CAPÍTULO II: DESCRIÇÃO E ANÁLISE DAS DISSERTAÇÕES
SOBRE AS CONCEPÇÕES DE FUNÇÃO DOS ALUNOS AO TÉRMINO DO 2°°°° GRAU
AUTOR: Osmar Schwarz ANO DA DEFESA: 1995 NÚMERO DE PÁGINAS: 161
ORIENTADORA: Professora Doutora Sílvia Dias Alcântara Machado RESUMO
O trabalho visa verificar qual a concepção de função do aluno ao final do 2° grau.
No 1° capítulo apresentamos um histórico sobre o desenvolvimento do conceito de função, após o que fazemos uma análise epistemológica, evidenciando os obstáculos que se apresentaram no desenvolvimento dessa concepção. Apresentamos também os conceitos de definição operacional e de definição estrutural, utilizados na seqüência do trabalho.
O 2° capítulo, é dedicado ao teste aplicado aos alunos, para verificar suas concepções de função. Primeiramente levantamos as variáveis didáticas, fizemos a análise a priori e após aplicarmos o teste fizemos a análise a posteriori.
No 3° capítulo, apresentamos as conclusões finais, evidenciando que o aluno ao final do 2° grau tem uma concepção ainda operacional de função, e às vezes até mesmo elementar. (p. 4)
FICHAMENTO
SOBRE AS CONCEPÇÕES DE FUNÇÃO DOS ALUNOS AO TÉRMINO DO 2°°°° GRAU
OBJETIVO
Verificar qual a concepção de função do aluno ao final do 2° grau. (p. 4)
METODOLOGIA
O autor utiliza procedimentos da engenharia didática.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O autor baseou-se nas idéias de Anna Sfard, sobre concepção operacional e concepção estrutural, e como se dá a transição da primeira para a segunda. (p. 22)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
CONCLUSÃO
Transcrição das partes da conclusão propriamente dita.
A maior parte dos alunos por nós pesquisados, está adentrando o 1° nível, justificando as observações da análise a posteriori, de que em alguns ainda persiste uma concepção operacional elementar de função (nível anterior ao da interiorização), outros estão francamente na 1a fase da concepção de função. (p.124-125)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das 20 referências constantes da bibliografia, indico apenas aquela que se refere a autor citado no fichamento.
SFARD, Anna. Operational Origins of Mathematical Objets and the Quandary of Reification - The Case of Function. From The Concept of Function, Aspects of Epistemology and Pedagogy, Edited by G. Harel and E. Dubinsky, MAA Notes, vol. 25. 1a Ed. 1992. U.S.A.
ANÁLISE
Defendida em 15 de maio de 1995, essa dissertação de Mestrado, de autoria de Osmar SCHWARZ, teve como componentes da banca examinadora: Regina Flemming DAMM (UFSC), Saddo Ag Almouloud (PUC/SP) e a orientadora Sílvia Dias Alcântara MACHADO (PUC/SP).
A dissertação de SCHWARZ foi a primeira dissertação orientada por Silvia Machado em Educação Matemática.
O autor faz indicações sobre o fenômeno de seu interesse, ao longo do texto, de forma dispersa, um tanto diluída, isto é, não dedica um item ou capítulo especifico à sua problemática de pesquisa. O próprio capítulo 1, cujo tema é Historia e Epistemologia do Conceito de Função indica seu interesse pelo tema, que vai se confirmando ao longo do capítulo como por exemplo nos seguintes trechos:
O autor estva interessado no tipo de conhecimento que os alunos possuiam sobre o conceito de função. Esse interesse levou-o a uma questão de pesquisa orientada para o presente, como pode ser confirmado com o objetivo do
ANÁLISE
Analisaremos neste item, com base no desenvolvimento histórico da concepção de função, os obstáculos epistemológicos que integraram a construção dessa concepção, cujos vestígios são encontrados nos modelos espontâneos de nossos alunos. (p. 17)
... os matemáticos decidiram por uma definição estrutural de função que lhes permita operar com espaços de funções e desenvolver conceitos modernos. No entanto, para os alunos que não operam com espaços funcionais, nem pretendem muitas vezes seguir carreira de Matemática, o conceito estrutural é incompreensível e inútil. (p. 21)
Embora o objetivo esteja explicitado com clareza no resumo, o fato de não tê-lo sido no corpo do texto, tornou-o implícito ao longo da dissertação. De modo análogo, uma de suas hipóteses de pesquisa acaba sendo revelada no seguinte trecho de uma de suas análises a priori do capitulo 2.
