Os AGDs no ensino e aprendizagem da geometria

Segundo Frant (2002), “o computador trouxe para a sala de aula de Geometria a oportunidade de manusear objectos geométricos” (Disponível a 17/11/2002 em http://www.tvebrasil.com.br/salto/gq/gqtxt5.htm) introduzindo, nesta área da matemática, novos conceitos como ‘mexer’ e ‘arrastar’. Não se trata, na sua opinião, de deitar fora lápis, papel, régua e compasso, mas de poder encarar a geometria de uma forma completamente diferente ou seja, num “ambiente de aprendizagem, que favorece o desenvolvimento de outros raciocínios” porque a oportunidade de trabalhar de uma forma dinâmica a geometria, permite a abordagem de ‘novos problemas’. Esta é, também, a opinião de Laborde (1993) quando afirma que, nos ambientes geométricos, pode ser executado um maior leque de acções e objectos mais complexos que podem ser manipulados facilmente, permitindo, desta forma, a realização de tarefas com um grau de complexidade crescente e, também elas, com uma complexidade superior às que eram executadas nos ambientes clássicos (papel e lápis). De acordo com este investigador, essa complexidade pode conduzir a um progresso intelectual dos alunos se induzida através de situações de ensino e de aprendizagem adequadas para quem imagens dinâmicas desencadeiam fenómenos visuais mais fortes do que imagens estáticas (Laborde, 1998).

Da mesma opinião é, também, por exemplo, o NCTM (2002):

O poder gráfico de algumas ferramentas tecnológicas apresenta recursos para o acesso a modelos visuais que são poderosos e que muitos estudantes são incapazes de gerar sem esses recursos. A capacidade computacional de ferramentas tecnológicas estende a escala dos problemas acessíveis aos

estudantes e permite também a execução rápida e exacta de procedimentos rotineiros reservando, assim, mais tempo para a conceptualização e para a modelação. (Principles for School Mathematics http://standards.nctm.org /document /chapter2/index.htm)

A propósito da integração de software de geometria dinâmica no ensino da matemática, Laborde (s/d) afirma que:

A filosofia de tal integração não é a utilização da tecnologia só em si mas como suporte, desenvolvimento e mudança na aprendizagem da geometria através de várias possibilidades que os computadores representam: exploração de um grande número de casos, possibilidade de variação de parâmetros nalguns problemas, feedback visual ou numérico. (Laborde, s/d, disponível a 30/09/2003 em http://mathforum.com/technology/papers/laborde/laborde.html)

Referindo-se aos AGDs, Junqueira (1995) considera que:

Os ambientes gráficos computacionais que permitem realizar construções geométricas no ecrã do computador utilizando explicitamente propriedades das figuras, e também a manipulação directa dessas construções mantendo invariantes as propriedades utilizadas trazem mudanças fundamentais na trilogia ensinar/aprender/fazer Geometria”. (39-40)

Citando Dreyfus (1993), esta investigadora afirma que:

Os ambientes geométricos computacionais proporcionam a aquisição de uma base de conhecimentos sobre Geometria, mas, sobretudo, «apoiam os alunos nas capacidades de resolução de problemas: planeamento (controlo), conjecturação (heurísticas), e flexibilidade (controlo e heurísticas)» que sustenta o desenvolvimento das ideias dos alunos e lhes permite construir o seu conhecimento geométrico. (39)

Saraiva (1991) também afirma que estes ambientes, para além de levarem os alunos a construir figuras e a manipulá-las, podem levá-los a intuir as suas propriedades e a sentir necessidade de descobrir todos os casos em que estas se mantêm acrescentando que “os computadores tornam, assim, possível uma representação visual da Matemática (não oferecida por nenhuma outra nova tecnologia), permitindo, por uma observação visual directa e pela observação de mudanças subsequentes, o acesso aos objectos e relações matemáticas” (5).

