EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS SOBRE TESTE DE HIPÓTESE

(1)

EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS SOBRE TESTE DE HIPÓTESE

8.4 Um professor está interessado em descobrir se um programa especial de estudo aumentaria os escores/pontos/resultados dos estudantes, num exame nacional. 14 estudantes foram selecionados e pareados/emparelhados de acordo com o QI e o desempenho escolar. Em cada par, um estudante foi selecionado aleatoriamente para participar do programa especial, com o outro estudante participando no programa comum. Ambos os programas terminaram ao mesmo tempo. Pouco depois, os estudantes fizeram o exame nacional. Os resultados estão a seguir:

Par de estudante

Quantidade de pontos obtidos pelo estudante, no exame nacional A Estudante participou no programa especial B Estudante participou no programa comum 1 66 60 2 82 79 3 96 92 4 72 73 5 78 75 6 82 80 7 67 69

Com um nível de significância de 5%, há evidência suficiente que indica ser o programa especial de estudo mais eficaz/eficiente/efetivo para aumentar os resultados/pontos/escores, no exame nacional, em média? Assuma aproximação normal para a população de diferenças.

(2)

Solução do 8.4: Dados do problema 8.4:

Par de estudante

Quantidade de pontos obtidos pelo estudante, no exame nacional

Diferença entre os pontos, em cada par de estudantes A Estudante participou no programa especial B Estudante participou no programa comum 1 66 60 6 2 82 79 3 3 96 92 4 4 72 73 -1 5 78 75 3 6 82 80 2 7 67 69 -2 • Nível de significância (



):



= 5% = 0,05

• População A: Todos os estudantes que participaram no programa especial de estudos • População B: Todos os estudantes que participaram no programa comum de estudos • Variável (X): Pontos obtidos por cada estudante

• Amostra da população A apresentou os resultados: XA: 66, 82, 96, 72, 78, 82, 67

• Amostra da população B apresentou os resultados: XB: 60, 79, 92, 73, 75, 80, 69

• Também é possível definir uma variável D: Diferença entre os pontos obtidos, em cada par de estudantes, ou seja, D: 6, 3, 4, -1, 3, 2, -2

• Parâmetros de interesse (



):

o

As médias populacionais (



):



A

e



B

o

A diferença entre as médias populacionais



A

e



B

.

Essa diferença será denotada por D, com D =



A

− 

B

.

• D ~ N (



D

, 𝜎

_𝐷2

),

com a variância populacional 𝜎_𝐷2 desconhecida. Em seu lugar, será usada a variância amostral

𝑠

_𝐷2

.

• Hipóteses a serem testadas:

o Hipótese nula (H0): Não há diferença, em média, entre a pontuação dos estudantes

no programa especial e a pontuação dos estudantes no programa comum

o Hipótese alternativa (Ha): A pontuação dos estudantes, no programa especial de

estudos, é maior, em média, que a pontuação dos estudantes, no programa comum

(3)

3

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

> 

B

Ou, ainda (que é preferível, pois o enunciado está falando que a diferença segue distribuição normal):

H0: D =



A

− 

B = 0 versus Ha:: D =



A

- 

B > 0 , pois afirma-se que



A

> 

B • Teste estatístico a ser utilizado:

Teste t-Student pareado/emparelhado, para amostras independentes, pois:

▪ A variável X (diferença entre a pontuação, nos dois programas) segue distribuição normal

▪ As amostras são pequenas (n < 30), pois são 7 alunos em cada par

▪ A amostragem foi pareada, isto é, a análise foi feita tomando pares de estudantes comparáveis

▪ As amostras são independentes, em cada par de estudantes

• Será admitido que as populações A e B seguem distribuição normal, para se usar o teste F e o teste t.

Resolução do 8.4:

1º passo: Cálculo das medidas estatísticas que resumem os dados: • Variável (X): Pontos obtidos por cada estudante

• XA: 66, 82, 96, 72, 78, 82, 67

• XB: 60, 79, 92, 73, 75, 80, 69

• D: 6, 3, 4, -1, 3, 2, -2 •



= 5% = 0,05

Tamanhos das amostras (n):

𝑛

_𝐴

= 𝑛

_𝐵

= 7

Médias amostrais:

𝑥̅

_𝐴

=

66 + 82 + 96 + 72 + 78 + 82 + 67

7 ≅ 77,57 pontos

𝑥̅

_𝐵

=

60 + 79 + 92 + 73 + 75 + 80 + 69

(4)

Variâncias amostrais:

𝑠

_𝐴2

=

(66 − 77,57)