O que me permite concluir que uma das hipóteses de SCHWARZ é de que aqueles alunos possuíssem uma concepção operacional de função, ao término do ensino médio.
O autor desenvolveu a parte histórica propriamente dita, embasada principalmente em trabalho de Yuskevitch. No segundo item do capitulo 1, desenvolve a epistemologia da concepção de função utilizando-se dos estudos de pesquisadores como Anna Sierpinska, Kaput e Sophie René de Cotret, as idéias desta última são expostas e utilizadas no capítulo III, conclusão da dissertação. SCHWARZ apresenta a teoria de Anna Sfard sobre a construção do conceito de função pelo aluno, principal apoio de suas análises, no item 3 do primeiro capítulo. Assim, o autor não só examinou o que outras pessoas pensam sobre o fenômeno de seu interesse como também abriu a possibilidade de utilizar estas idéias para confirmar ou refutar suas hipóteses de pesquisa.
Uma das quatro atividades que ROMBERG destacou, como sendo as mais importantes da “arte-técnica” de fazer pesquisa, coincidiu com o que fez SCHWARZ. Relacionar o fenômeno a idéias de outros.
O trabalho visa verificar qual a concepção de função do aluno ao final do 2˚ grau. (p. 4)
Nesse item, pedimos aos alunos: “Escreva com suas palavras o que é função”. ...Acreditamos que tais explicações serão do tipo operacional, e que alguns tentarão dar exemplos particulares, isto é, dirão que função é uma reta, ou que função é uma parábola, etc. (p. 43)
Os procedimentos metodológicos adotados por SCHWARZ, são apresentados em sub itens do capítulo 2, nomeado de O Teste. Como o nome do capítulo indica foi elaborado um teste. Por meio de uma análise a priori, realizou- se o experimento com a aplicação do teste, após o que, foi feita uma análise a posteriori. A seguir foram feitas diferentes análises dos resultados. Percebe-se, embora não haja referência no texto, que o autor se inspirou em alguns procedimentos da Engenharia Didática.
O autor explicitou que optou pela aplicação de um teste para obter resposta a sua questão de pesquisa da seguinte maneira:
Esse procedimento pode ser identificado com mais uma das atividades características de fazer pesquisa. Selecionar uma estratégia geral de pesquisa para a coleta de dados.
ROMBERG descreve, resumidamente, treze métodos diferentes de pesquisa na qual a situação existe e uma evidência específica deve ser obtida. No entanto, o tipo de pesquisa realizada por SCHWARZ não se enquadra exatamente em nenhum desses tipos, e por isso a denominarei de Pesquisa Diagnóstica.
Assim, considerarei Pesquisa Diagnóstica aquela em que se pretende investigar questões orientadas no presente e na qual o procedimento é solicitar a participantes da situação escolhida que respondam a um conjunto de questões estruturadas e pré-determinadas.
Elaboramos o teste dividindo-o em três partes primeiramente questões relativas a representações gráficas, em segundo lugar questões relativas a representações algébricas além da solicitação de que os alunos escrevam com suas palavras o que é função e, na terceira parte apresentamos três definições, duas operacionais e uma, para escolha do aluno. (p. 30)
voluntários e realizaram o teste em duplas. A aplicação do teste durou 50 minutos.
A 1a parte do teste, parte A, é composta de questões relativas à representação gráfica de função num sistema cartesiano ortogonal. Foram apresentados três gráficos distintos para que os alunos identifiquem se eram ou não gráficos de funções. Na 2a parte ou parte B, foram apresentadas aos alunos questões algébricas. Segundo o autor,
Ainda nesta parte B, no item C, o autor diz que espera que o aluno revele por meio de palavras escritas a sua concepção de função. As questões propostas nas partes A e B foram respondidas por duplas de alunos. A 3a parte consistiu em um teste individual. O objetivo específico dessa 3a parte é, segundo relato do autor, verificar o que o aluno reconhece como definição de função e mais à frente ele amplia este objetivo quando diz:
SCHWARZ ressaltou que as três partes do teste foram concebidas de forma a não dependerem uma da outra embora pretendesse estudar como elas se articulam entre si, isto é, se o aluno demonstraria nas 1a e 2a partes ter uma concepção operacional de função e no teste individual indicaria a definição estrutural de função. Percebe-se aqui uma preocupação com a qualidade dos dados. Segundo ROMBERG, a forma como os dados da pesquisa foram coletados e a precisão dos dados é que conferirão a validade e a confiança, respectivamente, à pesquisa.
