Capitulo 5 Resolução de Exercícios

(1)

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 42 FORMULÁRIO

Desconto Racional Simples

; ; ; 1 1 R R R R R R N i n N D D V i n V V N D i n i n             

Desconto Comercial Simples





;

1 ;

C C C C

D

  

N d n

V



N

 

d n

V

 

N

D

Desconto Bancário Simples





;



1 

;

b b b b

D

   

N

d n s

V



N

  

d n s

V

 

N

D



1



; _b b s D N d n N d n V N d n n   _  _  _          

Relações entre o Desconto Racional Simples e o Desconto Comercial Simples



1



; ; 1 C C R C R D i n D D i n D D se d i i n           

Taxa de Juros Implícita Linear ou Efetiva Linear do desconto Comercial e Bancário Simples

1 1 1 1 ; ; 1 ; c b l l c c b l l b s d d N N V V _n d i i s d n d n d i n n n n i     _                    _        

Taxa de Juros Implícita Exponencial ou Efetiva Exponencial









1 1 1 1 1 1 1

1 ;

1

1 ;

1

1 ;

1

1 1 ;

1

n n n e e R c R c n e b e _n e R c n n e b b

N

i

V

N

i

i n

i

d n

i

d n

s

i

d

V

n











_

_





_

_

















_









  





_

_



 















_

_

 



_

_



_



  

_







_









Desconto Racional Composto ou Desconto Financeiro

 

1

1 ;

1

1 ;

;

1

n n f f f f f n f n

i

N

D

N V

D

V

i

D

N

V

i



_

_







 



_





_



















Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora





1 (1 ) ; 1 (1 ) ; ; (1 ) 1 n n cc cc cc cc n cc cc n V d D N V D N d N D V d d          _   _   _ _    

Taxa de Juros Implícita do Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora

;

1 ₁

d

i

d

_i

  





_

(2)

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 43 5.5 — Exercícios Propostos

1) Considere um título de valor nominal N e termo de 3 anos, emitido no dia de hoje. Qual deve ser a taxa de desconto mensal que devo pagar daqui a seis meses para que o valor de resgate seja a metade do valor nominal, considerando os seguintes tipos de desconto: a) Desconto Racional Simples

b) Desconto Comercial Simples c) Desconto Racional Composto d) Desconto Comercial Composto

Solução

a)

Desconto Racional Simples

1 1 0, 5 1 0, 03333 3, 3333% . . 1 30 30 R R N N V N N V i i ou a m i n n   _ _     _ _             

b) Desconto Comercial Simples





0,5

1

1 0,5

1 0, 016667

1, 6667% . .

30

C C

V

N

V

N

d n

d

ou

a m

n



_

 

_





 





 





   



c) Desconto Racional Composto





1 ₁ 30

1 1 0, 023374

2,3374% . .

0,5

1

n f n f

N

V

i

ou

a m

V

N

i





_

_



 



_



_

  

_

_

 



_

_





d) Desconto Comercial Composto





1 1 30

0,5

1

1 0, 02284

2, 284% . .

1

n cc cc n

V

N

d

ou

a m

N

d











  

_

_

  

_

_













2) Um título de valor nominal de R$ 50.000,00 foi descontado em um banco 100 dias antes do vencimento. Qual o valor descontado e a taxa de juros efetiva diária, linear e exponencial, para as seguintes condições:

a) Taxa de juros simples de desconto de 24%a.a. e desconto racional simples? b) Taxa de juros simples de desconto de 3%a.m. e desconto comercial simples?

c) Taxa de juros simples de desconto de 2%a.m., mais 2% sobre o valor nominal, a título de taxas bancárias, e desconto bancário simples?

d) Taxa de juros compostos de desconto de 24%a.a.c.m e desconto racional composto? e) Taxa de juros compostos de desconto de 3%a.m. e desconto comercial composto?

(3)

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 44

Solução

a) Taxa de juros simples de desconto de 24%a.a. e desconto racional simples. 50000 46875, 00 0, 24 1 1 100 360 R N V i n      _ _

No caso de desconto racional simples a taxa efetiva linear é igual à taxa corrente de desconto simples, no caso, 24% a.a. Logo a taxa efetiva linear, diária, é:

0, 24 0, 000667 0, 0667% . . 360 l R i   ou a d

Por outro lado, a taxa efetiva exponencial é:

1 ₁ 100

50000

1 1 0, 00646

0, 0646% . .

46875

n e R R

N

i

ou

a d

V





_

_



_

_

 

_

_

 









b) Taxa de juros simples de desconto de 3%a.m. e desconto comercial simples





0, 03 1 50000 1 100 $ 45.000, 00 30 c V N  d n  _   _R  

0, 03

0, 001

30 _{0, 00111}

_{0,111% . .}

0, 03

1 0,9

1

100

30

l c

d

i

ou

a d

d n



 

_

_

1 100 1

1

1 0, 001054

0,1054% . .