2

_{+ (82 − 77,57)}

2

_{+ ⋯ + (67 − 77,57)}

2

7 − 1

≅ 109,29

𝑠

_𝐵2

=

(60 − 75,43)

2

_{+ (79 − 75,43)}

2

_{+ ⋯ + (69 − 75,43)}

2

7 − 1

≅ 98,95

Desvios-padrões amostrais:

𝑠

_𝐴

= √𝑠

_𝐴2

= √109,29 ≅ 10,45 pontos

𝑠

_𝐵

= √𝑠

_𝐵2

= √98,95 ≅ 9,95 pontos

Resumo (summary): População Tamanho da amostra (n) Média amostral (𝑥̅) Variância amostral (s2₎ Desvio-padrão amostral (s) A (exame especial) 7 77,57 109,29 10,45 B (exame comum) 7 75,43 98,95 9,95

2º passo: Verificação se as variâncias populacionais

𝜎

_𝐴2

e 𝜎

_𝐵2 são iguais, estatisticamente. Usa-se o teste F para homogeneidade.

Hipóteses a serem testadas:

H0:

𝜎

_𝐴2

= 𝜎

_𝐵2

versus

Ha:

𝜎

_𝐴2

≠ 𝜎

_𝐵2

Estatística de teste:

𝐹 =

𝑠𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 2

𝑠_{𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟}2

Estatística de teste observada:

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

=

109,29

98,95

≅ 1,10

Estatística de teste tabelada:

o são 6 graus de liberdade tanto no numerador como no denominador, pois é 7 - 1 o o nível de significância é 5% = 0,05

o teste bicaudal, com 2,5% = 0,025 para cada lado

Pela tabela, tem-se:

(5)

5

Como

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

=

1,10

está entre esses dois valores, não rejeita-se

H

0

.

Logo, ao nível de 5% de significância, pode-se afirmar que há evidências amostrais de que as variâncias populacionais

𝜎

_𝐴2

e

𝜎

_𝐵2 são iguais, isto é, as distribuições de probabilidade das populações XA e XB são homogêneas.

3º passo: Verificação se as médias populacionais



Ae



B são iguais, estatisticamente. Neste caso, usa-se o teste t pareado para amostras independentes provenientes de populações homogêneas

H0:



A

= 

B

versus

Ha:



A

> 

B Ou, ainda:

H0: D =



A

− 



A

- 



A

> 

B Estatística de teste:

𝑡 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

_𝑛

1

𝐴

+

1 𝑛

_𝐵

∙ √

(𝑛

_𝐴

− 1)𝑠

_𝐴2

+ (𝑛

_𝐵

− 1)𝑠

_𝐵2

𝑛

_𝐴

+ 𝑛

_𝐵

− 2

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

=

(77,57 − 75,43) − 0

√1

7 +

1

7 ∙ √

(7 − 1) ∙ 109,29 + (7 − 1) ∙ 98,95

7 + 7 − 2

=

2,14

0,53 ∙ 10,20

≅ 0,40

o são 12 graus de liberdade, pois é 7+7-2 o o nível de significância é 5% = 0,05

o teste unicaudal, devido à formulação da hipótese alternativa

(6)

𝑡

_{12; 0,05}

= 1,78

(cauda direita, devido à formulação da hipótese alternativa) Como

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

= 0,40

é menor que

𝑡

_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜} =

𝑡

_{12; 0,05}

= 1,78

, não rejeita-se

H

0

.

Logo, ao nível de 5% de significância, pode-se afirmar que há evidências amostrais de que as médias populacionais



A

e 

B são iguais

Conclusão do 8.4:

Ao nível de significância de 5% e usando o teste t pareado para duas amostras independentes, provenientes de populações homogêneas, é possível afirmar que há evidências amostrais de que os programas de estudo, o especial e o comum, não são diferentes entre si, em média.

(7)

8.7 O gerente de uma grande rede de lojas desejou estudar se a publicidade/anúncio/propaganda tende a aumentar as vendas de um produto. Seis pares de lojas foram selecionadas, cada par comparável em tamanho e em vendas referentes a esse produto. Para cada par, uma das lojas foi selecionada aleatoriamente para publicar/anunciar o produto, enquanto a outra loja não o publicou. Os seguintes resultados representam a quantidade desses produtos vendidos, durante uma semana.

Par de lojas

Quantidade de determinado produto vendido, durante uma semana A

Loja anunciou o produto

B

Loja não anunciou o produto

1 12 9 2 17 12 3 8 10 4 20 18 5 7 8 6 13 10

Note que  x = 10 e  x2 _{= 52. Há evidência suficiente para sugerir que o programa}

publicitário é eficaz/eficiente? Use um nível de significância de 10%. Assuma aproximação normal para a população de diferenças.