Referindo-se a Manson (1991), este investigador também considera que, cada vez mais, “os factos e conhecimentos matemáticos estarão baseados numa intuição profundamente desenvolvida a partir do uso de programas computacionais, onde todo um vasto conjunto de conhecimento matemático sofisticado terá como suporte o rato – a mão – o olho – o ecrã do monitor [...]” (5).

Herhkowitz (1998), por exemplo, acredita que uma das grandes vantagens decorrentes da utilização destes ambientes consiste no facto de se poderem criar oportunidades em que os alunos e professores se tornam “parceiros (partners) na descoberta de factos geométricos e na reinvenção de relações geométricas, pela exploração e pelo raciocínio indutivo” (31) que é mobilizado:

Pela experimentação e generalização indutiva, os alunos alargam o seu conhecimento geométrico acerca das figuras geométricas e suas relações e ampliam o seu ‘vocabulário’ para legitimar a sua forma de raciocínio35. (31)

Referindo-se à sua experiência pessoal com o Cabri-Géomètre, Minga (1996) afirma que “o Cabri é uma ferramenta motivadora para o estudo da geometria, tanto no aspecto do ensino como no da aprendizagem. Pode motivar os alunos e motivar igualmente os professores” (10). Com o Cabri pode-se, em seu entender, “investigar, descobrir e redescobrir, confirmar resultados e conjecturas, simular situações, experimentar muitas e variadas hipóteses e, sobretudo, podem levantar-se imensas questões relacionadas com a sua aplicação prática” (ib: id). Outros investigadores (eg. Bennett, 2003; Cuoco & Goldenberg, 2003; King, 2003 e Villiers, 2003) são da mesma opinião. Villiers (2003), por exemplo, afirma que:

Embora a maioria dos alunos pareça não ter necessidade adicional de convicção, após explorar conjecturas geométricas em ambientes de geometria dinâmica como o Cabri ou o Sketchpad, não é difícil despertar neles uma curiosidade mais prolongada pedindo-lhes para explicar porquê, (destacado no original) em seu entender, um determinado resultado é verdadeiro. Desafiem-nos a tentar explicar o porquê da veracidade desse resultado. Os alunos reconhecem rapidamente que a verificação indutiva/experimental apenas confirma; não produz conhecimento profundo, nem compreensão. (41)

Manson (1996) afirmando que Platão se “queixava acerca do modo como as crianças gregas eram educadas, louvando a orientação prática dos modos de ensino no Egipto, através de jogos e actividades” (15) defende, também, o recurso ao Cabri-Géomètre porque:

A utilização do Cabri pode educar o aluno no reconhecimento da presença de propriedades geométricas, independentemente de qualquer necessidade de demonstração ou justificação. Ao manipular directamente as figuras com o rato, desenvolve-se uma forte convicção do que é verdadeiro. Prevejo na utilização do Cabri e de outro software de manipulação directa do ecrã um

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Duval (1998) refere o facto de se utilizar a palavra ‘raciocínio’ (“reasoning”) para diversas situações e com muitos significados entendendo, no entanto, que “qualquer movimento, qualquer tentativa e erro, qualquer procedimento para resolver uma dificuldade é frequentemente considerada uma forma de raciocínio” (45)

forte apoio a uma intuição matemática muito mais ampla do que é ou virá a ser verdadeiro. (18)

Procurando sintetizar as vantagens decorrentes da utilização de ambientes de geometria dinâmica ao nível do processo de ensino e de aprendizagem da Matemática, no prefácio da edição americana da obra Geometry Turned On! James King (2003) afirma:

Dinâmico é o contrário de estático. Dinâmico indica acção, energia, e mesmo vibração. A geometria dinâmica é uma geometria activa, investigativa, levada a cabo com a ajuda de programas de computador interactivos. [...] Todos os matemáticos sabem bem o poder contido numa figura – muitas vezes um esboço rápido ou um diagrama tornam tudo claro. Dizemos estou a ver com o significado de vejo e compreendo. (itálico no original) (7)

O mesmo investigador, procurando apresentar uma visão global dos textos incluídos na obra, responde à questão: “Para que serve o software de geometria dinâmica?” (10) e apresenta oito categorias de respostas:

a) Rigor nas construções b) Visualização c) Exploração e descoberta d) Demonstração e) Transformações f) Lugares geométricos g) Simulação e h) Micromundos.

