 96 – Problema 4... 176
Figura 97 – Alunos pesquisando questões envolvendo equações quadráticas... 177
Figura 98 – Respostas dos estudantes para a questão 1 da Seção Estudando o Texto... 177
Figura 99 – Forma de resolução utilizada por estudantes para o Problema 4... 179
Figura 100 – Outra forma de resolução para o Problema 04... 180
Figura 101 – Arquivo correspondente à seção Construindo e Explorando... 182
Figura 102 – Protocolo de Construção... 182
Figura 103 – Resposta dos alunos para o primeiro questionamento da seção Construindo e Explorando... 183
Figura 104 – Alunos buscando relações entre a área do quadrado ABDC e a equação quadrática 2𝑥 + 4224 = 𝑥2... 184
Figura 105 – Diferentes momentos de investigação da Atividade III... 185
Figura 106 – Estudantes felizes por descoberta na atividade investigativa... 186
Figura 107 – Atribuição de medidas errôneas para os segmentos HC e QC... 187
Figura 108 – Resposta correta para as medidas dos segmentos HQ e QC... 187
Figura 109 – Discussões sendo feitas em paralelo às investigações... 189
Figura 110 – Respostas de estudantes para o décimo segundo e décimo terceiro questionamentos... 190 Figura 111 – Resposta de alunos na questão intitulada: Considerando atualmente que
justificar a solução de Ibn Turk tendo em vista sua época?... 191 Figura 112 – Generalização do procedimento geométrico de Ibn Turk para resolução
de equações do tipo 𝑥2 = 𝑏𝑥 + 𝑐, elaborado pelos estudantes... 192 Figura 113 – Resolução geométrica do Problema 3 feita por estudantes... 193 Figura 114 – Comparação entre resolução pela fórmula e resolução geométrica de
equações quadráticas, estabelecida por grupo em relatório... 194 Figura 115 – Justificativas de estudantes para a questão 2 do questionário final... 196 Figura 116 – Razões, segundo licenciandos, para a apreciação da presença da HM nas
aulas de matemática... 200 Figura 117 – Relação estabelecida, por estudante, do software Geogebra com
atividades de investigação... 202 Figura 118 – Vantagens destacadas por estudante, com relação às atividades feitas
com auxílio do Geogebra... 202 Figura 119 – Considerações dos estudantes acerca da IM nas aulas... 204 Figura 120 – Opinião dos estudantes em relação à articulação entre HM e TDIC nas
atividades propostas... 205 Figura 121 – Respostas de estudantes para a questão 23 do questionário final... 208 Figura 122 – Respostas de estudantes para a questão 24 do questionário final... 208 Figura 123 – Aula simulada, utilizando HM e IM, para o estudo de operações com
polinômios... 209 Figura 124 – Considerações dos alunos quanto à interdisciplinaridade do
Gráfico 1 – Consideração dos alunos quanto à eficiência da HM, TDIC e IM... 117
Gráfico 2 – Métodos de resolução de equação quadrática indicada pelos estudantes.. 122
Gráfico 3 – Conhecimento dos estudantes quanto à álgebra geométrica... 123
Gráfico 4 – Dificuldades em relação à linguagem do caderno de atividades... 195
Gráfico 5 – Considerações dos alunos quanto à seção Texto e Contexto... 196
Gráfico 6 – Opinião dos alunos quanto ao tempo destinado às atividades... 197
Gráfico 7 – Preferência dos alunos quanto às atividades propostas... 198
Gráfico 8 – Dificuldade dos alunos em relação às atividades propostas... 199
Gráfico 9 – Contribuição da articulação entre HM, TDIC e IM para a aprendizagem de álgebra geométrica... 207
Gráfico 10 – Adaptações apontadas pelos licenciandos para o caderno de atividades, caso esse fosse aplicado na Educação Básica... 211
Quadro 1 – Momentos na realização de uma investigação... 41
Quadro 2 – Exemplo de equação quadrática representada nas fases da álgebra... 59
Quadro 3 – Exemplo de problema retórico no contexto da civilização islâmica medieval... 60
Quadro 4 – Exemplo de problema retórico inspirado no contexto da civilização islâmica medieval... 60
Quadro 5 – Representações geométricas em álgebra... 61
Quadro 6 – Variações do nome de ‘Abd Al-Hamid Ibn Turk... 67
Quadro 7 – Casos de equações quadráticas resolvidas por Ibn Turk... 77
Quadro 8 – Casos de equação quadrática estudados por Ibn Turk e Al-Khwarizmi.... 107
Quadro 9 – Horários das aulas de Didática da Matemática I... 115
Quadro 10 – Relações das respostas dos estudantes com os argumentos favoráveis à utilização da HM no ensino de matemática... 141
HAG História da álgebra geométrica HM História da Matemática IM Investigação Matemática
CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
PPGECNM Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática SIGAA Sistema Integrado de Gestão de Atividades Acadêmicas
1 INTRODUÇÃO... 19
2 FUNDAMENTOS DA PESQUISA... 26
2.1 Sobre a utilização da História da Matemática no ensino de matemática... 26
2.2 Quanto à utilização de tecnologias digitais da informação e da comunicação em sala de aula... 32
2.3 Sobre a Investigação Matemática... 38
3 ‘ABD AL-HAMID IBN TURK (SÉCULO IX) E SUA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA ISLÂMICA MEDIEVAL... 44
3.1 Contexto histórico e matemático da época... 44
3.1.1 Os califados... 48
3.1.2 A casa da Sabedoria... 50
3.1.3 Ciência e matemática islâmica no período medieval... 51
3.2 Biografia de ‘Abd Al-Hamid Ibn Turk... 64
3.3 Soluções de equações desenvolvidas por ‘Abd Al-Hamid Ibn Turk... 69
3.3.1 Caso 1... 76
3.3.2 Caso 2... 79
3.3.3 Caso 3... 82
3.3.4 Caso 4... 100
4 O CADERNO DE ATIVIDADES... 105
4.1 Inspiração do levantamento histórico para as atividades e estrutura do caderno... 108
4.2 Aplicação das atividades... 113
4.2.1 O espaço e o público... 113 4.2.2 O processo de aplicação... 123 4.2.2.1 O primeiro encontro... 123 4.2.2.2 O segundo encontro... 159 4.2.2.3 O terceiro encontro... 186 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 202 REFERÊNCIAS... 208
APÊNDICE B – QUESTIONÁRIO INICIAL APLICADO AOS ALUNOS. 214 APÊNDICE C – QUESTIONÁRIO FINAL APLICADO AOS ALUNOS…. 219 APÊNDICE D – PRODUTO EDUCACIONAL... 224
1 INTRODUÇÃO
Nos últimos tempos, têm sido estudados e discutidos diferentes caminhos para o ensino de matemática, tais como Resolução de Problemas, Modelagem Matemática, História da Matemática, Investigação Matemática e Tecnologias1 Digitais de Informação e Comunicação. Pesquisas nesse sentido, na área de educação matemática, vêm sendo desenvolvidas com o intuito de melhorar o processo de ensino-aprendizagem dos estudantes.
