POLIEDROS REGULARES

Segundo Soler (2007) não se sabe com exatidão em que época o cubo, o tetraedro regular, o octaedro regular, o dodecaedro regular e o icosaedro regular, tornaram-se conhecidos. Contudo, a autora assinala que há investigações que sugerem o conhecimento desses cinco sólidos pelos pitagóricos, e outras que indicam que os pitagóricos conheciam apenas a construção de três deles – tetraedro, cubo e dodecaedro – e que se deve a Teeteto8 um estudo teórico dos cinco poliedros regulares, em particular do octaedro e do icosaedro.

De acordo com Eves (1992), a teoria geral a respeito dos cinco sólidos formulada por Teeteto foi descrita por volta de 380 a.C. Tal teoria, observada no livro XIII de “Os Elementos” de Euclides, apresenta a construção geométrica sobre os cinco corpos e demonstra que não podem existir outros.

Em “Os Elementos”, os sólidos regulares são tratados nos livros XI, XII e XIII. Mas é no livro XIII, a partir da proposição 139, que Euclides estuda sistematicamente esses cinco sólidos. As proposições 13, 14, 15, 16 e 17 apresentam as construções do tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro e dodecaedro, respectivamente. A proposição 18, “expor os lados das cinco figuras e compará-las entre si”. (EUCLIDES, 2009, p. 589), institui as relações entre as arestas desses sólidos e o diâmetro da superfície esférica. É a partir dessa proposição que Euclides (2009, p. 592) afirma e demonstra “que exceto as cinco ____________

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Segundo Veloso (1998), um dos matemáticos gregos mais importantes da época de Platão, ensinou na Academia fundada por este em Atenas em 385 a.C.

9_{“Construir uma pirâmide e contê-la pela esfera e provar que o diâmetro da esfera é, em potência,}

ditas figuras não será construída outra figura, contida por eqüiláteras e também eqüiângulas iguais entre si”.

Sigamos sua demonstração.

Pois, um ângulo sólido não é construído, certamente, por dois triângulos [eqüiláteros] ou, em geral, planos. Mas por três triângulos, o da pirâmide, e por quatro, o do octaedro, e por cinco, o do icosaedro; mas por seis triângulos tanto, eqüiláteros quanto eqüiângulos, construídos junto a um ponto, não existirá um ângulo sólido; pois, sendo o ângulo [sólido] de um triângulo eqüilátero dois terços de um reto, os seis serão iguais a quatro retos; o que é impossível; pois todo ângulo sólido é contido por um menor do que quatro retos. Pelas mesmas coisas, então, nem um ângulo sólido é construído por mais do que seis ângulos planos[medindo cada um dois terços do ângulo reto]. Mas o ângulo do cubo é contido por três quadrados; e por quatro é impossível; pois sendo o ângulo [interno] do pentágono eqüilátero um reto e um quinto, os quatro ângulos serão maiores do que quatro retos. Mas por pentágonos eqüiláteros e eqüiângulos, certamente por três, o do dodecaedro; e por quatro, é impossível. Nem, por certo, por outras figuras poligonais [regulares] será contido um ângulo sólido, pelo mesmo absurdo.

Portanto, exceto as figuras ditas, uma outra figura sólida não será construída, contida por eqüiláteras e também eqüiângulas; o que era preciso provar. (Ibid., p. 592).

Vale ressaltar que ao mencionar “triângulo”, Euclides quer dizer triângulo eqüilátero, já que sempre se refere a polígonos regulares. De acordo com Veloso (1998), o fato de Euclides terminar Os Elementos com a proposição 18, conduz alguns autores a acreditarem que o propósito principal da obra é demonstrar a existência de somente cinco sólidos regulares. Essa demonstração considera todas as possibilidades de união de polígonos regulares e para isso se baseia nas seguintes observações:

Para que se forme um ângulo sólido, a soma dos ângulos planos que concorrem em um vértice tem que ser menor que 360°.

Em cada vértice do ângulo sólido devem concorrer no mínimo três faces.

À medida que aumenta o número de lados de um polígono regular a medida do ângulo sólido aumenta.