Segundo King (2003), “o software de geometria dinâmica coloca à nossa disposição um construtor rigoroso para qualquer construção com régua e compasso da geometria euclidiana” (10); ajuda os alunos a “ver o que significa um facto verdadeiro em geral” (ib: id); proporciona oportunidades de experiência de descoberta de relações geométricas e de invenção matemática podendo, ainda, surgir situações em que os alunos “sejam apanhados por problemas abertos” (11) situações que, na sua opinião, representam oportunidades para que os alunos se possam envolver em actividades de investigação; motiva o desejo de demonstração porque, como refere, “embora o software de geometria dinâmica não possa na realidade fazer demonstrações, a evidência experimental que fornece provoca uma convicção forte que pode motivar o desejo de uma demonstração” (ib: id); o software de geometria dinâmica pode “transformar figuras diante dos nossos olhos” (12) o que permite que os alunos testem visualmente propriedades fundamentais das suas construções como, por exemplo “a comutatividade e a existência de inversa de uma transformação, bem como outros conceitos abstractos da teoria dos grupos” (ib: id); com a capacidade de traçar o

lugar geométrico de um determinado objecto, o software de geometria dinâmica “é adaptado de modo ideal para mostrar como um lugar geométrico é gerado e para revelar a forma do caminho traçado por esse objecto” (ib: id); as potencialidades do software de geometria dinâmica passam, ainda, pela possibilidade de arrastamento de objectos, o traçado de lugares geométricos e a geração aleatória de pontos o que, a seu ver, “fornece muitas oportunidades de simulação de uma surpreendente variedade de situações” (ib: id) e, finalmente, a possibilidade que estes programas representam para se explorarem aspectos particulares da geometria como, por exemplo, a geometria euclidiana a par de outras geometrias.

Piteira (2000), tendo como preocupação compreender a actividade matemática dos alunos na sala de aula quando esta é mediada por AGDs bem como o significado dessa actividade na tomada de consciência geométrica, utilizou um destes ambientes (Sketchpad) com alunos do 8º e 9º anos de escolaridade. Na sua investigação conclui, entre outras, que a) estes ambientes são ‘janelas’para a aprendizagem porque se apresentam como mediadores entre a actividade dos alunos e os objectos geométricos; b) a construção de significados pelos alunos resulta da actividade e cresce na forma como os alunos agem uns com os outros, com os professores, com os ambientes e com as tarefas propostas e c) a aprendizagem é construída nas interacções sociais que “ocorrem no seio do sistema de actividade dos grupos de alunos, onde o saber reside, é partilhado e transformado” (i). Citando Cristina Loureiro (1999), Piteira (2000) mostra-se convencida de que talvez não seja exagero falar numa revolução no ensino da Geometria36.

Apesar de escassos ao nível da investigação, principalmente ao nível de anos de escolaridade mais baixos, existem alguns estudos desenvolvidos que nos dão conta de alguns benefícios, quer em termos de desenvolvimento cognitivo dos alunos quer do desenvolvimento de outras capacidades e aptidões, decorrentes da utilização do Cabri-Géomètre.

Por exemplo, Gravina (1996), tendo constatado que alunos de Licenciatura em Matemática da UFRGS apresentam elevados índices de reprovação em Geometria Euclidiana e concluído que alguns daqueles alunos, quando chegam à universidade,

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“Os velhos objectos geométricos ganham vida e podemos criar novos objectos. As velhas definições e relações tornam-se dinâmicas e podemos criar novas definições e novas relações. Os velhos problemas ganham novas vidas, sugerem novos problemas e novas formas de resolver problemas. A conjectura e a demonstração reconvertem-se. A sólida construção formal ganha vida” (Loureiro, 1999, citada por Piteira, 2000: 9).

apresentam pouca compreensão dos objectos geométricos confundindo propriedades do ‘desenho’ com propriedades do ‘objecto’, analisa as dificuldades cognitivas dos estudantes e apresenta os contributos que os ambientes em geometria dinâmica podem trazer à superação destas dificuldades.

