CAPÍTULO II: DESCRIÇÃO E ANÁLISE DAS DISSERTAÇÕES
NÚMEROS COMPLEXOS: UMA ABORDAGEM HISTÓRICA PARA AQUISIÇÃO DO CONCEITO
negativo, e que, operando com esses números, eles cheguem a respostas reais de problemas concretos.
Para validar este trabalho, aplicamos um teste em alunos que já haviam estudado os números complexos de maneira diferente daquela por nós proposta; e o mesmo teste, para alunos que haviam realizado nossa seqüência didática, dois meses depois desse fato. Os resultados mostraram que as nossas atividades foram bem mais eficazes que outras maneiras de ensinar. Os alunos que já haviam estudado os números complexos, eram do 1° ano de Engenharia Mecânica da Universidade de Mogi das Cruzes, por isso, vindos de colégios diferentes, com propostas de ensino diferentes, mas, por uma das respostas dadas, concluímos que nenhum estudou como estamos propondo. (p. 4)
OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é criar uma seqüência didática, ou seja, propor uma série de atividades, para que os alunos entrem em contato com os números complexos da maneira como eles surgiram na História, e também para que operem com esses números. (p. 4)
Questões de pesquisa:
As questões que pretendemos responder neste trabalho são:
1a) A nossa seqüência didática possibilitará que os alunos participem ativamente da aquisição do conceito de número complexo?
...
2a) Após a aplicação da seqüência, os alunos conseguirão efetuar operações com números complexos, inclusive as de potenciação e radiciação? (p. 26-27)
METODOLOGIA
... vamos elaborar uma seqüência didática que será aplicada a alunos do terceiro ano do Ensino Médio, e sua validade será confirmada ou não, pelo confronto
entre os resultados de testes que aplicaremos a esses alunos, e a outros, que não estudaram através dessa seqüência. (p. 39)
Após a análise "a priori" da seqüência, passaremos à experimentação, que é sua aplicação. Em seguida, faremos uma análise que chamamos de análise "a posteriori" da seqüência didática. (p. 40)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
No capítulo II (p. 29), o autor cita alguns conceitos da linha francesa da Didática da Matemática, nos quais se baseou:
- as noções de dialética ferramenta e objeto e de mudança de quadro de Régine Douady;
- a noção de registro de representação de R. Duval; - Teoria das situações de G. Brousseau
Da Psicologia Cognitiva de PIAGET, o autor utilizou a noção de desequilíbrio cognitivo.
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
CONCLUSÃO
Transcrição das partes das conclusões propriamente ditas.
... parece que conseguimos obter alguns aspectos positivos, com a maior parte dos alunos, quando da aplicação da seqüência didática:
...
• Ao trabalharem em duplas, eles participaram ativamente da formação do conceito de número complexo quando discutiam a realização de cada atividade proposta.
simplesmente inventados, mas surgem, quando da resolução de problemas.
• Sentiram a necessidade de mudar do registro de representação
das fórmulas no quadro algébrico, para o geométrico, e
efetuaram essa mudança.
• Chegaram a soluções reais de equações, operando com raízes quadradas de números negativos. Com isso, puderam tomar conhecimento de que, apesar de um número complexo não representar uma quantidade, operando-se com ele, chega-se a resultados que são números reais. (p. 170)
... a seqüência aplicada, tendo dado significado aos números complexos, fez com que os alunos fixassem mais as operações com esses números.
Comparando esses resultados com os obtidos com os alunos do 1° ano do curso de Engenharia Mecânica da Universidade de Mogi das Cruzes, que não estudaram os números complexos como estamos propondo, consideramos que a nossa proposta teve pleno êxito. (p. 175)
Sugestão de ensino:
... gostaríamos que esse trabalho pudesse influenciar os professores no sentido de modificarem aulas puramente expositivas, por atividades nas quais os alunos participassem ativamente do aprendizado, com significado. (p. 175)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das 28 referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas que se referem a autores citados no fichamento.