0, 03

1 ₁

₁₀₀

30

n e c

i

ou

a d

d n















_

_

 

_

_

 

 





_

_

_

_





c) Taxa de juros simples de desconto de 2%a.m., mais 2% sobre o valor nominal, a título de taxas bancárias, e desconto bancário simples.





0, 02 1 50000 1 100 0, 02 $ 45.666, 67 30 b V N    d n s _    _R  

0, 02

30

100 _{0, 0009489}

_{0, 09489% . .}

0, 02

1

100

30

100

l b

s

d

n

i

ou

a d

s

d

n















_



_



_



_











1 100 1

1

1 1 0, 0009070

0, 09070% . .

0, 02

1

1 100 0, 02

30

n e b

i

ou

a d

d n s















_

_

 

_

_

 

  





_

_

_

_

_





(4)



_{  }

100 30 50000 $ 46.806,11 1 _{1, 02} f n N V R i    

A taxa de juros efetiva de desconto é 2%a.m., que é equivalente à taxa diária de:



 











1 30 30 1 30

1

1 1, 02

1 0, 00066031 . .

0, 066031% . .

m d d m d

d

a d ou

a d



 



 





 

No caso de desconto racional composto a taxa efetiva é igual à taxa corrente de desconto composto, isto é 0,066031%a.d.

e) Taxa de juros composto de desconto de 3%a.m. e desconto comercial composto.













100 30 1 50000 1 0, 03 $ 45.172, 67 1 n cc cc n V N V N d R d        

A taxa efetiva mensal de juros,i_m* , é:

*

0, 03

_{0, 030928}

_{3, 0928% . .}

1 1 0, 03

m

d

i

ou

a m

d





Logo, a taxa efetiva diária de juros, i_d*, é:



 











1 30 * * * * ₃₀ 1 * ₃₀

1

1 1, 030928

1 0, 001016 . .

0,1016 . .

m d d m d

i

a d ou

a d



 

  





 

3) João tem compromissos assumidos, em uma mesma data, com Pedro, através de duas notas promissórias:

 A nota promissória A com valor de face de R$ 100.000,00 e termo de três meses, à taxa de 36%a.a.c.m.

 A nota promissória B com valor de face de R$ 50.000,00 e termo de 6 meses, à taxa de 36%a.a.c.m.

Pergunta-se:

I. Se, decorrido 1 mês da data dos empréstimos, o João propor a Pedro saldar seus débitos por meio de um único pagamento, com vencimento no fim de 4 meses, qual o valor que deverá pagar, se Pedro estipular:

a) desconto racional composto à taxa de 4% a.m.? b) desconto comercial composto à taxa de 4%a.m.?

II. No momento da negociação com João, Pedro notou que ganharia mais se especificasse desconto comercial composto para a nota A, e desconto racional composto para a nota B. Nesta nova condição, quanto que João deveria pagar a Pedro, mantidos a taxa de desconto de 4% a.m. e um único pagamento com vencimento na época 5?

(5)

Solução

O primeiro passo é encontrar os valores nominais das notas promissórias A e B; levando em conta a taxa efetiva de 36%/12= 3%a.m.









3 6

100000 1 0, 03

109272, 70

50000 1 0, 03

59702, 61

a b

N











O Esquema que representa a transação é dado por:

onde a data 0 denota a data dos empréstimos.

Item i

a) Dada a relação no desconto racional composto



1



f n N V i   , temos a seguinte equação de valor, com data focal na época 5.



_{ }

2

59702, 61

_

109272, 70 1 0, 04

$ 175.595, 71

1 0, 04

P







R



b) Dada a relação no desconto comercial composto



1



cc n V N d   , temos a seguinte equação de valor, com data focal na época 5.









1 2 109272, 70 59702, 61 1 0, 04 $ 175.882,97 1 0, 04 P   R  Item ii

Considerando as condições ditadas pelo credor de desconto comercial composto, para a nota A, e desconto racional composto para a nota B, temos a seguinte equação de valor, com data focal na época 5 e taxa de desconto de 4%a.m.



