Os conceitos de sistema linear e determinante

A Álgebra Linear, como é conhecida atualmente, é fruto de um processo histórico que começou há cerca de 4000 anos atrás com os babilônicos resolvendo sistemas de equações lineares com duas equações e duas incógnitas. Os babilônicos eram um dos povos da antiguidade que viveram às margens dos rios Tigre e Eufrates, local de terras férteis propícias à agricultura e à engenharia (útil para construir canais e reservatórios de água) e, por ser rota de grandes caravanas, era uma região também propícia ao desenvolvimento do comércio, fato que levou os babilônicos a se tornarem um dos povos mais desenvolvidos economicamente e cientificamente da época (EVES, 2011). Por tudo isso, eles eram familiarizados com todos os tipos de contratos legais, como notas promissórias, recibos, faturas, créditos, juros simples, juros compostos, hipotecas e escrituras de venda e endossos (EVES, 2011). Todo esse contexto social e econômico levou os babilônicos a criarem uma álgebra avançada capaz de resolver os problemas emergentes. Assim, por volta do ano 2000 a.C., eles resolviam equações quadráticas,

cúbicas e biquadradas (de grau quatro) utilizando tábulas de calcular, uma de suas especialidades (eles eram exímios calculistas), faziam várias tábulas que eram bases para seus cálculos. De acordo com Eves (2011), encontrou-se uma tábula com muitos problemas que levam à resolução de equações cúbicas da forma #:< #% = >, as quais podem ser resolvidas utilizando a tábula que fornece uma sequência de valores de -:< -². Ainda segundo esse autor, registros de 1600 a.C., nas tábulas da coleção Yale, catalogam centenas de problemas não resolvidos envolvendo sistemas de equações que resultam em equações biquadradas e até mesmo uma equação de grau 6. Como exemplo desses sistemas tem-se:

?_{8CB(# D @) D (# < @)}#@ = ABB_{% = D8BBB}

que leva a uma equação de grau quatro tanto em # como em @ e E #@ = 1 >#% @ <7@ % # < 5 = B

que leva a uma equação de grau seis tanto em # como em @.

Ainda falando de sistemas de equações lineares, por volta do ano 200 a.C., os chineses resolviam sistemas de ordem dois e três e foram os precursores do método de eliminação de Gauss utilizado para resolver sistemas lineares, o qual só se tornaria conhecido no século XIX. Exemplos sobre o método utilizado pelos chineses podem ser encontrados nos Nove capítulos sobre a arte da matemática. Segundo Bertolini (2007), não se sabe ao certo de quem é sua autoria, mas a hipótese mais aceita é a que ele foi escrito por vários autores, sendo datado do início século I d.C. e traz problemas do cotidiano dos chineses envolvendo questões sobre engenharia, topografia, comércio e tributação. Como exemplo de um desses problemas, Eves (2011) traz o Problema 1 do Capítulo VIII:

Três feixes de uma colheita de boa qualidade, dois feixes de uma de qualidade regular e um feixe de uma de má qualidade são vendidos por 39 dou. Dois feixes de boa, três de regular e um de má são vendidos por 34 dou. Um feixe de boa, dois de regular e três de má são vendidos por 26 dou. Qual o preço do feixe para cada uma das qualidades? (EVES, 2011, p. 268)

Este problema resulta em um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas, cujo método de resolução utilizado pelos chineses se assemelha ao método de eliminação de Gauss (O’CONNOR; ROBERTSON, 2016a).

Segundo alguns historiadores matemáticos, o estudo moderno de sistemas de equações lineares pode ter se originado com o alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) em 1693 quando este criou, na Europa, a noção de determinante justamente para resolver sistemas lineares (KLEINER, 2007). Entretanto, dez anos antes, em 1683, o japonês Takakazu Seki Kowa (1642 – 1708) já havia calculado determinantes de matrizes de ordens dois, três, quatro e cinco (escritas em forma de tabelas como os chineses faziam), mas ele os usava para resolver equações e não sistemas (EVES, 2011; O’CONNOR; ROBERTSON, 2016a).

Leibniz foi engajado em causas religiosas (um reflexo da reforma protestante) e filosóficas e, por ter sido um diplomata, viajava muito, tudo isso o fez conhecer vários estudiosos por toda Europa e o levou a trocar correspondências com a maioria deles, sejam eles matemáticos ou não. Em uma de suas correspondências ao matemático francês Guillaume de l’Hôpital (1661 – 1704), datada justamente do ano de 1693, Leibniz diz que ocasionalmente ele utilizava números para indicar linhas e colunas em um sistema de equações, escrevendo na forma

F8B < 88# < 8G@ = BGB < G8# < GG@ = B HB < H8# < HG@ = B

e que, se este sistema tinha solução, então

8B I G8 I HG < 88 I GG I HB < 8G I GB I H8 = 8B I GG I H8 < 88 I GB I HG < 8G I G8 I HBJ

Na linguagem moderna, o número 12 no sistema representa a linha 1 e a coluna 2 ou, em símbolos, 1_$% e a igualdade acima nos diz que se um sistema tem solução, então seu determinante é nulo. Esta é a primeira aparição do conceito de determinante na Europa (BOYER, 1974; O’CONNOR; ROBERTSON, 2016a).

Note que o conceito de determinante não nasceu ligado ao conceito de matriz quadrada como temos hoje nos livros didáticos, isso veio posteriormente com a evolução da teoria de matrizes. Este fato mostra que nem todo conteúdo matemático, como descrito nos livros didáticos atuais, obedece ao mesmo desenvolvimento histórico de sua criação.

Leibniz, l’Hôpital e vários outros cientistas viveram em um período que a história denomina de Idade Moderna, datada de 1453 (com a tomada de Constantinopla pelos turcos otomanos) até 1789 (com o início da Revolução Francesa), sendo este um período específico da história do Ocidente, que foi marcado por grandes conquistas territoriais, como, por exemplo, o descobrimento da América (1492) e também do Brasil (1500), além de fatos importantes como a Reforma Protestante na Alemanha (1517 a 1648) e a Revolução Puritana (guerra civil) na Inglaterra (1642 a 1660). Na década de 1670, a Europa estava relativamente tranquila, sendo alguns dos fatos mais importantes as conquistas territoriais por parte da Inglaterra e a expansão do comércio com a transição do feudalismo para o capitalismo. Nesse período, iniciou a grande disputa entre Leibniz e Newton (1643 – 1727) pela prioridade da descoberta do cálculo diferencial e integral, a qual não será detalhada aqui por fugir do objetivo deste texto. Como Newton era inglês, os matemáticos da Inglaterra se alinharam a ele e os demais matemáticos europeus juntaram-se a Leibniz. Com isso, a Inglaterra se fechou para o desenvolvimento científico à sua volta enquanto que na Europa o cálculo se desenvolvia de forma significativa, pois as notações introduzidas por Leibniz eram bem mais simples que as notações de Newton, gerando na Inglaterra um desenvolvimento matemático mais lento, uma vez que as notações de Newton não permitiam fluidez dos cálculos (MILIES, 2004). Entretanto, esse isolamento da Inglaterra, que, segundo Eves (2011) retardou o progresso matemático no país por quase um século, gerou bons frutos, como se pode constatar no grande número de ideias originais que surgiram posteriormente, como, por exemplo, as criações de Peacock, Cayley, Sylvester e Hamilton, que serão, mesmo que brevemente, a seguir, analisadas.