O Programa de Pós – Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática (PPGECNM), vinculado à Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), oferece o Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, que foca na “aplicação do conhecimento, ou seja, na pesquisa aplicada e no desenvolvimento de produtos e processos educacionais que sejam implementados em condições reais de ensino.” (CAPES, 2010).
Nesse contexto surge esse trabalho, vinculado à linha de pesquisa História, Filosofia e Sociologia da Ciência no Ensino de Ciências Naturais e da Matemática. Tal pesquisa visa a integração entre a História da Matemática (HM) e as Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDIC) por meio da Investigação Matemática (IM) para o ensino de álgebra geométrica no contexto do trabalho de ‘Abd Al-Hamid Ibn Turk2. Sendo assim, essa dissertação aborda a elaboração e aplicação de um produto educacional para o nível superior, especificamente a licenciatura em matemática, considerando a temática supracitada. Salienta-se que o produto educacional é um caderno de atividades que almeja a investigação de problemas históricos vinculados ao seu contexto com apoio das TDIC no âmbito da solução geométrica de equações quadráticas. Frente ao exposto, temos a seguinte questão-foco da pesquisa, a qual buscamos responder nesse trabalho:
De que maneira seria possível aliar HM e TDIC via IM para o estudo e/ou ensino de álgebra geométrica na licenciatura em matemática?
Com base nesta questão-foco, o objetivo geral desse trabalho é realizar um estudo
histórico bibliográfico sobre álgebra geométrica a partir do trabalho de Ibn Turk e, com base nesse estudo, propor um caderno de atividades pautado no uso da HM articulado a TDIC por meio da IM para os cursos de licenciatura em matemática, proporcionando, na formação docente, reflexões acerca das tendências anteriormente mencionadas e uma
1 Nesse trabalho, ao mencionarmos a tecnologia, estamos nos referindo ao conceito instrumentos que auxiliam os seres humanos a realizarem tarefas. Ao tratarmos de tecnologia informática, estamos nos referindo
particularmente ao software Geogebra.
outra percepção sobre equações quadráticas.3 Como desmembramento desse objetivo geral,
surgem alguns de caráter mais específicos: realizar levantamento bibliográfico sobre a história da álgebra geométrica (HAG); selecionar problemas e/ou episódios de HAG para serem estudados pelas TDIC; utilizar a HM e as TDIC como apoio para o aprendizado de álgebra geométrica; ampliar a formação docente com relação à HM, TDIC e IM como propostas didáticas além de usar as informações históricas para elaborar o caderno de atividades; aplica-lo e ainda refiná-aplica-lo para disponibilização.
É importante salientar que nessa pesquisa, ao mencionarmos o termo álgebra
geométrica, estamos nos referindo aos processos geométricos utilizados para resolver
problemas algébricos, especificamente, no que concerne às equações quadráticas.
Para atingir os objetivos expostos anteriormente, foi desenvolvida uma pesquisa de aporte qualitativo, visando, portanto, a investigação e análise do comportamento, das ideias e dos pontos de vistas dos indivíduos envolvidos na mesma, para compreensão global do contexto daqueles que estão vivenciando o fenômeno observado. De acordo com Sampieri, Collado e Lucio (2006), o enfoque qualitativo:
utiliza a coleta de dados sem medição numérica para descobrir ou aperfeiçoar questões de pesquisa, e pode ou não provar hipóteses em seu processo de interpretação. Seu propósito consiste em ‘reconstruir’ a realidade, tal como é observada pelos atores de um sistema social definido. Muitas vezes é chamado de ‘holístico’, porque considera o ‘todo’, sem reduzi-lo ao estudo de suas partes (SAMPIERI; COLLADO; LUCIO, 2006, p. 05; GERHARDT; SILVEIRA, 2009).
Nesse sentido, a pesquisa é interpretativa e contextual, visando captar experiências na linguagem dos próprios indivíduos, no caso, a interação entre os estudantes do curso superior de licenciatura em matemática e as atividades envolvendo HM e TDIC via IM. O trabalho tem suas razões vinculadas a esta realidade observada, visando o refinamento do produto educacional desenvolvido com base nas perspectivas encontradas durante a aplicação do caderno de atividades.
