PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA
SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO
DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO
MESTRADO PROFISSIONAL
EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2010
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA
SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO
DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a
orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva.
PUC/SP
2010
Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de foto copiadoras ou eletrônicos.
Dedico este trabalho aos meus pais, Henrique e Eliana, pelo amor, compreensão, paciência e incentivo sempre.
A
GRADECIMENTOS
Primeiro agradeço a DEUS e aos meus anjos da guarda, pela força, pela proteção e pela oportunidade de iniciar e concluir esta importante etapa de minha vida.
A querida Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva, pela orientação, apoio e amizade.
Ao Professor Mestre Mário Thomaz (in memorian), por ter me estimulado a iniciar o mestrado.
Aos membros da banca, Professores Doutores Iran Abreu Mendes e FumiKazu Saito, pelas valiosas sugestões e contribuições para essa pesquisa.
Ao corpo docente do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, especialmente, aos Professores Doutores Saddo Ag Almouloud, Benedito Antonio da Silva, Cileda de Queiroz e Silva Coutinho e Sandra Maria Pinto Magina. A todos os Funcionários do Centro de Ciências Exatas da PUC-SP, especialmente ao Francisco, pela amizade e pela ajuda final na formatação da dissertação.
Aos amigos do Programa de Estudos de Pós-Graduados em Educação Matemática, Juliana, Rosana, Pimenta, Ana Lúcia, Edna, Gilson, Victória, Patrícia, Ivete e Aida.
A querida amiga Victória, pela amizade, apoio e sugestões preciosas.
Aos meus amados pais, Henrique e Eliana, por me proporcionarem condições para estudar.
A minha avó Margarida, meu amor incondicional. Ao meu namorado Érico, pelo amor e apoio sempre. Ao meu tio Roberto, pelo carinho, amizade, apoio e acolhida nessa fase de minha vida.
A minha irmã Thais; meu cunhado Sandy; minhas tias Thereza, Alzira e Ulcirene; minhas primas Paloma, Ana Paula e Nayana. E a todos os meus familiares, por acreditarem em mim e por estarem sempre ao meu lado. A CAPES, pela concessão da bolsa de estudos.
A todas as pessoas que, de certa forma, contribuíram para a realização desta pesquisa.
R
ESUMO
O presente trabalho tem como objetivo revisitar o objeto matemático Sólidos Arquimedianos por meio de suas construções no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D. Assim, a pergunta de pesquisa foi: o objeto matemático Sólidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola Básica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D? Para investigar processos de construção para esses sólidos, recorremos a um estudo bibliográfico desenvolvido com base em material já elaborado, constituídos principalmente de livros e artigos científicos. O referencial teórico baseou-se na Transposição Didática e na Problemática Ecológica de Yves Chevallard (1991), para promover a articulação entre a análise epistemológica e a análise didática, além de apontar características outras que determinam a sobrevivência do objeto matemático Sólidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino, e na teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (1995), para identificar e analisar quais os registros mobilizados para a construção desses sólidos, bem como evidenciar os tratamentos e conversões efetuados. A escolha metodológica pela pesquisa bibliográfica contribuiu para o alcance do objetivo desejado, visto que nos permitiu encontrar um procedimento matemático realizado por renascentistas para a obtenção de arquimedianos a partir de cortes nas arestas de sólidos platônicos. As análises das construções realizadas ajudaram a perceber que os tratamentos apenas figurais não são suficientes para a construção dos Sólidos Arquimedianos no Cabri 3D, faz-se necessário mobilizar um registro discursivo suporte para que os pontos de corte em sólidos platônicos possam ser encontrados. Nesse sentido, constatamos que o Cabri 3D se confirmou como um habitat para o estudo dos Sólidos Arquimedianos, na medida em reconheceu como objeto todos os saberes que determinam a existência desse objeto matemático enquanto objeto de ensino.
A
BSTRACT
This research aims to revisit the mathematical object Archimedean Solids through their constructions on the environment of Dynamic Geometry Cabri 3D. Thus, the research question was: Can the mathematical object Solids Archimedean be rescued as the object of education for the Basic School using the environment as habitat Dynamic Geometry Cabri 3D? To investigate processes of construction for these solid, we resort to a bibliographic developed based on material already prepared, consisting of books and scientific articles. The theoretical framework was based on the Theory of Didactic Transposition to promote the relationship between the epistemological analysis and didactic analysis, while identifying characteristics that determine the survival of the Archimedean Solids mathematical object as the object of education, and the theory of Register of Representation Semiotics of Duval (1995), to identify and analyze the register mobilized for the construction of solid as well as highlight treatments and conversions made. The methodological choice for literature contributed to the achievement of the desired goal, since it allowed us to find a mathematical procedure performed by Renaissance to obtain Archimedean from cut edges of Platonic solids. The analysis of the constructions helped us realize that the only figural treatments are not sufficient for the construction of the Archimedean solids in Cabri 3D, it is necessary to mobilize a record discursive support for the cut-off points on Platonic solids can be found. Accordingly, we find that Cabri 3D was confirmed as a habitat for the study of Archimedean Solids, because recognized as an object all the knowledge that determine the existence of mathematical object as an object of education.
Key-words: Archimedean Solids. Cabri 3D. Didactic Transposition. Register of
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Representação de poliedro como sólido, superfície e estrutura. ... 23
Figura 2. Planificação da superfície de um poliedro. ... 23
Figura 3. Planificações de superfícies de poliedros. ... 24
Figura 4. Poliedro convexo e poliedro não-convexo. ... 25
Figura 5. Elementos de um poliedro ... 27
Figura 6. Diferentes tipos de ângulos. ... 28
Figura 7. Definição de Sólidos Arquimedianos. ... 38
Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. ... 39
Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares. ... 40
Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prática. ... 42
Figura 11. Sólidos considerados arquimedianos. ... 42
Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros. ... 48
Figura 13. Caixa de ferramentas poliedros regulares ... 48
Figura 14. Tetraedro regular ... 49
Figura 15. Caixa de medidas. ... 49
Figura 16. Comprimento do segmento AB. ... 49
Figura 17. Ferramenta ponto médio. ... 50
Figura 18. Ponto médio da aresta do prisma. ... 50
Figura 19. Ferramenta plano. ... 50
Figura 20. Plano de secção. ... 51
Figura 21. Ferramenta recorte de poliedro ... 51
Figura 22. Recorte de poliedro. ... 51
Figura 23. Ferramenta planificação. ... 52
Figura 24. Ferramenta abrir poliedro. ... 52
Figura 25. Planificação da superfície do dodecaedro regular. ... 52
