CAPÍTULO 3: ABERTURA FINANCEIRA E CRISES FINANCEIRAS: EVIDÊNCIAS
3.3 Modelos de Incidência e Recuperação da Crise Financeira Global Procedimentos
3.3.2 Bayesian Model Averaging (BMA)
3.3.2.1 Teorema de Bayes
A econometria Bayesiana tem como base as regras de probabilidade35, isso permite a essa abordagem estimar parâmetros, comparar diferentes modelos e/ou obter previsões de um modelo, portanto, todas essas possibilidades envolvem as mesmas regras de Probabilidade. Considerando duas variáveis aleatórias A e B, as regras de probabilidade implicam:
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴|𝐵)𝑝(𝐵) (3.2)
Onde 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) é a probabilidade conjunta36 de A e B ocorrer, p(A|B) é a probabilidade condicional de A ocorrer onde B tenha ocorrido e 𝑝(𝐵) é a probabilidade
35 A apresentação dos modelos Bayesianos utiliza como base os estudos de Koop (2003), Babecky et al.(2013), Bussan e Morettin (2010), Moral-Benito (2013)..
36 Segundo Koop (2003, p.1) é preciso observar atentamente as termologias utilizadas: Deve-se usar o termo “função densidade de probabilidade” se a variável aleatória for continua. E usar o termo “função de probabilidade” se a variável aleatória for discreta. Para simplificar a apresentação da teoria, simplesmente não serão utilizadas as palavras "densidade" ou "função".
marginal de B. Alternativamente, pode-se inverter os papéis de A e B, 𝑝(𝐵|𝐴) e encontrar uma expressão para a probabilidade conjunta de A e B:
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐵|𝐴)𝑝(𝐵) (3.3)
Igualando as duas expressões p(A|B) e p(B|A) por 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵), encontra-se o teorema de Bayes:
𝑝(𝐵|𝐴) = 𝑝(𝐴𝑝(𝐴)|𝐵)𝑝(𝐵) (3.4)
O teorema de Bayes retrata a probabilidade de um evento com base em um conhecimento a priori estar relacionado ao mesmo evento. O teorema mostra como as probabilidades a priori baseado em novas evidências podem ser alteradas para obter as probabilidades a posteriori, portanto, o teorema de Bayes fornece um mecanismo formal para atualizar probabilidades (BUSSAB, MORETTIN, 2010). Além de atualizar probabilidades, o teorema de Bayes também pode ser utilizado para obter informação sobre um parâmetro desconhecido de um modelo probabilístico. Segundo (Koop, 2003, p.2):
Econometrics is concerned with using data to learn about something the researcher is interested in. Just what the ‘something’ is depends upon the context. However, in economics we typically work with models which depend upon parameters. For the reader with some previous training in econometrics, it might be useful to have in mind the regression model. In this model interest often centers on the coefficients in the regression, and the researcher is interested in estimating these coefficients. In this case, the coefficients are the parameters under study.
Considerando 𝑦 como uma matriz de vetor dos dados e 𝜃
o vetor matriz que contém os parâmetros para o modelo que se busca explicar y. O objetivo do estudo é aprender sobre 𝜃 com base nos dados de y. O modelo econométrico bayesiano utiliza o teorema de Bayes substituindo B por 𝜃 e A por y, obtendo a seguinte equação :
𝑝(𝜃|𝑦) =
𝑝(𝑦
𝑝(𝑦)|𝜃
)𝑝(𝜃)(3.5)
Para o modelo Bayesiano o termo 𝑝(𝑦|𝜃) é de fundamental interesse, pois direciona a questionar: o que se sabe sobre o parâmetro 𝜃 com base nos dados. Com o intuito de
compreender 𝜃37, pode-se ignorar o termo 𝑝(𝑦), pois não envolve 𝜃, e obter a seguinte equação:
𝑝(𝜃|𝑦) ∝ 𝑝(𝑦|𝜃) 𝑝(𝜃) (3.6)
O termo 𝑝(𝜃|𝑦) é chamado de densidade a posteriori, 𝑝(𝑦|𝜃) é a função de probabilidade e 𝑝(𝜃) é a densidade a priori. A equação 3.6 indica que a densidade à posteriori é proporcional à probabilidade vezes a densidade a priori.
A densidade a priori 𝑝(𝜃), não depende dos dados, é o conhecimento possuído de 𝜃 antes de analisar os dados. A função de probabilidade 𝑝(𝑦|𝜃) é a densidade dos dados condicionada aos parâmetros do modelo, é o processo de geração de dados. A densidade a posteriori 𝑝(𝜃|𝑦) é de interesse fundamental, pois explica o que se sabe sobre 𝜃 após análise dos dados. Em linhas gerais, a equação 3.6 permite uma visão atualizada do termo 𝜃 com base nos dados.
Ademais, além de compreender os parâmetros do modelo, é possível comparar diferentes modelos. Como apresentado anteriormente, o modelo é definido formalmente por uma função de probabilidade e uma de densidade a priori. Supondo que haja 𝑚 modelos diferentes, ou seja, 𝑀𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, que buscam explicar 𝑦. 𝑀𝑖 irá depender dos parâmetros 𝜃𝑖. Nos casos em que muitos modelos estão sendo investigados, é importante definir qual modelo está sendo considerado. Portanto, o calculo da densidade a posteriori dos parâmetros utilizando 𝑀𝑖 é: 𝑝(𝜃𝑖|𝑦, 𝑀 𝑖 ) = 𝑝(𝑦|𝜃 𝑖, 𝑀 𝑖)𝑝(𝜃𝑖|𝑀𝑖) 𝑝(𝑦|𝑀𝑖) (3.7)
A notação relata que tem-se uma probabilidade posteriori, probabilidade, e priori para cada modelo
37 O tratamento de 𝜃 como variável aleatória diverge na literatura econométrica bayesiana. Segundo Koop (2003, p.02) “The chief competitor to Bayesian econometrics, often called frequentist econometrics, says that 𝜃 is not a random variable. However, Bayesian econometrics is based on a subjective view of probability, which argues that our uncertainty about anything unknown can be expressed using the rules of probability […] Rather, we will take it as given that econometrics involves learning about something unknown (e.g. coefficients in a regression) given something known (e.g. data) and the conditional probability of the unknown given the known is the best way of summarizing what we have learned. (Grifos do autor Koop (2003, p.2)
A econometria bayesiana considera que deve-se utilizar o teorema de Bayes para deduzir uma declaração de probabilidade sobre o que não se tem conhecimento (se um modelo é correto ou não) é condicional ao que se tem conhecimento (os dados). Isso significa que a probabilidade do modelo a posteriori pode ser usada para avaliar o suporte do 𝑀𝑖. Utilizando a regra de Bayes apresentada na equação 3.4. Obtém-se a seguinte expressão:
𝑝(𝑀𝑖 |𝑦) = 𝑝(𝑦|𝑀𝑝(𝑦)𝑖 )𝑝(𝑀𝑖 ) (3.8)
Em relação aos termos da equação 3.8. O 𝑝(𝑀𝑖) é o modelo de probabilidade a priori, pois, não considera os dados e mede a probabilidade de crença que 𝑀𝑖 é correto antes de analisar os dados. O termo 𝑝(𝑦|𝑀𝑖 ) é chamado de probabilidade marginal, e é calculado integrando os dois lados da fórmula 3.7 em relação a 𝜃𝑖, deve-se considerar o fato que ∫𝑝(𝜃𝑖|𝑀𝑖)𝑑 𝜃𝑖 = 1, visto que as funções de densidade da probabilidade são integradas a um, tem-se a equação 3.9:
𝑝(𝑀𝑖 |𝑦) = ∫𝑝(𝑦|𝜃𝑖, 𝑀𝑖)𝑝(𝜃𝑖|𝑀𝑖)𝑑 𝜃𝑖 (3.9)
A equação demonstra que a probabilidade marginal depende apenas da função a priori e da função de probabilidade. Devido a complexidade de calcular diretamente o denominador da equação 3.8, é comum comparar os modelos i e j, utilizando a razão de chances38 a posteriori, que é a razão de possibilidades dos modelos posteriori:
𝑃𝑂
𝑖𝑗=
𝑝(𝑝(𝑀𝑀
𝑖 |𝑦
) 𝑗 |𝑦
)=
(
𝑦
|𝑀
𝑖)𝑝(𝑀𝑖)(
𝑦
|𝑀
𝑗)𝑝(𝑀𝑗)(3.10)
Calculando a razão de chances posteriori comparando cada par de modelos, e assumimos um conjunto de modelos é exaustivo (𝑝(𝑀1 |𝑦)+ ... + p(𝑀𝑚 |𝑦) = 1), pode-se calcular a razão de chances (odds ratios) posteriores para calcular as probabilidades do modelo posterior dadas na equação (3.8).
38
O odds ratio - razão de possibilidades ou razão de chances, avalia se as chances de um determinado evento ou resultado são as mesmas para dois grupos. Especificamente, mede a razão de chances de um evento ou resultado ocorrer, e as chances de o evento não acontecer (MCHUGH, 2010).
A econometria bayesiana também pode realizar predições de modelos, podem dar informações sobre os dados 𝑦 e predizer dados não observados y*. Em linhas gerais, a lógica bayesiana considera que incerteza sobre o que não se sabe, pode ser resumida, por meio de uma probabilidade condicional p(𝑦 ∗ |𝑦)39. Usando as regras de probabilidade, pode-se chegar a seguinte forma:
𝑝(𝑦 ∗ |𝑦) = ∫𝑝(𝑦 ∗ |𝑦, 𝜃) = 𝑝(𝜃|𝑦)𝑑𝜃 (3.11)
Esta apresentação inicial dos conceitos teóricos básicos necessários para o modelo Bayesiano auxiliam à sobre: a aprendizagem dos parâmetros, comparar e prever modelos. Segundo Koop (2003), uma vez que se considera que os “termos desconhecidos” (𝜃,𝑀𝑖 𝑒 𝑦 ∗ ) são variáveis aleatórias, o restante da abordagem bayesiana não é controverso. Ele são guiados pelas regras da probabilidade. Segundo o autor, uma vantagem desse modelo é que a partir das regras simples do teorema de Bayes pode-se realizar qualquer inferência estatística relacionada ao modelo .