Métodos de Previsão de Sinistros

(1)

Ana Cl´

audia da Rosa Pinto

M´

etodos de Previs˜

ao de Sinistros

Departamento de Matem´

atica

Faculdade de Ciˆ

encias da Universidade do Porto

setembro de 2013

(2)

Ana Cl´

audia da Rosa Pinto

M´

etodos de Previs˜

ao de Sinistros

Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obten¸cão do grau de Mestre

em Engenharia Matem´atica

Orientador: Prof.a _{Margarida Brito}

Coorientadores: Prof.a Maria do Carmo Guedes Dr. Lu´ıs M. Maranh˜ao

Departamento de Matem´atica

Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto setembro de 2013

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Agradecimentos

A realiza¸cão deste estudo só foi poss´ıvel devido ao apoio e incentivo de várias pessoas às quais gostaria de agradecer particularmente, passando a destacar:

Ao Dr. Lu´ıs Maranhão por ter tornado poss´ıvel a realiza¸cão deste estágio, pela disponibi-lidade imediata para qualquer tipo de esclarecimento e pela experiência que me permitiu adquirir.

`

A Prof.a Margarida Brito pela orienta¸cão prestada ao longo do último ano, pelas corre¸cões deste trabalho, pelo apoio que sempre me concedeu e por tudo o que me ensinou.

`

A Prof.a Maria do Carmo Guedes por ter tornado poss´ıvel a realiza¸cão deste estágio e pelas corre¸cões deste trabalho.

`

A minha fam´ılia e amigos pelo apoio e por toda a paciência demonstrada durante a realiza¸cão deste trabalho. Um agradecimento especial aos meus pais pelos sacrif´ıcios que tiveram de suportar ao longo desta caminhada, pela ternura inestimável, pelas palavras de apre¸co que sempre prestaram e pelo constante incentivo.

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Resumo

No setor segurador, as reservas representam grande parte do passivo das Seguradoras do Ramo Não Vida, sendo de extrema importância efetuar uma previsão das mesmas.

Deste modo, este trabalho tem dois objetivos principais, o primeiro prende-se com o cálculo do capital (reserva) necessário que a seguradora deverá guardar para regularizar todos os sinistros ocorridos no per´ıodo de 1996 a 2012 para o seguro habita¸cão e automóvel e o segundo é relativo ao estudo da volatilidade a um ano.

Para cumprir o primeiro objetivo, são estudados diversos métodos, tanto determin´ısticos como estocásticos. Dos modelos determin´ısticos, destaca-se o modelo Chain Ladder que devido à sua simplicidade, é dos mais utilizados. No entanto, devido às necessidades das Se-guradoras, a aplica¸cão dos modelos estocásticos tem vindo a aumentar, sendo que a principal vantagem é que, para além do cálculo da melhor estimativa, permitem ao atuário possuir mais informa¸cão acerca das reservas, quer sob a forma do erro associado à sua previsão, quer através da sua distribui¸cão emp´ırica. Como tal, neste trabalho são estudados os modelos Mack, Sobredispersão de Poisson, bem como a técnica de reamostragem Bootstrap associada a estes métodos estocásticos. São também estudados métodos que têm em considera¸cão a dependência entre os triângulos constiu´ıdos pelos pagamentos e pelas cargas, como o Munich Chain Ladder e a técnica Bootstrap conjugada com este método. Verificou-se que todas estas metodologias apresentam estimativas para os montantes finais por ano de acidente muito próximas, mesmo nos últimos anos de acidente, onde costuma existir mais divergências. Além disso, verificou-se que tanto as cargas como os pagamentos convergem para o montante final estimado e que os anos mais recentes contribuem para um maior valor da reserva. Sob o ponto de vista da regula¸cão do setor segurador, o projeto Solvência II é o projeto estruturante de maior importância atualmente em curso, sendo por isso um dos temas mais debatidos nesta área. Este projeto surge associado à necessidade de proteger os segurados, pelo que estabelece um capital que esteja mais adequado aos riscos a que uma Seguradora se encontra exposta.

Deste modo, sob a nova regulamenta¸cão do sistema Solvência II, as seguradoras terão de se concentrar numa visão a curto prazo, sendo bastante importante o estudo da volatilidade a um ano. Assim, para cumprir com o segundo objetivo é estudada uma metodologia que tem como base esta visão. Verificou-se que a incerteza associada ao próximo ano de contabilidade representa grande parte da incerteza total para os dois tipos de seguros. Comparando a incerteza associada ao ano de contabilidade [2011,2012] com a estimativa da reserva total, verificou-se que essa margem de risco é menor para o seguro automóvel.

Palavras-chave: BOOTSTRAP, CHAIN LADDER, DISTRIBUIÇ ÃO EMPÍRICA,

MO-DELO DE MACK, MUNICH CHAIN LADDER, RESERVAS, SOBREDISPERS ˜AO DE

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Abstract

In the insurance sector, the claims reserve represent a large part of the liabilities of the Non-Life Insurers, being extremely important to make an estimate of the same.

Thus, this work has two main objectives, the first is related to the calculation of the required capital (reserves) that the insurer should keep for settling all claims incurred in the period from 1996 to 2012 for home and auto insurance and the second is relative to the study of one year volatility.

To meet the first objective, are studied different methods, both deterministic and stochastic. Among the deterministic models, stands out the Chain Ladder model that due to its simplicity, is the most used. However, due to the needs of insurance companies, the application of stochastic models has increased, and the main advantage is that, in addition to calculating the best estimate, they provide more information about the reserve, either in the form of error associated with its forecast, or through its empirical distribution. In this work are studied the models of Mack, Overdispersed Poisson, as well as the Bootstrap technique associated with these stochastic methods. We also study methods that take into account the dependency between the paid and incurred data, like the Munich Chain Ladder and bootstrap technique associated with this method. It was found that all these methods have estimates for the ultimate claims amount of each accident year very close, even in recent accident years, where there is usually more differences. Furthermore, it was found that paid and incurred claims stabilize to the estimated ultimate claims amount and the most recent years contribute to an increased amount of the reserve.

From the point of view of regulation of the insurance industry, the Solvency II project is the most important structuring project currently underway, and is therefore one of the most debated issues in this area. This project comes with the need to protect policyholders by establishing a capital that is more appropriate to the risk an insurer is exposed.

Under the new regulation of the system Solvency II, insurers will have to focus on a short-term view and is very important to study the one year volatility. Thus, to meet the second objective we study a methodology that is based on this vision. It was found that the uncertainty in the next accounting year contributes substantially to the total uncertainty for the two types of insurance. Comparing the uncertainty associated with the accounting year [2011,2012] with the estimated total reserve, it was found that the risk margin is inferior for auto insurance.

Keywords: BOOTSTRAP, CHAIN LADDER, CLAIMS RESERVE, EMPIRICAL DIS-TRIBUTION, MACK’S MODEL, MUNICH CHAIN LADDER, ONE YEAR VOLATI-LITY, OVERDISPERSED POISSON, SOLVENCY II.

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(9)

Conte´

udo

Agradecimentos iii

Resumo v

Abstract vii

´_{Indice de Tabelas} _xiv

´_{Indice de Figuras} _xvi

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Objetivos . . . 2

1.2 Estrutura . . . 3

2 Contextualiza¸c˜ao 5 2.1 Atividade Seguradora . . . 5

2.1.1 Atividade Seguradora em Portugal . . . 6

2.2 Sistema de Solvˆencia . . . 9

2.2.1 Solvˆencia I . . . 10

2.2.2 Principais Diferen¸cas entre o sistema Solvˆencia I e Solvˆencia II . . . . 10

2.2.3 Solvˆencia II - Objetivos e Estrutura . . . 11

2.3 Sinistros . . . 12

2.3.1 Evolu¸c˜ao do processo do sinistro . . . 12

2.3.2 Provis˜ao para sinistros . . . 14

3 Métodos de Previsão de Reservas 15 3.1 Nota¸cão e tipo de dados . . . 15

3.1.1 Exemplo . . . 17

3.2 Efeito cauda . . . 18

3.3 Modelos determin´ısticos e modelos estoc´asticos . . . 19

3.4 M´etodos Determin´ısticos . . . 20

3.4.1 Chain Ladder . . . 21

3.4.1.1 Exemplo . . . 22

3.4.2 Grossing Up . . . 24

3.4.3 Link Ratio . . . 27

3.5 M´etodos Estoc´asticos . . . 29

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3.5.2 Modelos no contexto dos Modelos Lineares Generalizados . . . 33