Todas as questões que compõem as três partes do teste foram elaboradas de modo a evidenciarem qual o tipo de concepção de função que os
Nosso objetivo nessa parte é observar como o aluno decide se são representações algébricas de funções, isto é, como ele verifica se é função. (p. 38)
Nos interessa também analisar a coerência entre a resposta do aluno nesse teste individual e as respostas de sua dupla às questões das duas primeiras partes. (p. 46)
alunos tinham. Essa atividade de selecionar procedimentos específicos que esclareçam as questões se encaixa em outra das dez atividades da lista de ROMBERG.
Apesar de, o autor ter trabalhado com porcentagens para tabelar as respostas dadas pelos alunos, não se pode dizer que seu método de pesquisa é prioritariamente ou exclusivamente quantitativo já que na análise a priori e na análise a posteriori as respostas coletadas com os alunos são analisadas qualitativamente.
Evidências dessa perspectiva podem ser encontradas nas análises, a priori e a posteriori, de cada questão. Destaco, como exemplo, as transcrições nos quadros a seguir.
Escolhemos a função f(x) = - x2 com contra-domínio R+. Aqui sobressairá o
fato do aluno estar trabalhando com a definição operacional ou a estrutural de função, ou seja, se o aluno se preocupa com a correspondência entre os elementos do Domínio R e do Contra-Domínio R+, ou se a preocupação é mais com a dependência entre as variáveis. (p. 41 da análise a priori)
Somente o ponto do vértice da parábola tem uma única imagem, os demais pontos da abscissa tem duas imagens, portanto essa parábola não representa gráfico de função. Se os alunos perceberem isso, é sinal de que têm uma visão estrutural de gráfico de função. (p. 34 da análise a priori )
Das 20 duplas participantes do teste aplicado escolhemos 4 para serem analisadas mais profundamente. O critério de escolha das 4 duplas foi o de terem todas as questões respondidas e comentadas. Das 4 duplas selecionadas foi necessário entrevistar apenas 3 para maiores esclarecimentos. (p.49 da análise a posteriori)
Pode-se afirmar que SCHWARZ mescla métodos quantitativos e qualitativos para interpretar as informações coletadas. A Interpretação das informações coletadas é mais uma das atividades da lista de ROMBERG.
SCHWARZ, validou seus resultados confrontando os elementos da análise a priori com os da análise a posteriori e situando os seus resultados em relação aos resultados obtidos por outros acadêmicos como pode ser percebido na transcrição do trecho a seguir.
No trecho acima o autor concluiu que a concepção dos alunos é operacional, o que vem a confirmar a sua hipótese sobre as concepções dos alunos.
Apoiado nos resultados de seus estudos, SCHWARZ fez sugestões em relação ao ensino de funções.
O resultado de nossa pesquisa mostra fenômeno semelhante ao observado por Sfard e outros pesquisadores em outros países.
A maior parte dos alunos por nós pesquisados, está adentrando o 1˚ nível, justificando as observações da análise a posteriori, de que alguns ainda persiste uma concepção operacional elementar de função (nível anterior ao da interiorização), outros estão francamente na 1a fase da concepção de função.(p. 124 e 125 da Conclusão)
Diante dos fatos acima expostos, não temos outra alternativa, a não ser propor que se reveja o processo de ensino/aprendizagem do conceito de função em nossas escolas. O processo deve partir da realidade e conhecimento dos alunos, sem “queimar” etapas que são naturais para essa aprendizagem. (p. 127)
Com estas sugestões SCHWARZ, não só confirmou os estudos anteriores de outros acadêmicos como antecipou as ações de outros.
Antecipar as ações de outros, é a atividade 10, da lista de atividades características de fazer pesquisa, elaborada por ROMBERG.
... percebemos a necessidade de não só rever o processo de ensino e aprendizagem da concepção de função, voltando a dar o conceito operacional de função aos alunos de 1˚ e 2˚ grau, mas também levar em conta nesse processo os pontos levantados por Duval de que é necessário trabalhar as diferentes representações centrando o “jeu de cadre” nas variáveis cognitivas tanto do ponto de vista algébrico como do ponto de vista gráfico. (p. 131)
Autora: Nielce Meneguelo Lobo da Costa Ano da Defesa: 1997
Número de páginas: 179
Orientadora: Professora Doutora Sandra M. P. Magina RESUMO
O objetivo deste trabalho foi investigar a influência de dois diferentes contextos - computador e "mundo experimental" - na aprendizagem da trigonometria.