 

2



109272, 70 59702, 61 $ 175.974,82 1 0, 04 1 0, 04 P  R  

(6)

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 47 4) Um empréstimo de R$ 200.000,00 deve ser amortizado em 4 prestações mensais sucessivas e iguais, a primeira um mês após a concessão do mesmo. Considerando a taxa corrente de juros de 6%a.m., determinar o valor da prestação mensal para:

a) Desconto Racional Simples b) Desconto Comercial Simples c) Desconto Financeiro

d) Desconto Comercial Composto

Solução

O esquema que representa a transação é dado por:

a) Considerando a relação no desconto racional simples 1 R N V i n    , a seguinte

equação de valor deve ser satisfeita (tomando a época 0 como data focal):





200000 1 0, 06 1 1 0, 06 2 1 0, 06 3 1 0, 06 4 200000 0, 9434 0,8929 0,8475 0,8065 200000 $ 57.301, 66 3, 4903 P P P P P P R                  

b) Considerando a relação no desconto comercial simples

V

_c



N



1  

d n



, a seguinte equação de valor deve ser satisfeita:





















200000

1 0, 06 1

1 0, 06 2

1 0, 06 3

1 0, 06 4

200000

0, 94 0,88 0,82 0, 76

200000

$ 58.823, 53

3, 4

P

R





 



 



 











c) Considerando a relação no desconto financeiro



1



f n N V i   , a seguinte equação de valor deve ser satisfeita:

(7)



 







1 2 3 4 200000 1 0, 06 1 0, 06 1 0, 06 1 0, 06 200000 0, 9434 0,8900 0,8396 0, 7921 200000 $ 57.718, 39 3, 4651 P P P P P P R              

d) Considerando a relação no desconto comercial composto



1



cc n V N d   , a seguinte equação de valor deve ser satisfeita:





















1 2 3 4 200000 1 0, 06 1 0, 06 1 0, 06 1 0, 06 200000 0, 94 0,8836 0,8306 0, 7807 200000 $ 58.225,86 3, 4349 P P P P P P R              

5) Seja o caso de uma loja de departamentos que, para desconto de títulos, qualquer que seja o prazo, deseja ganhar, em termos reais, a taxa de 5% a.m.

Tendo sido estimado pelo seu Departamento de Operações, que a taxa de inflação mensal, para cada um dos 3 meses na frente, seja respectivamente

1

0, 6%,

2

0,5% e

3

0,8%

I



I



I



, pede-se determinar, para operações de desconto de 1, 2 e 3 meses, as respectivas taxas mensais de desconto

a) Considerando desconto Racional Simples b) Considerando desconto Comercial Simples c) Considerando desconto Financeiro

d) Considerando desconto Composto por Fora

Solução

As taxas aparentes

*

k

i

, para k períodos, são:



 





 





 



* 1 2 * 2 3 * 3 1 0, 05 1 0, 006 1 0, 0563 ou 5,63% a.m. 1 0, 05 1 0, 006 1 0, 005 1 0,11466 ou 11,466% a.b. 1 0, 05 1 0, 006 1 0, 005 1 0, 008 1 0,17976 ou 17,976% a.t. i i i   _    _    _      _    _        _ 

a) Desconto Racional Simples









* *

1

k R k k

i

N

V

i

i n

i k

i

k











 

 



k = 1



*







1 1

1

1 1 0, 0563

1 0, 0563

5, 63% . .

1

1 i

i















ou

a m

(8)

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 49 k = 2



*







2 2

1

1 1 0,11466

1 0, 05733

5, 733% . .

2

2 i

i















ou

a m

k = 3



*







3 3

1

1 1 0,17976

1 0, 05992

5,992% . .

3

2 i

i















ou

a m

b) Desconto Comercial Simples









_

_*

_

_

_*

_



*



1

k C k k k k

i

N

V

N

d n

N

d

k

d

k

d

k

i







  









  







k = 1





1 1 1 1 0, 0563 0, 0533 5,33% . . 1 d ou a m     k = 2





2 1 1 1 0,11466 0, 05143 5,143% . . 2 d ou a m     k = 3





3 1 1 1 0,17976 0, 05079 5, 079% . . 3 d ou a m     c) Desconto Financeiro

















1 * *

1

k f n k k k k

N

V

i







  





k = 1





1 1 1

1 0, 0563

5, 63% . .

i

 

 

ou

a m

k = 2





1 2 2

1 0,11466

1 0, 05577

5,577% . .

i

 

 

ou

a m

k = 3





1 3 3

1 0,17976

1 0, 05665

5, 665% . .

i

 

 

ou

a m

d) Desconto Composto Por Fora

















1 * *

1

k k cc k k n k k

V

N

d

i

d



















 







_



_

(9)

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 50 k = 1





1 1 1 0, 0533 5,33% . . 1 0, 0563 d    ou a m      k = 2





1 2 2

1

1 0, 05283

5, 283% . .

1 0,11466

d

 



_



_



ou

a m











k = 3





1 3 3

1

1 0, 05361

5,361% . .