3.5.2.1 Modelo de sobredispers˜ao de Poisson . . . 34

3.5.2.2 Erro de previs˜ao . . . 36

3.5.3 Bootstrap . . . 37

3.5.3.1 Modelo de sobredispers˜ao de Poisson . . . 38

3.5.3.2 Modelo de Mack . . . 42

3.6 Métodos que relacionam o triângulo dos pagamentos com o triângulo das cargas 47 3.6.1 Munich Chain Ladder . . . 48

3.6.1.1 Nota¸c˜ao e Pressupostos . . . 48

3.6.1.2 Estimativas n˜ao enviesadas dos parˆametros . . . 49

3.6.2 Bootstrap - Munich Chain Ladder . . . 51

3.6.2.1 Res´ıduos . . . 53

3.6.2.2 Procedimento da T´ecnica Bootstrap . . . 54

4 An´alise da volatilidade a um ano 59 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 60

4.2 Metodologia . . . 61

4.2.1 Nota¸c˜ao . . . 61

4.2.2 Modelo de Mack . . . 62

4.2.3 Erro Quadrático Médio Condicional de Previsão . . . 64

4.2.4 Desenvolvimento do Montante de Indemniza¸c˜oes Final . . . 64

4.2.5 Erro Quadrático Médio de Previsão do CDR . . . 66

5 Componente Prática 71 5.1 Apresenta¸cão e análise dos dados . . . 71

5.1.1 Seguro Habita¸c˜ao . . . 71

5.1.2 Seguro Autom´ovel . . . 77

5.2 Estima¸c˜ao da reserva . . . 83

5.2.1 M´etodo Chain Ladder . . . 84

5.2.2 M´etodo Grossing Up . . . 86

5.2.3 M´etodo Link Ratio . . . 88

5.2.4 Modelo de Mack . . . 92

5.2.5 Modelo de sobredispers˜ao de Poisson . . . 94

5.2.6 M´etodo Bootstrap - Mack . . . 100

5.2.7 M´etodo Bootstrap - Sobredispers˜ao de Poisson . . . 103

5.2.8 M´etodo Munich Chain Ladder . . . 106

5.2.9 M´etodo Bootstrap - Munich Chain Ladder . . . 109

5.2.10 Escolha da Melhor Estimativa . . . 112

5.3 An´alise da volatilidade a um ano . . . 117

5.3.1 Seguro Habita¸c˜ao . . . 117

5.3.2 Seguro Autom´ovel . . . 120

6 Considera¸c˜oes Finais 123

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Anexos i

A Bornhuetter-Fergunson iii

B Desenvolvimento dos pagamentos e das cargas vii

C M´etodo Mack xiii

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Lista de Tabelas

3.1 Representa¸cão dos pagamentos incrementais num triângulo runoff . . . 16 3.2 Triângulo runoff constitu´ıdo por pagamentos acumulados de indemniza¸cões

desde 2008 até 2012 . . . 18 3.3 Triângulo runoff tendo em considera¸cão o fator cauda . . . 19 3.4 Triângulo runoff constitu´ıdo por pagamentos acumulados de indemniza¸cões . 22 3.5 Triângulo runoff completo - previsão dos montantes acumulados de

indem-niza¸cões por liquidar . . . 23 3.6 Cálculo da reserva . . . 23 4.1 Declara¸cão de rendas de uma companhia fict´ıcia (fonte: (Merz and Wüthrich,

2008)) . . . 60 4.2 Triângulo runoff no tempo t = I . . . 62 4.3 Triângulo runoff no tempo t = I + 1 . . . 62 5.1 Triângulo run-off constitu´ıdo pelos pagamentos acumulados - seguro Habita¸cão 72 5.2 Triângulo run-off constitu´ıdo pelas cargas acumuladas - seguro Habita¸cão . . 73 5.3 Triângulo run-off constitu´ıdo pelos pagamentos acumulados - seguro Automóvel 78 5.4 Triângulo run-off constitu´ıdo pelas cargas acumuladas - seguro Automóvel . 79 5.5 Estimativas dos fatores de desenvolvimento ˆfj . . . 85

5.6 Estimativas dos montantes de indemniza¸c˜oes totais Ci,n para cada ano de

acidente i - m´etodo Chain Ladder . . . 85 5.7 Estimativas dos fatores Grossing Up ˆγj para cada ano de desenvolvimento j

- Método Arábico: Média . . . 86 5.8 Estimativas dos pagamentos finais Ci,n para cada ano de acidente i - Método

Grossing Up: M´edia . . . 87 5.9 Estimativas dos fatores Grossing Up ˆγj para cada ano de desenvolvimento j

- Método Arábico: Pior Caso . . . 87 5.10 Estimativas dos pagamentos finais Ci,n para cada ano de acidente i - Método

Grossing Up: Pior Caso . . . 88 5.11 Estimativas das taxas de liga¸c˜ao finais ˆrj para cada ano de desenvolvimento

j - M´etodo Link Ratio: Pior Caso . . . 89 5.12 Estimativas dos pagamentos finais Ci,n para cada ano de acidente i - M´etodo

Link Ratio: Pior Caso . . . 89 5.13 Estimativas das taxas de liga¸c˜ao finais ˆrj para cada ano de desenvolvimento

j - Método Link Ratio: Média . . . 90 5.14 Estimativas dos pagamentos finais Ci,n para cada ano de acidente i - Método

(14)

5.15 Estimativas das taxas de liga¸c˜ao finais ˆrj para cada ano de desenvolvimento

j - M´etodo Link Ratio: M´edia Ponderada . . . 91

5.16 Estimativas dos pagamentos finais Ci,n para cada ano de acidente i - M´etodo Link Ratio: M´edia Ponderada . . . 92

5.17 Reservas, erro de previs˜ao e o mesmo em percentagem para os pagamentos -m´etodo Mack . . . 93

5.18 Triângulo run-off constitu´ıdo pelos pagamentos incrementais - seguro Habita¸cão 95 5.19 Triângulo run-off constitu´ıdo pelos pagamentos incrementais - seguro Au-tomóvel . . . 96

5.20 Montantes de indemniza¸cões totais, reservas, erros de previsão e os mesmos em percentagem (seguro habita¸cão) - Modelo de Sobredispersão de Poisson . 99 5.21 Montantes de indemniza¸cões totais, reservas, erros de previsão e os mesmos em percentagem (seguro automóvel) - Modelo de Sobredispersão de Poisson . 99 5.22 Estimativas dos pagamentos finais - Bootstrap Mack . . . 100

5.23 Resultados obtidos - Bootstrap Mack . . . 102

5.24 Medida de risco VaR - Bootstrap Mack . . . 103

5.25 Resultados obtidos (seguro habita¸cão) - Bootstrap Sobredispersão de Poisson 105 5.26 Resultados obtidos (seguro automóvel) - Bootstrap Sobredispersão de Poisson 105 5.27 Medida de risco VaR - Bootstrap Sobredispersão de Poisson . . . 106

5.28 Resultados obtidos para o seguro habita¸c˜ao - MCL . . . 108

5.29 Resultados obtidos para o seguro autom´ovel - MCL . . . 108

5.30 Resultados obtidos para o seguro habita¸c˜ao - Bootstrap MCL . . . 109

5.31 Resultados obtidos para o seguro autom´ovel - Bootstrap MCL . . . 110

5.32 Medida de risco VaR - Bootstrap MCL . . . 112

5.33 Estimativas dos montantes finais obtidos pelos vários métodos para o triângulo dos pagamentos do seguro habita¸cão . . . 112

5.34 Estimativas dos montantes finais obtidos pelos vários métodos para o triângulo dos pagamentos do seguro automóvel . . . 113

5.35 Estimativas dos montantes finais obtidos pelos vários métodos para o triângulo das cargas do seguro habita¸cão . . . 113

5.36 Estimativas dos montantes finais obtidos pelos vários métodos para o triângulo das cargas do seguro automóvel . . . 114

5.37 Intervalo formado pelas estimativas dos montantes finais obtidas pelos v´arios m´etodos para os anos de acidente 2010, 2011 e 2012 . . . 115

5.38 Triângulo run-off constitu´ıdo pelos pagamentos acumulados - seguro habita¸cão117 5.39 CDR estimado no tempo t = I + 1 - seguro habita¸cão . . . 118

5.40 Volatilidades das estimativas - seguro habita¸c˜ao . . . 119

5.41 Triângulo run-off constitu´ıdo pelos pagamentos acumulados - seguro automóvel120 5.42 CDR estimado no tempo t = I + 1 - seguro automóvel . . . 121

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Lista de Figuras

2.1 Evolu¸cão do Setor Segurador Português entre 2009 e 2011 (Fonte: (Associa¸cão Portuguesa de Seguradores, 2012a)) . . . 7 2.2 Setor Segurador na União Europeia entre 2010 e 2011 (Fonte: (Associa¸cão

