3. TEORIA DAS OPÇÕES REAIS
3.6 D ESCRIÇÕES DOS M ÉTODOS DE A PREÇAMENTO DE O PÇÕES R EAIS
3.6.3 Técnicas de Simulação
A Simulação Monte Carlo – SMC é uma ferramenta de simulação estatística que utiliza métodos de amostragem para resolver problemas de natureza estocástica ou determinística. As técnicas de simulação valem-se de uma amostragem aleatória a partir das distribuições de probabilidade de cada uma das variáveis de entrada que determinam o fluxo de caixa de um projeto, chegando a uma distribuição de probabilidade que constitui o risco do VPL.
As simulações procuram reproduzir um cenário real de tomada de decisões por meio de um modelo matemático, que busca capturar as características funcionais mais importantes do projeto, à medida que os eventos aleatórios ocorrem, dado uma estratégia gerencial pré- definida.
A técnica de Monte Carlo foi usada de forma pioneira por Boyle, em 1977, para precificar opções europeias Hull (1998). Neste caso, a decisão de exercício somente é tomada no vencimento do título, e o valor da opção não é influenciado pelas decisões do proprietário. Inicialmente, a SMC não se mostrou, adequada à análise de opções americanas.
O processo consiste de amostragens aleatórias a partir das distribuições de probabilidade de cada uma das variáveis de entrada que determinam o fluxo de caixa de um projeto. Simula, por meio de uma amostra de caminhos aleatórios hipotéticos, qual seria a trajetória dos preços dos ativos, respeitando-se a hipótese de ausência de oportunidades de arbitragem. Para cada um desses caminhos hipotéticos, é calculado o preço do derivativo relacionado ao ativo-objeto com flexibilidade gerencial, e, então, para cada caminho, calcula- se o valor presente do preço do ativo objeto. O preço do ativo é estimado por meio da média da distribuição. O preço da opção é calculado descontando-se o valor final esperado pela taxa de juros neutra ao risco.
Uma observação importante a se fazer é que a simulação de Monte Carlo, que permite combinar um número elevado de incertezas, para a estimação do valor presente de um projeto, apoia-se na prova de Paul A. Samuelson de 1965, afirmando que preços antecipados de maneira adequada flutuam de forma aleatória. Qualquer que seja o padrão que se espera dos fluxos de caixa de um projeto, as variações de seu valor presente seguirão um caminho estocástico. De acordo com Copeland e Antikarov (2001), a prova de Samuelson é válida para retornos de ativos reais, não negociados nos mercados financeiros.
seguintes passos:
1. Modelagem do projeto por meio de equações matemáticas e variáveis de entrada, incluindo as interdependências entre diferentes variáveis ao longo do tempo; 2. Especificação das distribuições de probabilidade para cada uma das variáveis de
entrada, com base num histórico de dados ou por meio de avaliação subjetiva dos profissionais envolvidos.
3. Uma amostra aleatória é, então, obtida a partir da distribuição de probabilidades das variáveis de entrada, possibilitando o cálculo dos fluxos de caixa líquidos de cada período e o respectivo VPL do projeto para a amostra considerada;
4. O processo é repetido inúmeras vezes, obtendo-se, para cada vez que se repete o processo, um VPL para o projeto. Ao final, uma distribuição de probabilidades do VPL do projeto pode ser gerada.
Mesmo podendo usar as simulações em problemas complexos de decisão em regime de incerteza, essa técnica possui limitações. Inicialmente, ainda que a estimativa das distribuições de probabilidade seja feita de maneira não tendenciosa, é bastante complexo capturar corretamente todas as interdependências existentes (ARAUJO, 2004).
Para cada distribuição de probabilidade, gera-se um valor presente do projeto, mesmo assim, não se pode ter este resultado como o preço que teria em um mercado de capital competitivo. Por último, destaca-se que não há uma regra que traduza essa distribuição numa decisão clara a ser tomada.
A seguir, são apresentadas as equações para o cálculo do valor de opções em projetos utilizando a técnica de Simulação Monte Carlo (BOYLE, 1977).
Supondo a não existência de oportunidades de arbitragem, o valor da opção Européia F0 é dado pelo valor esperado da sua remuneração na data de vencimento T, descontado, usando uma taxa de juros livre de risco rf, de acordo com a equação (26).
] ) ( [ , 0 0 E e S X S F rfTT T (26)
Onde X é o preço de exercício, ST é o preço do ativo na data de exercício, S0 é o preço
atual do ativo e T é o tempo na expiração da opção.
