Tendências e recomendações

Depois de um período marcado pela ausência (ou quase) de geometria em muitos planos de estudo, assiste-se, agora, a uma viragem. Como diz Guzmán (2003), “como reacção ao abandono injustificado da geometria intuitiva nos nossos programas de que se pode culpar a corrente «matemática moderna», hoje considera-se uma necessidade inadiável, do ponto de vista didáctico, científico, histórico, recuperar o conteúdo espacial e intuitivo de toda a matemática” (22) ou seja, a geometria.

Em termos práticos, tal recuperação, corresponde a uma valorização do passado das crianças quando ingressam na escolaridade formal. Tal como diz César (1996), “a Escola deve aprender a valorizar mais os conhecimentos com que as crianças chegam, a criar pontes entre o mundo das crianças e o que ela pretende ensinar e a potencializar o desenvolvimento de cada criança” (18). Dado que tais conhecimentos, resultam,

fundamentalmente, da interacção com o meio ambiente, parecer-nos-ia anti-natural a não inclusão da geometria no currículo do 1º Ciclo do Ensino Básico, sob pena de se estar a desvalorizar toda a experiência vivida pelas crianças antes de se iniciarem na escolaridade básica e a destituir de qualquer utilidade todas as aquisições feitas (quer elas sejam do domínio cognitivo, afectivo ou social) até essa altura.

Guzmán (2003), sem se referir, em particular, à geometria euclidiana, reconhece que o estudo da geometria é importante porque estimula a capacidade do homem para explorar racionalmente o espaço físico em que habita, a figura e a forma física.

Referindo-se a Freudenthal (1973), Ponte (2000) reconhece, também, que “a Geometria - como estudo das formas no espaço e das relações espaciais – oferece às crianças uma das melhores oportunidades para relacionar a Matemática como o mundo real [e] constitui um tema unificador na aprendizagem da Matemática” (165) porque fornece formas de representação, com forte apelo visual para vários tópicos desta disciplina.

J. M. Matos (2001), referindo o mesmo autor, reitera a importância da inclusão da geometria nos planos de estudo porque, como diz, “a matemática quando vai ser aprendida, deveria estar intimamente ligada à realidade” (2). Assim, considera que a geometria se presta à aprendizagem da ‘matematização’ da realidade e para a realização de descobertas que, sendo feitas, também, “com os próprios olhos e mãos, são mais convincentes e surpreendentes [e] tem ainda a capacidade para fazer as crianças sentir a partir da necessidade lógica das suas conclusões, a força do espírito humano, ou seja do seu próprio espírito”. (ib: id)

Aliás, Saraiva (1992), referindo Hadamard (1945), afirma que “os matemáticos, na sua actividade profissional, utilizam imagens e estas, muitas das vezes, são de natureza Geométrica [...]. Um matemático quando está a pensar evita, geralmente, utilizar palavras ou mesmo símbolos algébricos (ou outros) - ele utiliza imagens” (1). De acordo com o mesmo autor, em carta dirigida por Einstein a Hadamard pode ler-se:

As palavras e a linguagem escrita ou oral parecem não desempenhar nenhum papel no meu pensamento. Os construtores psicológicos, que são os elementos do pensamento, são certos sinais ou figuras, mais ou menos claros, que podem ser reproduzidos e combinados em liberdade. (Saraiva, 1992: 2)

Segundo J. M. Matos (2001) “a educação em geometria pode ser abordada, construindo o conhecimento informal dos estudantes em torno dos aspectos geométricos de situações realistas” (6) considerando estas situações, não as situações do dia-a-dia, mas as

situações da realidade sob o ponto de vista subjectivo, o que o leva a considerar que, por exemplo, um conto de fadas possa ser realista para alguém, enquanto que, para outros, não. Esta ideia está, de acordo com a sua opinião, subjacente ao desenvolvimento de alguns projectos desenvolvidos (e em curso) em vários países e que se baseiam em três princípios ou características chave:

a) o princípio da reinvenção através da matematização progressiva:

O princípio da reinvenção exige que seja dada ao estudante, oportunidade para reinventar a matemática, assim, quem desenvolve tal currículo, actuará como um explorador, iniciando um caminho de tarefas educativas, ao longo dos quais o processo reinvenção pode prosseguir. (Matos, J. M, 2001: 5)

b) a «análise fenomenologia didáctica»:

É uma característica que propõe a investigação de situações onde um dado tópico matemático é aplicado, para revelar, não só o tipo de aplicações (conhecimentos) que têm de ser antecipadas no ensino, como também considerar a conveniência de tais aplicações como pontos de partida para a matematização progressiva. (ib: id)

c) e, finalmente, o princípio que envolve os «modelos emergentes» segundo o qual se acredita que:

Estes modelos jogam como ponte entre o conhecimento informal dos estudantes e a matemática formal. Estes modelos podem ser uma situação, um esquema, uma descrição ou uma forma de notação e emergem daquelas actividades dos estudantes que os guiam para reinventar a matemática. (ib: id)

Este investigador acredita que, através deste processo, o conhecimento informal dos estudantes se torna matematicamente explícito e elaborado e serve como um ponto de lançamento para a matemática formal e que Gravemeijer (1998) (referido pelo autor) sustenta que esta abordagem, para a educação em geometria, não só apoia a visão da matemática como uma actividade humana como permite, sobretudo ao estudante, construir o seu conhecimento e reforçar a sua capacidade para reflectir.