Portuguesa de Seguradores, 2012b))) . . . 8 2.3 Evolu¸c˜ao temporal do processo do sinistro . . . 13 5.1 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados (`a esquerda) e das cargas

acu-muladas (`a direita) relativos ao Seguro Habita¸c˜ao (ano 0: 1996, ..., ano 9: 2005, ano a: 2006, ..., ano e: 2012) . . . 74 5.2 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados e das cargas acumuladas

rela-tivos a sinistros ocorridos nos anos de acidente 2002 (à esquerda) e 2005 (à direita) no Seguro Habita¸cão . . . 76 5.3 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados e das cargas acumuladas

rela-tivos a sinistros ocorridos nos anos de acidente 2002 e 2006 no Seguro Habita¸c˜ao 77 5.4 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados (`a esquerda) e das cargas

acu-muladas (`a direita) relativos ao Seguro Autom´ovel (ano 0: 1996, ..., ano 9: 2005, ano a: 2006, ..., ano e: 2012) . . . 80 5.5 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados e das cargas acumuladas

rela-tivos a sinistros ocorridos nos anos de acidente 2002 (à esquerda) e 2005 (à direita) no Seguro Automóvel . . . 81 5.6 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados e das cargas acumuladas

relati-vos a sinistros ocorridos nos anos de acidente 2002 e 2006 no Seguro Autom´ovel 83 5.7 An´alise dos pagamentos finais por ano de acidente para os pagamentos do

seguro habita¸cão (à esquerda) e do seguro automóvel (à direita) - Mack (pacote ChainLadder do R) . . . 94 5.8 Desenvolvimento dos pagamentos por ano de acidente e erro de previsão

respetivo para os pagamentos do seguro habita¸cão (à esquerda) e do seguro automóvel (à direita) - Mack (pacote ChainLadder do R) . . . 94 5.9 Análise dos res´ıduos ajustados dos pagamentos do seguro habita¸cão - Modelo

de Sobredispersão de Poisson . . . 97 5.10 Representa¸cão gráfica das reservas totais obtidas pelo método Bootstrap

Mack: Histograma (à esquerda) e fun¸cão de distribui¸cão emp´ırica (à direita) - seguro habita¸cão . . . 101 5.11 Representa¸cão gráfica das reservas totais obtidas pelo método Bootstrap

Mack: Histograma (à esquerda) e fun¸cão de distribui¸cão emp´ırica (à direita) - seguro automóvel . . . 101

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5.12 Representa¸cão gráfica das reservas totais obtidas pelo método Bootstrap: Histograma (à esquerda) e fun¸cão de distribui¸cão emp´ırica (à direita) - seguro habita¸cão . . . 104 5.13 Representa¸cão gráfica das reservas totais obtidas pelo método Bootstrap:

Histograma (à esquerda) e fun¸cão de distribui¸cão emp´ırica (à direita) - seguro automóvel . . . 104 5.14 Boxplot para cada ano de acidente dos pagamentos finais simulados para o

seguro habita¸cão (à esquerda) e seguro automóvel (à direita) (pacote Chain-Ladder do R) . . . 106 5.15 Análise gráfica dos res´ıduos para os pagamentos (à esquerda) e para as cargas

(à direita) do seguro habita¸cão - MCL (pacote ChainLadder do R) . . . 107 5.16 Análise gráfica dos res´ıduos para os pagamentos (à esquerda) e para as cargas

(à direita) do seguro automóvel - MCL (pacote ChainLadder do R) . . . 107 5.17 Compara¸cão dos resultados obtidos pelo modelo de Mack e pelo método MCL

para o seguro habita¸cão (à esquerda) e para o seguro automóvel (à direita) (pacote ChainLadder do R) . . . 109 5.18 Representa¸cão gráfica das reservas totais obtidas pelo método Bootstrap para

os pagamentos (em cima) e cargas (em baixo) - seguro habita¸cão . . . 111 5.19 Representa¸cão gráfica das reservas totais obtidas pelo método Bootstrap para

os pagamentos (em cima) e cargas (em baixo) - seguro autom´ovel . . . 111 5.20 Desenvolvimento dos pagamentos e das cargas no ano de acidente 1997 com

o montante final estimado no seguro habita¸cão (à esquerda) e no seguro automóvel (à direita) . . . 116 B.1 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados e das cargas acumuladas para

os ano de acidente 1996 a 2003 relativos ao Seguro Habita¸c˜ao . . . viii B.2 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados e das cargas acumuladas para

os ano de acidente 2004 a 2012 relativos ao Seguro Habita¸c˜ao . . . ix B.3 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados e das cargas acumuladas para

os ano de acidente 1996 a 2003 relativos ao Seguro Autom´ovel . . . x B.4 Desenvolvimento dos pagamentos acumulados e das cargas acumuladas para

os ano de acidente 2004 a 2012 relativos ao Seguro Automóvel . . . xi C.1 Análise do ajustamento aos pagamentos do seguro habita¸cão - Mack . . . xiii C.2 Análise do ajustamento às cargas do seguro habita¸cão - Mack . . . xiv C.3 Análise do ajustamento aos pagamentos do seguro automóvel - Mack . . . . xiv C.4 Análise do ajustamento às cargas do seguro automóvel - Mack . . . xv C.5 Análise dos res´ıduos ajustados para os pagamentos do seguro habita¸cão - Mack xv C.6 Análise dos res´ıduos ajustados para as cargas do seguro habita¸cão - Mack . . xvi C.7 Análise dos res´ıduos ajustados para os pagamentos do seguro automóvel - Mack xvi C.8 Análise dos res´ıduos ajustados para as cargas do seguro automóvel - Mack . xvii D.1 Análise dos res´ıduos ajustados dos pagamentos do seguro automóvel - Modelo

(17)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

O contrato de seguro é um acordo através do qual o segurador assume a cobertura de determinados riscos, comprometendo-se a liquidar as indemniza¸cões em caso de ocorrência de sinistro, nos termos acordados.

Em contrapartida, a pessoa ou entidade que celebra o seguro (o tomador do seguro) fica obrigada a pagar ao segurador o pr´emio correspondente, ou seja, o custo do seguro.

As principais obriga¸cões de uma companhia de seguros correspondem à angaria¸cão destes contratos de seguros e à obriga¸cão de regularizar os pagamentos das indemniza¸cões devido à ocorrência de sinistros relativos a esses contratos durante o seu per´ıodo de vigência. Como tal, é necessário garantir a solidez financeira das companhias de seguros para que sejam capazes de honrar os compromissos assumidos perante os segurados e terceiros.

O estágio realizado na seguradora AXA surge assim desta necessidade. Naturalmente, é bastante importante para a AXA garantir, com elevada probabilidade, que o seu capital seja suficiente para liquidar as perdas resultantes de situa¸cões adversas, assegurando as garantias e os direitos dos segurados.

A atividade seguradora é dividida em dois grandes ramos: ramo vida e ramo não vida. Devido às grandes diferen¸cas entre eles, estes ramos são usualmente estudados em separado. Nesta tese, serão abordados os seguros habita¸cão e automóvel, do ramo não vida.

Os mais recentes desenvolvimentos em torno do mercado europeu único, a ocorrência de diversos escândalos financeiros e a volatilidade dos mercados financeiros criaram novas exigências regulamentares para os servi¸cos financeiros. O seu principal objetivo é o es-tabelecimento de elevados n´ıveis de prote¸cão ao consumidor. No mercado segurador essa prote¸cão ao consumidor foi implementada em duas fases: Solvência I, que entrou em vigor em Janeiro de 2004, e Solvência II, que atualmente se encontra a ser desenvolvido. Dito de uma forma ligeira, o sistema de Solvência I baseia-se apenas em fatores quantitativos, não sendo sens´ıvel aos vários fatores de risco que influenciam a estabilidade das seguradoras. O projeto Solvência II pretende adotar uma abordagem económica mais baseada no risco comparativamente ao projeto Solvência I. Este novo sistema de solvência é um projeto de revisão das garantias financeiras para a atividade seguradora.

O Projecto Solvˆencia II surge assim associado `a necessidade de assegurar as garantias e os direitos dos segurados, bem como de determinar o requisito de capital suficiente para fazer

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face aos compromissos assumidos pelas Seguradoras, tendo em conta os diversos riscos a que estas se encontram expostas.

Existem diversos métodos, tanto determin´ısticos como estocásticos, para prever o valor das reservas que corresponde ao valor total das indemniza¸cões que terão de ser liquidadas, relativas a sinistros ocorridos no exerc´ıcio e em anos anteriores. Os métodos determin´ısticos, devido à sua simplicidade e eficácia, são os mais utilizados pelas seguradoras, apesar da sua antiguidade. No entanto, da aplica¸cão deste tipo de métodos resulta apenas uma estimativa pontual para as reservas, sendo esta estimativa muito sens´ıvel a qualquer altera¸cão nos dados. Os métodos estocásticos surgiram da necessidade de uma medida que traduzisse a variabilidade das estimativas da reserva produzindo maior flexibilidade e rigor na inter-preta¸cão dos resutados. Assim, a grande vantagem destes métodos é a obten¸cão de erros de previsão que é uma medida de variabilidade bastante importante na análise estat´ıstica da adequabilidade dos estimadores das reservas.

Algumas destas metodologias serão abordadas neste trabalho, como é o caso dos métodos Chain Ladder e Grossing Up, ambos métodos determin´ısticos. No caso dos modelos es-tocásticos, serão estudados o modelo de Mack, versão estocástica do método Chain Ladder e o modelo de sobredispersão de Poisson. Nesta vertente estocástica, também será aplicada a técnica de reamostragem Bootstrap em conjunto com estes dois modelos, permitindo obter, além do erro de previsão, uma aproxima¸cão da distribui¸cão preditiva das reservas.

De modo a comparar os resultados provenientes da utiliza¸cão destes modelos, onde a cor-rela¸cão entre o triângulo dos pagamentos e o das cargas é ignorada, com os resultados obtidos usando um modelo especialmente concebido para lidar com esta dependência, será estudado e analisado o modelo MCL (Munich Chain Ladder). Também será aplicado o procedimento Bootstrap a este método.