Figura 27. Diferentes conversões. ...72
Figura 28. Sólidos de Platão. ...81
Figura 29. Descrição de Pappus sobre os sólidos arquimedianos. ...83
Figura 30. Tetraedro truncado e cuboctaedro. ...87
Figura 31. Escrito de Piero della Francesca de um Tetraedro truncado. ...88
Figura 32. Escrito de Piero della Francesca de um Cuboctaedro. ...88
Figura 33. Hexágono regular a partir de um triângulo eqüilátero. ...89
Figura 34. Tetraedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado. ...89
Figura 35. Cubo truncado e Dodecaedro truncado. ...90
Figura 36. Desenho de Leonardo da Vinci do Icosidodecaedro. ...91
Figura 37. Desenho de Leonardo da Vinci do Rombicuboctaedro...91
Figura 38. Icosidodecaedro e rombicuboctaedro. ...92
Figura 39. Cuboctaedro truncado e cubo achatado. ...93
Figura 40. Planificação da superfície do cubo achatado. ...94
Figura 41. Construção do cubo achatado a partir do cubo. ...94
Figura 42. Rombicosidodecaedro e icosidodecaedro truncado. ...95
Figura 43. Estrutura de poliedros em madeira. ...97
Figura 44. Planificação de superfície de poliedros em madeira. ...98
Figura 45. Dodecaedro achatado. ...99
Figura 46. Superfície de um dodecaedro achatado em madeira. ...99
Figura 47. Mistério Cosmográfico de Kepler. ... 101
Figura 48. Classificação de poliedros de Kepler ... 102
Figura 49. Exemplo Lema 2(i). ... 104
Figura 50. Exemplo Lema 2(ii). ... 105
Figura 51. Dois tipos de vértices de mesma espécie ... 106
Figura 52. Sólidos Arquimedianos. ... 121
Figura 53. Rombicuboctaedro e pseudo rombicuboctaedro. ... 123
Figura 55. Arquimedianos obtidos por truncaturas modificadas. ... 128
Figura 56. Truncamento tipo 1. ... 129
Figura 57. Truncamento tipo 2. ... 129
Figura 58. Eliminação do canto do tetraedro, do cubo e do dodecaedro. ... 130
Figura 59. Eliminação do canto do octaedro. ... 130
Figura 60. Eliminação do canto do icosaedro. ... 130
Figura 61. Cuboctaedro gerado a partir do cubo ou octaedro. ... 131
Figura 62. Icosidodecaedro a partir do dodecaedro ou icosaedro. ... 131
Figura 63. Face hexagonal. ... 132
Figura 64. Pontos de corte no triângulo. ... 133
Figura 65. Face octogonal. ... 133
Figura 66. Pontos de corte no quadrado. ... 134
Figura 67. Face decagonal. ... 135
Figura 68. Pontos de corte no pentágono. ... 135
Figura 69. Circunferência circunscrita ao decágono. ... 136
Figura 70. Triângulo 1. ... 137
Figura 71. Triângulo 1. ... 137
Figura 72. Ferramenta cubo. ... 141
Figura 73. Cubo... 141
Figura 74. Pontos médios das arestas do cubo. ... 142
Figura 75. Plano de secção (cubo). ... 142
Figura 76. Eliminação do canto do cubo. ... 143
Figura 77. Cuboctaedro. ... 143
Figura 78. Ferramenta octaedro regular. ... 143
Figura 79. Octaedro Regular. ... 144
Figura 80. Pontos médios das arestas do octaedro regular. ... 144
Figura 81. Plano de secção (octaedro regular). ... 144
Figura 83. Ferramenta dodecaedro regular. ... 145
Figura 84. Dodecaedro regular. ... 146
Figura 85. Pontos médios das arestas do dodecaedro regular. ... 146
Figura 86. Plano de secção (dodecaedro regular). ... 146
Figura 87. Eliminação do canto do dodecaedro regular. ... 147
Figura 88. Icosidodecaedro ... 147
Figura 89. Ferramenta icosaedro regular. ... 148
Figura 90. Icosaedro Regular. ... 148
Figura 91. Pontos médios das arestas do dodecaedro regular. ... 148
Figura 92. Plano de secção (dodecaedro regular). ... 149
Figura 93. Eliminação do canto do icosaedro regular. ... 149
Figura 94. Face triangular ABC. ... 152
Figura 95. Ferramenta tetraedro regular. ... 153
Figura 96. Tetraedro regular. ... 153
Figura 97. Arestas do tetraedro divididas em três partes congruentes. ... 153
Figura 98. Plano de secção (tetraedro regular). ... 154
Figura 99. Eliminação do canto do tetraedro regular. ... 154
Figura 100. Tetraedro truncado. ... 155
Figura 101. Ferramenta octaedro regular. ... 155
Figura 102. Octaedro regular. ... 155
Figura 103. Arestas do octaedro dividas em três partes congruentes. ... 156
Figura 104. Plano de secção (octaedro regular) ... 156
Figura 105. Eliminação do canto do octaedro regular. ... 157
Figura 106. Octaedro truncado. ... 157
Figura 107. Ferramenta icosaedro regular. ... 157
Figura 108. Icosaedro regular. ... 158
Figura 109. Arestas do icosaedro dividas em três partes iguais. ... 158
Figura 111. Eliminação do canto do icosaedro regular. ... 159
Figura 112. Icosaedro truncado. ... 159
Figura 113. Triângulo eqüilátero. ... 160
Figura 114. Ferramenta comprimento. ... 163
Figura 115. Comprimento da aresta (cubo). ... 163
Figura 116. Ferramenta calculadora. ... 163
Figura 117. Inserindo expressão na calculadora (cubo truncado). ... 164
Figura 118. Transferência de medida para a aresta do cubo. ... 164
Figura 119. Plano de secção (cubo II) ... 164
Figura 120. Eliminação do canto do cubo II. ... 165
Figura 121. Cubo truncado. ... 165
Figura 122. Conversão entre os registros figural e algébrico. ... 166
Figura 123. Inserindo a expressão na calculadora (dodecaedro truncado). ... 168
Figura 124. Transferência de medida para a aresta do dodecaedro regular. ... 168
Figura 125. Plano de secção (dodecaedro regular II). ... 169
Figura 126. Eliminação do canto do dodecaedro regular II. ... 169
Figura 127. Dodecaedro truncado. ... 169
Figura 128. Ferramenta transferência de Medidas. ... 184
Figura 129. Transferindo medidas. ... 184
Figura 130. Ferramentas distância e comprimento. ... 185
Figura 131. Calculadora. ... 185
Figura 132. Ferramenta semi-reta. ... 186
Figura 133. Criação semi-reta. ... 186
Figura 134. Ferramenta ponto. ... 187
Figura 135. Ponto 1 na semi-reta. ... 187
Figura 136. Ferramenta esfera. ... 187
Figura 137. Ponto 2 e ponto 3 na semi-reta. ... 188
Figura 139. Criação segmento. ... 188 Figura 140. Ferramenta paralela. ... 189 Figura 141. Criação paralelas. ... 189
LISTA DE QUADROS
Quadro 1. Recursos do Cabri 3D. ... 53
Quadro 2. Números de triângulos eqüiláteros que podem concorrer em um vértice. ... 80
Quadro 3. Números de quadrados que podem concorrer em um vértice. ... 80
Quadro 4. Números de pentágonos regulares que podem concorrer em um vértice. ... 80
Quadro 5. Características Poliedros de Platão. ... 82
Quadro 6. Descrição de Pappus sobre os sólidos arquimedianos. ... 84
Quadro 7. Sólidos Arquimedianos no Renascimento. ... 96
Quadro 8. Tipos de vértices que não formam um ângulo sólido. ... 104
Quadro 9. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de quatro lados e no máximo quatro polígonos de três lados. ... 107
Quadro 10. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de quatro lados e dois polígonos de três lados... 108
Quadro 11. Possibilidades de ângulos sólidos formados por três polígonos de quatro lados e dois polígonos de três lados. ... 109
Quadro 12. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de cinco lados e no máximo quatro polígonos de três lados.. ... 109
Quadro 13. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de cinco lados e no máximo dois polígonos de três lados.. ... 110
Quadro 14. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de seis lados e no máximo três polígonos de três lados. ... 111
Quadro 15. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de seis lados e um polígono de três lados. ... 112
Quadro 16. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de sete ou mais lados e três lados. ... 113
Quadro 17. Possibilidades de ângulos sólidos formados por mais de um polígono de sete ou mais lados e três lados. ... 114
Quadro 18. Possibilidades de ângulos sólidos formados por polígonos de quatro lados e cinco ou mais lados. ... 115