Escolhemos como assunto alvo as funções seno e cosseno e partimos da hipótese de que é possível introduzi-las de maneira significativa. Preparamos uma seqüência didática e trabalhamos com dois grupos de alunos, sendo que para um deles iniciamos o assunto por atividades no computador e demos continuidade por manipulações no "mundo experimental" e, para o outro grupo, a ordem de introdução foi invertida.
Nossa questão de pesquisa foi identificar qual a ordem de introdução, por contextos, que se apresenta mais eficaz para a aprendizagem. Assim sendo aplicamos três testes escritos: um antes de iniciar a seqüência didática, um ao término das atividades de um dos contextos e um ao final do estudo.
Analisamos os dados sob os seguintes pontos de vista: desempenho dos grupos e dos sujeitos nos testes, taxa de variação de acertos por grupo, análise dos testes por objetivo, desempenho dos grupos nos itens (subdivisões
FICHAMENTO
FUNÇÕES SENO E COSSENO: UMA SEQÜÊNCIA DE ENSINO A PARTIR DOS CONTEXTOS DO "MUNDO EXPERIMENTAL" E DO COMPUTADOR
das questões), sua taxa de variação e análise dos erros e procedimentos. Concluímos que a ordem de introdução do assunto interferiu na aprendizagem.
OBJETIVO
Com esta pesquisa temos o objetivo de observar a influência dos contextos na aprendizagem. Pesquisaremos se uma mesma seqüência, constituída de atividades nos contextos do computador e do mundo experimental, aplicada a dois grupos de alunos, advindos de uma mesma população, sofre a influência da ordem de aplicação de tais contextos. Teremos ainda um grupo de referência, para o qual o assunto será desenvolvido na sala de aula. Procuraremos ponderar sobre a eficácia de cada contexto e sua interferência no momento da aprendizagem. (p. 79)
METODOLOGIA
Na página 81 encontra-se um resumo dos procedimentos metodológicos adotados, com o título de "Desenho Geral do Experimento", cuja transcrição é a seguinte:
A pesquisa envolverá 32 alunos distribuídos em três grupos, que denominamos grupos A, B e C, sendo o primeiro o de referência e os dois últimos os grupos experimentais. Descreveremos a seguir as cinco fases do estudo a que eles serão submetidos.
Fase 1: Aplicação de um Pré-Teste, feita coletivamente em cada um dos grupos, com resolução individual e sem consulta. O objetivo será a investigação do que o aluno consegue resolver, antes das atividades.
Fase 2: Compreende a aplicação da seqüência didática, com atividades do mundo experimental para o grupo B e as do contexto do computador para o grupo C, com as respectivas discussões e institucionalizações locais. É necessário esclarecer que esta fase envolverá os dois contextos simultaneamente, porém com grupos distintos. Para o grupo A esta fase se resume às aulas ministradas pelo professor da disciplina em sala de aula. Este grupo terá a introdução às funções trigonométricas por meio de explicações e resoluções de problemas, como previsto no currículo e no plano de aula de seu professor de Matemática,
Fase 4: Compreende a continuação da aplicação da seqüência didática envolvendo as atividades no computador para o grupo B, e as do mundo experimental para o grupo C, incluindo para ambos discussões e a institucionalização. O grupo A continuará com as aulas previstas.
Fase 5: Aplicação do Pós-Teste para os três grupos. O objetivo será a investigação do que o aluno consegue resolver, depois da seqüência didática. (p. 81)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Transcrição da introdução do capítulo III, Fundamentação teórica.
Neste capítulo apresentaremos as idéias teóricas que nortearam esta pesquisa, vindas tanto da Psicologia Cognitiva quanto da Didática da Matemática. A partir da primeira, que se preocupa com a aquisição do conhecimento e o processo de formação dos conceitos, buscamos entender as questões psicológicas ligadas ao raciocínio humano e à aprendizagem. Por meio da segunda, que se preocupa com a transmissão do conhecimento da Matemática, procuramos entender o processo de ensino mediado. Assim sendo, emprestaremos algumas das idéias de Piaget, Vygotsky, Vergnaud, Nunes, Brousseau, Douady, Duval e Balachef. A seguir, discutiremos com mais detalhes os principais pontos teóricos desses autores, quanto à formação de conceitos e à transposição didática, que estarão presentes em todo o nosso trabalho. (p. 32)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam.