BROUSSEAU, Guy. Le contrat didactique: le milieu. RDM. vol. 9 n° 3. 1988. p.309 a 336
---Fondements et méthodes de la didactique des
mathématiques. RDM. vol.7 n° 2. Ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. 1986 ---Les obstacles épistémologiques et les problèmes en
mathématiques. RDM. vol. 4 n° 2. 1983
DOUADY, Régine. Un exemple d'ingénierie didactique oú sont à l'oeuvre jeux de cadres e dialectique outil-objet. Séminaires de didactique des
mathématiques. Année 1986-1987. IRMAR de Rennes 1
DUVAL, Raymond. Semiosis et pensée humaine - Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Peter Lang S.a . Suisse. 1995
A dissertação de Mário Servelli ROSA foi defendida em 04/06/1998 e teve a banca composta por: Benedito Antonio da SILVA (PUC/SP), Sérgio Roberto NOBRE (UNESP-RIOCLARO) e Saddo Ag ALMOULOUD (PUC/SP) como orientador.
ROSA manifestou a curiosidade em relação ao tema de sua pesquisa quando questionou as diversas maneiras como os números complexos são apresentados aos alunos do terceiro ano do ensino médio. Uma evidência deste questionamento encontra-se no trecho transcrito para o quadro a seguir.
Está claro que ROSA identificou um fenômeno de seu interesse que é a construção do conceito de número complexo.
O pesquisador buscou na teoria construtivista de Piaget, principalmente na questão da “equilibração”, elementos que o auxiliassem na compreensão do tema, como o atesta o excerto abaixo.
ANÁLISE
Os números complexos podem ser introduzidos aos alunos do 3˚ ano do Ensino Médio de diversas maneiras, como é possível constatar-se nos livros didáticos. (p. 24)
...
... observamos que a maioria propunha uma equação do 2˚ grau, para ser resolvida, como por exemplo x2 + 1= 0, e davam como solução um número i tal que i2 = -1. Essa maneira de abordar esses números, dá - nos a impressão de que na Matemática, tudo surge da inspiração de algumas pessoas que “inventam” os conceitos. ( Resumo)
No caso dos números complexos, nos parece que uma equação do segundo grau não deverá provocar nenhum desequilíbrio cognitivo,...
[...] Para nós, o que vai provocar desequilíbrio é a resolução de uma equação do terceiro grau... (p. 28)
ROSA fundamentou-se principalmente nos didatas franceses, Régine Douady, contribuiu com as noções de dialética ferramenta-objeto e de “jogo de quadros”; Raymond DUVAL, com a teoria de registro de representação semiótica e Guy BROUSSEAU, com noções da teoria das situações.
O autor encontrou nas conclusões da dissertação de Nilze de Almeida, incentivo para tratar o ensino dos números complexos por
Ao relacionar suas idéias com as de outros pesquisadores, Rosa executou a terceira atividade de pesquisa.
No capítulo II, item 1, Problemática, ROSA relata sua hipótese de pesquisa.
Assim, Rosa explicitou sua conjectura inicial de pesquisa, e logo a seguir, expôs as seguintes questões:
[...] uma abordagem [...], com atividades que façam com que os alunos se defrontem com esses números, como os matemáticos o fizeram, conforme mostra a historia (p.25)
Nossa hipótese é a seguinte: para que os alunos vejam sentido nas operações com números complexos, é necessário colocá-los numa situação na qual se deparem com um problema que tenha soluções reais, mas, para chegar a elas, devem trabalhar com raízes quadradas de números negativos. (p. 26)
1a) A nossa seqüência didática possibilitará que os alunos participem ativamente da aquisição do conceito de número complexo?
...
2a) Após a aplicação da seqüência, os alunos conseguirão efetuar operações com números complexos, inclusive as de potenciação e radiciação? (p.
Em busca de respostas a essas questões, o pesquisador estabeleceu como objetivo de pesquisa:
Para alcançar seu objetivo Rosa declarou no capítulo II, item 3,
Metodologia, qual a estratégia geral de pesquisa que iria utilizar:
Os procedimentos específicos de coleta de dados utilizados por ROSA foram: a aplicação de um questionário a trinta e um alunos do 1˚ ano de engenharia; uma aplicação “piloto” da seqüência didática; a realização das treze atividades da seqüência e a aplicação de um teste a quinze alunos que participaram do experimento.
