3. TEORIA DAS OPÇÕES REAIS
3.7 TÉCNICAS DE APREÇAMENTO DE OPÇÕES
3.7.2 Modelo Binomial
Cox, Ross e Rubinstein (1979) desenvolveram uma modelagem para precificação de opções com base em uma abordagem binomial, apesar de ter sido concebido para avaliar opções financeiras, este modelo é favorável para modelar e apreçar alternativas nos investimentos em ativos reais.
A capacidade do modelo de medir todos os preços possíveis durante o período de vida da opção, considerando a possibilidade de exercício antecipado, torna-o exequível para opções do tipo europeias e americanas, além de suportar várias fontes de incerteza e de ser usado também para precificação de opções compostas. (HULL, 1998). Este modelo tem como princípio básico discretizar o processo estocástico em tempo e estado contínuo proposto por Black e Scholes para, posteriormente, empregar a técnica de programação dinâmica, a fim de determinar o valor da opção.
O modelo binomial assume que: a única variável aleatória da qual o preço da opção depende é o preço do ativo subjacente à opção; não existe arbitragem para valoração de opções, desenvolvendo, um portfólio apropriado para replicar os retornos futuros da opção; o
preço do ativo segue um processo multiplicativo binomial em períodos discretos. Para cada período, o ativo pode assumir somente dois valores distintos no tempo. Estes movimentos com probabilidade neutra ao risco são descritos como ascendentes e descendentes, pelo fato de representarem um valor maior e outro menor que o anterior. Estas movimentações podem ser representadas como q e (1-q). Segundo HULL (1998), com a premissa de probabilidade neutra ao risco, assume-se que o retorno esperado dos títulos negociados é a taxa de juros livre de risco e que os fluxos de caixa futuros podem ser descontados a essa mesma taxa.
Supondo que o preço do ativo no tempo t seja S, e que existam os valores u e d, estes quais representam as taxas de retorno em que o valor do ativo adquire um movimento ascendente ou descendente respectivamente. No tempo t+1, ela valerá Su, com probabilidade
q ou Sd com probabilidade (1-q). A Figura 7 representa de forma esquemática os movimentos
descritos.
Fonte: Hull (1998).
Figura 7: Movimentos de um ativo pelo modelo binomial
Para valorar uma opção de compra, C, sobre este ativo, C
u e Cd representam o valor da
opção ao final de um período, quando o preço do ativo é Su e Sd, respectivamente. Sendo X o
preço de Exercício da opção, os possíveis valores para a opção serão: C
u = Max [Su– X, 0] e
C
d = Max [Sd – X, 0]: onde, conforme Cox, Ross e Rubinstein (1979) mostraram que, para se
determinar o valor exato de uma opção de compra C, é necessário e suficiente que se tenha: preço de exercício X; preço do ativo subjacente S; a média dos movimentos de subida u e de descida d no preço do ativo subjacente e a taxa de juros (r = 1+ rf), sendo r
f a taxa livre de risco. 1-q q Sd Su S t t + 1
Fonte: Hull (1998).
Figura 8: Movimento de uma opção de compra de um período
Cox, Ross e Rubinstein (1979) utilizam o modelo binominal para definir uma fórmula para o apreçamento de opções como pode se verificar pela Figura 9.
Fonte: Hull (1998).
Figura 9: Árvore Binomial de Um Período
Os respectivos valores das opções de compra C e venda P são descritos pela árvore na Figura 9, e são representados pelas fórmulas de (35) a (38).
Cu = Max (Su– S, 0) (35)
Cd = Max (Sd– S, 0) (36)
Pu = Max (S – Su, 0) (37)
Pd = Max (S – Sd, 0) (38)
A avaliação de uma opção de compra pelo método binomial, quando existe mais de um período, é uma extensão direta da fórmula para um período. Este método pode avaliar situações com grande número de períodos. Tem-se na, Figura 10, a árvore binomial considerando dois períodos e o valor da opção de compra no tempo t. Para calcular, em t, o valor de uma opção de compra, deve-se calcular o valor de Su e Sd no tempo t + 1. Seguindo a
mesma lógica, estes são dependentes dos valores de Suu, Sud e Sdd em t + 2.