Considera esta investigadora que, parte desta problemática tem origem nos programas e práticas de ensino de nossas Escolas e dá como exemplo, “o tratamento estereotipado dado aos objectos geométricos, a iniciação feita nos manuais com exemplos particulares, os ditos desenhos prototípicos (quadrados com lados paralelos às bordas da folha de papel, rectângulos sempre com dois lados diferentes, alturas em triângulos sempre acutângulos, etc.)” (disponível a 24/02/2003 em http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/ artigos/artigos.htm) o que leva os alunos a não reconhecerem desenhos destes mesmos objectos noutras situações diferentes e provocam desequilíbrios na sua formação. Assim, a sua experiência, permite-lhe afirmar que:

A criação de micromundos de Geometria, como Cabri-Géomètre e Geoplan, constituem ferramentas poderosas na superação dos obstáculos inerentes ao aprendizado. Nestes ambientes conceitos geométricos são construídos com equilíbrio conceptual e figural; a habilidade em perceber representações diferentes de uma mesma configuração se desenvolve; controle sobre configurações geométricas leva a descoberta de propriedades novas e interessantes. Quanto as atitudes dos alunos frente ao processo de aprender: experimentam; criam estratégias; fazem conjecturas; argumentam e deduzem propriedades matemáticas. A partir de manipulação concreta, «o desenho em movimento», passam para manipulação abstracta atingindo níveis mentais superiores da dedução e rigor, e desta forma entendem a natureza do raciocínio matemático. (Disponível a 24/02/2003 em http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/ artigos/artigos.htm)

De igual forma, Hoffmann (2003), ao relatar uma experiência realizada com alunos da mesma Universidade e com recurso ao programa Cabri, defende que, entre outros benefícios:

Os desenhos em movimento criam naturalmente um ambiente de investigação; os invariantes se destacam, o que se torna uma fonte de conjecturas e de busca de entendimento do problema geométrico em questão. Desta forma, os alunos engajam-se em situações que exigem atitudes que caracterizam o «pensar matematicamente»: experimentar, conjecturar, testar hipóteses, desenvolver estratégias, argumentar, deduzir. (Disponível a 24/02/2003 em http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/artigos /artigos.htm)

Battista e Clements (2002), descrevendo os cinco episódios (aulas) em que todos os alunos do 5º grau de uma turma cujo professor era altamente qualificado na implementação

de um modelo de aulas baseado no paradigma construtivista, descrevem o grande potencial de crescimento em pensamento geométrico proporcionado pelo uso adequado de um software de geometria dinâmica, neste caso, o ‘Shape Maker’.

Constatando que o objectivo do currículo tradicional de geometria da escola básica consistia no facto de os alunos terem de aprender listas de definições e propriedades das figuras e que, em virtude de ter mudado, porque “em vez de memorizar propriedades e definições, os alunos devem desenvolver conceitos geométricos pessoais com significado e processos de raciocínio que os habilite na análise de situações e problemas espaciais” (425), Battista e Clements (2002) também concluem que os ambientes de geometria interactiva “ajudam os alunos a construir modelos mentais sofisticados para pensar acerca das figuras, modelos que formam os alicerces (foundation) sobre os quais a compreensão genuína da geometria deve ser construída” (428).