Oliveira (1988) considerando que, em níveis básicos, a contagem e a medição são práticas comuns, argumenta que a intuição geométrica pode contribuir para melhor entender certos aspectos da álgebra e da aritmética. No seu entender, a geometria métrica prepara melhor para estudos mais avançados porque integra, de maneira natural, os outros ramos da matemática e advoga “para a Geometria um papel estruturante (destaque do autor) nos curricula de matemática escolar; quer dizer, em que os assuntos de Geometria, em cada ano escolar, é que determinam a inserção das restantes matérias [...] e não ao

contrário, como se fora um Apêndice que se pode dar apressadamente, conforme o tempo disponível”. (4)

Esta ideia é reforçada por alguns estudos, nomeadamente, aquele a que J. M. Matos (2001) faz referência. Segundo este investigador, analisando um projecto apoiado pela National Science Foundation, Connected Geometry, concluiu que uma abordagem da geometria centrada no desenvolvimento de ‘hábitos de pensamento’ aumentou, para alguns alunos, a coerência da matemática contribuindo para uma visão mais unificada desta área do conhecimento, permitindo uma ligação entre si das experiências que os alunos tinham em diversos ramos desta ciência, realçando temas unificadores internos da própria matemática e favorecendo conexões entre a matemática e as outras experiências dos alunos.

A ideia do carácter transversal e estruturante da geometria é reforçada, por exemplo, por Pinheio e Veloso (1994) quando afirmam que:

Uma abordagem da geometria centrada na resolução de problemas constitui uma fonte aliciante e muito rica de ideias matemáticas, que permite estabelecer conexões com quase todos os outros temas matemáticos. (22)

A necessidade de redefinir o lugar da geometria nos currículos escolares levou algumas organizações internacionais (eg. International Comission on Mathematical Instruction, referido por Junqueira, 1995) a propor a realização de uma conferência subordinada ao tema ‘Perspectives on the teaching of Geometry for the 21 st century’ (em Itália, em Setembro de 1995) e em cujo documento preparatório se salientava que:

A Geometria, considerada como uma ferramenta para compreender, descrever e interagir com o espaço no qual vivemos, é talvez a parte da Matemática mais intuitiva, concreta e ligada ao real. (Junqueira, 1995: 16)

Segundo o NCTM (2000):

Tem-se reconhecido nos últimos tempos a necessidade de se desenvolver nos alunos a capacidade do pensamento algébrico. Em consequência disso os Standards propõem uma quantidade significativa de álgebra. Cumulativamente, reconhece-se a necessidade de prestar mais atenção para a geometria nestes níveis de ensino [grade 6-8]. A facilidade no pensamento geométrico nestes níveis de ensino é essencial para o sucesso nos estudos posteriores de matemática e também em muitas situações fora da sala de aula de matemática. […] Consequentemente, nestes Standards recomenda-se mais geometria do que tem sido habitual. (NCTM, 2000, disponível a 1/2/2003 em http://standards.nctm. org/document /chapter1/index.htm)

Com o esquema seguinte (Figura 4), aquela organização pretende ilustrar o peso relativo de cada ‘bloco’ de conteúdos desde idades muito tenras (pré-escolar) até à idade que ronda os 12 anos e a que, no caso português, compreende alunos que frequentam as creches, antes mesmo de ingressarem nos jardins de infância e que termina, aproximadamente no final do 2º Ciclo do Ensino Básico.

Este esquema torna evidente a ideia de que a abordagem de conteúdos de geometria se deve iniciar desde a mais tenra idade e que, o seu peso relativo é o que permanece mais constante ao longo de todos estes anos de escolaridade. Por outro lado, verifica-se que o peso relativo atribuído a conteúdos do bloco ‘números e operações’, inicialmente semelhante ao bloco ‘geometria’ tende a reduzir, ao mesmo tempo que vai aumentado o bloco relacionado com a ‘álgebra’. Finalmente, verifica-se que em termos de recomendação, o peso relativo de conteúdos do ramo de ‘geometria’ nos currículos do 1º Ciclo do Ensino Básico (6-10 anos) é semelhante ao do ramo da ‘álgebra’, é ligeiramente superior ao ramo ‘números’ e substancialmente superior aos restantes.