Quadro 19. Possibilidades de ângulos sólidos formados por polígonos de cinco lados e
seis ou mais lados. ... 116
Quadro 20. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de quatro lados, dois polígonos de três lados e um polígono de cinco ou mais lados. ... 117
Quadro 21. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de quatro lados e um polígono de cinco ou mais lados. ... 118
Quadro 22. Possibilidades de ângulos sólidos formados por três polígonos que não são de três lados. ... 119
Quadro 23. Pseudo Rombicuboctaedro. ... 122
Quadro 24. Características numéricas dos arquimedianos estudados. ... 172
S
UMÁRIO
CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 18
CAPITULO 1 – ESTUDOS PRELIMINARES ... 22
1.1IDÉIADEPOLIEDRO ... 22
1.2ALGUNSESTUDOSEMGEOMETRIAESPACIAL... 28
1.3OSPOLIEDROSNOSDOCUMENTOSOFICIAIS ... 34
1.4OSSÓLIDOSARQUIMEDIANOSEMMATERIAISDIDÁTICOS ... 38
1.5DESENHOGEOMÉTRICOEGEOMETRIADESCRITIVA ... 43
1.6GEOMETRIADINÂMICAECABRI3D ... 46
1.7OSTRÊSPÓLOSDACOMUNICAÇÃO ... 54
CAPÍTULO 2 – PROBLEMÁTICA ... 58
2.1DELIMITAÇÃODOPROBLEMA ... 58
2.2PROCEDIMENTOSMETODOLÓGICOS ... 59
2.3QUADROTEÓRICO ... 60
2.3.1 NOÇÃO DE TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA E A PROBLEMÁTICA ECOLÓGICA ... 61
2.3.2 REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA ... 66
CAPÍTULO 3 – ESTUDO HISTÓRICO ... 78
3.1POLIEDROSREGULARES ... 78
3.2ODESENVOLVIMENTODOSSÓLIDOSDEARQUIMEDES ... 82
3.3SOLIDOSARQUIMEDIANOSNORENASCIMENTO... 85
3.4SISTEMATIZAÇAODEKEPLER ... 100
3.5TREZEOUQUATORZEARQUIMEDIANOS? ... 121
CAPÍTULO 4 – ESTUDO DIDÁTICO E MATEMÁTICO ... 126
4.1OPERAÇÃODETRUNCAMENTO ... 126
4.1.1 ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO 1 ... 131
4.1.2 ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO 2 ... 132
4.2.ASCONSTRUÇÕESESUASANÁLISES ... 140
4.2.1 TRUNCAMENTO TIPO 1 ... 141
4.2.2 TRUNCAMENTO TIPO 2 ... 152
4.3ASCARACTERÍSTICASNUMÉRICASDOSPOLIEDROSOBTIDOS ... 172
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 176
REFERÊNCIAS ... 180
APÊNDICE A: TRANSFERINDO MEDIDAS NO CABRI 3D ... 184
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
1As possibilidades interativas advindas da informática e os seus diversos usos na educação matemática são aspectos que sempre chamaram minha atenção. Talvez pelo fato de ter formação na área de tecnologia, além de ser professora de matemática.
De fato meu interesse estava, desde meu ingresso no mestrado ou mesmo antes, em desenvolver um trabalho em geometria espacial auxiliado pelo ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D, software que conheci em 2004 na condição de aluna da especialização em educação matemática da Universidade do Estado do Pará. Assim, faltava escolher o objeto matemático de estudo para dar início a pesquisa.
No programa de Pós Graduação em Educação Matemática da PUC-SP, eu e outra aluna, tivemos a oportunidade de ministrar uma oficina de Cabri 3D. Nosso intuito era apresentar as ferramentas e recursos do software via construções geométricas espaciais. Para isso, elaboramos um material que apresentava tais ferramentas e recursos por meio de atividades propostas. Uma das atividades trazia o passo a passo da construção do sólido arquimediano cuboctaedro, sem, no entanto nomeá-lo ou mesmo ilustrá-lo.
Observamos que essa atividade incomodou vários de nossos colegas presentes, pois uma vez concluída a construção a mesma era apagada e recomeçada, como se a figura gerada não fosse à esperada. Essa situação nos fez perceber que a maioria dos alunos desconhecia o cuboctaedro, bem como os outros Sólidos Arquimedianos.
A situação exposta me levou a procurar trabalhos em geometria espacial que discorressem a respeito desses sólidos, na tentativa de talvez entender o porquê desse não conhecimento. No entanto, para minha surpresa, percebi que pesquisas e até mesmo livros de geometria espacial a respeito do assunto quase inexistiam no Brasil.
____________
1
Essa inquietação contribuiu em grande parte para a escolha do tema do presente trabalho na medida em que me fez investigar além do objeto matemático em questão, processos de construções para esses sólidos.
Desse modo, eu e minha orientadora decidimos desenvolver nosso estudo no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D, por o considerarmos uma ferramenta potencial de ajuda ao raciocínio, principalmente pela possibilidade de corrigir e aperfeiçoar continuamente construções geométricas espaciais ao longo das simulações.
Para tanto, tomamos por hipótese que o Cabri 3D possibilita o estudo dos Sólidos Arquimedianos, pois além de favorecer a representação de objetos tridimensionais, permite manipulá-las, o que facilita a exploração e a elaboração de conjecturas. Desse modo, objetivamos com a pesquisa revisitar o objeto matemático Sólidos Arquimedianos por meio de suas construções no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D.
Assim, nos propomos responder à seguinte questão de pesquisa: O objeto
matemático Sólidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola Básica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D? Para respondê-la investigamos na história
processos de construção para esses sólidos e verificamos se o ambiente proposto permite que tais construções sejam realizadas.
O presente trabalho foi estruturado em quatro capítulos. No primeiro capítulo, apresentamos estudos preliminares importantes para a composição de nossa problemática. Nesse capítulo, destacamos algumas idéias que envolvem o termo poliedro, apontamos como os Sólidos Arquimedianos são abordados em pesquisas realizadas em Educação Matemática, nos documentos oficias e em materiais didáticos, assinalamos as possíveis causas para o declínio das disciplinas Desenho Geométrico e Geometria Descritiva, bem como apresentamos uma reflexão acerca da complementaridade entre as duas disciplinas citadas e o ambiente Cabri 3D.
No segundo capítulo trazemos a problemática, na qual destacamos nosso problema de pesquisa, procedimentos metodológicos e nosso quadro teórico. O terceiro capítulo tece considerações a respeito da história dos Sólidos de
Arquimedes, traz a demonstração da existência de apenas treze sólidos e apresenta um procedimento matemático descoberto no Renascimento que possibilita a construção dos mesmos.
No último capítulo, apresentamos o nosso estudo didático e matemático a respeito dos Sólidos Arquimedianos que aponta uma possibilidade para o ensino e aprendizagem e sua inclusão na Educação Básica por meio do ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D. Essa possibilidade está atrelada a sistematização do procedimento de construção renascentista.
Por fim, apresentamos algumas considerações finais, oriundas das construções realizadas no Cabri 3D, a resposta para a nossa questão de pesquisa, bem como algumas perspectivas futuras.
CAPITULO 1 – ESTUDOS PRELIMINARES
Iniciamos o capítulo com algumas idéias que envolvem o termo poliedro e com a apresentação de alguns estudos já realizados em Geometria Espacial. Em seguida, destacamos como os documentos oficiais sugerem o ensino dos Sólidos Arquimedianos, bem como a maneira que esse conteúdo é abordado em materiais didáticos. Por fim, apontamos as possíveis causas do abandono das disciplinas Desenho Geométrico e Geometria Descritiva, um possível ambiente informático que possibilite o estudo de poliedros, além de uma reflexão acerca da complementaridade existente entre o Desenho Geométrico, a Geometria Descritiva e o ambiente informático proposto.
