M´ etodo Bootstrap Sobredispers˜ ao de Poisson

Nesta subsec¸c˜ao ser˜ao representados os resultados obtidos resultantes da aplica¸c˜ao da t´ecnica de reamostragem Bootstrap em conjunto com o modelo de Sobredispers˜ao de Poisson. Uma vez que para este modelo foram usados apenas os triˆangulos dos pagamentos tanto para o seguro habita¸c˜ao como para o seguro autom´ovel, a t´ecnica Bootstrap tamb´em s´o ser´a aplicada a estes dois triˆangulos.

A aplica¸c˜ao pr´atica deste m´etodo baseia-se nos res´ıduos ajustados de Pearson, sob a hip´otese de que s˜ao independentes e identicamente distribu´ıdos. Analisando os gr´aficos da figura (5.9) para o seguro habita¸c˜ao e da figura (D.1) para o seguro autom´ovel, que apresentam a rela¸c˜ao entre os res´ıduos e os anos de acidente e desenvolvimento, verifica-se que os mesmos apresentam um padr˜ao satisfat´orio.

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E importante real¸car que os res´ıduos nulos n˜ao s˜ao considerados no processo de reamostra- gem.

Para esta t´ecnica, foram efetuadas 10000 simula¸c˜oes. Atrav´es da aplica¸c˜ao do Teste de Lilliefors, analisa-se a forma da distribui¸c˜ao emp´ırica, considerando um valor de α = 5%. Os gr´aficos `a esquerda das figuras (5.12) (seguro habita¸c˜ao) e (5.13) (seguro autom´ovel) cor- respondem ao ajustamento das estimativas das reservas totais a duas distribui¸c˜oes te´oricas conhecidas. A curva laranja representa a densidade de probabilidade de uma distribui¸c˜ao Log-Normal, a curva verde corresponde `a densidade de probabilidade de uma distribui¸c˜ao Normal e a curva cont´ınua representa a densidade de probabilidade emp´ırica dessas esti- mativas. Como se pode verificar, os gr´aficos sugerem uma boa aproxima¸c˜ao `a distribui¸c˜ao Log-Normal, tanto para o seguro habita¸c˜ao como para o seguro autom´ovel.

Analisando a figura (5.12), ´e vis´ıvel que a distribui¸c˜ao Normal apresenta uma aba direita ligeiramente mais leve que a distribui¸c˜ao Log-Normal e que a distribui¸c˜ao emp´ırica.

Figura 5.12: Representa¸c˜ao gr´afica das reservas totais obtidas pelo m´etodo Bootstrap: Histograma (`a esquerda) e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao emp´ırica (`a direita) - seguro habita¸c˜ao

Figura 5.13: Representa¸c˜ao gr´afica das reservas totais obtidas pelo m´etodo Bootstrap: Histograma (`a esquerda) e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao emp´ırica (`a direita) - seguro autom´ovel Aplicando o Teste de Lilliefors, sugere que a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao das reservas totais simuladas segue uma distribui¸c˜ao Log-Normal para ambos os seguros (p=0.05548 para o seguro habita¸c˜ao e p=0.09227 para o seguro autom´ovel).

De seguida, s˜ao apresentados os resultados obtidos resultantes da aplica¸c˜ao desta metodo- logia.

As dimens˜oes das amostras s˜ao, por constru¸c˜ao, muito grandes. Assim, com base no resultado do Teorema Limite Central, as estimativas obtidas pelo m´etodo Bootstrap s˜ao

assintoticamente Normais. Nestas condi¸c˜oes, podem-se determinar os intervalos de confian¸ca para os estimadores do m´etodo Bootstrap, com α = 5%, sendo as estimativas dos respetivos limites, inferiores e superiores, apresentadas nas ´ultimas colunas da pr´oxima tabela.

Tabela 5.25: Resultados obtidos (seguro habita¸c˜ao) - Bootstrap Sobredispers˜ao de Poisson

Pagamento total Reserva - m´edia Desvio Padr˜ao Erro de Previs˜ao Limite Inferior Limite Superior 1997 756222 -23.7 8657 9862.73 -19305.59 19355.59 1998 727057 579.9 17657 20884.89 -40371.64 41495.64 1999 794084 532.8 18755 22154.18 -42806.4 44036.4 2000 889064 806.2 22321 26129.17 -50522.24 51902.24 2001 11021417 1,527.7 24699 29326.67 -56284.22 58674.22 2002 8290413 3,413.2 26933 34324.49 -63594.76 70954.76 2003 7222792 4,622.2 29533 37360.05 -69102.35 77346.35 2004 6704607 5,597.9 30698 39657.86 -72333.98 83121.98 2005 6445749 21,404.0 46291 65006.24 -105707.9 149111.9 2006 7802093 48,152.6 67315 94386.37 -139495.9 230491.9 2007 7635581 80,060.5 81309 117676.8 -151912.3 309372.3 2008 11163276 208,430.7 130925 189865.7 -165898.9 578360.9 2009 12614980 329,555.5 167963 241033.9 -150913.8 793921.8 2010 14509542 468,022.0 200357 287726.8 -104731.2 1023137 2011 13558985 636,480.9 230104 332852.7 -23501.22 1281257 2012 14053616 4,895,262.7 762945 1038081 2839405 6908607 Total 158823297 6704425 919781.5 1239546 4222568 9081500

