CAPÍTULO 3 – ESTUDO HISTÓRICO
3.4 SISTEMATIZAÇAO DE KEPLER
Nesse tópico, indicamos algumas razões que despertaram o interesse de Kepler ao estudo dos poliedros, a demonstração da existência de apenas treze Sólidos Arquimedianos, bem como a nomeação dada por Kepler a cada um desses sólidos.
Segundo Garozzo (1975), Johannes Kepler (1571-1630) nasceu na cidade de Weil der stadt, na região do Wurttemberg. Ele viveu em uma época de transição, final da Idade Média e início da Idade Moderna, em meio a uma Europa turbulenta, cheia de transtornos políticos e religiosos. Embora seja lembrado principalmente por suas obras astronômicas, Kepler foi um autor prolífico e escreveu sobre assuntos diversos.
Assim como Copérnico e Galileu, Kepler foi um grande explorador do espaço. Garozzo (1975) afirma que Kepler embora fosse adepto de Copérnico, visto que reconhecia as vantagens matemáticas do novo sistema planetário, foi além da explicação cinemática do universo copernicano, pois procurava uma explicação mais física dos fenômenos celestes, de natureza quase dinâmica.
Kepler atraído pelo sistema de Copérnico e pelas leituras de Pitágoras e Platão desejava desvendar os mistérios do cosmos. Dessa forma, percebeu que o corpo mais importante do universo, a fonte única de toda e qualquer energia e movimento, não era a terra, mas o sol. E para estabelecer a ordem que presidia à distribuição dos planetas chegou a exprimir uma relação entre os cinco poliedros platônicos e as órbitas dos seis planetas até então conhecidos: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno.
Segundo Schoot (2001), Kepler acreditava que as distâncias entre as órbitas dos planetas só poderia ser estabelecida pela forma dos cinco poliedros platônicos. Entre as órbitas de Mercúrio e Vênus situava-se um octaedro, entre as órbitas de Vênus e Terra um icosaedro, entre as órbitas de Terra e Marte um dodecaedro, entre as órbitas de Marte e Júpiter um tetraedro, e entre as órbitas de Júpiter e Saturno um cubo. Ainda segundo o autor, Kepler acreditava que cada corpo celeste possuía sua própria esfera e se movia ao longo de sua superfície,
além de também acreditar que a distância entre cada planeta do centro do universo não era constante.
Com esse raciocínio, Kepler pensou explicar, não somente a ordem espacial dos planetas, cuja escolha não poderia ter sido arbitrária, mas também seu número. Acreditava que Deus, criador de coisas perfeitas, havia usado para construir o universo somente figuras geométricas perfeitas. De acordo com Garozzo (1975), ninguém antes de Kepler procurou deduzir o número e dimensões das órbitas para tentar compreender os planos do criador.
Sua teologia, crença em Deus criador, somado ao seu misticismo pitagórico, o levou a procurar a ordem matemática subjacente a fenômenos da natureza. Nesse sentido, segundo Cromwell (2008), o modelo poliédrico de Kepler do universo, ilustrado na Figura 47, foi motivado pelo desejo de tentar explicar a estrutura do universo e expor as relações geométricas harmoniosas utilizadas pelo grande arquiteto na criação do universo.
Figura 47. Mistério Cosmográfico de Kepler. Fonte: Cromwell, 2008, p. 145.
O interesse em poliedros abrange toda a carreira de Kepler. Eles ocorrem em seu primeiro tratado publicado, Mistério Cosmográfico, em que descreve e explica a sua concepção do sistema planetário tendo como base o modelo heliocêntrico de Copérnico, e também em uma de suas últimas grandes obras, Harmonices Mundi, obra em que Kepler revela sua visão do cosmos em
que a ciência se mistura com poesia, filosofia, teologia e misticismo. Embora, mais tarde, Kepler tenha se convencido de que os sólidos platônicos não davam as proporções exatas na distribuição dos planetas no universo, seus estudos deram notáveis contribuições ao estudo dos poliedros.
Os escritos de Kepler a respeito dos sólidos arquimedianos estão presentes no segundo livro de sua obra Harmonices Mundi (De Congruentia Figurarum Harmonicarum). Os dois primeiros, dos cinco livros, abordam polígonos e as diferentes maneiras nas quais eles formam congruências no plano e no espaço. No livro I, Kepler define polígono regular como eqüilateral e eqüiângular e polígono semi-regular apenas como eqüilateral, e restringe a atenção para aqueles que têm quatro lados. No livro II, ele investiga as maneiras que polígonos regulares ou semi-regulares podem ser arranjados em torno de um ponto, o que conduz a construção de poliedros.