(8)

Par de lojas

Quantidade de determinado produto vendido, durante uma semana

Diferença entre a quantidade de produto vendido, em cada par de loja A

Loja anunciou o produto

B

Loja não anunciou o produto 1 12 9 3 2 17 12 5 3 8 10 -2 4 20 18 2 5 7 8 -1 6 13 10 3 • Nível de significância (



):



= 10% = 0,1

• População A: Quantidade do produto vendido nas lojas com publicidade do produto • População B: Quantidade do produto vendido nas lojas sem publicidade do produto • Variável (X): Quantidade do produto vendido em cada loja

• Amostra da população A apresentou os resultados: XA: 12, 17, 8, 20, 7, 13

• Amostra da população B apresentou os resultados: XB: 9, 12, 10, 18, 8, 10

• Também é possível definir uma variável D: Diferença entre as quantidades vendidas, em cada par de lojas, ou seja, D: 3, 5, -2, 2, -1, 3

• Parâmetros de interesse (



):

o As médias populacionais (



):



A

e 

B

o A diferença entre as médias populacionais



A

e 

B

.

Essa diferença será denotada por D, com D =



A

− 

B

.

• D ~ N (



D

, 𝜎

_𝐷2

),

com a variância populacional 𝜎_𝐷2 desconhecida. Em seu lugar, será usada a variância amostral

𝑠

_𝐷2

.

o Hipótese nula (H0): Não há diferença, em média, entre a quantidade de produto

vendido nas lojas que usaram publicidade e a quantidade de produto vendido nas que não usaram publicidade

o Hipótese alternativa (Ha): A quantidade de produto vendido nas lojas que usaram

publicidade é maior, em média, que a quantidade de produto vendido nas lojas que não usaram publicidade

(9)

9

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

> 

B

Ou, ainda (que é preferível, pois o enunciado está falando que a diferença segue distribuição normal):

H0: D =



A

− 



A

- 

B > 0 • Teste estatístico a ser utilizado:

Teste t-Student pareado/emparelhado, para amostras independentes, pois:

o A variável X (diferença entre a pontuação, nos dois programas) segue distribuição normal

o As amostras são pequenas (n < 30), pois são apenas 6 lojas em cada par

o A amostragem foi pareada, isto é, a análise foi feita tomando pares de lojas comparáveis

o As amostras são independentes, em cada par de lojas

• Será admitido que as populações A e B seguem distribuição normal, para se usar o teste F e o teste t.

1º passo: Cálculo das medidas estatísticas que resumem os dados, descritivamente: • Variável (X): Quantidade do produto vendido em cada loja

• XA: 12, 17, 8, 20, 7, 13

• XB: 9, 12, 10, 18, 8, 10

• D: 3, 5, -2, 2, -1, 3 •



= 10% = 0,1

Tamanhos das amostras (n):

𝑛

_𝐴

= 𝑛

_𝐵

= 6

Médias amostrais:

𝑥̅

_𝐴

=

12 + 17 + 8 + 20 + 7 + 13

6 ≅ 12,83 quantidade do produto

𝑥̅

_𝐵

=

9 + 12 + 10 + 18 + 8 + 10

(10)

Variâncias amostrais:

𝑠

_𝐴2

=

(12−12,83)2+(17−12,83)2+⋯+(13−12,83)2 6−1

≅ 25,37

𝑠

_𝐵2

=

(9−11,17)2+(12−11,17)2+⋯+(10−11,17)2 6−1

≅12,97

Desvios-padrões amostrais:

𝑠

_𝐴

= √𝑠

_𝐴2

= √25,37 ≅ 5,04 quantidade do produto

𝑠

_𝐵

= √𝑠

_𝐵2

= √12,97 ≅ 3,60 quantidade do produto

Resumo (summary): População Tamanho da amostra (n) Média amostral (𝑥̅) Variância amostral (s2₎ Desvio-padrão amostral (s) A (exame especial) 6 12,83 25,37 5,04 B (exame comum) 6 11,17 12,97 3,60

𝜎

_𝐴2

e 𝜎

_𝐵2 são iguais, estatisticamente. Usa-se o teste F para homogeneidade.

H0:

𝜎

_𝐴2

= 𝜎

_𝐵2

versus

Ha:

𝜎

_𝐴2

≠ 𝜎

_𝐵2

𝐹 =

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

=

25,37

12,97

≅ 1,96

o são 5 graus de liberdade tanto no numerador como no denominador, pois é 6 - 1 o o nível de significância é 10% = 0,1

o teste bicaudal, com 5% = 0,5 para cada lado

(11)

11

Como

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

= 1,96

está entre esses dois valores, não rejeita-se

H

0

.