1 0,17976

d

 



_



_



ou

a m











6) Um título de valor de face de R$ 50.000,00, termo de 30 meses e taxa de juros compostos de 10%a.a., teve um desconto financeiro de R$ 9.977,54, no seu resgate, considerando a taxa de juros compostos de 25%a.a.. Qual o prazo da operação em dias?

Solução

Primeiro devemos calcular o valor nominal do título, que é de:









2,5

1 n 50000 1 0,1 $ 63.452,94

N C i   R

A taxa de desconto equivalente ao dia é:



 







1





1 360 360 360

1 

i

_a

 

1 i

_d

  

i

_d

1 i

_a

 

1 1, 25

 

1 0, 00062

ou

0, 062% . .

a d

Portanto

























1

1 1, 00062

1 9977, 54

63452, 94

1 1, 00062

1 9977, 54

1

1 1 0,157243

63452, 94

1, 00062

1,18658

LN(1, 00062)

LN(1,18658)

0,171075

276 0, 0006198

n n f n n n n n

i

D

N

i

n

dias



_

_





_









































 



 



7) A razão entre o valor nominal de um título e seu valor descontado é 1,07. Sabendo-se que o título foi descontado 90 dias antes do seu vencimento, qual a taxa de juros efetiva, linear e exponencial, mensal utilizada, considerando:

a) Desconto Racional Simples b) Desconto Comercial Simples c) Desconto Financeiro

d) Desconto Composto por Fora

Solução

(10)

1 1, 07

1 3

1 0, 07

0, 0233

2, 33% . .

3

R R

N

V

i n

i

i n

V

i

ou

a m





   

 

 



No desconto racional simples a taxa de juros corrente é igual a efetiva racional linear. A taxa efetiva racional exponencial é dada por:





1 1 3

1 1, 07

1 0, 0228

2, 28% . .

n e R R

N

i

ou

a m

V







_

_

 





b)

Desconto Comercial Simples





1 1 3 0, 021 1 1 1 1, 07 1 1 3 1 3 1 0, 02181 . . 2,181% 81 0, 02334 2, 334% . . 1 1 0, 02181 3 1 1 1 1 1 1 0, 02181 3 . . 1, 07 l c n e c C C d i N V N d n V d n d d d a m ou a m d n i d ou a m

taxa efetiva linear

taxa efetiva exponencial

n                        _ _  _ _              0, 02281ou2, 281% . .a m

c)

Desconto Financeiro

















3 1 3 1 1, 07 1 1 1, 07 1 0, 0228091 2, 28091% . . n f n f N N V i i V i i ou a m           

d)

Desconto Composto por Fora













3 1 3 * 1 1 1, 07 1 1 1 1 1 0, 0223 . . 1, 07 0, 0223 0, 02280863 2, 280863% . . 1 1 0, 0223 cc n n cc V N N V d d d d a m d i ou a m d            _ _        

8) João é detentor de uma nota promissória com valor nominal de R$ 100.000,00, que vence no fim de 2 meses e meio. Precisando de dinheiro, João procurou um banco que lhe ofereceu desconto comercial simples à taxa de 4%a.m.

(11)

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 52 Seu amigo Luís, sabendo de sua necessidade, lhe faz uma proposta de desconto racional simples, garantindo a João que o valor recebido por ele seria, no mínimo, igual ao montante recebido na proposta do banco.

Qual a maior taxa de juros simples que Luís pode cobrar para honrar sua palavra?

Solução

No banco o valor recebido por João seria de:



1 

100000 1 0, 04 2,5





$ 90.000, 00

C

V



N

  

d n







R

No caso de Luís, o valor da taxa de juros simples máxima que ele poderá cobrar é de:

100000

1 100000

90000

0, 044444

4, 4444% . .

1 1 2,5

2,5

R

N

V

i

ou

a m

i n

i



_

















 



 



9) Sendo d a taxa mensal de desconto composto por fora, qual deve ser o seu valor para que o valor descontado seja igual a 80% do valor nominal, no caso do prazo de 2 anos?

Solução









1

n n cc cc cc n

V

N

d

N

d







 



_{    }







Logo 1 1 24

0,8

1

1 0, 009255

0,9255% . .

n cc

V

N

d

ou

a m

N









 

_

_

 

_

_











10) Sendo da = 15%, a taxa anual de desconto composto por fora, determinar qual a taxa mensal dm de desconto composto por fora, que lhe seja equivalente?

Solução

























1 1 12 12 1 12

1

1 Logo, para 1 ano ou 12 meses o valor de

deve ser o mesmo, ou seja:

1

1 1 0,15

1 0, 013457

1, 3452% . .

n cc cc n cc a m m a m

V

N

V

N

d

V

N

d

N

d

ou

a m















 



 

 