Kepler classifica e descreve os tipos de poliedros que o interessam, como pode ser visto na Figura 48. Cromwell (2008) afirma que para Kepler uma congruência é perfeita quando todos os vértices estão igualmente cercados e a subdivide em poliedros mais perfeitos e poliedros perfeitos a um menor grau. Os poliedros mais perfeitos são contemplados por faces iguais, estes são ainda subdivididos em regulares e semi-regulares, isto é, de acordo com suas faces, polígonos regulares ou semi-regulares. O poliedro que Kepler considera perfeito a um menor grau tem faces regulares de vários tipos: arquimedianos e as famílias de prismas e antiprismas, em que alguns são considerados imperfeitos.
Figura 48. Classificação de poliedros de Kepler Fonte: Cromwell, 2008, p.150.
Segundo o autor, Kepler descreve exemplos de vários tipos de poliedros. Os poliedros regulares são os primeiros a serem enumerados, pois observa que essa classificação constitui a última proposição em Os Elementos de Euclides. Sua demonstração segue a de Euclides, já que ele tenta arranjar polígonos em torno de um ponto e eliminar todas as possibilidades cuja soma dos ângulos supere 360°. Dessa forma, as cinco possibilidades existentes resultam nos Sólidos de Platão.
De acordo com Cromwell (2008), Kepler conheceu o trabalho de Pappus a respeito dos Sólidos de Arquimedes e por meio de uma análise sistemática concluiu que prismas e antiprismas também satisfaziam a definição dada por Pappus aos sólidos, até então, nada havia sido escrito sobre isso. Ainda, para o autor é provável que Kepler tenha sido o primeiro a observar o antiprisma.
Para enumerar os Sólidos de Arquimedes, Kepler considerou todas as possíveis maneiras que um ângulo sólido pode ser formado a partir de polígonos regulares. Kepler utilizou dois lemas para tornar o processo mais fácil.
Lema 1:
Se todas as faces de um poliedro convexo são polígonos regulares, então, no máximo, três tipos diferentes de faces podem aparecer em torno de qualquer ângulo sólido.
Os quatro polígonos regulares com os menores ângulos internos são: o triângulo (60°), o quadrado (90°), o pentágono (108°) e o hexágono (120°). A soma desses quatro ângulos é maior que 360°. Como a soma ultrapassa 360°, é fácil notar que esses quatro polígonos regulares não podem cercar um vértice. Com um conjunto diferente, isto é, de quatro ou mais polígonos regulares diferentes, em torno de um vértice, o total da soma dos ângulos é ainda maior. Portanto, quatro ou mais tipos diferentes de polígonos regulares não podem cercar um vértice.
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Lema 2:
Um poliedro em que todos os ângulos sólidos estão rodeados da mesma maneira não pode ter ângulos sólidos conforme mostra o Quadro 8.
Quadro 8. Tipos de vértices que não formam um ângulo sólido.
(i) Em que a é impar e b ≠ c.
(ii) Em que a ≠ c
Fonte: Cromwell, 2008, p.159.
i. Como todos os ângulos sólidos têm o mesmo tipo, isto é, estão rodeados da mesma maneira, a face do polígono de b lados deve alternar com a face do polígono de c lados cercando a fronteira de um polígono de face a. Entretanto, se a for ímpar ocorre uma contradição, conforme mostra a Figura 49.
Figura 49. Exemplo Lema 2(i).
ii. Nesse caso, consideramos a maneira em que as faces devam ser arranjadas em torno de um polígono de 3 lados. Em cada ângulo sólido, a face oposta ao polígono de 3 lados é um polígono de b lados. Desde que todos os vértices tenham o mesmo tipo, o tamanho dos polígonos de 3 lados deve ser anexado aos polígonos de a lados e polígonos de c lados, e estes devem alternar em torno do polígono de 3 lados. Isto leva a uma inconsistência, como mostra a Figura 50.
Figura 50. Exemplo Lema 2(ii). Fonte: Cromwell, 2008, p.162.
O segundo lema é usado por Kepler para excluir certas combinações de polígonos que contém um número ímpar de lados. Kepler afirma que três polígonos de tipos diferentes não podem formar um ângulo sólido em uma figura perfeita se algum deles tem um número ímpar de lados.
