Provis˜ ao para sinistros

A provis˜ao para sinistros (reservas) representa grande parte do passivo das Seguradoras do Ramo N˜ao Vida e corresponde ao custo total estimado que a Empresa de Seguros ter´a que suportar para regularizar todos os sinistros ocorridos, declarados ou n˜ao, no horizonte temporal em estudo, ap´os redu¸c˜ao dos montantes pagos dos mesmos.

Deste modo, esta provis˜ao encontra-se subdividida em dois tipos: provis˜oes para sinistros ocorridos mas ainda n˜ao reportados (IBNR - Incurred But Not Reported) e provis˜oes para sinistros reportados mas n˜ao liquidadas as indemniza¸c˜oes respetivas na sua totalidade (IBNER - Incurred But Not Enough Reported).

Assim, as provis˜oes para sinistros tˆem como principal objectivo estimar o custo dos sinistros at´e ao momento em que estes se encontrem totalmente participados e regularizados, ou seja, sem que existam novas aberturas, reaberturas e reavalia¸c˜oes, nem processos por encerrar. Estes tipos de provis˜oes s˜ao muitas vezes tratados individualmente pelas seguradoras. A provis˜ao para sinistros ocorridos mas ainda n˜ao reportados (IBNR) deve ser calculada de acordo com a experiˆencia passada da companhia de seguros em quest˜ao relativamente ao n´umero de sinistros reportados ap´os o encerramento do ano. A provis˜ao para sinistros reportados mas n˜ao liquidadas as indemniza¸c˜oes respetivas na sua totalidade (IBNER), reflete os custos estimados para regularizar os sinistros pendentes ou que possam vir a ser reabertos.

Neste trabalho, as provis˜oes para sinistros (reservas) correspondem `a soma destes dois tipos de provis˜oes, IBNR e IBNER.

No pr´oximo cap´ıtulo ir´a ser efetuado um breve resumo dos m´etodos utilizados na estima¸c˜ao da provis˜ao para sinistros (reserva).

Cap´ıtulo 3

M´etodos de Previs˜ao de Reservas

Este cap´ıtulo encontra-se dividido em v´arias sec¸c˜oes. Na primeira ´e apresentada a nota¸c˜ao e a estrutura dos dados utilizados nesta disserta¸c˜ao. Depois, na segunda sec¸c˜ao, ´e explicada a importˆancia do fator cauda e quais as consequˆencias relativas `a n˜ao aplica¸c˜ao deste fator quando a natureza dos triˆangulos runoff obriga `a sua utiliza¸c˜ao.

Na terceira sec¸c˜ao s˜ao descritas as vantagens e desvantagens dos m´etodos determin´ısticos e estoc´asticos utilizados para o c´alculo da estimativa da reserva, bem como as principais dife- ren¸cas entre este tipo de m´etodos. Nas sec¸c˜oes seguintes s˜ao apresentados os fundamentos te´oricos destas metodologias.

As tentativas de responder `as necessidades das seguradoras s˜ao dificultadas pela dualidade de triˆangulos que existem para o mesmo tipo de seguro. Normalmente, os triˆangulos dos pagamentos e das cargas s˜ao estudados em separado, ignorando a correla¸c˜ao existente entre eles (caso dos m´etodos que ir˜ao ser apresentados nas sec¸c˜oes 3.4 e 3.5). Como tal, na ´ultima sec¸c˜ao deste cap´ıtulo, ´e apresentada a base te´orica de m´etodos especialmente concebidos para lidar com a dependˆencia entre estes dois conjuntos de dados (triˆangulo constitu´ıdo pelos pagamentos e triˆangulo constitu´ıdo pelas cargas).

3.1

Nota¸c˜ao e tipo de dados

Atualmente, existem diversos m´etodos estat´ısticos que s˜ao bastante utilizados pelos atu´arios com o intuito de estimar o montante da reserva relativa aos sinistros. Para tal, baseiam-se no hist´orico da Companhia de Seguros e atrav´es dessa proje¸c˜ao da sinistralidade e dos m´etodos existentes, obtˆem uma estimativa do valor esperado dos montantes de indemniza¸c˜oes por liquidar (custos futuros) resultantes dos sinistros j´a ocorridos at´e `a data do exerc´ıcio. Como ´

e ´obvio, estes m´etodos est˜ao condicionados pela qualidade e dimens˜ao do hist´orico.

Usualmente, o conjunto de dados dispon´ıveis ´e anual e ser´a esse tipo de dados que ser´a abordado nesta tese. Contudo, os m´etodos que ser˜ao estudados podem ser aplicados a outros per´ıodos, nomeadamente semestral.

