A Matemática e o Malabarismo

A Matem´

atica e o Malabarismo

Ant´

onio Machiavelo

Departamento de Matem´atica da Faculdade de Ciˆencias do Porto Centro de Matem´atica da Universidade do Porto

Semin´ario Diagonal 29/11/2012

Antigo Egipto

Antigo Egipto

Antigo Egipto

A mais antiga representa¸

c˜

ao conhecida mostrando malabaristas

(1994 a 1781

A.E.C

).

Matem´

aticos

Ronald Graham (1935) foi um dos prin-cipais arquitectos do desenvolvimento da matem´atica discreta no s´eculo XX. Presidente da Sociedade Americana da Matem´atica de 1993 a 1994, ganhou o pr´emio P´olya em 1972, a medalha Euler em 1994, o pr´emio Lester R. Ford em 1991 e o pr´emio de carreira Steele em 2003; publicou mais de 300 artigos e 5 livros.

Foi investigador principal dos labo-rat´orios Bell durante muitos anos, tendo-os tornado um centro de pesquisa de topo, a n´ıvel mundial, em matem´atica discreta e ciˆencia de computadores.

Ronald Graham

Ronald Graham

Durante a licenciatura, Ronald Graham fez parte de um n´umero de circo intitulado The Bouncing Bears. Actuou com o Cirque du Soleil.

Claude Shannon

Claude Shannon (1916–2001) ´e um dos fundadores da era das comunica¸c˜oes electr´onicas e o fundador da teoria da informa¸c˜ao.

Trabalhou nos Bell Labs em problemas matem´aticos relacionados com comu-nica¸c˜oes e criptografia. Foi professor e investigador no MIT de 1956 a 1978. Shannon hobbies incluiam: clarinete, xa-drez, monociclo e malabarismo.

David Eisenbud

David Eisenbud (1947) ´e professor em Berkeley e foi director do Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) de 1997 a 2007. Foi presidente da Sociedade Americana de Matem´atica de 2003 a 2005. Foi galardoado com o pr´emio Steele em 2010.

Allen Knutson

Allen Knutson (1969) ´e doutorado em Matem´atica pelo MIT, e ´e profes-sor na Universidade de Cornell desde 2009.

Foi galardoado com o pr´emio Levi L. Conant em 2005, juntamente com Terence Tao, pelo artigo expositivo: Honeycombs and Sums of Hermitian Matrices, Notices of the AMS 48 (2001) 175–186.

Foi detentor do recorde mundial de 12 bolas em malabarismo envolvendo duas pessoas, de 1990 a 1995 (o ac-tual recorde ´e 13).

A nota¸c˜

ao transposicional (site-swap)

Como descrever/comunicar truques de malabarismo?

Nota¸c˜ao “site-swap”:

(1981) Paul Klimek, Universidade da Calif´ornia em Santa Cruz; (1985) Bruce Tiemann e Bengt Magnusson, Instituto de Tecnologia da Calif´ornia;

(1985) Mike Day, Colin Wright e Adam Chalcraft, Cambridge, Inglaterra. (Vanilla)Site-Swap:

Bolas lan¸cadas alternadamente pela m˜ao direita e pela m˜ao esquerda, de uma forma peri´odica.

Padr˜

oes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Mão direita Mão esquerda tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Mão direita Mão esquerda tempo

Padr˜

oes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Mão direita

Mão esquerda

Site-swap

3 3 3 3 3 3 3 3 3

Site-swap

m n

m-1 n+1

Resultados

Assim:

· · · mn · · ·

_!

· · · (n + 1)(m − 1) · · ·

Exemplo: 56

61

2 ! 56

25

2 ! 56234 ! 53534 ! 44444

O n´

umero de bolas de um padr˜

ao malabar

´

e igual `

a m´

edia aritm´

etica dos respectivos n´

umeros.

Resultados

Ser´

a que 5412 ´

e um padr˜

ao malabar? E 5124? E 5134?

Uma sequˆ

encia de p n´

umeros, n

1

, n

2

, . . . , n

p

, ´

e um padr˜

ao malabar

(simples)

se e s´

o se

os restos dos n´

umeros i + n

i

, quando divididos

por p, forem todos os n´

umeros de 0 a p − 1.

Exemplos:

5412 + 0123 = 5535 1131

5124 + 0123 = 5247 1203

12345 + 01234 = 13579 13024

Podemos inverter isto para arranjar sequˆ

encias malabares:

Resultados

O n´

umero de sequˆ

encias malabares simples com b bolas e de

per´ıodo p ´

e dado por

1

p

X

d |p

µ



p

d

 

(b + 1)

d

− b

d



_,

onde µ ´

e a fun¸c˜

ao de M¨

obius.

µ(n) =











−1,

se

n

for o produto de um n´umero ´ımpar de primos distintos,

0,

se na factoriza¸c˜ao de

n

em primos houver repeti¸c˜oes

,

1,

se

n

for o produto de um n´umero par de primos distintos

.

Grafos de estados

10011 10110 11001 01101 00111 01011 11100 11010 01110 10101 5 0 1 2 5 0 3 5 5 4 3 3 5 0 0 4 4 2 1 1 5 2

Grafos de estados

10011 10110 11001 01101 00111 01011 11100 11010 01110 10101 5 0 1 2 5 0 3 5 5 4 3 3 5 0 0 4 4 2 1 1 5 2

A eterna quest˜

ao

Claude Shannon

“Sempre segui os meus

inte-resses sem grande considera¸c˜

ao

por valores financeiros ou

va-lor para o mundo.

Gastei

muito tempo em coisas

comple-tamente in´

uteis.”

Schiller

Apenas os que tˆem a paciˆencia de

fazer as coisas simples com perfei¸c˜

ao

adquirem a capacidade de fazer

coisas dif´ıceis com facilidade.

Para saber mais

Peter J. Beck, Arthur Lewbel, The Science of Juggling, Scientific American, November 1995, pp. 92–97.

Joe Buhler, David Eisenbud, Ron Graham, Colin Wright, Juggling Drops and Descents, Amer. Math. Monthly 101 (1994), pp. 507–519.

Steve Butler, Ron Graham, Enumerating (multiplex) juggling sequences, Ann. Comb. 13 (2010), no. 4, 413–424.

Allen Knutson, Thomas Lam, David Speyer, Positroid Varieties: Juggling and Geometry, arXiv:1111.3660 (15 Nov 2011).

Burkard Polster, The Mathematics of Juggling, Springer 2003. A. Machiavelo, Algumas Observa¸c˜oes sobre a Matem´atica Recreativa, Boletim da SPM 58 (2008), pp. 65–87.

A. Machiavelo, Matem´atica e Malabarismo, Gazeta de Matem´atica 168 (2012), pp. 22–24.

Claude Shannon, Scientific Aspects of Juggling, manuscript from ca. 1980, published in Claude Elwood Shannon, Collected Papers (Wiley 1993), 850–864.