Depois de demonstrar o Lema 2, Kepler afirma que existem treze congruências sólidas as quais são perfeitas a um menor grau. A partir delas nós obtemos os Sólidos Arquimedianos. A única figura perfeita, para Kepler, é a esfera, por isso considera os sólidos arquimedianos como figuras perfeitas a um menor grau.
A demonstração a seguir, é baseada nas idéias de Kepler com adicionais de Peter R. Cromwell. A diferença básica entre as duas demonstrações está na distinção feita por Cromwell (2008) entre tipos e espécies de um vértice.
Para Cromwell (2008) a distinção entre a definição das faces que estão vinculadas a um ângulo sólido e a específica ordem em que elas ocorrem é necessária. O autor entende espécie de um ângulo sólido como uma lista desordenada das faces presentes e como tipo de um ângulo sólido a ordem específica em que as faces ocorrem ao redor do vértice. Por exemplo, conforme mostra a Figura 51, a espécie do ângulo sólido delimitado por dois triângulos e dois quadrados compreende dois tipos de ângulo sólido, isso se deve a maneira como essas faces estão arranjadas.
Figura 51. Dois tipos de vértices de mesma espécie Fonte: Cromwell, 2008, p.158.
Os diagramas representam a região em torno de um vértice e os números indicam os tipos e as relativas posições dos polígonos os quais cercam o vértice. Esta informação pode ser, também, escrita na forma (3,4,3,4) e (3,3,4,4), a qual lista em ordem (horária) o número de lados de cada face.
Segue a demonstração.
Teorema: Considera-se que todos os ângulos sólidos de um poliedro convexo sejam do mesmo tipo. Além de duas famílias de tipos (4,4,n) e (3,3,3,n), existem treze tipos de ângulos sólidos que podem ocorrer. Essas possibilidades são realizadas pelas famílias de prismas, antiprismas e dos Sólidos Arquimedianos, respectivamente.
O teorema é provado por exaustão, isto é, por esgotar todas as possíveis combinações de faces que podem cercar um ângulo sólido e esgotar aquelas que não respeitam a condição de existência, conforme já mostradas nos lemas 1 e 2.
O primeiro lema mostra que as espécies de ângulos sólidos presentes podem ter, no máximo, três tipos de polígonos regulares e deve haver, por definição, pelo menos dois tipos de polígonos.
Primeiro, considera-se aquelas espécies de ângulo sólido em que existem dois tipos de faces.
(1) Espécie de ângulo sólido limitado por polígonos de 3 lados e polígonos de 4 lados.
Se na espécie de um ângulo sólido existir um único polígono de 4 lados, então pode haver, no máximo, quatro polígonos de 3 lados, uma vez que a soma entre os ângulos de 5 ou mais polígonos de 3 lados e um polígono de 4 lados é superior
a 360°.Desta forma, existem três tipos possíveis de ângulos sólidos, conforme mostra o Quadro 9.
Quadro 9. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de quatro lados e no máximo quatro polígonos de três lados.
(3,3,3,3,3,4)
A soma dos ângulos planos é maior que 360°. Portanto, não pode ser considerada.
5x(60°) + 1x(90°) = 390°
(3,3,3,3,4)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Cubo achatado.
4x(60°) + 1x(90°) = 330°
(3,3,3,4)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um antiprisma quadrangular.
3x(60°) + 1x(90°) = 270°
(3,3,4)
Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i).
Fonte: Cromwell, 2008, p.163.
Se existirem dois polígonos de 4 lados na espécie de ângulo sólido, então pode haver, no máximo, dois polígonos de 3 lados. Dois polígonos de 4 lados e três ou mais polígonos de 3 lados não podem formar um ângulo sólido, pois a soma dos ângulos planos é maior ou igual a 360°.
As espécies de ângulos sólidos que contém dois polígonos de 4 lados e dois polígonos de 3 lados vêm em dois tipos, como indica o Quadro 10.
Quadro 10. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de quatro lados e dois polígonos de três lados
(3,3,3,4,4)
A soma dos ângulos planos é 360°. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada.
3x(60°) + 2x(90°) = 360°
(3,3,4,4)
Impossível. Excluído pelo Lema 2 (ii).
(3,4,3,4)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em cuboctaedro.
2x(60°) + 2x(90°) = 300°
(3,4,4)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um prisma triangular.
1x(60°) + 2x(90°) = 240°
Fonte: Cromwell, 2008, p. 163.
Se existirem mais do que dois polígonos de 4 lados no ângulo sólido, então existe uma única possibilidade que é indicada no Quadro 11.
