O conceito de transformação linear no sistema conceitual da Álgebra Linear

Tradicionalmente, a estrutura da disciplina de Álgebra Linear é constituída pela hierarquia sistemática dos seguintes conceitos: matriz, sistema linear, espaço vetorial, transformação linear, autovalor, autovetor, diagonalização e produto interno, além de outros conceitos que deles derivam.

Todos esses conceitos se inter-relacionam e dependem uns dos outros para se constituírem. A exemplo disso, a aprendizagem do conceito de espaço vetorial tem como pré- condição básica o conhecimento dos conceitos de matriz e sistema linear, a aprendizagem do

conceito de transformação linear requer a apropriação dos conceitos de matriz, de sistema linear e de espaço vetorial que se encontram na base desta hierarquia. Por sua vez, a aprendizagem do conceito de autovalor tem como pré-condição o aprendizado dos conceitos de matriz, sistema linear, espaço vetorial e transformação linear, e assim sucessivamente. Nesse sistema, o conceito de transformação linear ocupa lugar central. É a partir dele que se estruturam os demais conceitos da disciplina como autovalor, autovetor, diagonalização e produto interno, sendo inevitável o conhecimento dos conceitos estudados anteriormente a ele, a saber, matriz, sistema linear e espaço vetorial. E, nesse movimento de interpendência conceitual, estão contidas as características e particularidades da totalidade da disciplina Álgebra, conforme demostra a Figura 1.

Figura 1 – Mapa conceitual da disciplina Álgebra Linear

Fonte: Elaborado pela autora.

Reforçando esse entendimento, Uhlig (2003) afirma ser o conceito de transformação linear a essência da Álgebra Linear, uma vez que por meio deste conceito derivam-se os demais conceitos desta disciplina. Em sua proposta, Uhlig (2002) argumenta que o ponto de partida

para o ensino da Álgebra Linear deve ser o conceito de transformação linear e não o conceito de matriz como comumente é feito. Como esclarece o autor:

Não conhecemos todos os possíveis assuntos e conceitos que poderiam ser considerados ‘fundamentais’ para que possamos construir a maior parte da Álgebra Linear elementar de cada um. Não temos tal lista. No momento, temos apenas um candidato para esse papel: “Transformações Lineares”. Essa noção satisfaz nosso requisito básico de ser fundamental para todo o campo. Ou seja, as transformações lineares podem ser usadas para apresentar e ajudar a explicar a maioria dos outros assuntos, conceitos e áreas da Álgebra Linear elementar. (UHLIG, 2003, p. 152, destaques do autor, tradução nossa)

Para o autor, por ser a forma algébrica de uma transformação linear definida e baseada em uma equação, a Álgebra Linear é uma parte natural da Álgebra e, evidentemente, “[...] esta equação fundamental deve servir bem como o núcleo conceitual e o início de nossos estudos e ensino” (UHLIG, 2003, p. 153, destaques do autor, tradução nossa). Assim, o conceito de transformação linear é a base unificadora, o eixo desta disciplina.

Uma característica das transformações lineares que intensifica sua importância é que, dependendo do conjunto que é escolhido como domínio e/ou contradomínio (!%ou !³), é possível fazer uma associação geométrica por meio de gráficos em duas ou três dimensões como o caso das rotações e reflexões no plano, que já sejam familiares aos alunos, advindos da Matemática do ensino médio ou mesmo de disciplinas da educação superior como Geometria Analítica e Cálculo Diferencial e Integral. Essa é a proposta dos trabalhos de Karrer (2006), Santos (2013), Arrebola (2013) e Silva (2015), enfatizando a importância das transformações lineares.

Com efeito, o conceito de transformação linear é fundamental para a averiguação da aprendizagem dos conceitos já estudados, pois, a todo o momento, podem-se revisar detalhes da composição destes conceitos, esclarecendo as dúvidas que ainda permanecem. E como já explanado, o conceito de transformação linear também é fundamental na construção de novos conceitos inerentes à disciplina de Álgebra Linear, sendo uma base para eles. É do conceito de transformação linear que procede boa parte das aplicações nas diversas áreas do conhecimento, como Matemática, Engenharias e Física, dentre outras. Sua utilização em situações particulares envolve também o conhecimento de outros conceitos a ele conexos, o que o torna um conceito de destaque dentro deste campo.

Nesse sentido, compartilha-se da posição de Uhlig (2003), segundo a qual, o conceito de transformação linear é a essência da Álgebra Linear, a partir do entendimento de que os conceitos desta disciplina

[...] estão em indissolúvel inter-relação; a diferença entre conceitos isolados é relativa, sob determinadas condições um conceito se converte em outro, mas mesmo assim essa diferença existe, reflete a estabilidade relativa e a precisão qualitativa dos objetos, dos fenômenos, da realidade. “Cada conceito está em certa relação, em determinada conexão com todos os demais” – escreveu Lênin. (KOPNIN 1978, p. 211, grifos do autor)

Ciente de que o conceito de transformação linear, pela sua natureza científica, ocupa um lugar definido no sistema de conceitos da Álgebra Linear que determina a sua relação com outros conceitos, pode-se construir, considerando a relação dialética do sistema conceitual da Álgebra Linear, a Figura 2 como expressão das conexões do conceito de transformação linear. Conexões estas que expressam a lógica, a história, as abstrações e as formalizações do ato de pensar que conduziram o homem, em sua constituição enquanto humano, à formação do pensamento teórico do conceito de transformação linear (SOUSA, PANOSSIAN, CEDRO, 2014).

Figura 2 – Conexões do conceito de transformação linear

Com esse entendimento, recorremos ao estudo de registros históricos de autores do campo da Educação Matemática e da Matemática que, isoladamente, podem ser considerados como singularidades, mas que foram criados a partir da gênese histórico-cultural do conceito de transformação linear.