As fases da pesquisa se deram da seguinte maneira: a princípio, foi realizada uma pesquisa bibliográfica para escolha e aprofundamento do tema histórico a ser abordado, a saber, o capítulo Necessidades Lógicas em Equações Mistas, única seção sobrevivente do trabalho
Kitâb Al Jabr Wa’l Muqâbala desenvolvido pelo estudioso ‘Abd Al-Hamid Ibn Turk. Esse autor
provavelmente viveu no século IX, na civilização islâmica, e tratou da resolução geométrica de
3 As palavras ou frases que aparecem em negrito ao longo desse texto indicam aspectos importantes/ destaques do
equações quadráticas no capítulo mencionado anteriormente. Além disso, foram buscados trabalhos acerca da utilização da HM, das TDIC e da IM (isoladamente e articuladas) na produção acadêmico/científica do Brasil na área de matemática, buscando uma visão multidimensional sobre as perspectivas, possibilidades e desafios oferecidos por essas abordagens como propostas didáticas. Sendo assim, foram feitos estudos em livros, teses, dissertações, monografias e artigos que contemplassem o tema investigado e que, posteriormente, serviram de fundamentação para esse trabalho.
Em meio às buscas iniciais, o nome de Abd Al-Hamid Ibn Turk foi encontrado no livro de Boyer (1974), relacionado ao nome de Al-Khwarizmi e o estudo de equações quadráticas. Posteriormente foi buscado um aprofundamento sobre a vida e os trabalhos desenvolvidos por esse autor em trabalhos acadêmicos da área, tendo em vista que os outros livros pesquisados não tratam sobre ele. De fato, o principal trabalho encontrado acerca de Ibn Turk é de Sayili (1962) e intitulado por Logical Necessities in Mixed Equations by ‘Abd al Hamid Ibn Turk and
the Algebra of His Time, que em português significa Necessidades Lógicas em Equações Mistas: ‘Abd al Hamid Ibn Turk e a Álgebra do Seu Tempo.
Acerca da abordagem (bibliográfica), destaca-se que ela é recomendada por vários autores como etapa inicial da realização de uma pesquisa. O objetivo desse trabalho é de aumentar a profundidade e extensão dos conhecimentos a serem pesquisados, já que a pesquisa bibliográfica “constitui-se numa preciosa fonte de informações, com dados já organizados e analisados como informações e ideias prontas.” (SANTOS, 2004, p. 27).
Ao analisarmos os estudos de Ibn Turk com relação à abordagem geométrica para equações quadráticas, verificamos suas possibilidades frente aos nossos objetivos de ensino, visto que nossa busca era por problemas históricos que pudessem ser tratados pelas TDIC a partir da realização de investigações matemáticas pelos alunos.
Na fase subsequente desse trabalho, foi realizada a elaboração e aplicação do caderno de atividades, feito com base na HM articulada a TDIC através da IM, tendo como público-alvo alunos de licenciatura em matemática e foco na álgebra geométrica estudada/proposta por Ibn Turk. Nesse sentido, essa etapa do trabalho possui elementos da pesquisa-ação, visto que essa, na visão de Thiollent (1988, p. 14):
é um tipo de pesquisa social que é concebida e realizada em estreita associação com uma ação ou com a resolução de um problema coletivo e no qual os pesquisadores e os participantes representativos da situação da realidade a ser investigada estão envolvidos de modo cooperativo e participativo.
A construção de uma sequência de atividades históricas compõe a primeira parte da pesquisa-ação, sendo que, para esse processo, inicialmente foi feita uma análise histórico-epistemológica do conteúdo matemático em questão, visando o entendimento de suas condições histórico-culturais nos estudos de Ibn Turk. Com base nessa análise, iniciou-se a produção das atividades do produto educacional. Cabe destacar que a HM, em nossas atividades, foi utilizada como elemento orientador na elaboração de atividades e situações-problema (MIGUEL; MIORIM, 2005).
A partir do estudo feito, surgiram diversas questões para as quais buscamos alternativas de resposta e que, em nosso produto educacional, definiram nossas reflexões sobre as atividades propostas:
Quais as possíveis relações podem ser estabelecidas entre a História da Matemática, especificamente a álgebra geométrica de Ibn Turk, e o ensino da matemática? Que implicações pedagógicas podem surgir dessas relações?
Como ligar o desenvolvimento histórico-epistemológico do conteúdo de equações quadráticas ao seu ensino de forma que se evidencie a associação passado-presente? De que maneira as TDIC podem ajudar os estudantes a (re)construírem conhecimentos
históricos acerca da resolução geométrica de equações quadráticas?
Como implantar, em uma proposta de ensino que relacione a matemática ao seu desenvolvimento histórico, as fases da IM ao longo dos questionamentos?
Como, provocar, nos licenciandos, a partir das atividades, a reflexão sobre o exercício de docência com relação à utilização da HM, das TDIC via IM nas aulas?
Ao respondermos tais perguntas, fomos gradativamente definindo o formato de nosso caderno de atividades, que apresenta parte introdutória e três atividades em que se objetiva que os estudantes utilizem-se das TDIC como apoio para realização de investigações históricas que os conduziram à (re)descoberta/desenvolvimento de vários conhecimentos relacionados à resolução geométrica de equações quadráticas.
A aplicação do caderno de atividades, segunda parte da pesquisa-ação, foi efetivada em uma turma da disciplina Didática da Matemática I (Código MAT1516) do curso de licenciatura em matemática da UFRN. Com esses estudantes realizamos a coleta de dados que, nessa fase, se utilizou da pesquisa documental (registros escritos e virtuais de alunos), da observação (diário de campo, foto e filmagem) e de questionários (inicial e final, ver apêndices B e C). Sobre a pesquisa documental, essa se pauta no estudo de fontes de informação que ainda não
receberam tratamento científico. Nesse sentido, Laville e Dionne (1999) apontam que os dados, nos documentos, precisam ser reunidos, categorizados, analisados e criticados, em função das necessidades da pesquisa. Em nosso caso, o tratamento ocorreu pela digitalização das respostas dos alunos nos instrumentos como caderno de atividades e transcrição, dessas e dos áudios captados nos vídeos, em notas de rodapé.
