Procedimento metodológico da ação: verificação da aprendizagem por parte do

Verificar a aprendizagem é uma tarefa complexa que exige uma apreciação qualitativa dos resultados obtidos no final de um processo educativo, independentemente do tempo utilizado para a realização deste processo. Segundo Libâneo (2013, p. 216):

A avaliação é uma tarefa didática necessária e permanente do trabalho docente, que deve acompanhar passo a passo o processo de ensino e aprendizagem. Por meio dela, os resultados que vão sendo obtidos no decorrer do trabalho conjunto do professor e dos alunos são comparados com os objetivos propostos, a fim de constatar progressos, dificuldades e reorientar o trabalho para as correções necessárias. A avaliação é uma reflexão sobre o nível de qualidade do trabalho escolar tanto do professor como dos alunos.

Assim, a Tarefa 5 (Quadro 12) buscou verificar a formação do conceito de transformação linear, objetivo do experimento didático formativo, de acordo com os pressupostos davydovianos já descritos para a formação de conceitos. A tarefa foi respondida individualmente e sem consulta a materiais didáticos, para possibilitar a análise do desenvolvimento intelectual de cada aluno sujeito da pesquisa. A correção ocorreu posteriormente, pela pesquisadora e pelo professor da turma, e em outra aula subjacente ao experimento, o professor entregou a tarefa corrigida à turma.

Para a elaboração desta tarefa, procurou-se verificar, além da formação do conceito de transformação linear: a criatividade do aluno na construção de transformações lineares (questão 1) e não lineares (questão 2); o desenvolvimento do conhecimento do aluno quanto ao conceito de espaço vetorial e a capacidade de utilização do conceito de transformação linear em uma situação prática (questão 3); a habilidade do aluno em associar o conceito de determinantes, já conhecido por ele, com o de transformação linear (questão 4) e a capacidade de associar um conceito novo, a saber o conceito de Sequência de Fibonacci, ao conceito de transformação linear (questão 5). Nas questões 4 e 5, explorou-se também aspectos históricos do desenvolvimento dos conceitos em questão, sendo que para o conceito de determinantes, buscou-se uma relação direta com o lógico-histórico discutido no início do experimento didático formativo.

Quadro 12 – Tarefa 5 utilizada no experimento didático formativo Questão 1) Crie uma transformação linear e mostre que é linear.

Questão 2) Crie uma transformação não linear e mostre que ela não é linear.

Questão 3) O conceito de transformação linear e toda a teoria decorrente deste conceito são ferramentas essenciais para o desenvolvimento da teoria dos códigos corretores de erros, teoria esta que tem tomado papel importantíssimo mediante o desenvolvimento tecnológico que surgiu desde a década de 1940, década do surgimento desta teoria, especificamente, em julho de 1948 com Claude Shannon, e tem se desenvolvido atualmente com as evoluções do campo computacional e tecnológico

à medida que se deseje uma comunicação confiável, onde a mensagem enviada é exatamente a mensagem recebida. Dentre as situações em que se usa um código corretor de erros, podemos citar: digitalização de fotografias, transmissões via rádio e televisão, uso de computadores, gravação de informações em pen drive, CD ou DVD, etc.

Mesquita (2005; 2007) ao estudar esta teoria descreve algumas classes de códigos nas quais o processo de codificação e decodificação de mensagens se dá mediante uma transformação linear. A autora (MESQUITA, 2005) cita casos reais onde transformações lineares foram fundamentais, dentre elas temos a transmissão e recepção de fotos de Marte feitas pela nave espacial Mariner 9 em 1972. Essas fotos não eram coloridas como temos hoje, mas sim em preto e branco, sendo as imagens formadas por partes pretas, partes brancas e partes cinzas (junção do preto e do branco). Assim, em cada foto, eram analisados os tons das cores (preto, branco e cinza) e a cada um deles fazia-se corresponder um código binário de comprimento seis (um elemento do tipo (#_$, #_%, #_:, #_„, #_†, #_‡), onde #_' s {B,8} para cada 6 s {8, G, H, f, C, A}) que era levado mediante uma transformação linear injetora em um conjunto também binário cujos elementos tinham comprimento trinta e dois. Esse era o processo de codificação e cada tom de cor codificado recebe o nome de palavra do código. A decodificação se dava através da transformação linear inversa dessa transformação linear.

Para especificarmos uma transformação linear, consideremos uma situação descrita pela mesma autora (MESQUITA, 2007) e que foi adaptada para este texto: os Códigos de Goppa são considerados bons códigos devido à sua facilidade de codificar e decodificar mensagens, isso comparado a outras classes de códigos; eles são utilizados tanto na teoria dos códigos corretores de erros quanto em certas classes de criptografia de chave pública. O código de Goppa descrito pela autora (MESQUITA, 2007) na página 24 deste trabalho pode ser obtido mediante a transformação linear

^ˆ {B,8} ‰ {B,8}Š _{dada por ^(#$, #%) = (#$< #%, #$, &#$< #%, #%, &#$, #$< #%, #$, #%)} ou, em forma matricial

^(#$, #%) =& ‹ Œ Œ Œ Œ • 8 8 8 B 8 8 B 8 8 B 8 8 8 B B 8Ž • • • • • T#_#$_%UJ

Maiores detalhes sobre este código foram omitidos por demandar conhecimentos que extrapolam o objetivo do presente texto.