1.1 IDÉIA DE POLIEDRO
Wenninger (1996) lembra que a geometria é, por vezes, definida como o estudo do espaço ou de figuras no espaço de duas dimensões, para as figuras planas, polígonos, e de três dimensões para poliedros. A idéia de conjunto é utilizada pelo autor para definir polígono como um conjunto de segmentos que limitam uma porção do espaço bidimensional, e poliedros como um conjunto de figuras planas que limitam uma porção do espaço tridimensional.
Para Cromwell (2008) a definição de poliedros assinalada por Wenninger (1996) pode ser interpretada de muitas maneiras, pois não fornece qualquer restrição para a forma como os polígonos estão dispostos ou que tipos de polígonos podemos usar. No entanto para o autor, tal definição tem sido produtiva, já que possibilita o termo poliedro envolver várias direções e conduzir para o estudo de diferentes tipos de objetos poliédricos.
O autor, ainda, afirma que estabelecer uma definição geral para poliedros é impossível, uma vez que diversos escritores têm aplicado o mesmo termo para idéias distintas, algumas mutuamente exclusivas. Se em um nível mais elementar perguntarmos se um poliedro é um objeto sólido ou uma superfície oca, para Cromwell (2008) essas respostas dependem do período em que os geômetras viveram e os problemas que eles estudaram. Para um agrimensor da Grécia antiga, por exemplo, um poliedro era um sólido, ao longo dos últimos anos,
tornou-se, segundo o autor, mais conveniente pensar em poliedros como superfícies ocas. Entretanto, o autor aponta que há ainda estudiosos que consideram poliedros apenas como estrutura, como mostramos na Figura 1.
Figura 1. Representação de poliedro como sólido, superfície e estrutura.
No Brasil, de acordo com o Novo Dicionário da Língua Portuguesa (Aurélio), o termo poliedro é designado para “sólido limitado por polígonos planos”. Contudo ao observarmos a definição de Poliedro apresentada em livros de Geometria Espacial, percebemos contradições nos discursos dos autores, que embora considerem poliedros como sólidos, não os definem como tal.
Freire (1897, p. 146) em Primeiras Noções de Geometria Prática admite poliedro como sendo “os volumes limitados por superfícies planas”. Em um primeiro momento, a definição dada nos permite considerar poliedro como sólido, entretanto, há uma passagem no livro em que o autor revela as faces como “os planos que formam o poliedro”. (Ibid., p.147). Tal afirmação se confirma nas representações de poliedros, observadas na Figura 2, em que o autor apresenta a planificação como exemplo do mesmo.
Figura 2. Planificação da superfície de um poliedro. Fonte: Freire, 1897, p. 151.
Para Carvalho (1960, p. 80), em Programa de Desenho para a primeira e segunda séries ginasiais, os poliedros “são sólidos completamente limitados por polígonos planos” e os sólidos são caracterizados por possuírem três dimensões: comprimento, largura e altura ou espessura. No entanto, o exemplo dado pelo autor, conforme mostra a Figura 3, elucida a idéia de poliedro apenas como uma superfície.
Figura 3. Planificações de superfícies de poliedros. Fonte: Carvalho, 1960, p.93.
Lima et. al. (1999) em A Matemática do Ensino Médio iniciam a discussão a respeito de Poliedro designando-o, de uma forma geral, como sólido formado por faces, mas o definem como “uma reunião de um número finito de polígonos planos”. (Ibid., p.232).
Para os mesmos autores, conforme mostra a Figura 4, “um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos. (LIMA ET AL, 1999, p.233).
Figura 4. Poliedro convexo e poliedro não-convexo. Fonte: Lima et. al., 1999, p. 233.
A definição adotada pelos autores torna clara a idéia de poliedro como superfície. Contudo, vale ressaltar que em outro momento, os mesmos autores estudam o volume de poliedros e o definem como “a quantidade de espaço por ele ocupado”. (LIMA et. al., 1999, p.251).
Diferente das definições já apresentadas, Rangel (1982, p. 6) afirma que poliedro é toda superfície poliédrica fechada. É, portanto, a superfície que pode ser concebida como um conjunto de polígonos tais que cada lado de uma face pertence sempre, e no máximo, a duas faces.
De acordo com o autor, por hábito de linguagem, é comum se referir ao nome do corpo, em vez do nome da superfície que o limita, como por exemplo, diz-se cubo, quando se quer referir à superfície cúbica. Embora a idéia de poliedro para o autor seja a de superfície, ele considera seu volume quando diz que “dois poliedros são eqüilaventes quando têm o mesmo volume”. (Ibid., p. 9). Nesse sentido, o autor confunde volume com capacidade.
Já Dolce e Pompeo (1998, p.124), em Fundamentos de Matemática Elementar: geometria espacial, discorrem a respeito de Poliedro Convexo como segue.
Consideremos um número finito n (n 4) de polígonos planos convexos (ou regiões poligonais convexas) tais que:
a) dois polígonos não estão num mesmo plano;
b) cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos;
c) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semi-espaço.
Nessas condições, ficam determinados n semi-espaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contém os restantes. A intersecção desses semi-espaços é chamado poliedro convexo.
Um poliedro convexo possui: faces, que são os polígonos convexos; arestas, que são os lados dos polígonos e vértices, que são os vértices dos polígonos.
A reunião das faces é a superfície do poliedro.
A definição apresentada de poliedro convexo como a intersecção de semi-espaços nos conduz assumir poliedro não como um sólido. Assim, em um primeiro momento, somos levados a crer que os autores entendem poliedro como uma superfície.
No entanto, os mesmos autores, em Fundamentos de Matemática Elementar: geometria plana, definem polígono como a reunião de segmentos e não como uma superfície, como segue:
dada uma seqüência de pontos de um plano (A1, A2,..., An) com
n ≥ 3, todos distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, considerando-se consecutivos An-1, An e A1, assim
como An, A1, e A2, chama-se polígono à reunião dos segmentos
A1A2, A2A3, ..., An-1An, An A1 (POMPEO e DOLCE, 2006, p. 132).
Se considerarmos a definição de polígono apresentada pelos autores, a idéia de poliedro como superfície também é descartada, pois, a idéia que prevalece é a de poliedro como estrutura, e, portanto, não há volume e nem capacidade.
Kaleff (1998), embora não defina Poliedros, em Vendo e Entendendo Poliedros, a todo momento designa-o como um sólido. Tal interpretação ocorre quando a autora descreve dois tipos de representação concreta que podem favorecer o reconhecimento e análise de propriedades geométricas por parte do aluno: o modelo casca, que representa a superfície do poliedro, e o modelo esqueleto, que representa a estrutura das arestas do poliedro.
A maioria das definições apresentadas nos conduz a um problema que envolve a interpretação do termo poliedro. Ora, se considerarmos poliedro como a reunião de um número finito de faces, entendemos que a idéia que prevalece é a de um objeto oco e não a de um objeto sólido, e nesse caso não há volume, mas
sim capacidade. A idéia de volume nos remete a admitir poliedro como algo que não seja oco, nem vazio.
Ponte (2000, p.15) adverte que
a capacidade é muitas vezes confundida com o volume e, por vezes, as crianças têm dificuldade em separar o volume de um objeto do seu peso. Enquanto que volume de um objeto é a quantidade de espaço que ocupa, a capacidade é a quantidade de espaço ou de líquido que pode conter.
Diante das definições apresentadas, percebemos contradições na maioria dos discursos dos autores em relação ao termo poliedro. Acreditamos que, embora seja possível definir poliedro de diferentes maneiras, isto é, como sólido, como superfície ou ainda como estrutura, precisamos ser coerentes com a definição adotada.
No trabalho, assumimos a idéia de poliedro como um sólido e adotamos a definição de poliedro convexo apresentada por Dolce e Pompeo (1998). Contudo, definimos polígono como “a reunião de uma linha fechada simples formada apenas por segmentos de reta com a sua região interna”, conforme Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. (1998, p. 202).