De acordo com Ludke e André (1986), essa forma de coleta de dados “possibilita um contato pessoal e estreito do pesquisador com o fenômeno observado, o que apresenta uma série de vantagens”. Tais vantagens descritas pelas autoras traduzem-se basicamente na concepção da experiência direta como o melhor teste de verificação, a possibilidade de uma visão mais aprofundada dos sujeitos da pesquisa, assim como a perspectiva de descoberta de aspectos novos de um problema, o que pode ser constatado nesse trabalho.
Para os registros fotográficos e de vídeo, a pesquisadora contou com o auxílio, além de sua orientadora (Giselle Costa de Sousa) e coorientadora (Gabriela Lucheze de Oliveira), de um mestrando (Allysson Emanuel Januário da Costa) também vinculado ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática (PPGECNM) da UFRN. Acerca desses instrumentos de coleta de dados, Vergara (2009) afirma que eles, além de trazerem contribuições para o pesquisador, no sentido da compreensão dos episódios ocorridos, ilustram para os leitores dos trabalhos características observadas durante a pesquisa.
Com relação aos questionários, destaca-se que de acordo com Laville e Dionne (1999), essa ferramenta consiste em preparar perguntas sobre o tema visado, em função da hipótese, para interrogar os indivíduos que compõem a amostra escolhida, na pesquisa, para representar uma população. Nesse sentido, os questionários como instrumentos de pesquisa foram utilizados ao início e ao fim da pesquisa, com os objetivos de conhecer o perfil, conhecimentos prévios dos participantes quanto às temáticas presentes na pesquisa, e avaliação da proposta realizada, respectivamente. Vale ressaltar que ambos os questionários contaram com perguntas abertas e fechadas, conforme apêndices B e C.
A análise dos dados foi realizada com base nos procedimentos descritos por Bogdan e Biklen (1982): delimitação progressiva do foco de estudo, formulação de questões analíticas, aprofundamento da revisão de literatura, testagem das ideias junto aos sujeitos e uso extensivo de comentários, observações e especulações ao longo da coleta.
Em síntese, neste trabalho desenvolvemos uma proposta de atividades que integram a HM e as TDIC, via IM, para o estudo de álgebra geométrica, particularmente, solução geométrica de equações algébricas pelo método de Ibn Turk. Fossa, Mendes e Valdés (2006)
lamentam a ausência ou pouca participação da HM na formação universitária do Brasil e apontam que as matérias ensinadas no Ensino Superior deveriam contemplar uma visão histórica dos conteúdos ensinados, sendo ela necessária, por exemplo, para apresentar aos estudantes um panorama geral do desenvolvimento da matemática.
Nesse sentido, considera-se que essa pesquisa se justifica pela contribuição que pode trazer à formação inicial do professor de matemática, tendo em vista que a potencial aliança entre HM e TDIC via IM pode fomentar seu ensino, especialmente no tocante à álgebra geométrica. A expectativa é que a pesquisa impacte positivamente no ensino da matemática, no sentido de que os conhecimentos construídos/desenvolvidos a partir do trabalho, apesar de ser em âmbito local, tenham significado em outros contextos, constituindo-se como fonte de pesquisa e auxiliando a resolução de questões referentes a História da Matemática, Investigação Matemática e Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação, assim como sua utilização em sala de aula no ensino de matemática.
Considerando o que foi exposto, essa dissertação está estruturada em cinco capítulos, em que o primeiro é essa introdução, na qual se busca oferecer uma perspectiva geral do trabalho.
No segundo capítulo, é abordado o referencial no qual nos embasamos para desenvolver esse trabalho. Nesse sentido, são apresentadas considerações de autores acerca da utilização pedagógica da HM, das TDIC e da IM como apoio para o aprendizado de matemática.
No terceiro capítulo, é realizado um estudo histórico bibliográfico sobre o tema em que há a apresentação do recorte histórico escolhido como base para o desenvolvimento do caderno de atividades. Sendo assim, é feito um panorama geral acerca da história da civilização islâmica, evidenciando o cenário de seu surgimento, a sua expansão e os seus aspectos políticos e econômicos, com foco no período medieval. Também são feitas considerações acerca da ciência islâmica medieval, além da apresentação de um de seus representantes, Ibn Turk (século IX), e sua produção matemática.
O capítulo quatro diz respeito à apreciação do produto educacional com a elaboração do caderno de atividades, ou seja, o modo como foram preparadas as atividades com base nas pesquisas realizadas, além do detalhamento do processo de aplicação desse produto educacional, que, como já posto, foi desenvolvido sob uma perspectiva de HM articulada com as TDIC via IM. Assim, é feita a análise dos dados obtidos a partir de comparações entre esses e os fundamentos da pesquisa.
O último capítulo desse trabalho indica nossas principais reflexões acerca da pesquisa desenvolvida, análises de dificuldades e resultados obtidos mediante os objetivos traçados inicialmente, assim como possibilidades para trabalhos futuros.
2 FUNDAMENTOS DA PESQUISA
Nesse capítulo será apresentada a base que fundamenta o desenvolvimento dessa pesquisa. Inicialmente, são destacados argumentos referentes à utilização pedagógica da História da Matemática (HM). Em seguida, são feitas reflexões acerca da Investigação Matemática (IM) enquanto abordagem nas aulas de matemática. Por fim, são discutidas as potencialidades pedagógicas das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC) em sala de aula.