Neste trabalho são comparados vários métodos, tendo como objetivo principal a escolha de uma estimativa adequada para a reserva.

A maioria dos métodos estocásticos existentes na literatura concentram-se numa visão a longo prazo. Apesar do estudo destes métodos apresentar grandes vantagens, a visão a longo prazo comporta alguns riscos, da´ı ser essencial o estudo a curto prazo (um ano) da incerteza total associada ao cálculo das reservas.

Deste modo, será abordada uma metodologia proposta por (Merz and Wüthrich, 2008) que tem como base esta visão a curto prazo, sendo que esta tem consequências diretas para efeitos de solvência, uma vez que o sistema de Solvência II pretende uma modifica¸cão, por completo, no modo como as seguradoras devem abordar as garantias das perdas, sendo que estas devem ser pensadas a curto prazo.

Todos os métodos supra citados foram aplicados através da implementa¸cão de várias rotinas no software R (versão 2.12.1), algumas delas constru´ıdas especificamente para este efeito.

1.1 Objetivos

Este trabalho cumpre dois objetivos principais, o primeiro prende-se com o cálculo do capital (reserva) necessário que a seguradora deverá guardar para regularizar todos os sinistros ocorridos no per´ıodo de 1996 a 2012 para o seguro habita¸cão e automóvel e o segundo é

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relativo ao estudo da volatilidade a um ano.

Para cumprir o primeiro objetivo, são estudadas diversos modelos e métodos como o modelo de Mack (dos mais utilizados pelas seguradoras), o modelo de sobredipersão de Poisson, bem como a técnica de reamostragem Bootstrap associada a estes modelos estocásticos. São também estudados métodos que têm em considera¸cão a dependência entre os triângulos constitu´ıdos pelos pagamentos e pelas cargas, como o Munich Chain Ladder e a técnica Bootstrap conjugada com este método.

Sob a nova regulamenta¸cão do sistema Solvência II, as seguradoras terão de se concentrar numa visão a curto prazo, sendo bastante importante o estudo da volatilidade a um ano. Assim, para cumprir o segundo objetivo será estudada a metodologia desenvolvida por (Merz and Wüthrich, 2008) que tem como base esta visão a curto prazo.

1.2 Estrutura

Este trabalho, resultante do estágio na AXA, encontra-se segmentado em vários cap´ıtulos, sendo que no in´ıcio de cada um é apresentada uma descri¸cão do seu conteúdo, permitindo obter uma ideia geral do trabalho efetuado.

A introdu¸cão e os objetivos desta disserta¸cão são apresentados no cap´ıtulo 1.

Após uma breve contextualiza¸cão de caráter introdutório relativamente à temática em estudo, no cap´ıtulo 2 será efetuado um enquadramento da atividade seguradora em Por-tugal, bem como uma análise geral do projeto Solvência II, apresentando os seus principais objetivos e as melhorias que este pretende introduzir no setor segurador.

Por fim, será também referido neste cap´ıtulo, a evolu¸cão do processo de sinistro e os tipos de provisões para sinistros (reservas) existentes, sendo que é essencial que estas sejam suficientes para que as companhias de seguros garantam a sua existência.

O cap´ıtulo 3 inclui a nota¸cão e a estrutura dos dados utilizados nesta disserta¸cão, bem como os fundamentos teóricos das diversas metodologias consideradas na estima¸cão da reserva. Numa primeira parte são apresentados os métodos determin´ısticos e estocásticos que igno-ram a correla¸cão existente entre os triângulos dos pagamentos e das cargas e numa segunda parte são apresentados os métodos que têm em considera¸cão a dependência entre estes dois conjuntos de dados.

No cap´ıtulo 4 é analisada uma metodologia que tem como base a volatilidade a um ano, uma vez que esta margem de risco é bastante importante para efeitos de solvência.

A análise cr´ıtica dos resultados obtidos é efetuada no cap´ıtulo 5. Inicialmente, é descrita a base de dados, bem como as suas caracter´ısticas, e posteriormente, é efetuada uma análise exploratória dos dados e dos resultados obtidos derivados da aplica¸cão dos modelos abordados nos cap´ıtulos 3 e 4.

De acordo com os objetivos gerais deste estudo, no último cap´ıtulo são apresentadas con-sidera¸cões finais referentes a todo o trabalho desenvolvido, limita¸cões inerentes ao estudo e algumas propostas de trabalho futuro.

(20)

(21)

Cap´ıtulo 2

Contextualiza¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo será efetuada uma breve descri¸cão da Atividade Seguradora em Portugal, recorrendo a compara¸cões pontuais com o panorama do Mercado Europeu, bem como do projeto Solvência II e dos seus principais objetivos. Este surge associado à necessidade de garantir a solidez financeira das companhias de seguros, para que elas sejam capazes de honrar os seus compromissos. Este sistema deve ser encarado pelo setor segurador como uma oportunidade para consolidar conhecimentos sobre os riscos inerentes à actividade e para incorporar na gestão corrente das Companhias as mais avan¸cadas práticas ao n´ıvel da gestão desses riscos.

´

E essencial que as provisões técnicas (custo total estimado que a seguradora terá que suportar para regularizar todos os sinistros ocorridos, declarados ou não, no horizonte temporal em estudo, após redu¸cão dos montantes pagos dos mesmos) sejam suficientes para garantir a solvência de uma empresa de seguros. Dentro das provisões técnicas temos as provisões para sinistros que representam grande parte do passivo das Seguradoras do Ramo Não Vida e será sobre elas que nos iremos focar, apresentando os tipos de provisões em que estas se dividem. Neste cap´ıtulo será também descrita a evolu¸cão do processo do sinistro.

2.1 Atividade Seguradora

O mercado segurador teve um grande desenvolvimento entre a última década do século passado e o in´ıcio deste século.

Assim como em outros sectores de actividade económica, também a gestão e a estratégia das companhias de seguros estão em constante mudan¸ca. O aumento da motiva¸cão e a maior qualifica¸cão dos recursos humanos necessária, o aumento da exigência dos consumidores, a introdu¸cão de novas tecnologias, os diferentes riscos e controlos internos aos quais devem estar alocados n´ıveis de capitais corretos, a exigência da transparência do mercado, a gestão correta de ativos e passivos, os riscos nucleares, o terrorismo, a responsabilidade civil, entre muitos outros fatores, tornou a gestão das seguradoras mais dif´ıcil, criando um grande desafio a todas as entidades envolvidas.

A ocorrência de diversos atos terroristas, nomeadamente o 11 de Setembro de 2001, levou a que as sociedades mais desenvolvidas tivessem no¸cão dos variados riscos a que estão sujeitas. Contudo, estas têm diferentes preocupa¸cões em como geri-los, enquanto que os Estados

(22)

Unidos da América tentam compensar as consequências de certos eventos, na Europa tenta-se sobretudo prevenir. Para tal, há que definir se os eventos são atos isolados ou não, repartir os riscos com outras entidades (resseguradoras), etc.

Uma das caracter´ısticas inerentes a esta actividade é o facto desta estar sujeita a uma entidade de supervisão e regula¸cão.

O produto deste setor é bastante distinto de outros setores de atividade económica, uma vez que apresenta como caracter´ısticas a cria¸cão de poupan¸cas significativas, o ciclo de produ¸cão invertido (os prémios antecedem os pagamentos/indemniza¸cões) e a responsabilidade a longo prazo (em alguns casos de sinistros f´ısicos, a seguradora pode ter que realizar pagamentos regulares para o resto da vida do segurado).

A atividade seguradora é dividida em dois grandes ramos: o ramo vida (seguros de vida, de nupcialidade/natalidade, seguros ligados a fundos de investimento e opera¸cões de capi-taliza¸cão) e o ramo não vida (seguros de responsabilidade civil, automóvel, habita¸cão, ...). Devido às grandes diferen¸cas entre eles, estes ramos são usualmente estudados em separado. Nesta tese, serão abordados os seguros habita¸cão e automóvel do ramo não vida.

2.1.1 Atividade Seguradora em Portugal

Nesta seçcão, irei ter em considera¸cão os resultados expostos no Panorama do Mercado Segurador (11/12) e no Seguros em Portugal (11/12) disponibilizado pela APS (Associa¸cão Portuguesa de Seguradores).

O setor segurador não permaneceu intacto à conjuntura económica muito desfavorável que atravessou a economia portuguesa. Em 2011, os tra¸cos marcantes do quadro evolutivo da atividade seguradora portuguesa foram o decréscimo do volume de produ¸cão e a deteriora¸cão dos resultados de explora¸cão.

Na figura 2.1, são apresentados os resultados do Setor Segurador Português entre 2009 e 2011, onde se pode verificar que os efeitos referidos anteriormente não se fizeram sentir de igual modo no ramo Vida e no ramo Não Vida.

Enquanto que o segmento Vida, mais sens´ıvel à volatilidade dos mercados financeiros e à concorrência de outras institui¸cões no mercado da poupan¸ca, registou uma quebra de mais de 38% no volume de produ¸cão e um resultado negativo da sua conta técnica de mais de 70 milhões de euros (em contraste com os quase 400 milhões de euros positivos em 2010), o segmento Não Vida, embora mais sens´ıvel à evolu¸cão da dita economia real, registou um aumento dos resultados explora¸cão apesar da ligeira quebra do volume de prémios (-0,9%).