𝜎

_𝐴2

e

𝜎



A e



B são iguais, estatisticamente. Usa-se o teste t pareado para duas amostras independentes, provenientes de populações homogêneas.

H0:



A

= 

B

versus

Ha:



A

> 

B Ou, ainda:

H0: D =



A

− 



A

- 



A

> 

𝑡 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

_𝑛

1

𝐴

+

1 𝑛

_𝐵

∙ √

(𝑛

_𝐴

− 1)𝑠

_𝐴2

+ (𝑛

_𝐵

− 1)𝑠

_𝐵2

𝑛

_𝐴

+ 𝑛

_𝐵

− 2

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

=

(12,83 − 11,17) − 0

√1

6 +

1

6 ∙ √

(6 − 1) ∙ 25,37 + (6 − 1) ∙ 12,97

6 + 6 − 2

=

1,66

0,58 ∙ 4,38

≅ 0,65

(12)

𝑡

_{10; 0,1}

= 1,37

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

= 0,65

é menor que

𝑡

_{10; 0,1}

= 1,37

, não rejeita-se

H

0

.



A

e 

B são iguais

Ao nível de significância de 10% e usando o teste t pareado para duas amostras independentes, provenientes de populações homogêneas, é possível afirmar que há evidências amostrais de que a quantidade de produto vendido, nas lojas que fizeram a publicidade do produto, não é diferente da quantidade de produto vendido nas lojas que não fizeram a publicidade dele, em média. Ou seja, a publicidade não impacta as vendas desse produto, em média.

(13)

8.14 Duas escolas de negócios, A e B, relataram os seguintes resumos de pontos/escores para a aptidão verbal, no teste de aptidão em gestão de pós-graduação (GMAT):

Escola Tamanho da amostra ( n ) Média amostral (

𝑥̅

) Variância amostral ( s2₎

A 201 34,75 48,59

B 115 33,74 30,68

Ao nível de significância de 5%, há evidência suficiente para acreditar que há diferença entre as médias populacionais?

a) Use a aproximação clássica b) Use a aproximação p-valor

Escola

Tamanho da amostra ( n ) (número de estudantes que

submeteram-se ao teste)

Média amostral (

𝑥̅

) (da pontuação obtida

no teste)

Variância amostral ( s2₎

(da pontuação obtida no teste)

A 201 34,75 48,59

B 115 33,74 30,68

•



= 5% = 0,05

• Variável (X): Pontos no teste de aptidão verbal, obtidos por cada estudante • Parâmetro de interesse (



): a média populacional (



)

o Hipótese nula (H0): Não há diferença, em média, entre a quantidade de pontos dos

estudantes da escola A e a quantidade de pontos dos estudantes da escola B

o Hipótese alternativa (Ha): Há diferença, em média, entre a quantidade de pontos dos

(14)

Ou, mais simplesmente:

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

≠ 

Deveria ser o teste t, pois a variância populacional ( 2 _{) é desconhecida e, em seu}

lugar, será utilizada a variância amostral (s2_{), mas como as amostras são grandes (n > 30)}

pode ser utilizado o teste Z, uma vez que os valores da estatística t são muito próximos dos valores da estatística z, quando n > 30.

1º passo: Encontrar as medidas estatísticas que resumem os dados, descritivamente: • Variável (X): Pontos no teste de aptidão verbal, obtidos por cada estudante • Tamanho das amostras

: 𝑛

_𝐴

= 201 e 𝑛

_𝐵

= 115

• Médias amostrais

: 𝑥̅

_𝐴

=

34,75

e 𝑥̅

_𝐵

=

33,74 • Variâncias amostrais:

𝑠

_𝐴2

=

48,59

e 𝑠

_𝐵2

=

30,68 • Desvios-padrões amostrais:

𝑠

_𝐴

=

6,97

e 𝑠

_𝐵

=

5,54 •

Nível de significância do teste de hipótese: 

= 5% = 0,05

2º passo: Teste estatístico a ser utilizado:

Teste Z para duas amostras independentes, pois as amostras são grandes (n > 30) e independentes.



A e



B são iguais, estatisticamente. O teste Z será bicaudal, devido à formulação da hipótese alternativa.

