Métricas de Centralidade

Os vértices de uma rede podem desempenhar diferentes papéis de acordo com a sua organização topológica. Desta forma, diferentes critérios podem ser definidos para avaliar a importância dos nós, possibilitando determinar pontos de interesse e estabelecer critérios de seleção que auxiliem o processo de compreensão do comportamento emergente. As medidas que avaliam a importância de um nó são chamadas de métricas de centralidade e, no geral, são criadas para a análise de problemas específicos. No entanto, algumas destas métricas extrapolaram seu contexto de uso e tornaram-se importantes medidas para caracterização topológica de redes nas mais diversas aplicações. Para o presente trabalho, três métricas de centralidade foram de grande importância no processo

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de busca de conhecimento em textos: o grau (degree), a intermediação (betweenness) e o auto-vetor (eigenvector ). Segue uma descrição:

1. Centralidade de grau

A centralidade de grau é a mais elementar forma de definir a importância de um nó na rede, pois considera apenas o número de ligações com seus vizinhos, ou seja, o nú- mero de arestas conectadas a ele. Matematicamente, dada uma matriz de adjacência 𝐴, o grau 𝑘𝑖 de um vértice 𝑖 é definido por:

𝑘𝑖 = 𝑁

∑︁

𝑗=1

𝑎𝑖𝑗 (5.8)

Uma vez que a centralidade por grau é uma medida de importância local, em algu- mas situações é interessante conhecer o grau médio ⟨𝑘⟩ de uma rede para caracterizá- la globalmente. Assim, dada uma rede de 𝑁 nós:

⟨𝑘⟩ = 1 𝑁 𝑁 ∑︁ 𝑖=1 𝑘𝑖 (5.9)

Em situações na qual a rede compreende a um dígrafo, duas variantes podem ser calculadas: o grau de entrada (in-degree), o qual considera apenas as arestas que chegam ao nó, e o grau de saída (out-degree), o qual considera apenas as arestas que saem do nó. Sabendo que a matriz de adjacência 𝐴 possui o elemento 𝐴𝑖𝑗 = 1 se houver uma fronteira de 𝑗 para 𝑖, os graus de entrada e saída podem ser descritos respectivamente: 𝑘𝑖𝑛_𝑖 = 𝑁 ∑︁ 𝑗=1 𝐴𝑗𝑖 (5.10) 𝑘_𝑗𝑜𝑢𝑡= 𝑁 ∑︁ 𝑖=1 𝐴𝑖𝑗 (5.11)

Segundo Newman (2018), embora a centralidade de grau seja uma métrica relati- vamente simples, ela pode ser muito útil na análise de redes complexas. Em uma rede social, por exemplo, parece razoável supor que indivíduos que têm conexões com muitos outros possam ter mais influência, mais acesso a informações ou mais prestígio do que aqueles que têm menos conexões. Outro exemplo está na avaliação da influência de artigos científicos em redes de citações: o número de citações que um artigo recebe em outros trabalhos, que é simplesmente o seu grau de entrada na rede de citações, fornece uma medida aproximada de influência do artigo. Por este motivo, o grau é amplamente usado como métrica para avaliar o impacto da pesquisa científica (NEWMAN, 2018).

2. Centralidade por intermediação

A intermediação é uma métrica que indica a centralidade de vértices na rede. Seja uma rede 𝐺 = (𝑉, 𝐸), tal como já definida, onde os vértices 𝑉 trocam informações entre eles através das arestas 𝐸, de modo que estas informações sempre tomam o menor caminho da rede (caminho geodésico). Dessa forma, a intermediação 𝑏𝑖 de um vértice 𝑖 corresponde ao número de caminhos geodésicos (𝑔) que possuem 𝑖 no percurso, ou seja, avalia-se a presença do vértice 𝑖 no menor caminho existente entre um par de vértices (𝑢, 𝑣). Matematicamente, a intermediação de um vértice 𝑖 é definida por:

𝑏𝑖 =

∑︁

𝑢,𝑣∈𝑉 −𝑖

𝑔_𝑢𝑣𝑖 (5.12)

Vértices com alta intermediação podem ter considerável influência dentro de uma rede em virtude de seu controle sobre as informações que passam sobre ele. Além de serem nós com alta probabilidade de terem a informação fluindo por eles, caso sejam removidos, causarão importantes alterações no fluxo de dados. Desta forma, a intermediação pode ser uma importante referência da influência que os vértices exercem sobre o fluxo de informações na rede.

3. Centralidade por auto-vetor

Uma variação da centralidade de graus é a centralidade por auto-vetor. Podemos pensar na centralidade de graus como uma atribuição de um “ponto de centrali- dade” para cada vizinho que um vértice possui. Porém, nem todos os vizinhos são equivalentes. Em muitas circunstâncias, a importância de um vértice é aumentada por haver conexões com outros vértices que são importantes. Este é o conceito por trás da centralidade do auto-vetor: em vez de atribuir aos vértices apenas um ponto para cada vizinho, a centralidade do auto-vetor atribui a cada vértice uma pontuação proporcional à soma das pontuações de seus vizinhos.

A manipulação matemática para alcançar a equação da centralidade por auto-vetor pode ser consultada em Newman (2018), e segue o conceito de busca de auto- vetor unitário associado a uma constante 𝑘1. Matematicamente, seja uma matriz

de adjacência 𝐴, a centralidade por auto-vetor 𝑥𝑖 de um nó 𝑖 é dada por:

𝑥𝑖 = 𝑘1−1

∑︁

𝑗∈𝑀 (𝑖)

𝑥𝑗 (5.13)

onde 𝑀 (𝑖) é um conjunto de vizinho de 𝑖 e 𝑘1 uma constante.

Em teoria, a centralidade por auto-vetor pode ser calculada para redes não dire- cionadas ou direcionadas. No entanto, a medida é mais adequada para o caso não

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direcionado. No caso de um dígrafo, surgem outras complicações: em primeiro lugar, uma rede direcionada possui uma matriz de adjacência que é, em geral, assimétrica. Isso significa que ela possui dois conjuntos de auto-vetores, os auto-vetores esquer- dos e os auto-vetores direitos, e, portanto, dois auto-vetores principais, o que implica em decidir qual usar. Na maioria dos casos, o correto é usar o auto-vetor direito. A razão para isto é que a centralidade em redes direcionadas geralmente é definida pelos nós que apontam para o vértice em análise. Por exemplo, na World Wide Web, o número e a importância das páginas web que apontam para uma determinada pá- gina podem dar uma indicação razoável de quão importante ou útil é esta página. Por outro lado, o fato de esta página poder apontar para outras páginas impor- tantes não agrega informação à sua influência. Qualquer um pode configurar uma página que aponte para mil outras e isso não a torna importante. Considerações semelhantes se aplicam também a outras redes direcionadas (NEWMAN, 2018) .