2.1 Sobre a utilização da História da Matemática no ensino de matemática
O processo de ensino-aprendizagem em matemática envolve vários aspectos pautados na tríade professor-aluno-conhecimento. De acordo com Miguel (1993), entre Clairaut (1713-1765) e Castelnuovo (1913-2014) e na atualidade é significativo o número de matemáticos e educadores matemáticos que reposicionam a história como abordagem de ensino e recurso pedagógico e que influi diretamente na tríade mencionada.
A História da Matemática pode trazer respostas para vários dos problemas da sala de aula. Um deles é a recorrente pergunta dos alunos sobre quem inventou a matemática. Mendes, Fossa e Valdés (2006) concordam com essa visão, apontando que a história é uma tentativa de
responder aos questionamentos acerca do processo de construção das informações
apresentadas no presente, podendo ainda ser utilizada como ferramenta mediadora na elaboração de novos meios para compreensão e explicação de fenômenos históricos, à medida que a sociedade se transforma e os vê de outra maneira. Nesse sentido, a história cria nos
alunos um posicionamento crítico frente à própria história, possibilitando (re)leituras e
reflexões para acontecimentos históricos.
É importante ressaltar ainda que a interrogação feita pelos alunos acerca da elaboração da matemática encontra raízes na maneira como, algumas vezes, é ensinada essa disciplina em sala de aula: como um conjunto de fórmulas, regras e procedimentos, um produto já finalizado, em que o educando deve apenas seguir o que é posto pelo professor, como um instrumentista operador de fórmulas. Além disso, uma das características específicas de parte das publicações matemáticas é a de destacar unicamente os resultados matemáticos e ocultar a sua forma de produção. De acordo com D’Ambrosio (1996, p. 14):
o que chamamos matemática é uma resposta à busca de sobrevivência e de transcendência, acumulada e transmitida ao longo das gerações, desde a pré-história.
O mesmo se dá com as religiões, com as técnicas, com as artes e com as ciências em geral.
Nessa mesma direção, Roque (2012, p. 20) considera que:
Um dos fatores que contribuem para que a matemática seja considerada abstrata reside na forma como a disciplina é ensinada, fazendo-se uso, muitas vezes, da mesma ordem de exposição presente nos textos matemáticos. Ou seja, em vez de partirmos do modo como um conceito matemático foi desenvolvido, mostrando as perguntas às quais ele responde, tomamos esse conceito como algo pronto.
Nesse contexto, o processo construtivo da matemática por gerações anteriores à nossa, quando abordado em sala de aula, auxilia os estudantes a compreender o desenvolvimento
dessa ciência em cada momento histórico, além de refletir sobre a formalização de leis
matemáticas e situar a matemática como manifestação cultural. De acordo com Mendes, Fossa e Valdés (2006), “a história como forma de resgate da cultura pode contribuir para que os estudantes estabeleçam ricas conexões entre os aspectos cotidiano, escolar e científico da matemática”. (MENDES; FOSSA; VALDÉS, 2006, p. 94, grifo nosso).
Quando o conhecimento passa a ser visto, pelos estudantes, como algo que cresce e se desenvolve historicamente nas mais variadas direções, se torna mais fácil de perceber que o conhecimento matemático trata de objetos culturais produzidos e utilizados em cada fase do desenvolvimento das sociedades espalhadas pelo planeta, ao longo dos anos, e não como uma sequência de representações algorítmicas, fórmulas, teoremas e definições sem significado e/ou evolutivo e linear.
Gutierre (2011) afirma que a História da Matemática pode revelar diferentes métodos para resolver um mesmo tipo de problema, o que é de grande valor pedagógico, pois além de ajudar o aluno a compreender diferentes faces de um mesmo problema, permitirá que ele compreenda o que há de comum nas diversas soluções. Essa visão concorda com a de Mendes (2006, p. 91, grifo nosso) que afirma: “A viabilidade de uso pedagógico das informações históricas baseia-se em um ensino de matemática centrado na investigação”.
Acerca dos problemas históricos, eles podem ser o subsídio dos estudantes na formalização dos conceitos, no sentido de entender porque, na matemática, foi necessário estabelecer essas definições, que muitas vezes se mostram complicadas para os alunos. Esse contexto colabora com uma aprendizagem significativa, além de que, sob a ótica da resolução de problemas, a historicidade dos mesmos favorece com abordagem investigativa nas aulas de matemática com a vantagem adicional de humanizar essa ciência e ainda, contribuir para que os estudantes vejam no passado suas próprias dificuldades na aprendizagem. De fato,
a visão histórica transforma meros fatos e destrezas sem alma em porções de conhecimento buscadas ansiosamente, e em muitas ocasiões com genuína paixão por homens de carne e osso que se alegraram imensamente quando pela primeira vez se depararam com elas. Quantos desses teoremas, que em nossos dias têm aparecido para os estudantes como verdades que saem da obscuridade e se dirigem para o nada, têm mudado de aspecto para nós ao adquirir um perfeito sentido dentro da teoria, depois de havê-la estudado mais a fundo, incluído seu contexto histórico e biográfico? (MENDES, FOSSA E VALDÉS, 2006, p. 14)
Tais autores afirmam ainda que atividades apoiadas na investigação histórica apresentam uma série de informações que possibilitam aos estudantes uma ampliação maior do conhecimento aprendido, tanto na dimensão matemática através dos porquês e comos, e por outro lado, no aspecto cotidiano, escolar e científico deste conhecimento. De acordo com Miguel e Miorim (2008), desde que devidamente constituída com fins pedagógicos e organicamente articulada com as demais variáveis que intervêm no processo de ensino-aprendizagem escolar da matemática, a história pode e deve se constituir ponto de referência tanto para a problematização pedagógica quanto para a transformação qualitativa da cultura escolar e, mais particularmente, da cultura matemática que circula e da educação matemática que se promove e se realiza no interior da instituição escolar.