(23)

Figura 2.1: Evolu¸cão do Setor Segurador Português entre 2009 e 2011 (Fonte: (Associa¸cão Portuguesa de Seguradores, 2012a))

Na análise deste quadro, também é notória que a deteriora¸cão do n´ıvel económico em Portugal não deixou a estrutura do setor segurador imune que, apesar da estabilidade observada ao n´ıvel do número de trabalhadores, registou um decréscimo, quer do número de companhias (de 84 para 79), quer do número de mediadores de seguros (-1,9%).

Efetuando uma breve análise do setor segurador na União Europeia, real¸cando a posi¸cão de Portugal no ranking europeu, apresenta-se, de seguida, um quadro relativo ao volume de prémios do mercado europeu, bem como o rácio prémios sobre PIB (Produto Interno Bruto).

(24)

Figura 2.2: Setor Segurador na Uni˜ao Europeia entre 2010 e 2011 (Fonte: (Associa¸c˜ao Portuguesa de Seguradores, 2012b)))

Como se pode verificar, em 2011, o volume de pr´emios do mercado europeu registou um crescimento de cerca de 1,5%, atingindo valores muito perto dos 1,5 bili˜oes de USD (United States Dollar).

Contudo, este crescimento não foi uniforme entre os ramos Vida e Não Vida, tendo sido registado um decréscimo de cerca de 3% na produ¸cão do primeiro e um aumento de mais de 8% na produ¸cão do segundo. Ainda assim, o ramo Vida continua a dominar a produ¸cão do setor segurador europeu, representando quase 60% da mesma.

Neste ranking, Portugal continua a ocupar um lugar intermédio entre os 27 mercados da UE, com uma quota de 1,1%. No ramo Vida regista um maior peso relativo, onde a quota ascende a 1,2%, enquanto no segmento Não Vida não chega a 1,0%.

Por outro lado, o significativo decréscimo da produ¸cão observado em 2011 relegou Portugal para uma posi¸cão intermédia a n´ıvel europeu no que respeita ao rácio prémios sobre PIB, indicador em que, em 2010, era apenas superado por alguns dos principais mercados da europa (Inglaterra, Fran¸ca e Holanda - com o peso deste último fortemente influenciado pelo papel que o setor segurador desempenha no sistema público de saúde). Ainda assim, Portugal, com um rácio de 6,8%, apresenta neste indicador um valor muito idêntico ao de outros grandes mercados europeus (Itália e Alemanha) e superior ao de Espanha.

(25)

2.2 Sistema de Solvˆ

encia

As principais obriga¸cões de uma companhia de seguros correspondem à angaria¸cão de contratos de seguros e à obriga¸cão de regularizar os pagamentos das indemniza¸cões devido `

a ocorrência de sinistros relativos a esses contratos durante o seu per´ıodo de vigência. Para uma seguradora permanecer solvente, é necessário que esta tenha a capacidade de honrar todos os seus compromissos financeiros futuros. Contudo existem múltiplos fatores que influenciam a solvência, como por exemplo:

• flutua¸c˜ao de sinistros; • insolvˆencia do ressegurador; • reservas mal calculadas; • volatilidade dos ativos;

• retornos inadequados nas aplica¸c˜oes financeiras; • gest˜ao ineficiente - custos, fraudes;

• riscos associados ao investimento de capital;

• falhas no underwriting ( ocorre quando uma companhia seleciona e contrata um in-termediário financeiro, que será responsável pela coloca¸cão de uma subscri¸cão pública de a¸cões ou obriga¸cões no mercado);

• riscos pol´ıticos, macroecon´omicos e de mercado.

Um dos princ´ıpios inerentes à Comunidade Europeia é a constru¸cão e o desenvolvimento de um mercado único dos servi¸cos de seguros que possibilite a elimina¸cão de obstáculos à atividade seguradora.

Por forma a harmonizar e uniformizar os princ´ıpios gerais existentes em cada estado membro foi iniciado, ao n´ıvel do Sector Segurador, um processo legislativo comunit´ario, que visa sobretudo assegurar os direitos e as garantias dos segurados. Este processo come¸cou em 1973 para os Ramos N˜ao Vida.

Os mais recentes desenvolvimentos em torno do mercado europeu único, a ocorrência de diversos escândalos financeiros e a volatilidade dos mercados financeiros criaram novas exigências regulamentares para os servi¸cos financeiros. O seu principal objetivo é o es-tabelecimento de elevados n´ıveis de prote¸cão ao consumidor.

No mercado segurador essa prote¸cão ao consumidor está a ser implementada em duas fases: Solvência I, que foi aprovado em 2002 e entrou em vigor em Janeiro de 2004, e Solvência II, que atualmente se encontra a ser desenvolvido.

(26)

2.2.1 Solvˆ

encia I

Na União Europeia, os requisitos de Solvência utilizados pelas empresas de seguros têm vindo a revelar-se eficientes ao longo dos anos, assegurando uma defesa efetiva dos direitos e garantias dos segurados. Contudo, vivemos num mundo em constante mudan¸ca e sujeito a per´ıodos de grande tensão, pelo que se torna essencial uma revisão e adequa¸cão das regras de mercado atuais, decorrendo assim o projecto Solvência II, uma vez que no sistema de Solvência I a medida do risco é vista de uma forma um pouco superficial.

O sistema de Solvência I, caracterizado pela sua simplicidade e grande flexibilidade, é baseado num conjunto restrito de rácios fixos aplicados a grandezas que representam a exposi¸cão ao risco. O seu principal objectivo foi refor¸car as garantias das empresas de seguros. É considerado, no entanto, como um modelo de transi¸cão, uma vez que apresenta várias limita¸cões ao n´ıvel da sensibilidade ao risco, da inadequa¸cão ao mercado único, da clareza da solidez financeira de uma Companhia de Seguros, dos requisitos de capital e não atende à diversifica¸cão da carteira nem tão pouco à sua dimensão.

Assim, com o intuito de melhorar e tentar colmatar as falhas deste modelo inicial, surge o Projecto Solvência II que incide na prote¸cão dos direitos dos segurados, tendo em conta os riscos efectivamente incorridos e as medidas de gestão de uma Companhia de Seguros.

2.2.2 Principais Diferen¸

cas entre o sistema Solvˆ

encia I e Solvˆ

encia

II

O sistema Solvência II é um projeto de revisão das garantias financeiras para a atividade seguradora. Este projeto pretende adotar uma abordagem económica mais baseada no risco comparativamente ao projeto Solvência I.

Os principais princ´ıpios em que assenta o sistema Solvência I são: • Prote¸cão ao consumidor através de regulamenta¸cão;

• Elevados requisitos de capital e insens´ıveis ao risco. O risco est´a implicitamente reflectido ao n´ıvel do provisionamento;

• Prote¸cão para companhias existentes; • Supervisão efetuada com discri¸cão; • Evitar insolvências a quase todo o custo;

• O valor das Provisões Técnicas suficientemente adequado para cumprir com o paga-mento das indemniza¸cões.

Em contrapartida, os principais princ´ıpios em que assenta o projeto Solvência II são: • Prote¸cão do consumidor através de disciplina de mercado;

• Requisitos de capital baseados no risco; • Supervis˜ao efetuada de modo transparente;

(27)

• Interven¸c˜ao adequada quando surgem problemas;

• O valor das Provisões Técnicas é o valor atual previsto das indemniza¸cões futuras. Perante todas as limita¸cões do projecto Solvência I, é o projecto Solvência II que dá continuidade ao trabalho iniciado na primeira fase do projeto. Este novo sistema estabelece um novo quadro global de solvência, tendo por base, quer o risco quer uma supervisão eficaz que proteja os direitos dos segurados. Este projeto não tem como obrigatoriedade o aumento do capital, mas sim a adequa¸cão ao risco efetivamente incorrido e às medidas de gestão tomadas em várias áreas.

2.2.3 Solvˆ

encia II - Objetivos e Estrutura

Sob o ponto de vista da regula¸cão do setor segurador, o projeto Solvência II é o projeto estruturante de maior importância atualmente em curso. Este projeto visa a revisão global e profunda do modelo de solvência aplicável, revestindo-se de especial importância, em particular no atual contexto de turbulência dos mercados financeiros.

O objetivo principal deste projeto prende-se com o estabelecimento de um sistema de solvência coerente, que capte adequadamente os riscos de todos os tipos de negócios. Este novo sistema pretende proporcionar às autoridades de supervisão meios que lhes permitam identificar falhas ou situa¸cões adversas das seguradoras atempadamente.

O sistema Solvência II está a desenvolver uma fórmula standard de determina¸cão dos requisitos de capital das companhias de seguros, mas também lhes dá a oportunidade de definirem o seu modelo interno de solvência, incentivando-as a gerirem e a avaliarem os seus riscos.

Em matérias de cariz qualitativo, o novo sistema de solvência dá uma especial importância a matérias como a governa¸cão, os mecanismos de controlo interno e os sistemas de gestão de riscos, bem como ao refor¸co da transparência e da disciplina de mercado. Adicionalmente, pretende-se assegurar uma maior convergência nos processos de supervisão a n´ıvel europeu, especialmente no contexto de grupos de seguros e conglomerados financeiros.