De acordo com tal explanação,

a) qual a imagem da palavra (B,B) por meio da aplicação ^? Justifique. b) mostre que a transformação ^ é linear.

Questão 4) Conforme vimos na história, o conceito de determinante surgiu primeiro que o conceito de matriz. Determinantes foram criados por Kowa em 1683 no Japão e, independentemente, por Leibniz em 1693 na Alemanha com o intuito de resolver sistemas lineares. Já as matrizes foram introduzidas formalmente por Cayley em 1855, que, dentre suas classificações, estão as matrizes quadradas, cuja quantidade de linhas é igual à quantidade de colunas, sendo que o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem - formam um espaço vetorial. Hoje em dia a associação dos conceitos de matriz e determinante está tão forte em nossa mente que sempre que falamos de um deles o outro automaticamente nos vem à memória, de forma que para cada matriz quadrada podemos calcular seu determinante. Assim, podemos criar uma aplicação que associa cada matriz quadrada com seu determinante. Pensando, particularmente, no conjunto das matrizes quadradas de ordem dois podemos criar a seguinte aplicação:

_ˆ ž(G × G) &“ ! Y = ™1 >_{7 5š&¥ ¦§¨ Y = 15 D >7}

onde ž(G × G) é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem G e Y é uma matriz desse conjunto. Podemos também representar esta aplicação da forma _(Y) = ¦§¨ Y, onde Y é uma matriz quadrada de ordem G.

Diante desta situação, decida se a aplicação _ é linear ou não. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contraexemplo.

Questão 5) Leonardo Fibonacci (1175 – 1250) também conhecido por Leonardo de Pisa, foi o matemático mais talentoso da Idade Média. Por seu pai trabalhar com negócios mercantis, desenvolveu logo cedo o interesse pela aritmética, o que o fez se dedicar a este ramo da matemática e realizar viagens pelo Egito, Sicília, Grécia e Síria, entrando em contato direto com os procedimentos matemáticos desenvolvidos pelos orientais e árabes. Em 1202, Fibonacci lança sua obra mais famosa, o Liber abaci, que se preocupa com a aritmética e álgebra elementares. Dentre os problemas que constam neste livro, o de maior destaque e repercussão é o seguinte:

Quantos pares de coelhos são produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?

Este célebre problema dá origem à Sequência de Fibonacci 8, 8, G, H, C, y, 8H, G8, … , onde cada termo após os dois primeiros é a soma dos dois imediatamente precedentes. Considerando *_$= 8, *_%= 8, *:= G, *„= H&, … , *", … podemos escrever a Sequência de Fibonacci como

*"©$= *"< *"d$ para - q G, com *_$= 8 e&*_%= 8.

Essa forma de escrever uma sequência é chamada de fórmula de recorrência, onde, dados dois termos consecutivos de uma sequência pode-se determinar os demais.

A Sequência de Fibonacci pode ser encontrada em diversos lugares como, por exemplo, na distribuição das folhas em um galho de uma árvore qualquer, nas espirais formadas pelos gomos da

casca de um abacaxi, na quantidade de sementes do girassol e da margarida, nas conchas do molusco marinho Nautilus pompilius, nos chifres dos carneiros, no formato de algumas galáxias e em algumas medidas do corpo humano.

Por meio da fórmula de recorrência *_"©$= *_"< *_"d$ para - q G e variando os valores de *$ e *% podemos determinar várias outras sequências, por exemplo:

G, f, A, 8B, 8A, GA, fG, … 8B, 8B, GB, HB, CB, yB,8HB, … B, D8, D8, DG, DH, DC, Dy, D8H, …

Chamemos de ª o conjunto de todas as sequências reais que satisfazem à recorrência *"©$= *"< *"d$ para - q G.

Este conjunto é um espaço vetorial real munidos das operações soma e multiplicação por escalar, onde a operação soma é dada pela adição termo a termo das sequências e a multiplicação por escalar é multiplicar cada termo da sequência pelo escalar dado.

Assim, podemos definir a aplicação

_ˆ&ª “ !² (*") ¥ (*$, *%) onde (*_") representa uma sequência qualquer do conjunto ª.

Mostre que _ é uma transformação linear.

Fonte: Elaborado pela autora.

Todas as questões exigiam do aluno um pensamento especificamente matemático, utilizando os conceitos advindos de outros processos de ensino-aprendizagem, como os conceitos relacionados na Figura 2, fazendo a interlocução entre eles. Uma forma matemática de pensar amplamente explorada por esta tarefa foi a formalização do conhecimento adquirido, no qual o aluno precisou defender matematicamente uma ideia/afirmação, ou seja, ele precisou mostrar ou verificar se dada transformação era linear ou não, utilizando uma escrita e uma forma de pensar específicas da matemática.

3 ANÁLISE DA ATIVIDADE DE ESTUDO DO CONCEITO DE