CONCLUSÃO
Transcrição das partes da conclusão propriamente dita.
As conclusões do experimento, [...], são que nesta pesquisa, a ordem de introdução por contextos interferiu na aprendizagem. Seja qual for o aspecto a partir do qual tenhamos observado, o grupo de alunos que teve maior sucesso foi o que passou primeiro pelas atividades construídas no contexto do "mundo experimental" e depois pelas do computador .(p.169)
Sugestão de pesquisa:
Futuras pesquisas poderiam ser feitas com um número maior de alunos e tendo várias duplas trabalhando simultaneamente nos ambientes de laboratório e/ou com alunos de escolas públicas. Sugerimos que sejam feitos testes de retenção ou acompanhamento do desempenho dos estudantes na trigonometria, após a participação em pesquisas. Entrevistar os alunos ao término das seqüências de introdução de funções via computador e “mundo experimental” também pode trazer contribuições valiosas. Que [...] trariam novas informações e fariam avançar os conhecimentos sobre a aprendizagem com o uso de modernas tecnologias e em contextos alternativos. (p. 172)
Sugerimos estudos nos quais os alunos possam construir os
arquivos no Cabri para, em seguida, trabalhar a trigonometria no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico. (p.172)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das 79 referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas que se referem a autores citados no fichamento.
BALACHEF - Não consta
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---Fondements et Méthodes de la Didatique des Mathématiques. RDM. vol 7/2. p.333-115. 1986.
---Le Contrat Didactique: le Milieu. RDM. vol. 9/3. p. 309-336. 1988.
DUVAL, R. Graphiques et Équations: L' Articulation deux Registres. Annales de Didactique et de Sciences cognitives 1. p. 235-253. IREM de Strasbourg. 1988
NUNES, T. - “Cognitive Invariants and Cultural Variation in Mathematical Concepts”, International Journal of Behavioral Development, Vol. 15, n˚ 4. pp 435-455, 1992.
NUNES, T; SCHLIEMANN, A & CAHARRER, D. “Street Mathematics and School Mathematics”, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
NUNES, T; BRYANT, P. “Children Doing Mathematics”, Blackwell - Publishers, London, 1996.
PIAGET, J. Biology and Knowledge, em Gruber, H. E. e Vomech, J.J. The Essencial Piaget. Routledge and Kegan Paul Ltda. London. 1977.
---A Formação do Símbolo na Criança. Ed. Guanabara Koogan. Rio de Janeiro. 1978
VERGNAUD, G. Problem Solving and Concept Development in Learning of Mathematics. E. A. R. L. I...Second Meeting. Tübigen. September. 1987 ---La Théorie des Champs Conceptuels. RDM. vol. 10/2.3.p.133-170.
1990
---Epistemology and Psicology in Mathematics Education em Mathematics and Cognition. Nesher, P. e Kilpatrick, J. p. 14-30. Cambridge. University Press. 1994
VYGOTSKY, L.S. Formação Social da Mente - O Desenvolvimento dos Processos Psicológicos Superiores. Trad. de J. Cipolla Neto e outros. Editora Martins Fontes. 4a Edição. São Paulo. 1991
A dissertação de Nielce Meneguelo Lobo da COSTA foi defendida em 16/10/1997 e teve sua banca examinadora composta por: Sandra M. P. Magina (PUC/SP), como orientadora, Benedito Antonio da Silva (PUC/SP) e Marcelo de Carvalho Borba (UNESP-RIO CLARO).
COSTA atribuiu à sua prática como professora e aos resultados de uma pesquisa1 da qual participou, a motivação para estudar outras formas de ensino das funções trigonométricas, diferentes das tradicionais.
Como professora, ela observou que os alunos viam a trigonometria como um conteúdo “vazio de sentido”, sem relação com o cotidiano. No relato da pesquisa da qual participou ela disse que:
Diante da exposição de motivos, descritos pela autora no capítulo I, item 1, Problemática e Objetivo, verifica-se que a pesquisadora identificou um fenômeno de seu interesse.
COSTA foi buscar em estudos de PIAGET, VYGOTSKY, VERGNAUD e NUNES as idéias relacionadas com o fenômeno de seu interesse. Isto porque estes estudiosos possuem teorias sobre o processo de formação e evolução de conceitos.
Além destes estudos, COSTA descreveu no capítulo 3, item 5,
Revisão da Literatura; as pesquisas de BRIGUENTI (1994), BORBA (1993) e