No caso dos planos de estudo do 1º Ciclo do Ensino Básico em Portugal, podemos verificar que o ‘Bloco 2 – Forma e Espaço’ é um bloco que ganha o mesmo estatuto dos restantes. Verificamos, também, que, no que diz respeito às observações metodológicas, em termos de pressupostos, se admite uma experiência de descoberta do espaço e da forma anterior à entrada neste nível de ensino e que, sublinha o programa, “devem ser alargados na escola da mesma forma activa e dinâmica” (37) pelo que se considera ser “importante

Figura 4. Peso relativo dos diferentes blocos de conteúdos matemáticos para as faixas

etárias compreendidas entre os 2 e os 12 anos (aproximadamente) (recomendação do NCTM , 2000).

que as crianças encontrem na escola ambiente, oportunidade e material para se dedicarem a jogos e a brincadeiras que concorram para o desenvolvimento de noções geométricas” (ib: id). Por outro lado, considera-se, ainda, que o estudo da geometria poderá contribuir para que a criança, em diálogo com o professor e com os companheiros, para além das capacidades geométricas, desenvolva outras capacidades, nomeadamente, de comunicação e de raciocínio.

Para o nosso entusiasmo contribui, também, o facto de se considerar que este bloco poderá contribuir para conferir coerência, estabelecer ligações entre diversos assuntos matemáticos e proporcionar oportunidades para que se desenvolva, entre os alunos, a capacidade de produção de raciocínios demonstrativos.

Estas recomendações aproximam, portanto, os programas de matemática do 1º Ciclo do Ensino Básico de algumas recomendações, designadamente as do NCTM (2000) quando se refere, por exemplo, que “os estudantes devem poder explorar uma variedade de figuras geométricas e examinar as suas características. Para esse efeito devem utilizar muito material tal como o geoplano, papel ponteado [...] e software de geometria dinâmica para criar figuras bidimensionais”. (Disponível a 1/2/2003 em http://standards.nctm.org/ document/chapter1/index.htm)

Também, em termos de avaliação das aprendizagens na área de geometria, se identificam alterações significativas. Por exemplo, J. M. Matos (2002) fez uma tripla comparação entre o “saber matemático básico”26 da década de 50 e a actualidade utilizando para o efeito enunciados de exames do ensino primário propostos naquela década, uma colecção de exercícios destinados à preparação dos alunos para os exames dessa altura (o que o levaram a supor que seriam mais exigentes do que os exames normais) e as provas

de aferição de Matemática destinadas a alunos do actual 4º ano de escolaridade. Para além

dos comentários que faz, J. M. Matos (2002) apresenta exemplos de cópias dos enunciados a que faz referência. É interessante verificarmos que, por exemplo:

O exame compõe-se de cinco problemas matemáticos, embora de maior simplicidade do que os da Colecção27. Todos os problemas referem situações da vida real: compras de tecido, volumes de recipientes ou adições simples de quantidades de dinheiro. Todos são de natureza aritmética envolvendo apenas uma operação que, em dois casos, são adições de três parcelas. Apenas o 4º problema poderia ser mais difícil, tendo o aluno necessidade de relacionar o

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Título do artigo que publicou na revista Educação Matemática, nº 69 de Setembro/Outubro de 2002

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A Colecção diz respeito ao conjunto de exercícios destinados à preparação dos alunos para exame e que dava pelo nome de Colecção Bom Estudante.

volume de um prisma com a área da base, conhecendo a sua altura. [...] Em traços gerais: saber aplicar as quatro operações em contextos da vida diária e saber usar uma versão aritmetizada da geometria. (3-4)

Se por um lado, a geometria, se apresenta ‘aritmetizada’ no caso do exame, no caso da referida Colecção, tal parece ser mesmo assumido por parte dos autores uma vez que, apesar de se poderem identificar enunciados com alguma ligação com a área de geometria28, o facto é que são identificadas apenas três grandes áreas: Ditado, Redacção e Aritmética na qual, estes enunciados, se incluem.

Como exemplo de um enunciado de uma questão que figura na prova de aferição de Matemática do 1º Ciclo de 2002, J. M. Matos tomou a nº 4. Nessa questão apresentam-se 4 amigos que fazem comentários relacionadas com a respectiva altura e solicita-se, aos alunos, que escrevam a altura, em metros, de cada um dos quatro amigos.