Quadro 11. Possibilidades de ângulos sólidos formados por três polígonos de quatro lados e dois polígonos de três lados.
(3,3,4,4,4)
A soma dos ângulos planos é maior 360°. Portanto, não pode ser considerada.
2x(60°) + 3x(90°) = 390°
(3,4,4,4)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Rombicuboctaedro.
1x(60°) + 3x(90°) = 330°
Fonte: Cromwell, 2008, p. 163.
A soma dos ângulos de três polígonos de 4 lados e dois polígonos de 3 lados supera 360°, assim como a soma de quatro ou mais polígonos de 4 lados.
(2) Espécie de ângulo sólido limitado por polígonos de 3 lados e polígonos de 5 lados.
A análise desse caso é a mesma do caso anterior.
Se existir apenas um polígono de 5 lados, então pode haver, no máximo, quatro polígonos de 3 lados. Os dois possíveis tipos ocasionam no dodecaedro achatado e no antiprisma pentagonal, conforme mostra o Quadro 12.
Quadro 12. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de cinco lados e no máximo quatro polígonos de três lados..
(3,3,3,3,3,5)
A soma dos ângulos planos é maior que 360°. Portanto, não pode ser considerada.
(3,3,3,3,5)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Dodecaedro
achatado.. 4x(60°) + 1x(108°) = 348°
(3,3,3,5)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um antiprisma
pentagonal. 3x(60°) + 1x(108°) = 288°
(3,3,5)
Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i).
Fonte: Cromwell, 2008, p. 164.
Se existirem dois polígonos de 5 lados na espécie de ângulo sólido então podem haver, no máximo, dois polígonos de 3 lados. Mais uma vez a espécie que contém dois polígonos de 3 lados vem em dois tipos, como mostra o Quadro 13.
Quadro 13. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de cinco lados e no máximo dois polígonos de três lados..
(3,3,3,5,5)
A soma dos ângulos planos é maior que 360°. Portanto, não pode ser considerada.
3x(60°) + 2x(108°) = 396°
(3,3,5,5)
Impossível. Excluído pelo Lema 2 (ii).
(3,3,5,5)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Icosidodecaedro.
2x(60°) + 2x(108°) = 336°
(3,5,5)
Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i).
Fonte: Cromwell, 2008, p. 164.
(3) Espécie de ângulo sólido limitado por polígonos de 3 lados e polígonos de 6 lados.
Neste caso quando as espécies contém um único polígono de 6 lados, podem existir, no máximo, três polígonos de 3 lados. Quatro polígonos de 3 lados e um polígono de 6 lados não podem formar um ângulo convexo mas sim planar. Três polígonos de 3 lados e um polígono de 6 lados formam um antiprisma hexagonal de vértice do tipo (3,3,3,6).
O caso de dois polígonos de 3 lados e um polígono de 6 lados é excluído. O Quadro 14 exemplifica as espécies mencionadas.
Quadro 14. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de seis lados e no máximo três polígonos de três lados.
(3,3,3,3,6)
A soma dos ângulos planos é 360°. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser
considerada. 4x(60°) + 1x(120°) = 360°
(3,3,3,6)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um antiprisma
hexagonal. 3x(60°) + 1x(120°) = 300°
(3,3,6)
Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i).
Fonte: Cromwell, 2008, p.164.
Se existirem dois polígonos de 6 lados no ângulo sólido, então pode haver apenas um polígono de 3 lados. De outra maneira, a soma dos ângulos é igual ou maior a 360°. O único caso, (3,6,6), corresponde ao tetraedro truncado. Mais do que dois polígonos de 6 lados não podem formar um ângulo sólido (ver Quadro 15).
Quadro 15. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de seis lados e um polígono de três lados.
(3,3,6,6)
A soma dos ângulos planos é 360°. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser
considerada. 2x(60°) + 2x(120°) = 360°
(3,6,6)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Tetraedro Truncado.
(6,6,6)
A soma dos ângulos planos é 360°. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser
considerada. 3x(120°) = 360°
Fonte: Cromwell, 2008, p. 166.
(4) Espécie de ângulo sólido que contém polígonos de 3 lados e polígonos de n lados, em que n ≥ 7.
Nenhuma das espécies de ângulos sólidos que contém um único polígono de n lados pode formar um sólido arquimediano. A única possibilidade é (3,3,3,n), o antiprisma com um polígono base de n lados, conforme indica o Quadro 16.
Quadro 16. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de sete ou mais lados e três lados.
