FORMAS NORMALES Y DIAGONALES EN EL ESPACIO DE ESTADO

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FORMAS NORMALES Y DIAGONALES EN EL

ESPACIO DE ESTADO

14 de octubre de 2017

1 Objetivo

El alumno utilizará las formas normales y las formas diagonales en el espacio de estado. Que el alumno pueda trabajar con las formas normales y diagonales, sea capaz de pasar de una forma a otra para obtener la representación de estados a partir de las formas normales y viceversa.

Se busca que el alumno aprenda a trabajar con distintas representaciones de estados para qué posteriormente pueda elegir cual representación es más conveniente de trabajar dado un sistema especifico. Cada representación de estado será vista en esta práctica, así como la información que nos brinda cada representación de estado en un sistema dado.

2 Introducción

Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estado de sistemas definidos por su función de transferencia. Esta práctica aborda las representaciones en el espacio de estado en la forma canónica controlable, observable, diagonal o de Jordán. Estas representaciones son importantes dado el sistema definido, por ejemplo, la forma canónica controlable es importante cuando se analiza el método de asignación de polos para el diseño de sistemas de control.

Las formas normales y diagonales en el espacio de estado son representaciones de un sistema común, el cual brinda información importante del sistema dado, tal como lo es la Controlabilidad y Observabilidad. Las formas normales se dividen en dos más usadas, una denominada Forma

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3 Marco Teórico

Para obtener las formas normales y diagonales se plantea a partir de la función de transferencia.

𝐺(𝑠) =_{𝑈(𝑠) =}𝑌(𝑠) 𝑏_𝑎0+ 𝑏1𝑠 + ⋯ + 𝑏𝑛−1𝑠𝑛−1+ 𝑏𝑛𝑠𝑛 0+ 𝑎1𝑠 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1+ 𝑠𝑛 =

𝑁(𝑠)

𝐷(𝑠) ( 1 )

Forma canónica controlable (FCC): Para obtener la FCC se tienen dos casos.

a) Caso especial:

En este caso se supone que no aparecen derivadas en las variables de entrada, es decir:

𝑑𝑛_𝑦

𝑑𝑡𝑛+ 𝑎𝑛−1∙ 𝑑𝑛−1_𝑦

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯ + 𝑎1𝑦̇ + 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑢 ( 2 ) 𝑑𝑛_𝑦

𝑑𝑡𝑛 = 𝑏0𝑢 − [𝑎𝑛−1∙ 𝑑𝑛−1_𝑦

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯ + 𝑎1𝑦̇ + 𝑎0𝑦] ( 3 )

Como _𝑏₀ representa un elemento lineal, se puede desplazar a la salida y. Eso es conveniente para el caso general. Si las salidas de los integradores se definen como variables de estados se obtiene la representación de la siguiente manera.

𝐴 =

0

1

0

1

0

1

0

1

𝑩 = 𝒃 =

0 0 0

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b) Caso general:

En este caso si se considera que aparecen derivadas en las variables de la entrada. Para obtener esta representación se elige la primera variable de estado _𝑥₁ así, que para la magnitud de la salida resulta:

𝑦 = 𝑏0𝑥1+ 𝑏1𝑥̇1+ ⋯ + 𝑏𝑛𝑑 𝑛_𝑥

1

𝑑𝑡𝑛 ( 5 )

En resumen, el resultado del caso general es lo siguiente. Para un sistema univariable de orden n con la función de transferencia:

𝐺(𝑠) =𝑏_𝑎0+ 𝑏1𝑠 + ⋯ + 𝑏𝑛−1𝑠𝑛−1+ 𝑏𝑛𝑠𝑛 0+ 𝑎1𝑠 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1+ 𝑠𝑛 =

𝑁(𝑠)

𝐷(𝑠) ( 6 )

Resultan las matrices de la representación de estado:

𝐴 =

[ 0 1 2 3 1

0

1

0

1

0

1

0

1

n

a

_



_]

𝑩 = 𝒃 =

[

0 0 0

0 1_]

( 7 )

𝐶 = 𝑐𝑇 _{= [}



 







0 n 0 1 n 1 n 1 n n 1

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Forma canónica observable (FCO):

La forma canónica observable se obtiene a partir del planteamiento del caso especial para la FCC, con la diferencia que, en lugar del planteamiento de ese caso, se integra la ED _𝑛-veces, para que ya no aparezcan derivadas en la entrada _𝑢(𝑡), es decir:

𝑦(𝑡) = 𝑏𝑛𝑢(𝑡) + ∫ [𝑏𝑛−1𝑢(𝜏) − 𝑎𝑛−1𝑦(𝜏)] 𝑡

0 𝑑𝜏 + ⋯ +

+ ∫ …𝑡

0 ∫ [𝑏0𝑢(𝜏) − 𝑎0𝑦(𝜏)] 𝑡

0 𝑑𝜏

𝑛

( 8 )

Las salidas de los integradores se definen como variables de estado e inmediatamente de esa forma se pueden determinar las matrices de la forma canónica observable.