J. M. Matos (2002) tece os seguintes comentários:

Embora apenas esteja envolvida a subtracção e a conversão de unidades de comprimento, para resolver o problema os alunos devem interpretar a informação apresentada directamente por numerais ou indirectamente através de relações entre os vários elementos. Não existe um algoritmo cuja aplicação imediata permita encontrar a resposta e uma estratégia de resolução requer a ordenação lógica dos diferentes tipos de dados e a definição de uma sequência de cálculos adequada. (4)

Exemplos semelhantes que apelam a capacidades de ordem superior como estimação, análise e interpretação de informação pouco estruturada, capacidade de argumentação e explicitação de raciocínio e capacidades de imaginação e visualização espacial, encontram-se noutras provas de aferição do mesmo ciclo de anos anteriores. (Ver Figuras 5 e 6).

Mas se por um lado, “a necessidade do regresso do espírito geométrico ao ensino da matemática é algo sobre o qual todos parecem estar de acordo” (Guzmán, 2003: 22), um aspecto que não está muito claro é “como se deve levar a cabo [tal movimento]” (ib: id). Contudo, Guzmán (2003) adverte:

É necessário evitar os extremos em que se incorreu, por exemplo, com a geometria do triângulo, tão em voga nos finais do século XIX. Também temos que evitar uma introdução rigorosamente sustentada de uma geometria axiomática. Possivelmente uma boa orientação poderia consistir no estabelecimento de uma base através de uns quantos princípios intuitivamente

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Exemplo de um enunciado: Quantos ladrilhos de dois decímetros quadrados e meio são necessários para ladrilhar uma casa de 28,75 m2

óbvios sobre os quais se poderiam efectuar desenvolvimentos locais interessantes da geometria métrica clássica, eleitos pela sua beleza e utilidade. As obras elementares de Coxeter podem ser talvez um exemplo a seguir no terreno. (ib: id)

Ou seja, este investigador também defende o regresso da geometria aos planos de estudo como objecto de ensino e de aprendizagem. Contudo, perante as dúvidas que ainda se colocam relativamente à forma como tal movimento deve ser conduzido, sugere alguma prudência para que não se caia em exageros sugerindo, no entanto, que uma boa orientação

Figura 6. Prova de aferição de Matemática 2001 - 4º Ano de escolaridade – Pergunta 11. Figura 5. Prova de aferição de Matemática 2000 - 4º Ano de escolaridade – Pergunta 9.

poderia consistir na utilização de uma metodologia ancorada nuns “quantos princípios intuitivamente óbvios” (24) a partir dos quais se poderiam efectuar desenvolvimentos, tendo em atenção as particularidades de cada local. Em última análise, este investigador valoriza as particularidades de cada sociedade, cultura, Escola e turma, porque são elas que, em última análise, determinam o interesse de determinados tópicos e oferecem o contexto para que os mesmos possam ser (ou não) considerados belos e/ou úteis.

Resumo

Do ponto de vista histórico e à semelhança do que aconteceu noutros países, também em Portugal se atravessou um período que, ao nível dos currículos de Matemática, principalmente de níveis de escolaridade mais elementares, ficou caracterizado por um abandono demasiado excessivo e prolongado de conteúdos de geometria. Apesar de ter havido algumas reformas curriculares, entre as razões que justificam tal abandono a nível de prática de sala de aula encontra-se, por exemplo, a ideia de que os alunos mais novos não tinham maturidade suficiente para a compreender. Em face disso, a formação em geometria dos professores destes níveis de ensino foi-se tornando cada vez mais deficitária levando a uma desvalorização social por estes assuntos o que poderá ter contribuído para uma agudização do problema.

Reconhecendo-se, hoje, que as crianças, mesmo antes de ingressarem na Escola, já tiveram experiências de carácter geométrico, e que o desenvolvimento do pensamento geométrico nestes níveis de ensino é essencial para o sucesso nos estudos posteriores de matemática e também em muitas situações fora da sala de aula de matemática, considera-se anti-natural esquecer todo o seu passado e uma necessidade inadiável de ‘recuperar’ o conteúdo espacial e intuitivo da matemática com a abordagem da Geometria. Alguns investigadores (e.g. Guzmán, 2003; Junqueira, 1995; Matos, 2001; Oliveira, 1988; Pinheio & Veloso, 1994; Ponte, 2003; Saraiva, 1992) consideram que a Geometria estimula a capacidade do homem para explorar racionalmente o espaço físico em que habita, se presta à matematização da realidade e para a realização de descobertas e confere coerência e consistência à matemática favorecendo as conexões entre a matemática e as outras experiências dos alunos, defendendo-se um currículo elaborado em torno da Geometria e não o contrário. Esta ideia começa a estar presente não só ao nível dos pressupostos teóricos subjacentes aos actuais planos de estudo do 1º Ciclo do Ensino Básico em

Portugal como, também, ao nível das recomendações e sistemas de avaliação dos alunos que o frequentam.

3. O Cabri-Géomètre e o processo de ensino e de aprendizagem da geometria no 1º