Para elaborar as atividades da seqüência didática, o autor fez: um estudo histórico e epistemológico dos números complexos, uma análise da Proposta Curricular para o Ensino de Matemática do 2˚ grau e uma análise de livros didáticos. Foi feita uma análise a priori de cada atividade da seqüência para prever o possível comportamento dos alunos e permitir, uma futura confrontação com o comportamento que eles, de fato, tiveram e uma análise a posteriori dos fatos, comportamentos e dos erros observados.
A coleta de dados foi feita quando da aplicação da seqüência didática. Essa foi aplicada, pelo próprio pesquisador, a um grupo de dezoito
O objetivo deste trabalho é criar uma seqüência didática, ou seja, propor uma série de atividades, para que os alunos entrem em contato com os números complexos da maneira como eles surgiram na História, e também para que operem com esses números. (p. 4)
Para tanto, vamos elaborar uma seqüência didática que será aplicada a alunos do terceiro ano do Ensino Médio, e sua validade será confirmada ou não, pelo confronto entre os resultados de testes que aplicaremos a esses alunos, e a outros, que não estudaram através dessa seqüência. (P. 39)
alunos do terceiro ano do ensino médio, em três sessões com duas horas de duração cada uma.
A primeira sessão consistiu em realizar quatro atividades, na segunda cinco atividades e na terceira e última sessão, quatro atividades. Durante as três sessões os alunos trabalharam em duplas.
Dois meses após a aplicação da seqüência, o pesquisador aplicou um teste a quinze alunos que participaram das atividades da seqüência, para verificar a possível evolução de seus conhecimentos sobre números complexos.
Dentre as conclusões do autor transcrevo abaixo as que estão diretamente ligadas ao objetivo proposto. O autor declarou que a maior parte dos alunos, quando da aplicação da seqüência didática:
Além disso, o pesquisador afirmou que:
• [...]
• Tiveram a oportunidade de descobrir qual foi o motivo que levou os matemáticos a extraírem as raízes quadradas de um número negativo, percebendo que os conceitos matemáticos não são simplesmente inventados, ...
• [...]
• ... puderam tomar conhecimento de que, apesar de um número complexo não representar uma quantidade, operando-se com ele, chega-se a resultados que são números reais. ... (p. 170)
... a seqüência aplicada, tendo dado significado aos números complexos, fez com que os alunos fixassem mais as operações com esses números.
Comparando esses resultados com os obtidos com os alunos [...] que não estudaram os números complexos como estamos propondo, consideramos que a nossa proposta teve pleno êxito. (p. 175)
Embasado nos resultados de sua experiência, ROSA fez a seguinte sugestão de ensino:
... gostaríamos que esse trabalho pudesse influenciar os professores no sentido de modificarem aulas puramente expositivas, por atividades nas quais os alunos participassem ativamente do aprendizado, com significado. (p. 175)
LOGARITMOS: PROPOSTA DE UMA SEQÜÊNCIA DE ENSINO
Autora: Monica Karrer Ano da Defesa: 1999 Número de páginas: 191
Orientadora: Professora Doutora Sandra M. P. Magina RESUMO
O objetivo deste trabalho consistiu em investigar se uma seqüência didática significativa para o ensino dos logaritmos, aliada ao uso da calculadora, favoreceria a formação deste conceito.
Para isso, construímos uma seqüência de ensino, fundamentada nas teorias psicológicas e educacionais, que partiu de situações-problema exponenciais. Neste caso, o logaritmo foi introduzido como uma necessidade de estudo, assumindo o papel de ferramenta para a resolução desses problemas.
Trabalhamos com dois grupos: experimental e de referência. Estes se submeteram a um pré-teste antes de serem introduzidos neste novo conceito, para em seguida estudarem os logaritmos segundo abordagens distintas.
Enquanto o grupo experimental realizou o estudo através de nossa seqüência, o grupo de referência seguiu a abordagem tradicional apresentada nos livros didáticos. Por fim, os dois grupos realizaram um pós-teste, cujos resultados foram analisados sob os seguintes pontos de vista: análise do desempenho geral dos grupos, dos desempenhos por item, por objetivo e por indivíduo e por fim a análise da qualidade dos erros e dos procedimentos. A conclusão obtida é a de
LOGARITMOS: PROPOSTA DE UMA SEQÜÊNCIA DE ENSINO UTILIZANDO A CALCULADORA