Esses autores apresentam ainda diversos argumentos acerca do potencial da utilização da História da Matemática no ensino: a história é fonte de motivação, de objetivos, de métodos, de seleção de problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos. Assim sendo, cabe ao docente identificar e estudar acerca dos tópicos matemáticos a serem abordados em sala de aula, para pesquisar como esses temas deverão ser desenvolvidos a partir da História da Matemática, e quais recursos didáticos serão utilizados a depender dos objetivos de aprendizagem. No entanto, Fossa (2008) relata que a História da Matemática terá alto poder motivador para alguns alunos, mas, não para outros, e que apesar da História da Matemática poder ajudar a
superar algumas das enfermidades pedagógicas enfrentadas pelo docente, não se pode
esperar que essa proposta didática resolva todas as questões pertinentes a esse assunto.
Além disso, o professor deve ter atenção para não reduzir a História da Matemática a
datas, nomes, locais, biografias ou narrações metódicas dos fatos, excluindo todo processo de construção de determinado assunto, ou ainda dar destaque à matemática realizada por
determinados grupos e não por outros, bem como, não dar ideia de que é linear e evolutiva sempre, desprezando suas idas e vindas e contribuições de diferentes períodos. Ao fazer dessa forma, o docente afastará ainda mais os alunos dos conhecimentos matemáticos, além de reforçar crenças negativas nos educandos. De acordo com Sousa (2012), a história desempenha
a função de servir ao ensino, e por estar aliada à teoria e à prática da educação, só deve ser exercida e concretizada em definições tratadas com propriedade e transpostas para a realidade atual, deixando de ser apenas algo do passado que serviu ao passado, se tornando algo do presente que serve ao presente em constante continuidade acadêmica e científica.
Maza (1996) salienta, ainda nessa perspectiva, que a HM não é um simples conjunto e problemas históricos para introduzir em classe, umas anedotas biográficas que motivem o aluno ou um recurso ocasional. Concordamos com essa visão, e por isso, nessa pesquisa, a história foi utilizada para a construção das noções matemáticas pelos estudantes a partir de problemas para reconstruir e interpretar o passado, assim como relacioná-lo ao contexto atual, a partir de investigações históricas com apoio das TDIC. Para Fauvvel (1991, p. 87),
Os estudantes podem vivenciar experiências manipulativas resgatadas das informações históricas, com vistas a desenvolver o seu espírito investigativo, sua curiosidade cientifica e suas habilidades matemáticas, de modo a alcançar sua autonomia intelectual, principalmente por percebermos que atualmente a escola está deixando cada vez mais de lado esses aspectos indispensáveis para uma educação integral e formadora de cidadãos pensantes.
Assim, a utilização pedagógica da HM pode trazer outros benefícios para além de melhor compreensão dos conteúdos matemáticos: as competências de observação, construção, reflexão, argumentação, estabelecimento de conexões com outros conceitos matemáticos e até mesmo, interdisciplinares, estão presentes quando tal abordagem histórica é aplicada em sala de aula. Nesse contexto, nossa visão é a de que a História da Matemática deve ser vista como
um elemento orientador na elaboração de atividades, no estudo de situações-problema e
na busca de referências e métodos para melhor compreender os conceitos matemáticos. Conforme Roque (2012, p. 23, grifo nosso), com a HM,
podemos, então, analisar o momento no qual os conceitos foram criados e como os resultados, que hoje consideramos clássicos, foram demonstrados, contrabalançando a concepção tradicional que se tem da matemática como um saber operacional, técnico ou abstrato. A história da matemática pode perfeitamente tirar do esconderijo os
problemas que constituem o campo de experiência do matemático, ou seja, o lado
concreto do seu fazer, a fim de que possamos entender melhor o sentido de seus conceitos.
A adoção dessa perspectiva pedagógica em relação à HM como fonte geradora de conhecimento matemático escolar remete ao conceito de investigação matemática, tópico que abordaremos posteriormente. Por enquanto, adianta-se que investigar está ligado à experimentação e à descoberta, de forma que é feita a formulação de perguntas as quais não se tem resposta pronta, sendo tal resposta buscada a partir do levantamento e validação de
conjecturas. Portanto, a abordagem da matemática sob uma conjunção HM-IM se dá por meio da problematização de situações da HM que culminam na (re)descoberta/desenvolvimento de conclusões históricas relacionadas à resolução de equações quadráticas via raciocínio geométrico. Ferreira (1998) afirma que é no sentido de reconstrução conceitual que a História da Matemática tem seu valor cognitivo importante, tendo em vista que a história é um fator também imprescindível na formalização de conceitos.
Em nossa pesquisa, concordando com o que afirma Swetz (1989), os problemas históricos possibilitam o esclarecimento e o reforço de muitos conceitos, propriedades e métodos matemáticos que são ensinados; constituem veículos de informação cultural e sociológica; refletem as preocupações práticas ou teóricas das diferentes culturas em diferentes momentos históricos; constituem meios de aferimento da habilidade matemática de nossos antepassados; permitem mostrar a existência de uma analogia ou continuidade entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente.
Na abordagem da HM sob a perspectiva apontada anteriormente, que fomente nos estudantes a investigação como meio de construção de sua aprendizagem e autonomia, destaca-se o papel fundamental do professor. Uma história-problema, destaca-segundo Miguel e Miorim (2008), contrapõe-se às formas mais difundidas de utilização de história nas aulas de matemática que nada mais fazem do que realizar uma sobreposição de abordagens, ou seja, acrescentar à abordagem lógica (antepondo ou diluindo ao longo de seu desenvolvimento), tal qual apresenta um tema ao estudante, algumas informações históricas de natureza estritamente factual ligadas ao conteúdo em questão, encarados somente como acessórios ou ornamentos.