Neste tipo de problemas, o conjunto de observa¸c˜oes ´e agrupado numa matriz incompleta, designada por triˆangulo runoff. Sendo assim, este formato organiza os pagamentos das indemniza¸c˜oes de acordo com o ano em que o sinistro ocorreu (ano de acidente) e o ano cuja respetiva indemniza¸c˜ao foi liquidada (ano de desenvolvimento). V´arios dos modelos

abordados poder˜ao ser aplicados aos n´umeros de sinistros ou a outro tipo de dados. Sem perda de generalidade, considera-se:

• Xi,j: montante de indemniza¸c˜oes incremental relativo a sinistros que ocorreram no ano

de acidente i, 1 ≤ i ≤ n, e que foi liquidado no ano de desenvolvimento j, 1 ≤ j ≤ n; • Ci,j: montante de indemniza¸c˜oes acumulado relativo a sinistros que ocorreram no

ano de acidente i, 1 ≤ i ≤ n, e que foi liquidado at´e ao ano de desenvolvimento j, 1 ≤ j ≤ n.

Portanto, o conjunto de dados a considerar ´e {Xi,j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n − i + 1} se

trabalharmos com os pagamentos incrementais e {Ci,j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n − i + 1} para

os pagamentos acumulados.

Os montantes de indemniza¸c˜oes acumulados s˜ao obtidos a partir dos montantes de indem- niza¸c˜oes incrementais atrav´es de:

Ci,j = j

X

k=1

Xi,k (3.1)

Consideramos que os montantes de indemniza¸c˜oes incrementais Xi,j s˜ao observa¸c˜oes se i +

j ≤ n + 1. Ent˜ao, os pagamentos incrementais observados s˜ao organizados num triˆangulo runoff do seguinte modo:

Tabela 3.1: Representa¸c˜ao dos pagamentos incrementais num triˆangulo runoff

Ano de Acidente Ano de Desenvolvimento

1 2 · · · j · · · n − 1 n

1 X1,1 X1,2 · · · X1,j · · · X1,n−1 X1,n

2 X2,1 X2,2 · · · X2,j · · · X2,n−1

..

. ... ... ... ... ...

i Xi,1 Xi,2 · · · Xi,j

..

. ... ... ...

n − 1 Xn−1,1 Xn−1,2

n Xn,1

Consequentemente, consideramos que os montantes de indemniza¸c˜oes acumulados Ci,j s˜ao

observa¸c˜oes se i + j ≤ n + 1. Como tal, os pagamentos acumulados observados s˜ao apresentados num triˆangulo runoff semelhante ao da tabela 3.1.

A parte inferior do triˆangulo ´e constitu´ıda por valores que ainda n˜ao s˜ao conhecidos, ou seja, corresponde aos montantes de indemniza¸c˜oes por liquidar. Como tal, o objetivo ´e preencher os valores em falta do triˆangulo de modo a que este fique completo. ´E neste sentido que se recorre aos m´etodos estat´ısticos, pois tˆem como finalidade estimar os valores Xi,j ou Ci,j,

com 2 ≤ i ≤ n e n − i + 2 ≤ j ≤ n, conforme usarmos os pagamentos incrementais ou acumulados, respetivamente.

As reservas (outstanding claims reserve) para cada ano de acidente i s˜ao dadas por: Ri =

n

X

k=n−i+2

Xi,k ou, de forma equivalente, Ri = Ci,n− Ci,n−i+1 (3.2)

com i ∈ {2, ..., n}, onde Ci,n representa o montante de indemniza¸c˜oes final (ultimate claims

amount ) para cada ano de acidente e Ci,n−i+1 representa o montante de indemniza¸c˜oes

liquidado at´e ao final do exerc´ıcio para cada ano de acidente. A reserva total ´e dada por:

R = n X i=2 n X k=n−i+2

Xi,k ou, de forma equivalente, R = n

X

i=2

Ri. (3.3)

Note-se que ´e recomendado um tratamento pr´evio dos dados de modo a que estes sejam homog´eneos, uma vez que as pol´ıticas e decis˜oes de gest˜ao podem alterar os triˆangulos constitu´ıdos pelos pagamentos de indemniza¸c˜oes, comprometendo a qualidade da previs˜ao quando os m´etodos s˜ao aplicados.

´

E ainda de extrema importˆancia salientar que o facto do hist´orico ser reduzido compromete a significˆancia estat´ıstica dos m´etodos utilizados e caso os dados sejam excessivos, pode ocorrer um enviesamento dos resultados. Contudo, esta ´ultima op¸c˜ao n˜ao ´e vi´avel, uma vez que neste tipo de problemas, o conjunto de dados ´e reduzido. Assim, a maior adversidade ´

e relativa aos resultados n˜ao serem, eventualmente, estatisticamente significativos.

A escolha de um modelo estat´ıstico para estimar o valor da reserva deve recair no facto dos dados serem homog´eneos ou n˜ao, uma vez que ´e necess´ario recorrer a modelos de maior complexidade `a medida que aumenta a heterogeneidade dos dados. Atualmente, os modelos estat´ısticos existentes para a previs˜ao de reservas s˜ao divididos em dois conjuntos: modelos determin´ısticos e modelos estoc´asticos.