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

≠ 

B

(15)

15

𝑍 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

𝑠

𝐴 2

𝑛

_𝐴

+

𝑠

_𝐵2

𝑛

_𝐵 Estatística de teste observada:

𝑍 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

𝑠

𝐴 2

𝑛

_𝐴

+

𝑠

_𝐵2

𝑛

_𝐵

=

(34,75 − 33,74) − 0

√

48,59

₂₀₁

+

30,68

₁₁₅

≅

1,01

√0,24 + 0,27

≅ 1,41

a) Aproximação clássica:

o o nível de significância é 5% = 0,05

o teste bicaudal, devido à formulação da hipótese alternativa

−𝑧

_0,025

= −

1,96 (cauda esquerda) e

𝑧

_0,025

=

1,96 (cauda direita)

Como

𝑧

_𝑜𝑏𝑠

= 1,41

está entre

−𝑧

_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜} =−1,96 e

𝑧

_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜} =1,96, não rejeita-se

H

0

.



A

e 

B são iguais.

b) Aproximação p-valor:

P-valor = Probabilidade de z <

−

1,41 + Probabilidade de z > 1,41, ou seja, P-valor = P(z <

−

1,41) + P(z > 1,41).

Pela tabela da distribuição normal, tem-se: P-valor

≅

2(0,5-0,42073)

≅

0,159

(16)

Como P-valor

≅

0,159 é maior que o nível de significância 0,05 desejado, não rejeita-se H0. Ou seja, há uma probabilidade alta, de 15,9%, aproximadamente, de se obter os resultados

amostrais observados.

Usando o teste Z para duas amostras independentes, pode-se dizer que não há diferença, em média, entre a quantidade de pontos dos estudantes da escola A e a quantidade de pontos dos estudantes da escola B, tanto pela aproximação clássica, ao nível de significância de 5%, como pela aproximação P-valor.

(17)

8.16 O responsável pelo departamento de recursos humanos de uma grande corporação alegou que os universitários que se candidatavam a empregos, na empresa, no ano corrente, tendiam a ter mais alta pontuação, em média, do que aqueles que se candidataram no ano anterior. Amostras provenientes de grupos de candidatos apresentaram os seguintes resultados:

Ano Tamanho da amostra ( n ) Média amostral ( 𝑥̅ ) Desvio-padrão amostral ( s)

Ano corrente (A) 60 2,98 0,40

Ano anterior (B) 52 2,80 0,50

Há suficiente evidência para justificar a alegação, ao nível de 5% de significância? a) Use a aproximação clássica b) Use a aproximação p-valor

•



= 5% = 0,05

• Variável (X): Pontuação dos candidatos a empregos, numa empresa • Parâmetro de interesse (





)

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

> 

B • Teste estatístico a ser utilizado

Deveria ser o teste t, pois a variância populacional ( 2 _{) é desconhecida e, em seu}

lugar, será utilizada a variância amostral (s2_{), mas como as amostras são grandes (n > 30)}

pode ser utilizado o teste Z, uma vez que os valores da estatística t são muito próximos dos valores da estatística z, quando n > 30.

(18)

1º passo: Encontrar as medidas estatísticas que resumem os dados, descritivamente:

• Variável (X): Pontuação de cada candidato a empregos, numa empresa • Tamanho das amostras

: 𝑛

_𝐴

= 60 e 𝑛

_𝐵

= 52

: 𝑥̅

_𝐴

= 2,98

e 𝑥̅

_𝐵

= 2,80

• Desvios-padrões amostrais:

𝑠

_𝐴

= 0,40

e 𝑠

_𝐵

= 0,50

• Variâncias amostrais:

𝑠

_𝐴2

= 0,16

e 𝑠

_𝐵2

= 0,25

•

Nível de significância do teste de hipótese: 

= 5% = 0,05

2º passo: Teste estatístico a ser utilizado:

Teste Z para duas amostras independentes, pois as amostras são grandes (n > 30) e independentes.



A e



B são iguais, estatisticamente. O teste Z será unicaudal, devido à formulação da hipótese alternativa.

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

> 

𝑍 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

𝑠

𝐴 2

𝑛

_𝐴

+

𝑠

_𝐵2

𝑛

𝑍 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

𝑠

𝐴 2

𝑛

_𝐴

+

𝑠

_𝐵2

𝑛

_𝐵

=

(2,98 − 2,80) − 0

√

0,16

₆₀

+

0,25

₅₂

≅

0,18

√2,67 + 4,81

≅ 0,07

(19)

19 a) Aproximação clássica:

o o nível de significância é 5% = 0,05

𝑧

_0,05

=

1,64 (cauda direita, devido à formulação da hipótese alternativa) Como 𝑧_𝑜𝑏𝑠 = 0,07 é menor que

𝑧

_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜} =1,64, não rejeita-se

H

0

.