Além disso, Mendes, Fossa e Valdés (2006) enfatizam que, em livros didáticos, também é apresentada a HM dessa forma, a partir da inclusão de certas informações tratando acerca de figuras históricas e/ou acontecimentos que se constituem desnecessários à aquisição (geração/construção) de conhecimento matemático pelo estudante. Considerando tais constatações feitas pelos autores, é fundamental que, na formação de professores, sejam discutidas e demonstradas de que maneiras a história poderá ser usada como um recurso favorável à construção das noções matemáticas pelos estudantes, durante as suas atividades escolares. Esse se constitui um dos objetivos da nossa pesquisa, como já exposto na introdução. Para tal feito, buscamos aliar a geometria presente na álgebra de Abd Al-Hamid Ibn Turk e a álgebra no estágio atual, conduzindo o estudante a fazer (re)descobertas a partir da investigação de problemas inspirados no contexto islâmico medieval.
Conforme Mendes (2006, p. 64), a utilização pedagógica da HM exige vários conhecimentos por parte do professor, tais como “o nível de amadurecimento de seus alunos, do grau de aprofundamento a dar no assunto a ser abordado em sala de aula e do nível de autonomia dos estudantes com relação a busca da própria aprendizagem. ”
Considerando o exposto, cabe ressaltar a importância do estudo, da pesquisa e da reflexão no que diz respeito à utilização correta da História da Matemática nas aulas de matemática como atividades de mediação de conhecimentos e produção de atitudes acadêmicas valorizadas (MIGUEL; MIORIM, 2008), inclusive no ensino superior. Acerca da abordagem da História da Matemática nessa etapa de ensino, Fauvel e Maanen (2000) destacam como funções básicas da mesma:
i) levar os futuros professores a conhecer a matemática do passado (função direta da História da Matemática)
ii) melhorar a compreensão da matemática que eles irão ensinar (funções metodológicas e epistemológicas)
iii) fornecer métodos e técnicas para incorporar materiais históricos em sua prática (o uso da História da Matemática em sala de aula)
iv) ampliar o entendimento do desenvolvimento do currículo e de sua profissão (a História do ensino da matemática) (FAUVEL; MAANEN, 2000, p.110).
Em linhas de pensamento semelhantes com as de Fauvel e Maanen (2000), Morey e Mendes (2012) apontam para a complexidade da prática profissional do professor de matemática, indicando a HM como possibilidade de ampliação de conhecimento sobre vários temas, compreensão dos conceitos e procedimentos indispensáveis à relação aprendizagem/ensino de matemática, além de entendimento sobre a natureza dessa ciência. Dessa forma, esse caderno de atividades, conforme já exposto, se baseia em uma proposta que utiliza a HM em conjunção com as TDIC sob a perspectiva de IM. Dando seguimento a esse trabalho, portanto, trataremos nesse momento do nosso respaldo em relação à utilização das TDIC no processo de ensino-aprendizagem dos estudantes.
2.2 Quanto à utilização de tecnologias digitais da informação e da comunicação em sala de aula
O advento e a popularização da tecnologia computacional, especialmente no início do século XXI, causaram diversas mudanças na vida humana: desde a economia até o lazer passaram a ser influenciados pela informática. A presença abundante da tecnologia no cotidiano, contracenando com a velocidade e a numerosidade de informações, mostra uma
realidade antes desconhecida pelos indivíduos. De acordo com Leite (2011, p. 64): “[...] estamos vivendo o fortalecimento da cultura digital, que tem tido participação cada vez mais abrangente na vida das pessoas de todas as idades e localizadas praticamente em todas as partes do globo.”.
Primeiramente destaca-se que a informática é uma tecnologia, assim como outras que existem há mais tempo e já são muito utilizadas na educação, como, por exemplo, lápis, quadro branco e papel. Isso porque a definição de tecnologia diz respeito à instrumentos que auxiliam
os seres humanos a realizarem tarefas. Nesse sentido, Levy (1993) enfatiza que a história das
tecnologias sempre esteve entrelaçada com a história da própria humanidade.
Apoiando-se nessa visão, Borba e Penteado (2003) defendem que não é adequada uma visão dicotômica entre homem-mídia, já que, sob um panorama histórico, sugere que os indivíduos são constituídos por técnicas que estendem e modificam seu raciocínio e, simultaneamente, esses mesmos indivíduos estão continuamente transformando essas técnicas. Por esse motivo, os autores adotam “uma perspectiva teórica que se apóia na noção de que o
conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias, ou
seres-humanos-com-tecnologias”. (BORBA; PENTEADO, 2003, p. 48, grifos nossos).
Nas constatações de Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), o suporte tecnológico permite o desenho, a manipulação e a construção de entes matemáticos, facilita a exploração de conjecturas e a investigação de relações que precedem o uso do raciocínio formal, o que contribui com as ideias de IM apresentadas nessa pesquisa. Os autores enfatizam ainda que vários estudos destacam também que a utilização dessas tecnologias facilita a recolha de dados e o teste de conjecturas, apoiando, desse modo, explorações mais organizadas e completas e permitindo que os alunos se concentrem nas decisões em termos do processo, o que pressupõe a valorização do saber e do fazer históricos na ação cognitiva dos estudantes, presentes em nossa proposta.