Alguns termos básicos, listados abaixo e ilustrados na Figura 5, serão mencionados no decorrer do trabalho.
Cada polígono é chamado de face de um poliedro.
Um segmento comum a duas faces é chamado de aresta.
Um ponto comum a várias arestas e faces é chamado de vértice.
Figura 5. Elementos de um poliedro Fonte: Cromwell, 2008, p.13.
vértice
aresta
Existem também vários tipos de ângulos em um poliedro: ângulo plano, ângulo sólido e ângulo diedral, respectivamente mostrados na Figura 6. O ângulo no canto de uma face poligonal é chamado de ângulo plano. O ângulo sólido é a região do poliedro próxima a um vértice, em outras palavras, é um pedaço do canto e está delimitada por três ou mais ângulos planos. O ângulo entre duas faces adjacentes é chamado de ângulo diedral e para encontrá-lo marca-se um ponto na aresta compartilhada e cria-se uma perpendicular à aresta em cada uma das duas faces passando pelo ponto marcado. O ângulo diedral é o ângulo entre as duas linhas.
Figura 6. Diferentes tipos de ângulos.
Assim, em continuidade aos nossos estudos analisamos as pesquisas que se aproximam do tema de pesquisa.
1.2 ALGUNS ESTUDOS EM GEOMETRIA ESPACIAL
Nessa parte do trabalho, procuramos analisar as pesquisas em Geometria Espacial que retratassem em seus estudos os Sólidos de Arquimedes.
A procura no Banco de Dissertações e Teses da Capes por pesquisas em Geometria Espacial, considerando o descritor “geometria espacial”, nos conduziu a um total de 35 trabalhos, 27 relacionados à Educação ou Educação Matemática, 4 à Engenharia, 1 à Biologia, 1 à Ciências Ambientais, 1 à Ciência da Comunicação e 1 à Ciência da Computação.
Das pesquisas relacionadas à área de Educação ou Educação Matemática, percebemos que apenas duas retratam em seus estudos os Sólidos Arquimedianos. No entanto, esse levantamento nos permitiu constatar que 19
pesquisas se aproximam por considerarem a representação e visualização em Geometria Espacial, habilidades importantes para o desenvolvimento do raciocínio geométrico espacial do indivíduo.
Nesse sentido, procuramos então, não apenas no Banco de Teses da Capes, mas no Brasil, por estudos em Matemática e em Educação Matemática que discutissem a questão da visualização e representação em Geometria Espacial, e também por pesquisas que abordassem o conteúdo matemático Sólidos Arquimedianos.
Nessa busca encontramos vários estudos em Educação Matemática que ressaltam a importância de se incentivar o desenvolvimento da habilidade de visualizar tanto objetos do mundo real, quanto conceitos, processos e fenômenos matemáticos. Dentre esses, destacamos os trabalhos de Kaleff e Rei (1994); Kaleff, Rei e Garcia (1996) e Kaleff (1998) relacionados à visualização e interpretação de sólidos geométricos e os estudos de Cavalca (1997), Montenegro (2005) e Flores (2007) que retratam a questão da visualização de forma mais abrangente. Quanto a trabalhos que abordam o objeto matemático Sólidos Arquimedianos, encontramos apenas o estudo de Allan (1997) e as dissertações de Fernandes (2008) e Silva (2008).
As dificuldades apresentadas pelos alunos na visualização de sólidos geométricos e a desmotivação que muitos apresentavam nas aulas de Geometria Espacial levaram Kaleff e Rei (1994) a procurar meios que facilitassem o ensino de propriedades geométricas dos sólidos e tornassem esse ensino mais atrativo e motivador.
Para as autoras umas das formas de se desenvolver o raciocínio espacial seria construir os sólidos geométricos por meio de materiais concretos. Tais construções dariam ao aluno não só a oportunidade de observar e utilizar várias relações espaciais, mas ao mesmo tempo, por meio da manipulação dos materiais concretos, o mesmo seria motivado à ação e teria estimulada a sua criatividade.
Foi nesse sentido que Kaleff e Rei (1994) utilizaram, em suas práticas materiais concretos, como canudos e varetas, para a construção de estruturas que representassem “esqueletos” dos cinco sólidos platônicos construídos por
meio de suas arestas. A seqüência de construção dos sólidos foi à seguinte: tetraedro, octaedro, icosaedro e cubo. As autoras assinalaram que alunos entre 13 e 15 anos perceberam que, após construírem os quatros sólidos, a idéia da construção do dodecaedro surgiu naturalmente. Dessa forma, enfatizaram a importância de uma abordagem pedagógica que permita o aluno criar imagens, interpretar desenhos, conjecturar e intuir soluções para problemas, habilidades úteis não apenas para o desenvolvimento de idéias matemáticas, mas também para o desenvolvimento integral do ser humano.
Já Kaleff, Rei e Garcia (1996) com o propósito de investigar como professores e futuros professores interpretavam desenhos e calculavam volumes de sólidos construídos por pequenos cubos, desenvolveram um estudo com 590 indivíduos, entre professores e alunos do curso de graduação em matemática, com diferentes experiências de escolaridade e em diferentes meios sociais. Para avaliar e quantificar tais observações, as autoras elaboraram e aplicaram um questionário relacionado a objetos tridimensionais.
Com as respostas dadas as autoras constataram significativas deficiências apresentadas pelos sujeitos investigados no que tange a visualização e interpretação de informações pictóricas implícitas, necessárias para a determinação do volume de sólidos, além de deficiências outras relativas a diversos conceitos matemáticos elementares.
A preocupação com a visualização em Geometria levou Kaleff (1998) a desenvolver um trabalho que contribuísse para sua valorização, enfatizando as representações e suas interpretações. Nesse sentido, um material para professores foi desenvolvido para que conteúdos pouco explorados nos programas escolares, como os sólidos platônicos e os poliedros regulares convexos duais2, fossem revisitados e vivenciados de maneira dinâmica e objetiva.
Para Kaleff (1998, p.16) “ao visualizar objetos geométricos, o indivíduo passa a ter controle sobre o conjunto das operações mentais básicas exigidas no trato da Geometria”. Contudo, segundo a autora, é importante não confundir a ____________
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Segundo Veloso (1998), diz-se que dois poliedros são duais um do outro se consideramos um poliedro qualquer e obtermos os vértices do outro poliedro a partir dos pontos centrais das faces
habilidade de perceber o objeto matemático em sua totalidade, habilidade de visualização, com a percepção visual das representações disponíveis deste objeto.
A autora pontua que embora haja muitas discussões sobre a forma como a visualização se processa na mente, é importante considerá-la principalmente na Geometria e assinala que a habilidade de visualização não é inata a todos os indivíduos, contudo pode ser desenvolvida. Para Kaleff (1998), um dos caminhos seria dispor de um apoio didático baseado em materiais concretos representativos do objeto geométrico de estudo.
Compartilhando esta mesma assertiva, de que alguns indivíduos simplesmente não possuem capacidade de visualização, Cavalca (1998) elaborou uma seqüência didática com o propósito de desenvolver com alunos do terceiro grau, que apresentavam tal carência, as habilidades necessárias para a visualização, interpretação de objetos espaciais e suas representações.
A seqüência de atividades desenvolvida pelo autor, com material concreto e suas representações com lápis e papel, ajudou os alunos a desenvolverem suas capacidades de interpretar representações distintas de um mesmo objeto matemático e resolver problemas por meio de processos apoiados na visualização. Para Cavalca (1998, p. 163), “isto significa que eles conseguiram estabelecer uma relação mais adequada entre os objetos do espaço e a representação plana deles, e dessa forma, evidenciou que é possível desenvolver a habilidade de visualização mesmo em alunos adultos”.