A

e 

B são iguais.

b) Aproximação p-valor:

P-valor = Probabilidade de z > 0,066, ou seja, P-valor = P(z > 0,07)

Pela tabela da distribuição normal, tem-se: P-valor

≅

0,5 – 0,0279

≅

0,4721

Como P-valor

≅

0,4721 é maior que o nível de significância 0,05 desejado, não rejeita-se H0. Ou seja, há uma probabilidade alta, de 47,2%, aproximadamente, de se obter os resultados

amostrais observados.

Usando o teste Z para duas amostras independentes, pode-se dizer que não há diferença, em média, entre a pontuação dos candidatos a empregos, naquela empresa, no ano corrente, e a pontuação dos candidatos, no ano anterior, tanto pela aproximação clássica, ao nível de significância de 5%, como pela aproximação P-valor.

(20)

8.21

a) Os seguintes dados sustentam a crença que a média da população A é diferente da média da população B? Assuma aproximação normal para as populações, e conclua o teste usando 5% de nível de significância.

População Tamanho da amostra ( n ) Média amostral (

𝑥̅

A 8 83 21

(21)

21

Solução do 8.21 item a: Dados do problema 8.21 item a:

•



= 5% = 0,05

• Variável (X): desconhecida

• XA ~ N (



A

,

𝜎

_𝐴2

) e

XB ~ N (



B

,

𝜎

_𝐵2

) ,

com as variâncias populacionais

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

_𝐵2 desconhecidas; em seus lugares serão usadas as variâncias amostrais

𝑠

_𝐴2 e

𝑠

_𝐵2

.

As médias populacionais



A e



B são também desconhecidas, sendo desejado saber se elas são iguais. • Parâmetros de interesse (



):

As médias populacionais (



):



A e



B • Hipóteses a serem testadas:

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

≠ 

Teste t, pois:

▪ as variâncias populacionais

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

_𝐵2 são desconhecidas

,

▪ as amostras são pequenas (n < 30),

▪ as populações têm distribuição normal.

Resolução do 8.21, item a:

1º passo: Encontrar as medidas estatísticas que resumem os dados, descritivamente: • Variável (X): desconhecida

• Tamanho das amostras

: 𝑛

_𝐴

= 8 e 𝑛

_𝐵

= 12

: 𝑥̅

_𝐴

=

83

e 𝑥̅

_𝐵

= 80

𝑠

_𝐴2

= 21

e 𝑠

_𝐵2

= 5

𝑠

_𝐴

=

4,58

e 𝑠

_𝐵

=

2,24 •

Nível de significância do teste de hipótese: 

= 5% = 0,05

(22)

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

_𝐵2 são iguais, estatisticamente.

Usa-se o teste F para homogeneidade.

H0:

𝜎

_𝐴2

= 𝜎

_𝐵2

versus

Ha:

𝜎

_𝐴2

≠ 𝜎

_𝐵2

𝐹 =

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

=

21

5

= 4,2

o são 7 graus de liberdade no numerador e 11 graus de liberdade no denominador o o nível de significância é 5% = 0,05

o teste bicaudal, com 2,5% = 0,025 para cada lado

𝐹

_{7; 11; 0,025}

=

0,21 (cauda esquerda) e 𝐹_{7; 11; 0,025}= 3,76 (cauda direita) Como

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

= 4,2

está acima de 3,76, rejeita-se

H

0

.

𝜎

_𝐴2

e

𝜎

_𝐵2 são diferentes, isto é, as distribuições de probabilidade das populações XA e XB não são homogêneas.



A e



B são iguais, estatisticamente.

Neste caso, usa-se o teste t não-pareado para amostras independentes, provenientes

de populações não homogêneas

H0:



A

= 

B

versus

Ha:



A

≠ 

B Ou, ainda:

(23)

23 Estatística de teste:

𝑡 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

𝑠

𝐴 2

𝑛

_𝐴

+

𝑠

_𝐵2

𝑛

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

=

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

𝑠

𝐴 2

𝑛

_𝐴

+

𝑠

_𝐵2

𝑛

_𝐵

=

(83 − 80) − 0

√

21 ₈

+

₁₂

5 ≅

3 √2,63 + 0,42

≅ 1,72

o são 7 graus de liberdade, pois refere-se à 8-1=7, da menor amostra o o nível de significância é 5% = 0,05

o teste bicaudal, devido à formulação da hipótese alternativa

−𝑡

_{7; 0,025}

= − 2,36

(cauda esquerda) e

𝑡

_{7; 0,025}

= 2,36

(cauda direita) Como

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

= 1,72

está entre

−

2,36 e 2,36, não rejeita-se

H

0

.



A

e 

B são iguais.

Conclusão do 8.21, item a:

Ao nível de significância de 5% e usando o teste t não-pareado para duas amostras independentes, provenientes de populações não-homogêneas, é possível afirmar que há evidências amostrais de que as médias populacionais são iguais.

