OS SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS EM MATERIAIS DIDÁTICOS

Pretendemos nesse tópico observar, no Brasil, como os Sólidos Arquimedianos são abordados e como estão organizados em materiais didáticos, paradidáticos e materiais de apoio ao professor.

Fernandes (2008) em sua dissertação de mestrado realizou esse levantamento e constatou que o objeto matemático Sólidos Arquimedianos não aparecia explícito nos materiais pesquisados. Dos nove livros observados, a autora constatou que esse conteúdo aparecia apenas por meio de exemplos e exercícios, em geral, relacionados à Relação de Euler e à convexidade, mas sem qualquer definição ou mesmo nomeação correspondente. O icosaedro truncado é o sólido arquimediano que mais aparece, provavelmente, por ser associado à bola de futebol.

Persistindo nessa busca, encontramos um material do GESTAR3 que aborda esse conteúdo matemático com definição e exemplos, Caderno de Teoria e Prática 3: matemática nas formas geométricas e na ecologia. A definição apresentada dos Sólidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 7, se confunde com a de poliedros semi-regulares, que em geral são tratados como sinônimos.

Figura 7. Definição de Sólidos Arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p.98.

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Programa de Gestão Escolar aprovado pelo Ministério da Educação para oferecer formação continuada em língua portuguesa e matemática aos professores do ensino fundamental (6º ao 9º ano) em exercício nas escolas públicas. Esse material tem sido usado na formação de professores na Bahia, Tocantins e

Essa definição comunga da mesma idéia de Veloso (1998) que apresenta os Sólidos Arquimedianos da seguinte maneira:

se na definição que demos de poliedro regular mantivermos a condição das faces serem polígonos regulares, mas não a de serem todas congruentes, obtemos uma família mais ampla de sólidos, estudada por Arquimedes (287 – 212 a. C.). Note-se que as arestas são todas congruentes, e os vértices também. As faces são polígonos regulares, mas enquanto nos platônicos eram apenas de um tipo, aqui poderão ser de vários tipos. É ainda necessário acrescentar a condição de que todo o vértice pode ser transformado noutro vértice por uma simetria de poliedro. A estes sólidos é habitual chamar arquimedianos ou semi-regulares. (Ibid., p.235).

No Caderno de Teoria e Prática 3, ainda estão ilustrados três poliedros– prisma reto triangular, prisma reto hexagonal e octaedro truncado –, como mostra a Figura 8, apresentados como arquimedianos.

Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p.99.

Segundo Veloso (1998, p. 235),

os prismas cujas faces laterais são regulares, de acordo com a definição dada, são arquimedianos. Do mesmo modo, também os antiprismas de faces regulares são arquimedianos. No entanto, os infinitos prismas e antiprismas não são em geral incluídos na família dos arquimedianos.

De acordo com Eves (2004, p. 358), um antiprisma

é obtido de um prisma efetuando-se uma rotação de sua base superior em seu próprio plano de modo a fazer seus vértices corresponderem aos lados da base inferior, e ligando então, em zigue-zague, os vértices das duas bases.

Os prismas e antiprismas retos de base regular cujas faces laterais são quadrados e triângulos eqüiláteros respectivamente contemplam a definição dos Sólidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 9. No entanto, para Veloso (1998) a família dos arquimedianos é finita, uma vez que temos infinitos prismas e antiprismas retos de bases regulares, isto é, de vértices do tipo (4,4,n) e (3,3,3,n) respectivamente, sendo n o número de lados do polígono base. O autor, ainda assinala que, assim como os platônicos, podemos investigar quantos poliedros arquimedianos podem existir e chegaríamos à conclusão que não podem existir mais do que treze tipos de poliedros diferentes.

Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares.

Além do material anteriormente citado, encontramos também no Brasil, um livro sobre poliedros produzido por Rangel (1982), Engenheiro Civil e Doutor em Ciências Físicas e Matemáticas. Segundo o próprio autor, o livro se originou

de uma apostila com circulação praticamente restrita, na época, à Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

O livro Poliedros apresenta um estudo detalhado a respeito dos Sólidos Arquimedianos contemplado com definição, classificação, propriedades, demonstração e ilustração dos treze sólidos. Para Rangel (1982), todo arquimediano é semi-regular, mas nem todo poliedro semi-regular é arquimediano. Segundo o autor,

poliedro semi-regular é todo poliedro que se apresenta de uma das duas seguintes formas:

1. Os ângulos sólidos são todos iguais entre si, mas as faces não são iguais, embora sejam polígonos regulares. Esses poliedros são chamados poliedros semi-regulares equiangulares ou poliedros semi-regulares arquimedianos.

2. As faces são todas iguais entre si, mas os ângulos sólidos não são iguais. Esses poliedros são chamados poliedros sem- regulares equifaciais ou poliedros semi-regulares não- arquimedianos. (Ibid., p.36).

O autor classifica os poliedros semi-regulares equiangulares ou arquimedianos em três grupos: os poliedros semi-regulares equiangulares individuais, que são os treze sólidos de Arquimedes; os prismas arquimedianos, prismas retos regulares; e os antiprismas arquimedianos, antiprismas retos regulares.

Embora o foco do nosso trabalho não esteja em observar currículos de outras áreas de conhecimento para ratificar a presença dos Sólidos Arquimedianos, o material produzido nos dá indícios que esses sólidos, com uma nomenclatura diferente da habitual, eram estudados na Engenharia.

Pelas observações realizadas, podemos constatar a carência de informações a respeito do objeto matemático Sólidos Arquimedianos no Brasil. A dificuldade de encontrar materiais, na Escola Básica, que discorram sobre os mesmos, pode ser uma possível causa para que muitos desconheçam sua existência.

Contudo vale ressaltar que nem sempre foi assim. Para confirmar essa assertiva, apresentamos dois livros de Desenho Geométrico que nos fornecem informações sobre alguns dos Sólidos Arquimedianos: Primeiras Noções de Geometria Prática de Olavo Freire, publicado em 1897 e Programa de Desenho

para a primeira e segunda séries ginasiais de Benjamin de A. Carvalho, publicado em 1960.

Para Freire (1897) os Sólidos Arquimedianos são irregulares e simétricos por terem todos os planos que os formam simetricamente dispostos. O autor ilustra cinco representações dos treze sólidos arquimedianos, com planificações de suas superfícies, mostradas na Figura 10, e nos indica o sólido a partir do qual se originam.

Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prática. Fonte: Freire, 1897, p. 151-155.

Entretanto Carvalho (1960, p.92) define os Sólidos Arquimedianos como poliedros “semi-regulares que têm suas faces formadas por polígonos regulares ou não, mas diferentes entre si, embora dispostos simetricamente no espaço” (CARVALHO, 1960, p.92). A Figura 11 ilustra três exemplos desses sólidos.

Figura 11. Sólidos considerados arquimedianos. Fonte: Carvalho, 1960, p. 93.

Os livros apresentados levam-nos a inferir que esse objeto matemático já fez parte da grade curricular de Matemática, mais especificamente em Desenho Geométrico, disciplina que de acordo com Zuin (2002), permaneceu oficialmente por quarenta anos consecutivos nos currículos escolares – 1931 a 1971.

Para compreender o motivo que levou ao “desaparecimento” desse conhecimento de ensino, procuramos identificar as possíveis causas do abandono da disciplina Desenho – Desenho Geométrico e Geometria Descritiva – da grade curricular de matemática.