Montenegro (2005) também acredita que a habilidade de visualização pode ser estimulada, contudo adverte que não pode ser
[...] tida como específica; ela englobaria diferentes tipos de aprendizagem que procuram identificar relações de posição, direção, tamanho, forma e distância entre objetos. Ela percebe detalhes e os agrupa em conjuntos; ou os monta em padrões dentro de uma base conhecida. (Ibid., p.8).
O autor conduziu a pesquisa com 41 alunos do Ensino Médio com o intuito de analisar como objetos espaciais eram visualizados por eles. Na pesquisa, seis testes foram aplicados, com distintas figuras, em diferentes posições. Os resultados obtidos evidenciaram muitas dificuldades por parte dos
alunos em representar objetos tridimensionais, a representação mais utilizada foi a perspectiva Cavaleira. Para o autor, desenvolver as capacidades de visualização e representação é ter estimulada a criatividade humana, inteligência para criar coisas novas.
Da mesma forma, Flores (2007) considera a visualização importante para a aquisição dos conhecimentos geométricos, e atribui à geometria uma atividade do olhar, considerada pela autora, um tanto complexa por envolver outros elementos que não estejam relacionados, exclusivamente, às figuras em si e nem a capacidade visual de cada um de nós. A autora sugere que analisemos uma imagem como representação de um modo de olhar e apresenta a perspectiva como “suporte tanto da representação, quanto da epistemologia de um modo específico do olhar”. (Ibid., p. 20).
Para a autora entender como esse olhar se fez em perspectiva, pode nos ajudar a compreender o problema da visualização no ensino de Matemática, uma vez que a “intimidade entre a visualização e a geometria não se restringe ao espaço de sala de aula, tão pouco às questões atuais”. (FLORES, 2007, p.17). O que a autora sugere é “deslocar o pólo do processo de ensino e de aprendizagem centrado no aluno e apromixar-se do saber instituído”. (Ibid., p.36). Em outras palavras, compreender tanto o lugar efetivo do conhecimento, quanto a relação que o professor tem com o saber que ele ensina.
Flores (2007) ao investigar na história, na arte e na técnica, um conhecimento de um saber, o da técnica em perspectiva, e mostrar como o modo de olhar, os saberes e os sujeitos foram se construindo, pôde compreender as dificuldades e os erros de interpretação visual dos alunos, bem como relaciona-los a construção de um olhar estabelecido em uma ordem que se deu há sécurelaciona-los atrás.
Nos estudos apresentados até aqui, percebemos a preocupação dos autores em amenizar dificuldades no que tange a visualização, interpretação e representação de objetos tridimensionais ou mesmo procurar meios didáticos que possibilitem o desenvolvimento de tais capacidades. Acreditamos também que esses aspectos são importantes e precisam ser considerados, entretanto como fogem do escopo principal deste trabalho serão explorados em trabalhos futuros.
Quanto aos estudos que envolvem o objeto matemático Sólidos Arquimedianos, observamos que Allan (1997) os apresenta por meio de um breve estudo histórico sobre poliedros e nos indica um processo geral que envolve suas construções. O processo de lapidação sugerido pelo autor, consiste em cortar pedaços de um sólido regular qualquer para a obtenção de outro sólido em que todas as arestas são congruentes. Contudo, o autor não ilustra nenhum sólido arquimediano e tão pouco os nomeia apenas nos indica o sólido platônico a partir do qual se originam. Esse estudo contribuiu para o desenvolvimento de nossa pesquisa, sobretudo em relação aos aspectos históricos apontadas pelo autor.
Em relação às pesquisas de Fernandes (2008) e Silva (2008) percebemos que ambas compartilham do mesmo sólido arquimediano. Suas pesquisas estão relacionados à WebQuest “Bola de Futebol e a Matemática”, desenvolvida pelas autoras para o ensino e aprendizagem do sólido arquimediano icosaedro truncado. A WebQuest apresenta tarefas que envolvem noções relativas aos Sólidos Arquimedianos, bem como competências para o trabalho geométrico, tais como: leitura e interpretação de textos, definições em matemáticas, princípios das construções geométricas, dentre outros. A WebQuest traz, ainda, a tarefa de construir um modelo do icosaedro truncado utilizando papel cartão, além das instruções necessárias para sua confecção.
Enquanto Fernandes (2008) analisou o papel que o professor desempenhava ao utilizar a WebQuest, Silva (2008) procurou investigar como esta metodologia de ensino pode colaborar para o desenvolvimento de conteúdos matemáticos com alunos do Ensino Médio. Ambas as autoras dedicaram um capítulo de suas dissertações ao estudo matemático, ainda que tímido, dos sólidos arquimedianos. Como os objetivos do estudo não estavam relacionados com o objeto matemático em si, mas com a utilização e interação dos alunos e professores com a WebQuest, não temos como apontar resultados no que tange a construção do conhecimento matemático.
Nas pesquisas apresentadas, identificamos que o estudo matemático dos Sólidos Arquimedianos no Brasil é pouco explorado, talvez pela dificuldade relacionada a visualização e representação desses sólidos, bem como da compreensão de noções e propriedades geométricas espaciais.
Diante das dificuldades apresentadas a respeito da representação e visualização de objetos espaciais, procuramos observar como o ensino de Sólidos Arquimedianos é sugerido pelos documentos oficiais.
1.3 OS POLIEDROS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS
Os Documentos Oficiais de Educação em Matemática, seja para o nível fundamental, seja para o nível médio, destacam a importância do papel da educação no desenvolvimento das pessoas e da sociedade, além de estabelecerem diretrizes baseadas em orientações gerais para que sirvam de apoio ao ato de ensinar.
Todos concordam quanto à importância do ensino de Geometria como forma de proporcionar o desenvolvimento de um pensamento matemático específico, baseado na leitura e interpretação do espaço do qual fazemos parte. O estudo da Geometria cria oportunidade para melhor compreender e representar os vários tipos de organização desse espaço, isto é, as obras do homem ou da natureza.
Nesse sentido, Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998, p.122) afirmam que:
a Geometria desempenha um papel fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar de forma organizada, o mundo em que vive. Também é fato que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e jovens de modo natural e espontâneo. Além disso, é um campo fértil de situações-problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e construir demonstrações.
A escolha dos conteúdos específicos relativos ao tema Geometria, seu ensino e recursos, a metodologia utilizada para abordar esse conhecimento, bem como o espaço para que seu ensino e aprendizagem ocorram, são fatores importantes apontados e discutidos.
Em geral, os documentos oficiais sinalizam que para a seleção desses conteúdos, critérios orientadores devem ser estabelecidos como forma de evitar a quantidade excessiva de informações. A seleção de conteúdos a serem
trabalhados em Geometria deve estar relacionada à sua relevância científica e cultural e sua assimilação é essencial para a produção de novos conhecimentos, o que permite o desenvolvimento e/ou aprimoramento de competências e habilidades.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006, p.7), também, apontam a contextualização e interdisciplinaridade como “princípios condutores da organização curricular” e, portanto são aspectos que precisam ser considerados nessa seleção. Tais aspectos devem possibilitar a conexão entre conceitos matemáticos e entre formas distintas de pensamento matemático, ou ainda, relevância cultural dentro ou fora da matemática. O estudo dos Sólidos de Arquimedes, conhecidos também por sólidos semi-regulares, pode se tornar evidente e justificável segundo esses aspectos, uma vez que estabelecem conexão com outras áreas do conhecimento (biologia, arte, arquitetura, cartografia...) e suas representações fazem parte do nosso contexto social e cultural.
Nesse sentido, observamos as orientações sinalizadas nesses documentos em respeito ao ensino dos Sólidos de Arquimedes. Embora, esses sólidos não sejam mencionados, seu ensino está vinculado ao conteúdo matemático Poliedro.