(24)

8.21, item b) Os seguintes dados sustentam a crença que a média da população A é maior do que a média da população B? Assuma aproximação normal para as populações, e conclua o teste usando 1% de nível de significância.

𝑥̅

A 15 46 39

B 13 41 17

Solução 8.21, item b: Dados do problema 8.21, item b:

•



= 1% = 0,01

• XA ~ N (



A

, 𝜎

_𝐴2

) e

XB ~ N (



B

, 𝜎

_𝐵2

),

com

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

_𝐵2 desconhecidas • Parâmetro de interesse (





)

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

> 

Teste t, pois:

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

_𝐵2 são desconhecidas (em seus lugares serão usadas as variâncias amostrais

𝑠

_𝐴2 e

𝑠

_𝐵2

);

▪ as amostras são pequenas (n < 30); ▪ as populações têm distribuição normal

Resolução do 8.21, item b:

: 𝑛

_𝐴

= 15 e 𝑛

_𝐵

= 13

: 𝑥̅

_𝐴

=

46

e 𝑥̅

_𝐵

= 41

𝑠

_𝐴2

= 39

e 𝑠

_𝐵2

= 17

𝑠

_𝐴

=

6,24

e 𝑠

_𝐵

=

4,12 •

Nível de significância do teste de hipótese: 

= 1% = 0,01

(25)

25

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

H0:

𝜎

_𝐴2

= 𝜎

_𝐵2

versus

Ha:

𝜎

_𝐴2

≠ 𝜎

_𝐵2

𝐹 =

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

=

39

17

= 2,29

o teste bicaudal, com 0,5% para cada lado

𝐹

_{14; 12; 0,005}

=

0,23 (cauda esquerda) e 𝐹_{14; 12; 0,005}= 4,77 (cauda direita) Como

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

= 2,29

está entre 0,23 e 4,77, não se rejeita

H

0

.

𝜎

_𝐴2

e

𝜎



A e



de populações homogêneas

H0:



A

= 

B

versus

Ha:



A

> 

B Ou, ainda:

(26)

𝑡 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

1 𝑛

_𝐴

+

1 𝑛

_𝐵

∙ √

(𝑛

_𝐴

− 1)𝑠

_𝐴2

+ (𝑛

_𝐵

− 1)𝑠

_𝐵2

𝑛

_𝐴

+ 𝑛

_𝐵

− 2

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

=

(46 − 41) − 0

√ 1

15 +

1

13 ∙ √

(15 − 1) ∙ 39 + (13 − 1) ∙ 17

15 + 13 − 2

=

5 0,38 ∙ 5,37

≅ 2,45

𝑡

_{26; 0,1}

= 2,48

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

= 2,45

é menor que

𝑡

_{26; 0,1}

= 2,48

, não rejeita-se

H

0

.



A

e 

B são iguais

Conclusão do 8.21, item b:

Ao nível de significância de 1% e usando o teste t não-pareado para duas amostras independentes, provenientes de populações homogêneas, é possível afirmar que há evidências amostrais de que as médias populacionais são iguais.

(27)

27

8.21, item c) Os seguintes dados sustentam a crença que a média da população A é menor do que a média da população B? Assuma aproximação normal para as populações, e conclua o teste usando 10% de nível de significância.

𝑥̅

A 10 180 70

B 7 200 340

Solução do 8.21, item c: Dados do problema 8.21, item c:

•



= 10% = 0,1

• XA ~ N (



A

, 𝜎

_𝐴2

) e

XB ~ N (



B

, 𝜎

_𝐵2

) ,

com

𝜎

_𝐴2

e 𝜎





)

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

< 

Teste t, pois:

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

𝑠

_𝐴2 e

𝑠

_𝐵2

),

▪ as amostras são pequenas (n < 30), ▪ as populações têm distribuição normal.

Resolução do 8.21, item c:

: 𝑛

_𝐴

= 10 e 𝑛

_𝐵

= 7

: 𝑥̅

_𝐴

=

180

e 𝑥̅

_𝐵

= 200

𝑠

_𝐴2

= 70

e 𝑠

_𝐵2

=

340

𝑠

_𝐴

=

8,37

e 𝑠

_𝐵

=

18,44 •

Nível de significância do teste de hipótese: 

= 10% = 0,1

(28)

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

H0:

𝜎

_𝐴2

= 𝜎

_𝐵2

versus

Ha:

𝜎

_𝐴2

≠ 𝜎

_𝐵2

𝐹 =

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

=

340

70

= 4,86

o teste bicaudal, com 5% para cada cauda

𝐹

_{6; 9; 0,05}

=

0,24 (cauda esquerda) e

𝐹

_{6; 9; 0,05}

=

3,38 (cauda direita) Como

𝐹

_𝑜𝑏𝑠

= 4,86

está acima de 3,38, rejeita-se

H

0

.