Posto isso, destacamos nossa escolha de utilizar o software Geogebra4 como ambiente para exploração dos estudantes quanto às construções históricas realizadas e analisadas sob a perspectiva de investigação matemática de problemas que envolvem soluções de equações quadráticas pela álgebra geométrica de Ibn Turk. A escolha do software se deu por vários motivos, sendo o principal deles a harmonia dos objetivos das atividades a serem realizadas com os recursos disponibilizados no Geogebra, em especial, a associação dos campos de
4 Software de matemática dinâmica desenvolvido por Markus Hohenwarter, em 2001, com o objetivo de ser
visualização geométrico e algébrico do mesmo objeto matemático. Além disso, esse software é gratuito e de fácil manipulação em uma atmosfera que valoriza a dinâmica, a observação, a construção e a experimentação, possibilitando aos estudantes o envolvimento ativo com as atividades propostas.
Sob esse enfoque, a informática é utilizada também como meio para uma maior
integração/participação dos estudantes nas aulas; eventos muitas vezes complicados de
serem realizados em ambientes sem a presença das tecnologias. Em aulas expositivas, por exemplo, os alunos algumas vezes se sentem inibidos a envolver-se na aula, agindo, apenas como ouvintes. Nesse sentido, é importante ressaltar que a aprendizagem não se dá a partir da fala do professor; ela exige, para além disso, o diálogo entre docentes e alunos, a colaboração de ambos para a construção/desenvolvimento de um conhecimento que vá além da memorização de fórmulas e algoritmos, no caso de matemática. No posicionamento de Borba e Penteado (2017), é enfatizada a dinâmica da informática nas aulas: um problema que pode remeter a outro, a interação entre professores, alunos e tecnologia que gera conjecturas e ideias matemáticas, originando assim uma perspectiva de experimentação que inverte a ordem de exposição oral da teoria, exemplos e exercícios e permitindo uma nova ordem pautada na investigação e, então, teorização/formalização dos conhecimentos. No caso de equações quadráticas, assunto abordado no nosso produto educacional, é possível notar diversas vezes um ensino marcado pela representação algorítmica do conceito - aplicação de fórmula, ou seja, priorização excessiva da aprendizagem mecânica, que não faz relação, por exemplo, com aspectos geométricos e origem das fórmulas utilizadas atualmente, como proposto nessa pesquisa.
Assim, consideramos que o Geogebra propiciará o desenvolvimento de uma atitude investigatória por parte dos alunos, subsidiando uma categoria de experimentação que possibilitará, por um lado, otimização de tempo na reconstrução de conhecimentos históricos e associação desses com o hoje, que, caso realizadas de outra forma, poderiam levar muito tempo para serem criadas, investigadas e compreendidas. De fato, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 85) apontam que “a possibilidade de usar programas de Geometria Dinâmica facilita a realização de experiências que, de outro modo, se tornariam morosas e difíceis de analisar”. Ainda esclarecendo, esta otimização do tempo aqui tratada envolve redução deste, mas vai além disto, ou seja, não é só, diminuir o tempo de execução das atividades, mas aproveitá-lo da melhor forma e, quando, diminuído, usar o tempo ganho para investigar e explorar relações.
Nessa dinâmica proposta pela utilização das tecnologias em sala de aula, o papel do
professor é redimensionado: ele passa de expositor de conteúdo para apoiador de seus alunos,
para propositor de saberes, provocador de situações, formulador de problemas, criador de possibilidades e de articulações entre diferentes áreas, orientador, aquele que mobiliza/estimula seus alunos na construção do conhecimento. Considerando o que foi posto, Silva (2011, p. 95) afirma que o docente deve, em sala de aula:
- oferecer múltiplas informações (em imagens, sons, textos, etc.), utilizando ou não tecnologias digitais, mas sabendo que estas, utilizadas de modo interativo, potencializam consideravelmente ações que resultam em conhecimento.
- ensejar (oferecer a ocasião de...) e urdir (dispor entrelaçados os fios da teia, enredar) múltiplos percursos para conexões e expressões com o que os alunos possam contar no ato de manipular as informações e percorrer percursos arquitetados.
- estimular os alunos a contribuir com novas informações e a criar e oferecer mais e melhores percursos, participando como coautores do processo.
Acerca disso, Borba e Penteado (2003) entendem que a utilização de tecnologias na educação matemática é harmoniosa com uma visão de construção do conhecimento que privilegia o processo e não o produto-resultado em sala de aula, e que entende o conhecimento como tendo sempre um constituinte que depende do sujeito. Em consonância com essa visão, Valente (1993) ressalta que:
[...] ao invés de memorizar informação, os estudantes devem ser ensinados a
procurar e a usar a informação. Estas mudanças podem ser introduzidas com a
presença do computador que deve propiciar as condições para os estudantes exercitarem a capacidade de procurar e selecionar informação, resolver problemas e aprender independentemente. [...] A função do aparato educacional não deve ser a de ensinar mas sim a de promover o aprendizado. Isto significa que o professor deixa de ser o repassador do conhecimento — o computador pode fazer isto e o faz muito mais eficientemente do que o professor — para ser o criador de ambientes de aprendizado e facilitador do processo pelo qual o aluno adquire conhecimento. (VALENTE, 1993, p. 5, grifos nossos)
O dinamismo do Geogebra está associado, de acordo com os pensamentos de Borba, Silva e Gadenide (2015, p. 23) “às possibilidades em podermos utilizar, manipular, combinar, visualizar e construir virtualmente objetos geométricos, permitindo traçar novos caminhos de investigação”.
As tecnologias têm ainda gerado diferentes formas de elaborar e de representar o conhecimento, implicando, portanto, em transformações nas práticas educativas – e é essencial para o aluno, enquanto participante da sociedade – se apropriar dessas novas linguagens, novas atividades, ou seja, se alfabetizar nesse ambiente tecnológico. Essa questão envolve a formação