Os PCN (1998) apontam em quatro blocos - Números e Operações; Espaço e Forma; Grandezas e Medidas; e Tratamento da Informação - os conteúdos matemáticos a serem ensinados. Tal documento propõe que o trabalho com o bloco Espaço e Forma – que aborda conteúdos relativos à Geometria - seja realizado com a exploração de situações que envolvam construções com régua e compasso, ao passo que propriedades de figuras planas possam ser aplicadas e visualizadas, além de construções de demais relações. Em relação aos conceitos e procedimentos pontuados neste bloco, esse documento destaca a:
[...] classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros;
poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e
outros poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; número de lados dos polígonos; eixos de simetria de um polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados. (BRASIL, 1998, p. 73, grifo nosso).
Esse mesmo documento aponta a construção de figuras geométricas espaciais como meio de capacitar o aluno a identificá-las, interpretá-las e representá-las no plano, bem como classificá-las utilizando noções de paralelismo, perpendicularismo e de ângulo.
Embora atenção maior seja dada para a Geometria Plana nesse nível de ensino, a noção de figuras tridimensionais é introduzida. Dentre essas noções, apontamos Poliedros como conteúdo a ser trabalhado com os alunos. Ainda que propriedades mais particulares de Poliedros regulares e não-regulares não sejam evidenciadas, percebemos a preocupação em classificar, desde o nível fundamental, formas geométricas básicas espaciais a fim de que possam ser reconhecidas e diferenciadas.
As orientações sinalizadas para a Geometria, em especial Poliedros, que compõem o Ensino Médio são as mesmas dadas ao Ensino Fundamental. Entretanto, nesse nível de ensino, essas orientações se intensificam e desenvolvem de maneira mais ampla as capacidades de abstração e raciocínio. Pode-se verificar tal afirmação ao observar as orientações dadas pelos PCN+ (2002, p.125, grifo nosso) ao trabalho com Poliedros em Geometria Espacial:
elementos dos poliedros, sua classificação e representação;
sólidos redondos; propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo; inscrição e circunscrição de sólidos.
• Usar formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, como peças mecânicas, embalagens e construções.
• Interpretar e associar objetos sólidos a suas diferentes representações bidimensionais, como projeções, planificações, cortes e desenhos.
• Utilizar o conhecimento geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade.
• Compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas e reconhecer o valor de demonstrações para perceber a Matemática como ciência com forma específica para validar resultados.
Nesse sentido, o currículo de Geometria do Ensino Médio, com o intuito de complementar a formação inicial no Ensino Fundamental, deve garantir que os alunos estendam e aprofundem alguns conteúdos geométricos já ensinados ou introduzidos, como no caso de Poliedros.
Os Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (2000) enfatizam que o trabalho com representação de figuras planas e espaciais deve ser também aprofundado e sistematizado. Essa competência amplia a compreensão e percepção do espaço e permite estabelecer relações entre suas propriedades com a geometria plana e sua representação com os objetos que lhe deram origem. É nesse sentido que
[...] as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 2000, p.44).
A visualização, portanto, assume um papel importante na exploração e construção dos conceitos matemáticos, particularmente da Geometria. A preocupação com o seu desenvolvimento, bem como a elaboração e interpretação de suas representações no plano, deve ocupar uma posição de destaque em todo o processo de ensino e aprendizagem.
Identificando a importância de se desenvolver uma educação visual adequada, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) afirmam que para trabalhar com poliedros,
existem também programas interessantes. Neles, há poliedros em movimento, sob diferentes vistas, acompanhados de planificação. São programas apropriados para o desenvolvimento da visualização espacial. (BRASIL, 2006, p.89).
A Informática e as ferramentas advindas da computação introduziram uma dimensão mais dinâmica, em que formas virtuais, além de ganharem aspectos de uma realidade quase material, podem ser manipuladas e transformadas de diferentes maneiras.
Como podemos observar, os documentos oficiais sugerem o estudo de poliedros, mas não detalham os tipos de poliedros a serem ensinados. Sugerem, também, que seu ensino esteja atrelado a construções de figuras geométricas planas e espaciais sem, no entanto apontar um caminho. Embora o uso das tecnologias seja pontuado como recurso didático para ensino e aprendizagem de poliedros, o que facilitaria a sua construção e visualização, é pouco enfatizado.
Como os Sólidos Arquimedianos não são mencionados nesses documentos, procuramos observar como são discutidos e apresentados em materiais didáticos, o que mostramos no que segue.
1.4 OS SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS EM MATERIAIS DIDÁTICOS
Pretendemos nesse tópico observar, no Brasil, como os Sólidos Arquimedianos são abordados e como estão organizados em materiais didáticos, paradidáticos e materiais de apoio ao professor.
Fernandes (2008) em sua dissertação de mestrado realizou esse levantamento e constatou que o objeto matemático Sólidos Arquimedianos não aparecia explícito nos materiais pesquisados. Dos nove livros observados, a autora constatou que esse conteúdo aparecia apenas por meio de exemplos e exercícios, em geral, relacionados à Relação de Euler e à convexidade, mas sem qualquer definição ou mesmo nomeação correspondente. O icosaedro truncado é o sólido arquimediano que mais aparece, provavelmente, por ser associado à bola de futebol.
Persistindo nessa busca, encontramos um material do GESTAR3 que aborda esse conteúdo matemático com definição e exemplos, Caderno de Teoria e Prática 3: matemática nas formas geométricas e na ecologia. A definição apresentada dos Sólidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 7, se confunde com a de poliedros semi-regulares, que em geral são tratados como sinônimos.
Figura 7. Definição de Sólidos Arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p.98.
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Programa de Gestão Escolar aprovado pelo Ministério da Educação para oferecer formação continuada em língua portuguesa e matemática aos professores do ensino fundamental (6º ao 9º ano) em exercício nas escolas públicas. Esse material tem sido usado na formação de professores na Bahia, Tocantins e
Essa definição comunga da mesma idéia de Veloso (1998) que apresenta os Sólidos Arquimedianos da seguinte maneira:
se na definição que demos de poliedro regular mantivermos a condição das faces serem polígonos regulares, mas não a de serem todas congruentes, obtemos uma família mais ampla de sólidos, estudada por Arquimedes (287 – 212 a. C.). Note-se que as arestas são todas congruentes, e os vértices também. As faces são polígonos regulares, mas enquanto nos platônicos eram apenas de um tipo, aqui poderão ser de vários tipos. É ainda necessário acrescentar a condição de que todo o vértice pode ser transformado noutro vértice por uma simetria de poliedro. A estes sólidos é habitual chamar arquimedianos ou semi-regulares. (Ibid., p.235).
No Caderno de Teoria e Prática 3, ainda estão ilustrados três poliedros– prisma reto triangular, prisma reto hexagonal e octaedro truncado –, como mostra a Figura 8, apresentados como arquimedianos.
Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p.99.
Segundo Veloso (1998, p. 235),
os prismas cujas faces laterais são regulares, de acordo com a definição dada, são arquimedianos. Do mesmo modo, também os antiprismas de faces regulares são arquimedianos. No entanto, os infinitos prismas e antiprismas não são em geral incluídos na família dos arquimedianos.
De acordo com Eves (2004, p. 358), um antiprisma
é obtido de um prisma efetuando-se uma rotação de sua base superior em seu próprio plano de modo a fazer seus vértices corresponderem aos lados da base inferior, e ligando então, em zigue-zague, os vértices das duas bases.