Outro objetivo do projeto é o refor¸co da prote¸cão dos tomadores e beneficiários de contratos de seguros.

O projeto solvência II foi estruturado tendo em conta três objetivos estratégicos (à seme-lhan¸ca do projeto Basileia II no setor bancário), dando origem aos conhecidos três pilares, sendo estes:

• Pilar I - Requisitos Quantitativos de Capital • Pilar II - Processo de Revis˜ao da Supervis˜ao • Pilar III - Conduta de Mercado

O primeiro pilar (quantitativo), tem como objetivo determinar o montante de capital ne-cessário para cada companhia de seguros, utilizando medidas sens´ıveis aos riscos assumidos por parte das seguradoras. Este pilar inclui a avalia¸cão dos ativos, das provisões técnicas e

(28)

do capital, tendo ainda em aten¸cão o efeito das estratégias de atenua¸cão do risco (como por exemplo, o resseguro e a utiliza¸cão de instrumentos financeiros derivados).

O pilar II (supervisão) pode ser considerado como um complemento ao pilar I, no sentido em que o processo de supervisão irá verificar se o capital exigido neste pilar é adequado para que determinadas situa¸cões de risco não aconte¸cam e caso se verifiquem, sejam facilmente detetadas. Desta forma, o ajuste no requisito de capital permite traduzir com maior veracidade o perfil de risco de uma companhia espec´ıfica. Sendo assim, o pilar II inclui medidas mais qualitativas e princ´ıpios relativos ao processo de supervisão, na medida em que a complexidade dos negócios das seguradoras e das técnicas de gestão do risco no futuro nem sempre permitem que as fórmulas e os modelos internos detetem determinadas situa¸cões de risco.

Por fim, o pilar III (Divulga¸cão), visa estabelecer a informa¸cão que as entidades e a super-visão deverão divulgar, quer para com o público em geral, quer para efeitos de coopera¸cão entre supervisores, no sentido de aumentar a transparência e disciplina de mercado.

Perante todos estes factos, a implementa¸cão do projeto Solvência II será, sem dúvida, um dos maiores desafios com que o setor segurador europeu se deparou nas últimas décadas. Para mais detalhes acerca do projeto Solvência II, consultar (Vicente, 2007) e (Novo, 2008).

2.3 Sinistros

Como já referido, nesta tese, serão abordados os seguros habita¸cão e automóvel do ramo não vida. Os seguros deste ramo são contratos celebrados entre a seguradora e o segurado, onde a seguradora se compromete a pagar as indemniza¸cões em caso de ocorrência do sinistro e em contrapartida, o segurado terá de pagar o prémio correspondente à seguradora. Ao assumir a responsabilidade de liquidar as indemniza¸cões relativas à ocorrência de sinistros, a seguradora deve provisionar os custos associados no final de cada exerc´ıcio. Estes custos são designados de provisões técnicas e é essencial que sejam suficientes para garantir a solvência de uma empresa de seguros.

As provisões técnicas dividem-se em: provisões para sinistros, provisões para prémios não adquiridos, provisões para desvios de sinistralidade e provisões para riscos em curso. As provisões para sinistros detêm o maior peso e será sobre elas que nos iremos focar.

Nesta seçcão será descrita a evolu¸cão do processo do sinistro, bem como os tipos de provisões para sinistros.

2.3.1 Evolu¸

c˜

ao do processo do sinistro

Antigamente, todas as indemniza¸cões de um ano particular eram pagas pelos prémios arrecadados nesse mesmo ano, não sendo importante o ano de origem em que ocorreu o sinistro. O balan¸co financeiro de um portfólio era realizado assegurando que haveria uma equivalência entre os prémios coletados e as indemniza¸cões pagas num determinado ano. Contudo, as indemniza¸cões relativas a sinistros ocorridos num ano particular, normalmente,

(29)

não são finalizadas nesse mesmo ano, ou seja, não são totalmente liquidadas nesse ano. Este atraso deve-se a dois fatores:

• Atraso em reportar o sinistro

• Atraso em finalizar indemniza¸c˜oes relativas aos sinistros reportados

Para uma melhor compreensão da evolu¸cão do processo do sinistro desde a sua ocorrência até ao seu encerramento, segue-se a seguinte figura.

Figura 2.3: Evolu¸c˜ao temporal do processo do sinistro

Conforme se pode verificar, a dura¸cão total dos atrasos que ocorrem desde que surge um sinistro até este ser encerrado pode variar de alguns dias até vários anos. Tais atrasos resultam de longos processos jur´ıdicos, atrasos administrativos, altera¸cões na legisla¸cão, entre outros fatores. Por exemplo, indemniza¸cões de propriedades, onde as d´ıvidas a pagar são ”claras”, tendem a ser reportadas quase que imediatamente à ocorrência do sinistro e, geralmente, são finalizadas assim que a seguradora concluir a parte burocrática. Mas nem sempre é assim, ou seja, alguns casos podem levar anos desde a data de ocorrência do sinistro até este ser reportado à companhia de seguros e ainda pode levar mais anos para as indemniza¸cões relativas a esses sinistros serem liquidadas, principalmente se a d´ıvida ´

e ”duvidosa”. Em alguns casos de sinistros f´ısicos, a seguradora pode ter que realizar pagamentos regulares para o resto da vida do segurado.

Assim, o tempo total do atraso divide-se entre a ocorrˆencia do sinistro (instante t1), a

parti-cipa¸cão do mesmo à seguradora (instante t2), os pagamentos das indenmiza¸cões associadas

a esses sinistros (instantes t3 e t4); ap´os a regulariza¸c˜ao desses pagamentos (podem ser

efetuados em v´arios instantes), o processo ´e encerrado (instante t5); este encerramento pode

n˜ao ser definitivo, pois pode surgir a necessidade de reabrir o processo (instante t6); s˜ao

efetuados novos pagamentos resultantes dessa reabertura do processo (instante t7); este ´e

encerrado novamente (instante t8); e assim sucessivamente. Este ciclo pode repetir-se v´arias

vezes, ou seja, o processo pode ser reaberto mais do que uma vez, o que leva a que o tempo total do atraso seja desconhecido desde o momento em que ocorre o sinistro.

A reabertura do processo pode resultar da existência de informa¸cões incompletas e incoe-rentes à data de encerramento.

Além disso, o valor total das indemniza¸cões também é desconhecido até que elas sejam fina-lizadas. Entretanto, as companhias precisam realizar uma previsão adequada das reservas para poderem fazer face a estas indemniza¸cões, ou seja, há uma necessidade por parte das

(30)

seguradoras de prever o valor das reservas para liquidar indemniza¸c˜oes relativas a sinistros ocorridos em anos anteriores.

2.3.2 Provis˜

ao para sinistros

A provisão para sinistros (reservas) representa grande parte do passivo das Seguradoras do Ramo Não Vida e corresponde ao custo total estimado que a Empresa de Seguros terá que suportar para regularizar todos os sinistros ocorridos, declarados ou não, no horizonte temporal em estudo, após redu¸cão dos montantes pagos dos mesmos.

Deste modo, esta provisão encontra-se subdividida em dois tipos: provisões para sinistros ocorridos mas ainda não reportados (IBNR - Incurred But Not Reported) e provisões para sinistros reportados mas não liquidadas as indemniza¸cões respetivas na sua totalidade (IBNER - Incurred But Not Enough Reported).

Assim, as provisões para sinistros têm como principal objectivo estimar o custo dos sinistros até ao momento em que estes se encontrem totalmente participados e regularizados, ou seja, sem que existam novas aberturas, reaberturas e reavalia¸cões, nem processos por encerrar. Estes tipos de provisões são muitas vezes tratados individualmente pelas seguradoras. A provisão para sinistros ocorridos mas ainda não reportados (IBNR) deve ser calculada de acordo com a experiência passada da companhia de seguros em questão relativamente ao número de sinistros reportados após o encerramento do ano. A provisão para sinistros reportados mas não liquidadas as indemniza¸cões respetivas na sua totalidade (IBNER), reflete os custos estimados para regularizar os sinistros pendentes ou que possam vir a ser reabertos.

Neste trabalho, as provisões para sinistros (reservas) correspondem à soma destes dois tipos de provisões, IBNR e IBNER.

No próximo cap´ıtulo irá ser efetuado um breve resumo dos métodos utilizados na estima¸cão da provisão para sinistros (reserva).

(31)

Cap´ıtulo 3

M´

etodos de Previs˜

ao de Reservas

Este cap´ıtulo encontra-se dividido em várias seçcões. Na primeira é apresentada a nota¸cão e a estrutura dos dados utilizados nesta disserta¸cão. Depois, na segunda seçcão, é explicada a importância do fator cauda e quais as consequências relativas à não aplica¸cão deste fator quando a natureza dos triângulos runoff obriga à sua utiliza¸cão.

Na terceira seçcão são descritas as vantagens e desvantagens dos métodos determin´ısticos e estocásticos utilizados para o cálculo da estimativa da reserva, bem como as principais dife-ren¸cas entre este tipo de métodos. Nas seçcões seguintes são apresentados os fundamentos teóricos destas metodologias.

As tentativas de responder às necessidades das seguradoras são dificultadas pela dualidade de triângulos que existem para o mesmo tipo de seguro. Normalmente, os triângulos dos pagamentos e das cargas são estudados em separado, ignorando a correla¸cão existente entre eles (caso dos métodos que irão ser apresentados nas seçcões 3.4 e 3.5). Como tal, na última seçcão deste cap´ıtulo, é apresentada a base teórica de métodos especialmente concebidos para lidar com a dependência entre estes dois conjuntos de dados (triângulo constitu´ıdo pelos pagamentos e triângulo constitu´ıdo pelas cargas).

3.1 Nota¸

c˜

ao e tipo de dados

Atualmente, existem diversos métodos estat´ısticos que são bastante utilizados pelos atuários com o intuito de estimar o montante da reserva relativa aos sinistros. Para tal, baseiam-se no histórico da Companhia de Seguros e através dessa proje¸cão da sinistralidade e dos métodos existentes, obtêm uma estimativa do valor esperado dos montantes de indemniza¸cões por liquidar (custos futuros) resultantes dos sinistros já ocorridos até à data do exerc´ıcio. Como ´

e óbvio, estes métodos estão condicionados pela qualidade e dimensão do histórico.

Usualmente, o conjunto de dados dispon´ıveis é anual e será esse tipo de dados que será abordado nesta tese. Contudo, os métodos que serão estudados podem ser aplicados a outros per´ıodos, nomeadamente semestral.

Neste tipo de problemas, o conjunto de observa¸cões é agrupado numa matriz incompleta, designada por triângulo runoff. Sendo assim, este formato organiza os pagamentos das indemniza¸cões de acordo com o ano em que o sinistro ocorreu (ano de acidente) e o ano cuja respetiva indemniza¸cão foi liquidada (ano de desenvolvimento). Vários dos modelos

(32)

abordados poder˜ao ser aplicados aos n´umeros de sinistros ou a outro tipo de dados. Sem perda de generalidade, considera-se:

• Xi,j: montante de indemniza¸c˜oes incremental relativo a sinistros que ocorreram no ano

de acidente i, 1 ≤ i ≤ n, e que foi liquidado no ano de desenvolvimento j, 1 ≤ j ≤ n; • Ci,j: montante de indemniza¸c˜oes acumulado relativo a sinistros que ocorreram no

ano de acidente i, 1 ≤ i ≤ n, e que foi liquidado at´e ao ano de desenvolvimento j, 1 ≤ j ≤ n.

Portanto, o conjunto de dados a considerar ´e {Xi,j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n − i + 1} se

trabalharmos com os pagamentos incrementais e {Ci,j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n − i + 1} para

os pagamentos acumulados.

Os montantes de indemniza¸cões acumulados são obtidos a partir dos montantes de indem-niza¸cões incrementais através de:

Ci,j = j

X

k=1

Xi,k (3.1)

Consideramos que os montantes de indemniza¸cões incrementais Xi,j são observa¸cões se i +

j ≤ n + 1. Então, os pagamentos incrementais observados são organizados num triângulo runoff do seguinte modo:

Tabela 3.1: Representa¸c˜ao dos pagamentos incrementais num triˆangulo runoff

Ano de Acidente Ano de Desenvolvimento

1 2 · · · j · · · n − 1 n

1 X1,1 X1,2 · · · X1,j · · · X1,n−1 X1,n

2 X2,1 X2,2 · · · X2,j · · · X2,n−1

..

. ... ... ... ... ...

i Xi,1 Xi,2 · · · Xi,j

..

. ... ... ...

n − 1 Xn−1,1 Xn−1,2

n Xn,1

Consequentemente, consideramos que os montantes de indemniza¸c˜oes acumulados Ci,j s˜ao

observa¸cões se i + j ≤ n + 1. Como tal, os pagamentos acumulados observados são apresentados num triângulo runoff semelhante ao da tabela 3.1.

A parte inferior do triângulo é constitu´ıda por valores que ainda não são conhecidos, ou seja, corresponde aos montantes de indemniza¸cões por liquidar. Como tal, o objetivo é preencher os valores em falta do triângulo de modo a que este fique completo. É neste sentido que se recorre aos métodos estat´ısticos, pois têm como finalidade estimar os valores Xi,j ou Ci,j,

com 2 ≤ i ≤ n e n − i + 2 ≤ j ≤ n, conforme usarmos os pagamentos incrementais ou acumulados, respetivamente.

(33)

As reservas (outstanding claims reserve) para cada ano de acidente i s˜ao dadas por: Ri =

n

X

k=n−i+2

Xi,k ou, de forma equivalente, Ri = Ci,n− Ci,n−i+1 (3.2)

com i ∈ {2, ..., n}, onde Ci,n representa o montante de indemniza¸c˜oes final (ultimate claims

amount ) para cada ano de acidente e Ci,n−i+1 representa o montante de indemniza¸c˜oes

liquidado at´e ao final do exerc´ıcio para cada ano de acidente. A reserva total ´e dada por:

R = n X i=2 n X k=n−i+2

Xi,k ou, de forma equivalente, R = n

X

i=2

Ri. (3.3)

Note-se que é recomendado um tratamento prévio dos dados de modo a que estes sejam homogéneos, uma vez que as pol´ıticas e decisões de gestão podem alterar os triângulos constitu´ıdos pelos pagamentos de indemniza¸cões, comprometendo a qualidade da previsão quando os métodos são aplicados.

´

E ainda de extrema importância salientar que o facto do histórico ser reduzido compromete a significância estat´ıstica dos métodos utilizados e caso os dados sejam excessivos, pode ocorrer um enviesamento dos resultados. Contudo, esta última op¸cão não é viável, uma vez que neste tipo de problemas, o conjunto de dados é reduzido. Assim, a maior adversidade ´

e relativa aos resultados n˜ao serem, eventualmente, estatisticamente significativos.

A escolha de um modelo estat´ıstico para estimar o valor da reserva deve recair no facto dos dados serem homogéneos ou não, uma vez que é necessário recorrer a modelos de maior complexidade à medida que aumenta a heterogeneidade dos dados. Atualmente, os modelos estat´ısticos existentes para a previsão de reservas são divididos em dois conjuntos: modelos determin´ısticos e modelos estocásticos.

3.1.1 Exemplo

O triângulo runoff é constitu´ıdo pelos pagamentos das indemniza¸cões e são organizados de acordo com o ano em que o sinistro ocorreu (ano de acidente) e o ano em que a respetiva indemniza¸cão foi liquidada (ano de desenvolvimento). Para uma melhor compreensão das ca-racter´ısticas deste formato, apresenta-se um exemplo meramente académico de organiza¸cão de dados num triângulo runoff.

(34)

Tabela 3.2: Triângulo runoff constitu´ıdo por pagamentos acumulados de indemniza¸cões desde 2008 até 2012

1 2 3 4 5 2008 1434 1845 1986 2156 2424 2009 1310 1765 1943 2118 2010 1587 2004 2816 2011 1230 1480 2012 1809

Acerca deste triˆangulo runoff conhece-se o seguinte:

1. Est˜ao representados os montantes acumulados das indemniza¸c˜oes que foram liquidadas relativas a sinistros que ocorreram entre 2008 e 2012;

2. As indemniza¸cões relativas a sinistros que ocorreram em 2008 foram liquidadas no próprio ano, mas também nos anos seguintes, até 2012;

3. As indemniza¸cões relativas a sinistros ocorridos no ano de 2008 têm de ser liquidadas com os prémios arrecadados em 2008;

4. Dos acidentes ocorridos em 2009, 1310, 1765, 1943 e 2118 correspondem aos valores das indemniza¸cões que foram pagas até 2009, 2010, 2011 e 2012, respetivamente; 5. Das indemniza¸cões relativas a sinistros que ocorreram em 2009, tem-se conhecimento

dos pagamentos que foram efetuados desde 2009 a 2012 e n˜ao se tem conhecimento do que ter´a de ser pago em 2013;

6. Supõe-se que os pagamentos até ao momento desconhecidos desenvolvem um padrão semelhante aos já conhecidos desde 2008 até 2012.

O objetivo principal dos métodos estat´ısticos é completar os dados em falta no triângulo runoff, ou seja, preencher o canto inferior direito da tabela que corresponde às indemniza¸cões que terão de ser liquidadas, ou arquivadas, nos futuros anos civis ao ano de contabilidade, logo, estes valores serão estimados, visto até ao momento não haver qualquer tipo de informa¸cão relativa a esses montantes.

O total dos valores em falta corresponde ao valor total das indemniza¸cões que terão de ser liquidadas no futuro, ou seja, à reserva a ser mantida pela companhia de seguros em 2013 para cobrir os pagamentos de indemniza¸cões até 2016 relativas a sinistros ocorridos entre 2008 e 2012.