Ainda que existam oportunidades de arbitragem, o preço da opção poderia ser avaliado por meio de Simulação Monte Carlo, mas usando uma taxa de desconto arbitrária. Neste caso,
o mercado é incompleto, e o valor da opção é uma aproximação do valor verdadeiro.
Para avaliar uma opção europeia usando a simulação Monte Carlo, é necessário seguir os seguintes passos:
1. Geram-se w caminhos (amostras) para o preço do ativo objeto até o vencimento; 2. Descontam-se as remunerações no instante T da opção em cada caminho;
3. Estima-se o valor da opção por meio da média de todas as remunerações descontadas.
No primeiro passo, o processo estocástico do preço do ativo objeto é utilizado para gerar a amostra do problema, caso não exista, podem-se empregar séries históricas do preço do ativo objeto, ou então, séries sintéticas futuras geradas por algum processo estocástico. No passo 2, recorre-se a função de remuneração referente à decisão gerencial. O valor obtido no passo 3, é dado pela equação (27) a seguir, que é um estimador não tendencioso do preço verdadeiro de uma opção europeia com vencimento em T e remuneração πT, Boyle (1977).
W J J T J T T r X S Fe
f 1 , , 0 ( , ) (27) Uma das vantagens da SMC sobre outras técnicas numéricas é a possibilidade de avaliar o erro das estimativas, que é uma medida da falha cometida pelas estimativas em relação à media da amostra, e o desvio padrão das amostras, representados, respectivamente, pelas equações (28) e (29). W F SD F SE( ) ( 0) 0 (28)
W J W J J T J T W W F SD 1 2 1 , 2 , 0 [ ] [ ] 1 1 ) ( (29)Para Boyle (1977), as estimativas feitas com Simulação Monte Carlo não possuem um padrão bem definido de convergência para o valor verdadeiro. A acurácia da simulação depende do número de trajetórias e valores terminais do ativo-objeto gerados. O desvio- padrão da estimativa de valor da opção F0 é dado por SD/W , onde SD é o desvio-padrão dos
valores da opção estimado por meio das rodadas de simulação, deste modo, um grande número de rodadas de simulação é necessário para obter uma acurácia razoável.
podendo até inviabilizar a aplicação. Existem várias técnicas para reduzir o erro, manipulando o desvio padrão (ou variância) das estimativas, conhecidas como técnicas de redução de variância.
O valor de um projeto de investimento com flexibilidade operacional pode ser dado como uma opção de compra do tipo europeia, que será exercida, se o valor da receita for superior ao custo variável de operação. O valor da opção, em cada estágio, é dado pela equação F0, onde πT é substituído pela equação da opção gerencial. O estimador do valor do
projeto é dado pela equação (30).
T i i F V 0 0. (30)Os títulos Americanos podem ser exercidos em qualquer momento até o vencimento. Neste caso, a decisão do proprietário irá influenciar o valor da opção. Para avaliar um título Americano, a política de exercício ótimo deve ser estimada e, em seguida, o valor da opção calculado. A estimativa da política de exercício ótimo introduz um alto grau de complexidade ao problema de avaliação de opções Americanas, usando SMC, sendo necessário usá-la em conjunto com Programação Dinâmica, para estimar a estratégia ótima de investimento e, em seguida, estimar o preço da opção.
Para Lazo (2004), o algoritmo que combina a simulação Monte Carlo e a Programação Dinâmica Estocástica é dado pelos seguintes passos:
1. Simule W caminhos para o preço do ativo objeto;
2. Utilize algum algoritmo para estratificar o espaço de estados do preço do ativo objeto e calcular as probabilidades de transição;
3. Aplique o algoritmo de programação dinâmica.
Outra ideia seria modificar o algoritmo anterior, aplicando a estratificação do espaço de estados na remuneração da opção, em vez do preço do ativo objeto. Esta mudança viabiliza a avaliação de opções multidimensionais, ou seja, opções que dependem de mais de uma fonte de incerteza.
Para Glasserman (2004), os métodos se simulação podem ser classificados nas seguintes categorias: Aproximações Paramétricas, Método da Árvore Aleatória, Partição do Espaço de Estados, Método da Malha Estocástica e Métodos Baseados em Regressão.
Ainda no método de simulação, Longstaff e Schwartz (2001), nos Mínimos Quadrados de Monte Carlo (LSM) revela-se uma alternativa promissora com estrutura para avaliação, gerenciamento de risco e exercício ótimo de opções americanas. Sendo apropriado na avaliação de opções que dependem de múltiplos fatores; Avaliação de ativos com características de opções americanas e dependentes do caminho; Avaliação de opções em que as variáveis de estado seguem um processo estocástico qualquer ou um processo não- Markoviano.