Os prismas e antiprismas retos de base regular cujas faces laterais são quadrados e triângulos eqüiláteros respectivamente contemplam a definição dos Sólidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 9. No entanto, para Veloso (1998) a família dos arquimedianos é finita, uma vez que temos infinitos prismas e antiprismas retos de bases regulares, isto é, de vértices do tipo (4,4,n) e (3,3,3,n) respectivamente, sendo n o número de lados do polígono base. O autor, ainda assinala que, assim como os platônicos, podemos investigar quantos poliedros arquimedianos podem existir e chegaríamos à conclusão que não podem existir mais do que treze tipos de poliedros diferentes.
Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares.
Além do material anteriormente citado, encontramos também no Brasil, um livro sobre poliedros produzido por Rangel (1982), Engenheiro Civil e Doutor em Ciências Físicas e Matemáticas. Segundo o próprio autor, o livro se originou
de uma apostila com circulação praticamente restrita, na época, à Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro.
O livro Poliedros apresenta um estudo detalhado a respeito dos Sólidos Arquimedianos contemplado com definição, classificação, propriedades, demonstração e ilustração dos treze sólidos. Para Rangel (1982), todo arquimediano é semi-regular, mas nem todo poliedro semi-regular é arquimediano. Segundo o autor,
poliedro semi-regular é todo poliedro que se apresenta de uma das duas seguintes formas:
1. Os ângulos sólidos são todos iguais entre si, mas as faces não são iguais, embora sejam polígonos regulares. Esses poliedros são chamados poliedros semi-regulares equiangulares ou poliedros semi-regulares arquimedianos.
2. As faces são todas iguais entre si, mas os ângulos sólidos não são iguais. Esses poliedros são chamados poliedros sem-regulares equifaciais ou poliedros semi-regulares não-arquimedianos. (Ibid., p.36).
O autor classifica os poliedros semi-regulares equiangulares ou arquimedianos em três grupos: os poliedros semi-regulares equiangulares individuais, que são os treze sólidos de Arquimedes; os prismas arquimedianos, prismas retos regulares; e os antiprismas arquimedianos, antiprismas retos regulares.
Embora o foco do nosso trabalho não esteja em observar currículos de outras áreas de conhecimento para ratificar a presença dos Sólidos Arquimedianos, o material produzido nos dá indícios que esses sólidos, com uma nomenclatura diferente da habitual, eram estudados na Engenharia.
Pelas observações realizadas, podemos constatar a carência de informações a respeito do objeto matemático Sólidos Arquimedianos no Brasil. A dificuldade de encontrar materiais, na Escola Básica, que discorram sobre os mesmos, pode ser uma possível causa para que muitos desconheçam sua existência.
Contudo vale ressaltar que nem sempre foi assim. Para confirmar essa assertiva, apresentamos dois livros de Desenho Geométrico que nos fornecem informações sobre alguns dos Sólidos Arquimedianos: Primeiras Noções de Geometria Prática de Olavo Freire, publicado em 1897 e Programa de Desenho
para a primeira e segunda séries ginasiais de Benjamin de A. Carvalho, publicado em 1960.
Para Freire (1897) os Sólidos Arquimedianos são irregulares e simétricos por terem todos os planos que os formam simetricamente dispostos. O autor ilustra cinco representações dos treze sólidos arquimedianos, com planificações de suas superfícies, mostradas na Figura 10, e nos indica o sólido a partir do qual se originam.
Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prática. Fonte: Freire, 1897, p. 151-155.
Entretanto Carvalho (1960, p.92) define os Sólidos Arquimedianos como poliedros “semi-regulares que têm suas faces formadas por polígonos regulares ou não, mas diferentes entre si, embora dispostos simetricamente no espaço” (CARVALHO, 1960, p.92). A Figura 11 ilustra três exemplos desses sólidos.
Figura 11. Sólidos considerados arquimedianos. Fonte: Carvalho, 1960, p. 93.
Os livros apresentados levam-nos a inferir que esse objeto matemático já fez parte da grade curricular de Matemática, mais especificamente em Desenho Geométrico, disciplina que de acordo com Zuin (2002), permaneceu oficialmente por quarenta anos consecutivos nos currículos escolares – 1931 a 1971.
Para compreender o motivo que levou ao “desaparecimento” desse conhecimento de ensino, procuramos identificar as possíveis causas do abandono da disciplina Desenho – Desenho Geométrico e Geometria Descritiva – da grade curricular de matemática.
1.5 DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA
Nesse tópico, nos baseamos nos estudos de Silva (2006) que em sua dissertação de mestrado “Proposta de Aprendizagem sobre a importância do Desenho Geométrico e da Geometria Descritiva“ avaliou as razões do declínio do ensino das duas disciplinas, e em algumas considerações de Zuin (2002), Rabello (2005) e Pavanello (1993).
Silva (2006) realizou um estudo histórico a respeito da ocorrência do Desenho Geométrico e da Geometria Descritiva no Brasil, além do estudo da legislação de ensino a partir de 1942.
De acordo com o autor, a geometria foi implantada no Brasil no século XVIII, mas é no século XIX que começa a ser ensinada. Nesse século, o Desenho Geométrico e a Geometria Descritiva são vistos como meios de fomentar e atingir o desenvolvimento industrial e assim promover o progresso do país. Segundo o autor, a disciplina Desenho Geométrico constava na grade curricular do Ensino Primário, cuja geometria estava voltada para prática, conforme já mostrado na Figura 9, e a disciplina Geometria Descritiva contemplava o currículo do Ensino Secundário.
Segundo Rabello (2005) no século XX o Desenho Geométrico, a Geometria Descritiva bem como a Perspectiva, eram assuntos que contemplavam a prova de desenho no exame de capacitação, atualmente vestibular, de Arquitetura e Engenharia.
Na metade do século XX, novas reformas no Sistema de Ensino continuavam a serem feitas. Entretanto, para Silva (2006) é impossível precisar o momento em que o ensino de Desenho declinou. O autor aponta três reformas que contribuíram para que o Desenho Geométrico e a Geometria Descritiva fossem pouco a pouco eliminados da grade curricular.
A primeira, Lei 4.024/61 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) – que propôs opções de currículo em que a disciplina Desenho não era obrigatória. Para Zuin (2002, p.1), “vemos surgir os primeiros sinais de desprestígio dessa área do conhecimento”.
A segunda, Lei 5.540/68 – Lei da Reforma Universitária – sinalizava a unificação do vestibular, como podemos observar em seu artigo 21:
O concurso vestibular, referido na letra “a”do artigo 17, abrangerá os conhecimentos comuns às diversas formas de educação do segundo grau, sem ultrapassar este nível de complexidade, para avaliar a formação recebida pelos candidatos e sua aptidão intelectual para estudos superiores. (BRASIL, 1968).
Silva (2006) pontua que é a partir dessa Lei que o ensino de Desenho começa a declinar. Com a reformulação do ensino superior, fixada por essa lei, o Desenho que já não constava em todas as formas de educação do segundo grau, desde a LDB 4.024/61, foi eliminado do vestibular. “Qualquer discordância em relação às medidas torna-se impossível, porque estas são introduzidas durante a vigência do Decreto Lei 477/69”. (PAVANELLO, 1993, p.14).
A terceira e última reforma citada pelo autor, Lei 5692/71, acarretou consideráveis mudanças nos currículos escolares do Ensino Fundamental.
Havia um núcleo de disciplinas obrigatórias e outros núcleos de disciplinas optativas, as quais poderiam integrar a parte diversificada do currículo. As escolas tinham a liberdade de construir a sua grade curricular apenas dentro da parte diversificada do currículo. [...] O Desenho tornara-se uma disciplina optativa da parte diversificada do currículo. (Zuin, 2006, p.1).
Desse modo, Rabello (2005), Zuin (2002) e Silva (2006) concordam que com o advento das provas de múltipla escolha, resultado da unificação do vestibular, e da não obrigatoriedade do ensino de Desenho na Escola Básica, muitas escolas aboliram o ensino da disciplina Desenho Geométrico.