𝜎

_𝐴2

e

𝜎

_𝐵2 são diferentes, isto é, as distribuições de probabilidade das populações XA e XB não são homogêneas.



A e



de populações não-homogêneas

H0:



A

= 

B

versus

Ha:



A

< 

B Ou, ainda:

(29)

29 Estatística de teste:

𝑡 =

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

𝑠

𝐴 2

𝑛

_𝐴

+

𝑠

_𝐵2

𝑛

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

=

(𝑥̅

𝐴

− 𝑥̅

𝐵

) − (𝜇

𝐴

− 𝜇

𝐵

)

√

𝑠

𝐴 2

𝑛

_𝐴

+

𝑠

_𝐵2

𝑛

_𝐵

=

(180 − 200) − 0

√

70 ₁₀

+

340 ₇

≅

−20

√7 + 48,57

≅ −2,68

o são 6 graus de liberdade, pois refere-se à 7-1 = 6, da menor amostra o o nível de significância é 10% = 0,1

−𝑡

_{6; 0,1}

= − 1,44

(cauda esquerda)

Como

𝑡

_𝑜𝑏𝑠

= −2,68

está abaixo de

−1,44

, rejeita-se

H

0

.

Logo, ao nível de 10% de significância, pode-se afirmar que há evidências amostrais de que a média populacional



A

é menor que a média populacional 

B.

Conclusão do 8.21, item c:

Ao nível de significância de 10% e usando o teste t não-pareado para duas amostras independentes, provenientes de populações não-homogêneas, é possível afirmar que há evidências amostrais de que a média da população A é menor que a média da população B.

(30)

8.22 O prefeito da cidade A alegou que não houve diferença, em média, da qualidade do ar entre as cidades A e B, baseado numa medição da qualidade do ar. Amostras independentes de cada cidade apresentaram os seguintes dados:

Cidade Tamanho da amostra ( n ) Média amostral (

𝑥̅

A 11 3,8 0,39

B 11 3,5 0,10

Assuma que as populações são aproximadamente normais. Usando um nível de significância de 5%, teste a alegação.

Solução: Dados do problema:

•



= 5% = 0,05

• Variável (X): Qualidade do ar

• XA ~ N (



A

, 𝜎

_𝐴2

) e

XB ~ N (



B

, 𝜎

_𝐵2

) ,

com

𝜎

_𝐴2 e

𝜎





)

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

≠ 

B

• Teste estatístico a ser utilizado: Teste t, pois as variâncias populacionais

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

𝑠

_𝐴2 e

𝑠

_𝐵2

),

as amostras são pequenas (n < 30) e as populações têm distribuição normal

• Estatística de teste:

(31)

31

(32)

8.32 Um novo teste atuarial (A) foi desenvolvido como um possível substituto para o teste B. Uma atuária alegou que o tempo médio para concluir o novo teste era maior que o tempo médio requerido para concluir o teste B. Para testar a alegação, sete pessoas foram selecionadas para fazer o teste A e nove pessoas foram selecionadas para fazer o teste B. O resumo dos dados para o tempo de conclusão, em minutos, são os seguintes:

Teste Tamanho da amostra ( n ) Média amostral (

𝑥̅

A 7 166 240

B 9 150 205

Conclua o teste com um nível de significância de 10%.

Solução: Dados do problema:

•



= 10% = 0,1

• Variável (X): Tempo para concluir o teste, em minutos

• XA ~ N (



A

, 𝜎

_𝐴2

) e

XB ~ N (



B

, 𝜎

_𝐵2

) ,

com

𝜎

_𝐴2 e

𝜎





)

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

> 

B

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

𝑠

_𝐴2 e

𝑠

_𝐵2

),

(33)

33 Resolução:

(34)

8.33 Os dados seguintes sustentam a crença que a média da população A é menor que a média da população B? Conclua o teste com 5% de nível de significância.

𝑥̅

A 6 120 100 B 10 125 81 Solução: Dados do problema: •



= 5% = 0,05 • Variável (X): desconhecida • XA ~ N (



A

, 𝜎

_𝐴2

) e

XB ~ N (



B

, 𝜎

_𝐵2

) ,

com

𝜎

_𝐴2 e

𝜎





)

H0:



A

= 

B versus Ha::



A

< 

B

𝜎

_𝐴2 e

𝜎

𝑠

_𝐴2 e

𝑠

_𝐵2

),

• Estatística de teste:

Resolução: