Mathematical modeling of flutter of viscoelastic plates and cylindrical panels

(1)

Ս Ի Ի ՈՒԹ ՈՒ Ի Ի Ի Ի Ղ Ի

ա ա 59, 1_{1, 2006}

539.3 . .

. . Խ ա ա

ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա

ա ա ք ա ա ա ա ա ա ա ա

ա : ա ա ք ա ա ա ա ա ա ա

ա ա ա ա ա ա ա ք : ա ա ա

-ա ա ա ա ա ա ա : ա ա ա ա

ա ա ա ա ա ա ա ք :

B. A. Khudayarov

Mathematical modeling of flutter of viscoelastic plates and cylindrical panels

The flutter of viscoelastic plates and cylindrical panels streamlined by a gas current are investigated. The basic direction of the present work consists in taking into account of viscoelastic material properties at supersonic speeds. An algorithm of the numerical solution for the problem has been worked out on the basic of the method. The results of the flutter critical speed calculations have been given.

,

.

- .

Вв .

.

Э .

, ,

.

,

[1] ,

.

[2].

[3-7] .

,

.

-, У

. У

-

У

(2)

, ,

, [8, 10].

,

, .

1. П а вка а а ы я

,

, - ,

[9, 10] .

.

,

-; V

.

[11, 12],

-- .

У

u, v w

[10]:

2 2 2 2 2

1

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2

1

1 (1

)

( )

0

2

1

1 (1

)

( )

0

2

2 u

u

v

u

R

L w

x y

E

x

y

t

v

u

v

R

L w

x y

E

y

x

t

∗

⎧

∂

− µ ∂

+ µ ∂

⎫

− µ ∂

−

_⎨

+

_⎬

− ρ

=

∂ ∂

∂

⎩

⎭

⎧

∂

− µ ∂

+ µ ∂

⎫

− µ ∂

−

_⎨

+

_⎬

− ρ

=

∂ ∂

∂

⎩

⎭

2 4

3 2

(1

)

( , , )

w

D

R

w

L

u v w

h

q

t

∗ ∗

∂

−

∇

+

+ ρ

=

∂

(1)

(

)

2 3

1

12 −

µ

=

Eh

D

– ;

ρ

– ;

h–

; – ; μ – ;

(

)

2 2 2

1 2 2

1

1 ( )

2

x y

w

L w

k

x

y

x y

x

y

∂

∂ ∂

+ µ ∂

∂

− µ ∂ ∂

= −

+ µ

+

∂

∂ ∂

∂

(

)

2 2 2

1 1

( )

2 2

x y

w w w w w w w

L w k k

y y y x x y y x

∂ ∂ ∂ + µ ∂ ∂ − µ ∂ ∂

= − µ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(

)

(

)

(

)

(

)

3 2

2 2

( , , )

1

2

x y x y

x y y x

x y x y

Eh

u

v

L u v w

R

k

x

y

k

_w

k

_w

k

k k

w

x

y

∗

_{= −}

∗

⎧

₋

_{+ µ}

∂

_{− µ +}

∂

₊

⎨

_∂

− µ ⎩

⎫

+ µ

⎛

∂

⎞

+ µ ⎛

∂

⎞

⎪

+

+ µ

−

_⎜

_⎟

−

_⎜

_⎟

_⎬

−

∂

(3)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

1

2

1

2

x y

Eh

w

u

v

R

k

w

x

y

w

u

v

Eh

w

u

R

y

x

y

x

v

w

u

v

k

w

R

y

x

y

x

∗

∗ ∗

∗

⎤

∂ ∂

⎧

⎡

∂

−

_⎨

−

_⎢

+ µ

−

+ µ

_⎥

+

∂

− µ

⎩

⎣

⎦

⎫

⎛

⎞

⎧

− µ ∂

∂

∂ ∂

⎡

∂

+

−

_⎜

+

_⎟

_⎬

−

_⎨

−

_⎢

µ

+

∂

⎝

∂

⎠

⎭

− µ

∂

⎩

∂

⎣

∂

⎫

⎤

⎛

⎞

∂

− µ ∂

∂

+

− µ +

_⎥

+

−

_⎜

+

_⎟

_⎬

∂

_⎦

∂

_⎝

∂

_⎠⎭

2 2

1

...

w

q

B

BV

B V

t

x

⎛

⎞

∂

= −

−

_⎜

_⎟

−

∂

_⎝

∂

_⎠

– ,

;

(

)

,

4

1 ,

₁ ₂

∞ ∞

∞

₌

+

=

V

p

B

V

p

B

χ

−

χ

;

p

_∞

,

V

_∞–

.

(1)

. :

=0, = w=0; v=0; Nx=0; Mx=0; y=0, y=b w=0; u=0; Ny=0; My=0.

,

:

u(x,y,0)=ϕ 1(x,y), u x y( , , 0 ) 1( , )x y

•

= ψ (2)

v(x,y,0)=ϕ 2(x,y),

v x y

( , , 0)

2

( , )

x y

•

= ψ

(3)

w(x,y,0)=ϕ 3(x,y),

w x y

( , , 0)

1

( , )

x y

•

= ψ

(4)

u(x,y,t), v(x,y,t), w(x,y,t)

ϕnm(x,y), ψnm(x,y), θnm(x,y),

:

1 1

( , , )

( , )

( , , )

( , )

( , , )

( , )

N M

nm nm

n m

N M

nm nm

n m

N L

nm nm

n m

u x y t

u

x y

v x y t

v

x y

w x y t

w

x y

= =

=

ϕ

=

ψ

=

θ

∑ ∑

(5)

u

nm

=u

nm

(t) v

nm

=v

nm

(t)

w

nm

=w

nm

(t)

– ;

ϕ

nm

(x,y),

(4)

(5) (1) - , unm(t), vnm(t), wnm(t) :

(

)

1 ln 1 ln 1 ln

1 1 1 1

1 ln 1 ln , 1 , 1

1 (1

*)

2 (

)

0

N M N M

nm

k m k m nm k m nm

n m n m

N M

x y k m kl k mir nm ir

n i m r

N

u

R

A

u

B

v

k

k C

w

D

w w

••

= = = =

= =

+ µ

⎧

− Ω −

_⎨

+

−

⎩

⎫

−

+ µ

+

_⎬

=

⎭

∑∑

∑ ∑

(6)

2 ln 2 ln 2 ln

1 1 1 1

2 ln 2 ln , 1 , 1

1 (1

*)

2 (

)

0

N M N M

nm

k m k m nm k m nm

n m n m

N M

y x k m kl k mir nm ir

n i m r

N

v

R

A

u

B

v

k

k C

w

D

w w

••

= = = =

= =

⎧

⎛

+ µ

− Ω −

_⎨

_⎜

+

−

⎝

⎩

⎫

⎞

−

+ µ

_⎟

+

_⎬

=

⎠

⎭

∑∑

∑ ∑

(7)

×

−

⎭

⎬

⎫

−

⎟⎟

⎠

⎞

+

⎩

⎨

⎧

₊

⎜

⎝

⎛ +

Ω

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

∑ ∑

∑

∑∑

= = = = = = • • • = = N i n M r m nm ir nm M r m mir k N i n nm m k nm m k nm N n M m t k nm nm N n M m m k

w

P

w

C

v

B

u

A

R

w

M

w

N

1 , , 1 1 , ln 1 , ln 3 ln 3 1 1 ln 3 1 1 ln 3

2

1 *)

1 (

µ

λ

(

){

}

2

4 ln 4 ln 4 ln

1 ln

1 , 1 , 1

1 *

1

0

4

k mir ir k mir ir k mir ir

N N M

p k m nm kenmir nm ir

n n i m r

R

A

u

B

v

C

w

M

∗

w

M

∗

w w

= = =

× −

+

+ +

Ω +

⎛

χ +

⎞

+χ

_⎜

λ

γ

+

Γ

_⎟

=

⎝

∑

∑ ∑

⎠

(8)

(

1 1 1 1

1 ln 2 ln

0 0 0 0

1 1 2

1 ln _, ,

0 0 1 1

2 ln , 1

0 0

,

(1

)

2 ,

,

k m nm l k m nm kl

k m _{nm xx} nm yy kl

k m nm xy kl

N

dxdy

N

dxdy

A

dxdy

a

A

dxdy

b

h

=

ϕ ϕ

=

ψ ψ

⎞

λ

− µ

″

_′′

=

ϕ

+

ϕ

_⎟

ϕ

⎠

′′

=

λϕ

ψ

λ =

∫∫

1 1 1 1

1 ln , 1 ln 1 1 ,

0 0 0 0

1 1

2

2 ln , ,

0 0 1 1

2 ln 1 1 , 2

0 0

,

1

2 ,

1

k m nm xy kl k m nm x kl

k m nm xx nm yy kl

E

k m nm y kl

B

dxdy

C

dxdy

B

dxdy

M

C

dxdy

′′

′

=

λψ

ϕ

=

β λ θ

ϕ

− µ

⎛

_′′

⎞

=

_⎜

ψ

+ λ ψ

_⎟

ψ

⎝

⎠

′

=

β λ λθ

ψ

Ω =

− µ

∫∫

(5)

(

)

2

1 1 2

1 ln , , , , , ,

1 0 0 1 1

2

2 ln , , , , , ,

1 0 0

1

1 (1

)

2

1

2

k mir nm x ir xx nm x ir yy nm y ir xy kl

k mir nm y ir yy nm x ir xy nm y ir xx kl

D

dxdy

D

dxdy

⎛

_′

_′′

λ

− µ

_′

_′′

λ

+ µ

_′

_′′

⎞

=

⎜

_⎜

θ

+

θ

+

θ

⎟

_⎟

ϕ

λ

_⎝

_⎠

λ

⎛

_′

_′′

+ µ

_′

_′′

− µ

_′

_′′

⎞

=

_⎜

λ θ

θ

+

θ

+

θ

_⎟

ψ

λ

⎝

⎠

∫∫

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1

3 ln 3 ln 1 1 ,

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2

3 ln 1 , 3 ln

0 0 0 0

,

2

k m nm kl k m x y nm x kl

k m y x nm y kl k m x y x y

N

dxdy

A

k

dxdy

B

k

dxdy

C

k

k k

′

=

θ θ

= −

+ µ

λ β ϕ

θ

⎡

′

= −

+ µ

λ β ψ

θ

=

_⎢

+

+ µ

×

⎣

∫∫

{

,

}

2 2 2 4

1 1 2 , ,

1

ln 1 1 ln 1 2 ln

1

2

12

2

nm yyyy

IV IV IV

nm nm xxxx nm xxyy kl

x y y x

k mir k mir k mir

dxdy

k

P

K

⎤

×λ β θ +

θ

+ λ θ

_⎥

θ

λ

_⎦

+ µ

=

β ⋅

+

β λ

1 1 1 1

1 ln , , 2 ln , ,

0 0 0 0

,

k mir nm x ir x kl k mir nm y ir y kl

K

=

∫∫

θ

′

θ θ

′

dxdy

K

=

∫∫

θ

′

θ θ

′

dxdy

(

)

1 1

4 ln , , , , , , , ,

1 0 0

, , , , , ,

1

2

1

2

k mir nm xx ir x nm x ir xx nm y ir xy nm yy ir x

nm y ir xy nm xy ir y nm x ir yy kl

A

dxdy

− µ

⎛

_′′

_′

_′′

_′

=

_⎜

θ

ϕ

+ θ

ϕ

+

θ

ϕ

+ λµθ

ϕ

+

λ

⎝

λ

− µ

⎞

′

′′

′

′′

+λµθ

ϕ

+ λ − µ θ

ϕ

+ λ

θ

ϕ

_⎟

θ

⎠

∫∫

(

1 1

4 ln , , , , , , , ,

1 0 0

2 '

, , , , , ,

1

2

1 (1

)

2

k mir nm xx ir y nm x ir xy nm y ir xx nm yy ir y

nm y ir yy nm xy ir x nm x ir xy kl

B

dxdy

− µ

′′

′

′′

′

′′

′

=

µθ

ϕ

+ µθ

ψ

+

θ

ψ

+ λθ

ψ

+

λ

− µ

⎞

′

′′

′

′′

+λ θ

⋅ ψ

+ − µ θ

ψ

+

θ

ψ

_⎟

θ

⎠

∫∫

(

)

1 1

4 ln 1 , , ,

0 0

1 1

, , , ln ,

0 0 1 1

' ' ln , ,

0 0

,

x y

k mir nm xx ir nm x ir x y x

nm yy ir nm y ir y ke k m nm x kl

k mir nm x ir x kl

k

C

k

dxdy

+ µ

⎛

_′′

_′

⎡

⎤

= −β

_⎜

_⎣

θ

θ + θ

θ

_⎦

+ λ

+ µ

×

λ

⎝

⎞

′′

′

⎡

⎤

× θ

_⎣

θ + θ

θ

_⎦

_⎟

θ

γ

=

θ

⎠

Γ

=

θ

θ θ

∫∫

,

( )

,

( )

,

( )

1,

;

1 ,

onm

nm onm nm onm

onm _nm _onm onm

u

o

u

u o

u

v

o

v

v o

v

w

o

w

w o

w

n

N

m

M

• •

• • • •

=

(6)

2.

. . [13-15] .

.

, . . [8, 10].

. .

. (6)–(8).

. t=ti,, ti=ih, i=1,2,… (h=const)

unm = unm(t), vnm = vnm(t), wnm= wnm(t), :

1 ln 1 ln 0

1 1 1 1

1

1 ln

0 1 1 0

(

)

(

)

exp(

)

N M N M

onm

k m pnm k m nm p

n m n m

p N M j

j p j k m jnm s s j snm

j n m s

N

u

N

u

t

A

A t

t

A

u

B

t u

•

= = = =

−

= = = =

=

+

−

⎧

⎛

⎡

⎤

⎪

−Ω

−

_⎨

_⎜

_⎢

−

−β

_⎥

+

α

⎣

⎦

⎪

⎝

⎩

∑∑

∑

∑∑

∑

1 ln

0

1 ln

0

1 ln

, 1 , 1 0

1 exp(

)

2 (

)

exp(

)

exp(

)

j

k m jnm s s j skl

s j

x y k m jnm s s j snm

s

j

N M

k mir jnm jir s s j snm j sir

n i m r s

A

B

v

B

t v

A

k

С

w

B

t w

A

D

w

B

t w

w

− =

− −

= = =

⎡

⎤

+ µ

+

_⎢

−

−β

_⎥

−

α

_⎦

⎣

⎞

⎡

⎤

−

+ µ

_⎢

−

−β

_⎥

_⎟

+

α

⎣

⎦ ⎠

⎫

⎛

⎞

+

_⎜

−

−β

_⎟

_⎬

α

⎝

⎠⎭

∑

∑ ∑

∑

(9)

1 2 ln 2 ln 0

1 1 1 1 0

2 ln

1 1 0

(

)

(

)

1 exp(

)

2

p

N M N M

onm

k m pnm k m nm p j p j

n m n m j

j

N M

k m jnm s s j snm

n m s

N

v

N

v

t

A t

t

A

u

B

t u

− •

= = = = =

−

= = =

=

+

− Ω

−

×

⎧

⎛

+ µ

⎡

⎤

⎪

×

_⎨

_⎜

_⎢

−

−β

_⎥

+

α

⎣

⎦

⎪

⎝

⎩

∑∑

∑

∑∑

∑

2 ln

0

exp(

)

j

k m jnm s s j skl

s j

A

B

v

B

t v

₋

=

⎡

⎤

+

_⎢

−

−β

_⎥

−

α

⎣

⎦

⎞

⎡

⎤

(7)

2 ln

, 1 , 1 0

exp(

)

j

N M

n i m r s

A

D

w

B

t w

₋

w

₋

= = =

⎫

⎛

⎞

+

_⎜

−

−β

_⎟

_⎬

α

⎝

⎠⎭

∑ ∑

∑

(10)

(

)

_⎢⎣

⎡

_⎜

⎝

⎛

₊

−

⎜

⎝

⎛

₋

−

⎩

⎨

⎧

₋

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

+

×

+

=

∑∑

∑

∑∑

= = ∗ − = = = • = = = = N n jnm m k M m p j p p j jnm N n M m m k j p nm nm nm N n M m m k p pnm N n M m m k

w

M

t

w

N

M

A

t

w

M

w

N

M

A

w

N

1 ln 1 1 1

0 1 1

ln 3 0 0 0 1 1 ln 3 1 1 ln 3

1

1 γ

λ

χ

λ λ λ 2 * ln , 1 , 1

3 ln

1 1 0

3 ln

1 1 0

1

4

1 exp(

)

2 exp(

)

N M

k mir jnm jir n i m r

j

N M

n m s

j

N M

n m s

M

Г

w

A

u

B

t u

A

B

v

B

t v

= = − = = = − = = =

⎞

χ +

+

_⎟

+

⎠

⎛

⎞

+ µ

+

Ω

_⎜

−

−β

_⎟

+

α

⎝

⎠

⎞

⎛

+Ω

_⎜

−

−β

_⎟

+

α

⎝

⎠

∑ ∑

∑∑

∑

∑ ∑

∑

3 ln

1 1 0

ln

, 1 , 1 0

exp(

)

exp(

)

j

N M

n m s

j

N M

n i m r s

A

C

w

B

t w

A

p

w

B

t w

w

− = = = − − = = =

⎞

⎛

+Ω

_⎜

−

−β

_⎟

−

α

⎝

⎠

⎛

⎞

−Ω

_⎜

−

−β

_⎟

−

α

⎝

⎠

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

4 ln

, 1 , 1 0

exp(

)

j

N M

jnm k mir jir s s j sir

n i m r s

A

w

A

u

B

t u

₋

= = =

⎞

⎛

−Ω

_⎜

−

−β

_⎟

+

α

⎝

⎠

∑ ∑

∑

4 ln 0 4 ln 0

exp(

)

exp(

)

j

k mir jir s s j sir

s

j

k mir jir s s j sir

s

A

B

v

B

t v

A

C

w

B

t w

− = − =

⎞

⎛

+

_⎜

−

−β

_⎟

+

α

⎝

⎠

⎫

⎞

⎤

⎞

⎪

⎛

+

_⎜

−

−β

_⎟

_{⎥ ⎬}

⎟

_⎟

α

⎝

⎠

⎥

_{⎦ ⎠⎭}

⎪

∑

(11) M l N k

p = 1,2,...; = 1, ; = 1,

Aj , Bs –

(8)

0

/ 2,

,

1,

/ 2,

0

/ 2,

(

1) ) / 2,

;

((

1)

(

1) ) / 2

j i

j s

A

h

A

h

j

i

A

h

B

h

B

h

j

s

j B

h

s

α

α α α α α α

=

−

=

−

=

+

− −

«Delphi».

3.

, Vp,

, [16].

,

χ=1,4; V∞=3,4*104

/ ; µ=0,32; E=7*105 / 2; ∞= 1,014 / 2.

-

A α β λ λ₁ β₁ V

0 0,001

0,01 0,1

0,25 0,05 6 100 0,01 1528 1497 1386 871 0,1

0,1 0,3 0,5

0,05 6 100 0,01 575 918 1281

0,1 0,25 0,1

0,3 6 100 0,01

869 867 0,1 0,25 0,05

3,5 4 4,5 5,5

100 0,01 964 1251 1143 1658 0,1 0,25 0,05 6

50 75 100

0,01

1184 988 871 0,1 0,25 0,05 6 100

0,005 0,008 0,015

723 807 1324

(9)

,

.

. .

[17] . . [18].

(

. α = 0,1; 0,3 ,

(9-11), 575 918

59,6 %. ,

.

β V

. β=0,1 β=0,3.

, β

.

, (1

, λ β1,

V p , . .

.

, β

α ,

,

.

1. . ., . .

. - .: . , 1997. 272 .

2. . .

// . - 1956.

. . - B .6. - .733-755.

3. . ., . .

, // . . .

(10)

4. . ., . .

-, // .

. . . 1961. №5. . 96-99.

5. . .

// . . - . .

1961. . XIV. №5. . 21-30.

6. . ., . . ,

// . . 1.

, . - 1994. - №4. - . 40-44.

7. . ., . .

// . . 1994. . 58. . 3. . 167-171.

8. . ., X., .

,

// . 1987. . 51. №5. . 867-871.

9. . . .: . 1965. 200 .

10. .

: . . : 18.05.13. , 1991. 337 .

11. . . . .: ,

1972. 432 .

12. . . . .: , 1963. 880 .

13. . . . : .

1979. 304 .

14. . .

. : , 1966. 391 .

15. . . // .

. . . . 1996. – .102. .4-18.

16. . .

// . . . 2004. .57. №1. . 59-62.

17. . . //

. 1974. №4. . 95-100.

18. . . - // .

(11)