3.2 Efeito cauda

Em determinados ramos de seguros, caso a informa¸cão utilizada por parte da seguradora para calcular a reserva num determinado instante de tempo seja baseada apenas nas ob-serva¸cões acumuladas correspondentes às apresentadas na Tabela 3.1 (estas sob a forma

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incremental), a seguradora corre o risco de entrar em processo de insolvência, no sentido em que poderá estar a subestimar o valor real da reserva. Neste caso, a companhia de seguros estaria a assumir que não existe nenhuma indemniza¸cão a ser liquidada relativa a acidentes que ocorreram na i-ésima linha mas que apenas serão reportados ou liquidados em n + 1 instantes de tempo (anos, meses, ...) ou mais de atraso. Isto significa que a seguradora terá de se precaver com este tipo de problemas através da previsão de indemniza¸cões por liquidar relativas aos anos de desenvolvimento de n + 1 até I + k, onde k representa um instante de tempo qualquer.

O cálculo da soma deste valores, correspondentes a uma ”extrapola¸cão à direita”, são designados por efeito cauda ou fator cauda ou, de forma mais direta, por cauda. Este efeito encontra-se representado na Tabela 3.3.

Tabela 3.3: Triˆangulo runoff tendo em considera¸c˜ao o fator cauda

1 2 · · · j · · · n − 1 n n + 1, ..., n + k 1 C1,1 C1,2 · · · C1,j · · · C1,n−1 C1,n Pn+k l=n+1Cˆ1,l 2 C2,1 C2,2 · · · C2,j · · · C2,n−1 Cˆ2,n Pn+k_l=n+1Cˆ2,l .. . ... ... ... ... ... ... ... ...

i Ci,1 Ci,2 · · · Ci,j · · · Cî,n−1 Cî,n Pn+k_l=n+1Cî,l

.. . ... ... ... ... ... ... ... ... n − 1 Cn−1,1 Cn−1,2 · · · Cˆn−1,j · · · Cˆn−1,n−1 Cˆn−1,n Pn+k l=n+1Cˆn−1,l n Cn,1 Cˆn,2 · · · Cˆn,j · · · Cˆn,n−1 Cˆn,n Pn+k_l=n+1Cˆn−1,l

Este fator deve ser aplicado a triângulos cuja natureza obriga à sua utiliza¸cão. Nesta tese, ambos os triângulos fornecidos pela seguradora AXA pertencentes aos seguros habita¸cão e automóvel do ramo não vida, não necessitam da implementa¸cão do fator cauda. São várias as razões que levam à não aplica¸cão deste fator, sendo que estas serão abordadas com mais detalhe num cap´ıtulo posterior.

3.3 Modelos determin´ısticos e modelos estoc´

asticos

Os modelos determin´ısticos, como por exemplo, o método Chain Ladder (método bastante difundido no mercado), são aqueles que apenas efetuam suposi¸cões sobre o valor esperado dos montantes de indemniza¸cões por liquidar (pagamentos futuros), ou seja, calculam uni-camente uma estimativa da reserva.

Estes modelos partem do pressuposto que o comportamento dos montantes de indemniza¸cões liquidados (histórico) se mantém no futuro. Para além disso, não envolvem uma medida de erro relativa à previsão, não quantificando o grau de incerteza nem a variabilidade das estimativas obtidas.

Os modelos estocásticos produzem estimativas não apenas do valor esperado dos montantes de indemniza¸cões por liquidar, mas também da varia¸cão sobre esse valor esperado, permi-tindo associar um erro à previsão efetuada.

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´

E com bastante frequência que os modelos determin´ısticos são usados, mas nem sempre são claros os pressupostos que estão a ser utilizados por estes tipos de modelos. Um dos principais benef´ıcios de um modelo estocástico é que este é totalmente expl´ıcito sobre as hipóteses a serem consideradas. Além disso, permite que estes pressupostos possam ser avaliados através do erro associado à previsão.

Como em qualquer modelo estocástico (ou outro tipo de modelo), os seus pressupostos são um pouco irrealistas, não tendo em considera¸cão fatores externos ao modelo, como por exemplo, o julgamento (judgement ).

O julgamento é um processo cognitivo que se usa para chegar a uma decisão ou tirar conclusões. Em termos simples, implica uma capacidade de avaliar uma situa¸cão com astúcia e retirar conclusões sólidas dessa avalia¸cão. Apesar do julgamento ser subjetivo, no sentido em que varia de pessoa para pessoa e é fundamentado na prévia experiência e conhecimento do indiv´ıduo, também é utilizado tendo em conta factos sólidos. Na atividade seguradora, acontece o mesmo, e como tal, o atuário com base na sua experiência e em determinados factos, toma uma decisão, como por exemplo, considerar uma observa¸cão de um triângulo como tomando o valor zero ou um valor mais baixo caso esse montante seja demasiado elevado. Casos como este aplicam-se ao exemplo das torres gémeas, o atuário sabe que nesse ano as indemniza¸cões tomaram valores muito mais elevados relativamente aos restantes anos e quando calcula a reserva utilizando determinados métodos vai ter em considera¸cão que o esperado para os anos seguintes é que as indemniza¸cões não tenham o mesmo comportamento que nesse ano, visto que se espera que esta catástrofe seja exporádica, ou seja, irá presumir-se que não ocorra com frequência nos próximos tempos.

Outra desvantagem de um modelo estocástico, é que, eventualmente, podem ser muito com-plexos de executar, exigindo um maior conhecimento de estat´ıstica e uma maior capacidade computacional relativamente a alguns modelos determin´ısticos mais simples. Pode também subsistir alguma dificuldade na obten¸cão dos resultados.

Os modelos estocásticos podem ainda ser divididos em modelos paramétricos, assumindo desta forma que os dados seguem uma determinada distribui¸cão de probabilidade, e modelos não paramétricos.

Como exemplo de um modelo estocástico não paramétrico, temos o modelo proposto por (Mack, 1993) - modelo de Mack - onde a cada reserva é associado um erro de previsão sem existir qualquer tipo de suposi¸cão acerca da distribui¸cão da reserva.

3.4 M´

etodos Determin´ısticos

Os métodos determin´ısticos, apesar da sua antiguidade, continuam a ser bastante utilizados. De uma forma geral, este tipo de métodos recorrem a um determinado algoritmo para estimar os custos dos próximos anos associados a sinistros já ocorridos, utilizando as médias, ponderadas ou não, dos anos anteriores.

No entanto, como apenas consideram a média das estimativas das reservas e uma vez que a sua variabilidade é fundamental, recorre-se aos métodos estocásticos, de modo a compreender se os resultados obtidos são estáveis, sendo esta a grande desvantagem dos modelos determin´ısticos.

(37)

Por vezes, as seguradoras só recorrem a outros métodos de estima¸cão quando estes não produzem resultados satisfatórios ou, então, para determinar os erros de previsão das estimativas das reservas.

Nesta seçcão, são vários os métodos determin´ısticos abordados, entre eles, o Chain Ladder, onde a teoria subjacente é utilizada na formula¸cão de outros métodos.

De seguida, passa-se a enunciar, de forma sucinta, alguns dos m´etodos determin´ısticos existentes, remetendo sempre que necess´ario para uma bibliografia adequada.

3.4.1 Chain Ladder

O método Chain Ladder foi dos primeiros métodos de previsão de reservas a ser desenvolvido, sendo que os resultados obtidos devido à utiliza¸cão desta técnica, na maioria das vezes, são muito próximos da realidade.

Este método, devido à sua simplicidade e eficácia, está bastante difundido no mercado, sendo dos mais utilizados e dos mais práticos. Como o seu próprio nome indica, o método produz uma sequência (”Chain”) de fatores de desenvolvimento, sendo que os montantes de indemniza¸cões liquidados em cada ano de desenvolvimento representam um novo degrau na escada (”Ladder”) dos pagamentos acumulados. Através destes fatores e a partir do conjunto de dados, são obtidas estimativas para as reservas.

Partindo da suposi¸cão que existe um padrão consistente nos atrasos dos pagamentos de indemniza¸cões (proporcionalidade entre os anos de desenvolvimento), ou seja, os fatores de desenvolvimento são os mesmos ao longo dos anos de acidente dos sinistros, são estimados os fatores de desenvolvimento, sendo estes utilizados para projetar os montantes de indem-niza¸cões por liquidar. Assim, apesar dos resultados obtidos serem úteis na medida em que permitem à seguradora conhecer valores plaus´ıveis para as reservas, com a utiliza¸cão deste método não é poss´ıvel avaliar o n´ıvel de incerteza intr´ınseco ao processo de estima¸cão. Este modelo tem os seguintes pressupostos:

• A frequˆencia da sinistralidade pode variar ao longo do tempo;

• Os montantes de indemniza¸cões para os diferentes anos de acidente são independentes; • Os fatores de desenvolvimento são os mesmos ao longo dos anos de acidente /

Propor-cionalidade entre os anos de desenvolvimento.

A partir desta última hipótese do modelo, podemos definir ˆfj como a razão dos pagamentos

acumulados no final do ano de desenvolvimento j + 1 e os pagamentos acumulados no final do ano de desenvolvimento j, isto ´e:

ˆ fj = Pn−j k=1Ck,j+1 Pn−j k=1Ck,j para 1 ≤ j ≤ n − 1 (3.4)

Os montantes de indemniza¸cões acumulados para os anos de desenvolvimento intermédios são estimados através de:

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