(3,3,3,3,n)
A soma dos ângulos planos é maior que 360°. Portanto, não pode ser considerada.
4x(60°) + 1x(α) > 360°
(3,3,3,n)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um antiprisma.
3x(60°) + 1x(α) < 360°
(3,3,n)
Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i).
Fonte: Cromwell, 2008, p. 165.
ímpar, então este tipo de ângulo sólido não pode ser formado (lema 2(i)). E se n é par e maior do que 10, a soma dos ângulos planos é igual ou maior que 360°. O Quadro 17 indica as espécies mencionadas.
Quadro 17. Possibilidades de ângulos sólidos formados por mais de um polígono de sete ou mais lados e três lados.
(3,3,n,n)
A soma dos ângulos planos é maior que 360°. Portanto, não pode ser considerada.
2x(60°) + 2x(α) > 360°
(3,8,8)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Cubo Truncado.
1x(60°) + 2x(135°) = 330°
(3,10,10)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Dodecaedro Truncado.
1x(60°) + 2x(144°) = 348°
(3,12,12)
A soma dos ângulos planos é 360°. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada.
1x(60°) + 2x(150°) = 360°
Fonte: Cromwell, 2008, p. 165.
Essa é a completa análise de todas as espécies de ângulo sólido que contém polígono de 3 lados e um outro tipo de polígono. As outras espécies que contém apenas dois tipos de polígonos são investigadas a seguir.
(5) Espécie de ângulo sólido que contém polígonos de 4 lados e polígonos de n lados (n ≥ 5).
Se existir uma única face composta por um polígono de n lados, então o tipo de ângulo sólido deve ser (4,4,n), uma vez que a soma dos ângulos planos de três ou mais polígonos de 4 lados e um polígono de n lados é maior que 360°. O caso admissível é um prisma com um polígono base de n lados.
Se existirem duas faces compostas de polígonos de n lados então existe somente um único polígono de 4 lados (de outra maneira a soma dos ângulos ultrapassaria 360°). Então, o tipo de ângulo sólido é (4,n,n):
Se n ≥ 8, então a soma do ângulo é igual ou maior que 360°.
Se n é ímpar, então a parte (i) do lema 2 mostra que nenhum poliedro é possível.
O único caso possível é (4,6,6), poliedro chamado de octaedro truncado. A possibilidade de três ou mais polígonos de n lados com polígonos de 4 lados é excluída pela soma dos ângulos.
O Quadro 18 indica as espécies mencionadas.
Quadro 18. Possibilidades de ângulos sólidos formados por polígonos de quatro lados e cinco ou mais lados.
(4,4,n,n)
A soma dos ângulos planos é maior que 360°. Portanto, não pode ser considerada.
4x(90°) + 2x(α) > 360°
(4,8,8)
A soma dos ângulos planos é 360°. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada.
(4,6,6)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Octaedro Truncado.
1x(90°) + 2x(120°) = 330°
Fonte: Cromwell, 2008, p. 166.
(6) Espécie de ângulo sólido com polígonos de 5 lados e polígonos de n lados (n ≥ 6).
Um único polígono de n lados não pode formar parte de um ângulo sólido, pois a soma dos ângulos de três polígonos de 5 lados e um polígono de n lados é maior que 360° e um ângulo de tipo (5,5,n) é excluído pela parte (i) do lema 2.
Se existirem dois polígonos de n lados, então a soma dos ângulos mostra argumentos que o ângulo sólido deve ser do tipo (5,n,n). O menor valor dado a n resulta em um icosaedro truncado (5,6,6). Para qualquer valor maior de n a soma dos ângulos planos é maior do que 360°.
Mais do que dois polígonos de n lados conduz a uma soma de ângulos igual ou maior a 360°.
O Quadro 19 indica as espécies mencionadas.
Quadro 19. Possibilidades de ângulos sólidos formados por polígonos de cinco lados e seis ou mais lados.
(5,5,n,n)
A soma dos ângulos planos é maior que 360°. Portanto, não pode ser considerada.
2x(108°) + 2x(α) > 360°
(5,7,7)
A soma dos ângulos planos é maior que 360°. Portanto, não pode ser considerada.
(5,6,6)
A soma dos ângulos planos é menor que 360°. Resulta em um Icosaedro Truncado.
1x(108°) + 2x(120°) = 348°
Fonte: Cromwell, 2008, p.166.
Em qualquer outra espécie de ângulo sólido que contém somente dois tipos de polígonos, a menor possibilidade da soma dos ângulos resulta em dois