Dessa forma conclui-se que não podemos construir sólidos regulares, concorrendo em cada vértice: seis ou mais triângulos, mais de três quadrados,

Nos Quadros 2, 3 e 4 relacionamos os números possíveis de triângulos eqüiláteros, quadrados e pentágonos regulares, respectivamente, que podem concorrer em um vértice.

Quadro 2. Números de triângulos eqüiláteros que podem concorrer em um vértice. Número de

triângulos eqüiláteros

Soma dos ângulos planos que concorrem em um vértice Poliedro 3 < 360° Tetraedro 4 < 360° Octaedro 5 < 360° Icosaedro 6 = 360° ? 7 > 360° ?

Quadro 3. Números de quadrados que podem concorrer em um vértice.

Número de quadrados

Soma dos ângulos planos que concorrem em um vértice Poliedro 3 < 360° cubo 4 = 360° ? 5 > 360° ?

Quadro 4. Números de pentágonos regulares que podem concorrer em um vértice. Número de

pentágonos regulares

Soma dos ângulos planos que concorrem em um vértice Poliedro 3 < 360° dodecaedro 4 > 360° ?

Os cinco sólidos regulares, mostrados na Figura 28, receberam a denominação de sólidos platônicos, pois Platão (427-347 a.C.) os cita em Timeu, diálogo em que apresenta reflexões a respeito da origem do universo e do homem. De acordo com Eves (2004), nessa mesma obra, Platão descreve os

cinco corpos e mostra como modelos desses sólidos podem ser construídos a partir de triângulos, quadrados e pentágonos.

Figura 28. Sólidos de Platão. Fonte: Cromwell, 2008, p. 57

Platão, também, associa os quatro sólidos mais fáceis de construir - tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro – aos quatro elementos primordiais da natureza – fogo, terra, ar e água, respectivamente. Segundo Soler (2007), a terra, forma mais sólida e menos móvel, corresponde ao cubo; o fogo, mais agudo e mais móvel, o tetraedro; o ar foi relacionado ao octaedro por rodopiar facilmente, o que lembra a instabilidade do ar; e a água ao icosaedro, por apresentar maior volume. Mas existe, um quinto elemento, o dodecaedro, que de acordo com Eves (2004), é associado com o Universo ou ao cosmos, por ter dez faces e ao zodíaco, por ter doze secções.

Em respeito às considerações atuais sobre os cinco sólidos platônicos, de acordo com Eves (1992), elas tendem a ser topológicas. Para o autor isso pode ser observado em uma definição moderna em que

um sólido [platônico] é um poliedro convexo regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes entre si, se seus vértices são convexos e se em cada vértice incide o mesmo número de faces. (Ibid., p. 59).

A regularidade de poliedros convexos, também, pode surgir por analogia à regularidade de polígonos convexos, como explica Soler (2007, p. 46):

um polígono [convexo] regular tem lados e ângulos iguais; como os lados do polígono se correspondem com as faces dos poliedros e os vértices com os vértices, a idéia de poliedro [convexo] regular que pode desprender-se por analogia é a de um poliedro que tem as faces iguais e regulares e também ângulos iguais que formam as faces nos vértices.

No Quadro 5 apresentamos algumas características a respeito de cada poliedro de Platão. A última coluna mostra quantas arestas partem de cada vértice do poliedro regular, bem como o tipo de polígono que corresponde suas faces. Por exemplo, a configuração do vértice (3.3.3) nos indica que de cada vértice do tetraedro regular partem três arestas e que o mesmo está rodeado por três triângulos eqüiláteros.

Quadro 5. Características Poliedros de Platão.

Poliedros Faces Arestas Vértices

Vértices por faces Faces por vértices Configuração dos vértices Tetraedro 4 6 4 3 3 3.3.3 Cubo 6 12 8 4 3 4.4.4 Octaedro 8 12 6 3 4 3.3.3.3 Dodecaedro 12 30 20 5 3 5.5.5 Icosaedro 20 30 12 3 5 3.3.3.3

O estudo dos poliedros convexos regulares se faz necessário para entendermos outra classe de poliedros com algumas características em comum, os poliedros arquimedianos que são estudados a seguir.