Para esta situação, deve-se iniciar pelo final da árvore t + 2, calcular o valor da opção
1-q q Cd Cu C Su : Cu, Pu S: C, P Sd : Cd, Pd t t + 1
em t + 1, para, em seguida, calcular o valor da opção de compra em t. Como a avaliação é feita no futuro e o risco já está modelado pela volatilidade, descontam-se os valores futuros pela taxa livre de risco rf.
Fonte: Hull (1998).
Figura 10: Árvore Binomial dois períodos
Os respectivos valores das opções de compra C, expostos pela Figura 10 de um árvore binomial de dois períodos, são representados pelas fórmulas (39) e (41).
C = [ qCu + (1-q)Cd]rf-1 (39)
Cu = [qCuu + (1-q)Cud]rf-1 (40)
Cd = [qCdd + (1-q)Cdu]rf-1 (41)
Outra importante relação apresentada por Cox, Ross e Rubinstein (1979) refere-se à estimativa dos valores de u e d, os quais se baseiam no desvio-padrão da taxa de retorno do ativo σ, no número n de intervalos ou períodos até a expiração no tempo t. De outra maneira, t/n representa o tempo transcorrido entre mudanças equações (42) e (43). HULL (1998) afirma que o valor da opção, na data atual, é o seu valor futuro (tanto em u quanto em d) considerando suas respectivas probabilidades de ocorrência, descontada a taxa livre de risco. O conceito de neutralidade ao risco levam em conta que, como o risco associado aos movimentos ascendentes e descendentes do ativo já foi considerado no cálculo de u e d, o valor da opção independe da preferência pelo risco dos investidores. Como pode ser observado nas equações (44) e (45).
n T
e
u
/ (42) n Te
d
/ (43) Su, Cu S Sd, Cd t t + 1 1-q 1-q 1-q q q q t + 2 Sud = Sdu Cud = Cdu Suu , Cuu) ( ) 1 ( d u d t r q f (44) ou dt q ) 2 1 ( 2 1 2 (45) Observa-se que a probabilidade objetiva q não aparece nas fórmulas para o cálculo de u e d. Isto quer dizer que as diferentes visões dos diversos investidores quanto às probabilidades que acreditam com relação ao movimento de subida ou descida da ação não influenciará o valor da opção.
Outra forma de calcular o modelo binomial é por meio do portfólio replicante, conforme proposta de Copeland e Antikarov (2001). Por este método, constitui-se um portfólio com o ativo subjacente e títulos livres de risco, tendo esse portfólio o mesmo retorno e o mesmo risco do projeto analisado. Uma das maiores dificuldades do uso do portfólio replicante é a atribuição de probabilidades distintas a cada nó da árvore, principalmente em projetos complexos. Desta forma, o método de probabilidade neutra ao risco é o mais utilizado, já que apenas uma probabilidade é calculada para toda a árvore, utilizando a taxa livre de risco. Esse método é equivalente ao portfólio replicante e os resultados são idênticos nas duas formas de cálculo.
Amran e Kulatilaka (2000) asseguram que as representações binomiais são muito flexíveis e podem contemplar inúmeros períodos. De acordo com Brealey e Myers (1998), quanto mais períodos estiverem contidos na árvore, mais realista e acurado será o valor calculado.
Segundo Cox, Ross e Rubinstein (1979), este método converge para a solução encontrada por Black e Scholes, desde que a equação do movimento geométrico browniano seja representada como o limite contínuo de um caminho aleatório em tempo discreto, ou seja, fazendo-se com que Δt → 0. Copeland e Antikarov (2001) também concluem que quanto maior o número de períodos na árvore binomial, maior a tendência dos modelos de Black e Scholes e binomial, em média, convergirem.