Em Portugal destacamos os trabalhos desenvolvidos por Junqueira (1995), Coelho (1996) e Rodrigues (1997) que, em comum, apresentam preocupações de carácter cognitivo e envolvem situações onde se faz recurso sistemático ao Cabri-Géomètre com alunos que frequentavam o 2º e 3º Ciclos de escolaridade. Junqueira (1995) descreve este ambiente como “um programa amigável, que os alunos aprendem a dominar rapidamente” (42); Coelho (1996) justifica a sua opção (em relação a outros ambientes semelhantes) por considerar o Cabri-Géomètre ‘mais eficaz’ do que os restantes quer em termos de capacidades funcionais (a função repetição tem características directamente ligadas ao movimento) quer em termos de eficácia pedagógica (58) Rodrigues (1997) considera que “o Cabri-Géomètre promove uma aprendizagem dinâmica da geometria e possibilita de uma forma eficaz a interacção com o utilizador” (112) acrescentando que este ambiente é, por esta razão, particularmente apropriado para apoiar um ensino renovado da geometria. O entusiasmo e alegria relatados e que, segundo estes trabalhos, transpareciam da parte dos alunos bem como a forma como estes se envolveram nas tarefas que lhes foram propostas, permitem que se possa afirmar, com alguma segurança, que os alunos se sentiram motivados classificando a experiência em que participaram de ‘engraçada’, ‘interessante’ e ‘gira’ (Coelho, 1996) e, nalguns casos, consideraram a possibilidade de poder participar na experiências como uma espécie de “sorte” (Junqueira, 1995: 130). Para além da motivação, nalguns casos verificou-se algum progresso em termos de autonomia, persistência e capacidade de resolver problemas por parte dos alunos. Coelho (1996) considera, ainda,

que, com o recurso a este ambiente, “se conseguiu quebrar certos bloqueios em relação à matemática” (205).

De uma forma geral, também se conclui que, a construção do conhecimento, quando mediado pelo computador, atinge outras dimensões (Coelho, 1996) confirmando-se “a hipótese defendida teoricamente de que a realização, justificação e investigação de construções em AGD pode constituir uma estratégia de intervenção poderosa para a aprendizagem da Geometria” (Junqueira, 1995: 235).

Monteiro (1992), citando duas professoras de matemática do 2º Ciclo que participaram numa experiência de utilização sistemática do computador na sala de aula, em 1989, em Lisboa, escreve:

Os alunos gostam de trabalhar nos computadores e assim acabam por gostar também de Matemática... eles perguntam-me, ansiosos, quando vamos ter computadores e não me perguntam quando vamos ter Matemática [e] pela experiência que tenho de trabalho na sala de aula de Matemática com computadores, tenho observado que alguns alunos fracos a Matemática são muito bons quando vão para o computador. Isso faz com que eles se tornem interessados e acabem por aprender alguma coisa. Principalmente adquirem auto-confiança. (1)

Desta forma, mesmo acreditando que o computador não vem resolver o problema do insucesso escolar ainda que se pense que os computadores podem ‘adocicar’ a matemática para melhor ‘fazer engolir a pastilha amarga’, o computador permite actividades estimulantes “provocam neles [alunos] o interesse sempre redobrado, descobrem motivações insuspeitadas, desencadeiam envolvimentos, onde, por vezes, professores e alunos aprendem juntos, muito mais do que a geometria ou a resolver problemas previstos” (id: ib). Para além disso, acrescenta esta investigadora:

Todos sabemos que as metodologias são conteúdos de aprendizagem, isto é, o modo como aprendemos é também em si mesmo um saber que se adquire. Se aprendermos com lápis e papel, num esforço solitário, aprenderemos provavelmente coisas diferentes do que se utilizarmos materiais diversificados, podendo discutir ideias com os colegas de grupo. Aprenderemos neste último caso, além do tópico em questão, a explicitar o nosso raciocínio, e a relacionarmo-nos com os outros, por exemplo. Também quando se aprende Matemática através dos computadores, vai-se forçosamente adquirindo conhecimentos informáticos, ou pelo menos, vai-se criando toda uma cultura informática, que inclui novos hábitos e novas perspectivas relativamente ao modo como se pode aprender. (1)