𝐴 = [ 0 3 2 1

0 0

1 0

0 1

0 0

1 0

0 0

0 1

n n n

a

  



_]

𝑩 = 𝒃 =

[ 0 0 3 3 2 2 1 1 n

n n n

b

b a

b

b a

b

b a

b

b a

     



_]

( 9 )

𝐶 = 𝑐𝑇 _{= [}_{0 0} _{0 1}_] _{𝑫 = 𝒅 = 𝒃}

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Forma diagonal y forma canónica de Jordán:

Finalmente tenemos la tercera posibilidad de la representación de sistemas lineales univariables, para esto se definen las variables de estado usando la descomposición en fracciones parciales de la función de transferencia. Se supone que los polos _𝐺(𝑠) están conocidos y que el grado m del

denominador _𝑁(𝑠) es menor, que el grado n del denominador 𝐷(𝑠). Una vez que se conozcan los

polos del denominador se presentan 3 casos.

a) Polos reales distintos:

Si todos los polos _𝑠_𝑖 de _𝐺(𝑠) son distintos y reales, entonces tenemos la siguiente representación.

𝐴 = [ 1 2 0 0 0 0

0 0 n

s s

s ]

𝑩 = 𝒃 =

[

1

_] ( 10 )

𝒄𝑻_{= [}

1 2 n

c

]

b) Polos reales repetidos:

Cuando hay polos reales y repetidos en _𝐺(𝑠), entonces la representación de estado queda de la siguiente manera.

𝐴 ≡ 𝐽 =

[ 1 1 2 2 2

1

0

1

0

1

0

0 s

s

_] 𝒃 = [

0

1

0

1

_]

( 11 )

𝒄𝑻_{= [}

1,2 1,1 2,3 2,2 2,1

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c) Polos complejos conjugados:

Para el caso cuando los polos de _𝐺(𝑠) son polos complejos y conjugados, se realiza un procedimiento distinto, en este caso no se separan los polos, se recibe un polinomio de segundo grado y se trabaja con fracciones parciales de esa manera. Una vez realizado el procedimiento pertinente se obtienen las representaciones de estado.

𝐴 = [ 0_−𝑎 1

0 −𝑎1] 𝒃 = [𝟎𝟏] _{( 12 )}

𝑐𝑇 _{= [𝑏}₀ _𝑏₁_]

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4 Desarrollo

1) Considere el siguiente sistema representado mediante su función de transferencia: 𝐺(𝑠) =_{𝑈(𝑠) =}𝑌(𝑠) _𝑠₂_{+ 5𝑠 + 6}𝑠 + 6

Determina la forma canónica controlable (FCC) y observable (FCO) en el espacio de estado.

2) Dado el siguiente sistema:

𝑦⃛ + 6𝑦̈ + 11𝑦̇ + 6𝑦 = 6𝑢

Obtenga las dos representaciones en espacio de estado FCC y FCO. Usando las ecuaciones de estado y sin uso de la función de transferencia _𝐺(𝑠), reconstruye la ecuación diferencial usando las dos formas canónicas.

3) Sea el sistema lineal definido mediante:

𝑥̇ = 𝐴 𝑥 + 𝑏 𝑢 𝑦 = 𝑐𝑇_𝑥

𝐴 = [1_{4 −3]}2 𝑏 =

[

1₂

]

𝑐𝑇 _{= [1 1]}

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4) Considere el sistema definido mediante:

𝑥̇ = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑢 𝑦 = 𝐶 𝑥

𝐴 = [−11 −20 10

0 0 −3] 𝑏 = [

0 0

1] 𝑐

𝑇 _{= [1 1 0]}

Calcula la función de transferencia _𝐺(𝑠). Compara la gráfica de la respuesta al escalón de la función de transferencia con la gráfica del sistema en espacio de estado usando Simulink.

5) Dada la ecuación del sistema:

[𝑥̇𝑥̇12 𝑥̇3

] = [2 1 00 2 1 0 0 2] [

𝑥1 𝑥2 𝑥3 ]

Determina la solución a partir de los valores iniciales _𝑥₀. Calcula la matriz de transición _Φ(𝑡) y compruébala usando Matlab.

6) Dado la siguiente ecuación diferencial, que representa un sistema lineal con entrada _𝑢(𝑡) y salida _𝑦(𝑡) y todos valores iniciales cero:

𝑦⃛ + 3𝑦̈ + 3𝑦̇ + 𝑦 = 𝑢̈ + 4𝑢̇ + 6𝑢

a) Determina la función de transferencia _𝐺(𝑠) del sistema.