Tabela 5.26: Resultados obtidos (seguro autom´ovel) - Bootstrap Sobredispers˜ao de Poisson

Pagamento total Reserva - m´edia Desvio Padr˜ao Erro de Previs˜ao Limite Inferior Limite Superior 1997 54496230 98.62 3593 4066.63 -7969.448 7971.448 1998 60081172 19579.07 57499 76552.8 -129874.7 170206.7 1999 67785282 23532.65 61913 82117.38 -138194.1 183700.1 2000 70859962 50345.05 85033 115026.1 -176262.1 274632.1 2001 75130374 52448 86841 118009.7 -178442.8 284146.8 2002 71149969 57411.32 91970 124349.7 -186366.9 301074.9 2003 61942595 56765.04 89569 121414.5 -182646.1 293290.1 2004 63717901 66430.48 94693 129259.7 -188670.3 318018.3 2005 66328154 88912.19 106923 147017.8 -201869.5 374429.5 2006 68027892 151548.1 133777 187205.2 -217008.5 516822.5 2007 69551949 227440.2 154500 221354.3 -206271.4 661421.4 2008 72160500 390600.7 199971 287447.9 -175483.5 951291.5 2009 78348880 695411.8 260235 377962.5 -48012.79 1433573 2010 90670688 1580116 387439 565536.1 466192.6 2683053 2011 80799391 3210565 546977 801696 1631566 4774156 2012 69024380 21218530 1610737 2244569 16811235 25609785 Total 1166021977 27889732 1947603 2666155 22629181 33080317

Comparando a estimativa anal´ıtica da reserva total obtida pelo m´etodo de Sobredispers˜ao de Poisson com esta t´ecnica, para o seguro habita¸c˜ao, verifica-se que os montantes s˜ao relativamente pr´oximos, sendo que esta t´ecnica estima mais 52391 euros. Relativamente ao erro de previs˜ao total, o modelo de Sobredispers˜ao de Poisson apresenta um valor menor. J´a as estimativas da reserva total obtidas pelos dois m´etodos para o seguro autom´ovel s˜ao muito pr´oximas, sendo a diferen¸ca de 34983, menor que a diferen¸ca obtida no seguro habita¸c˜ao. De seguida, s˜ao apresentados dois gr´aficos com um boxplot para cada ano de acidente dos pagamentos finais simulados para os dois tipos de seguros. Como se pode verificar, `a medida que decorrem os anos de acidente, a incerteza aumenta. ´E de real¸car que para o seguro habita¸c˜ao, os pagamentos finais no ´ultimo ano de acidente apresentam bastantes outliers.

Figura 5.14: Boxplot para cada ano de acidente dos pagamentos finais simulados para o seguro habita¸c˜ao (`a esquerda) e seguro autom´ovel (`a direita) (pacote ChainLadder do R) Tendo em conta a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao emp´ırica das reservas totais e com vista a deter- minar o montante de capital a alocar para fazer face aos sinistros ocorridos, aplica-se de seguida a medida de risco VaR, para os diferentes n´ıveis de confian¸ca 75%, 90%, 95%, 99% e 99.5%, que apresentam os seguintes valores:

Tabela 5.27: Medida de risco VaR - Bootstrap Sobredispers˜ao de Poisson

75% 90% 95% 99% 99.5% seguro habita¸c˜ao 7275006 7884984 8306469 9183588 9541492 seguro autom´ovel 29143938 30423057 31169007 32587392 33151029

Se fosse esta a metodologia adotada para determinar as estimativas das reservas totais, tanto para o seguro habita¸c˜ao como para o autom´ovel, conclu´ıa-se que a seguradora em quest˜ao deveria proceder a uma aloca¸c˜ao de reserva no valor dee7275006 (> 6704425) para o seguro habita¸c˜ao e e29143938 (> 27889732) para o seguro autom´ovel, por forma a que, com uma probabilidade de 75 %, a mesma n˜ao atinja a insolvˆencia. Apesar de quanto maior for o n´ıvel de confian¸ca, maior o n´ıvel de prudˆencia da companhia, esta n˜ao pretende que haja um excesso de reservas para que o dinheiro n˜ao fique empatado. Assim, no geral, as seguradoras optam muitas vezes por utilizar um n´ıvel de confian¸ca de 75%.

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E ainda evidente uma semelhan¸ca dos valores obtidos pela aplica¸c˜ao da medida de risco VaR a um n´ıvel de confian¸ca de 99.5% (e33151029 para o seguro autom´ovel e e9541492 para o seguro habita¸c˜ao) e o montante do limite superior do intervalo de confian¸ca determinado atrav´es da aplica¸c˜ao da t´ecnica de reamostragem Bootstrap (e33080317 para o seguro autom´ovel e e9081500 para o seguro habita¸c˜ao).