Estudo do centro de massa em cálculo diferencial e integral: uma abordagem didática envolvendo recursos tecnológicos.

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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO, FILOSOFIA E HISTÓRIA DAS CIÊNCIAS

CELSO EDUARDO BRITO

ESTUDO DO CENTRO DE MASSA EM CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL:

Uma abordagem Didática envolvendo recursos tecnológicos

SALVADOR 2019

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CELSO EDUARDO BRITO

ESTUDO DO CENTRO DE MASSA EM CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL:

SALVADOR 2019

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências da Universidade Federal da Bahia e Universidade Estadual de Feira de Santana, para a obtenção do título de Doutor em Ensino, Filosofia e História das Ciências.

Área de concentração: Educação Científica e

Formação de Professores

Linha de pesquisa: Ensino de Ciências

Orientador: Prof. Dr. Luiz Márcio Santos Farias Coorientador: Prof. Dr. Afonso Henriques

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Brito, Celso Eduardo

ESTUDO DO CENTRO DE MASSA EM CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: Uma abordagem Didática envolvendo recursos tecnológicos / Celso Eduardo Brito. -- Salvador, 2019. 614 f. : il

Orientador: Luiz Márcio Santos Farias. Coorientador: Afonso Henriques.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências) --Universidade Federal da Bahia, FACED, 2019.

1. Cálculo Diferencial e Integral. 2. Centro de Massa. 3. Didática da Matemática. 4. Modelos Concretos. 5. GeoGebra. I. Farias, Luiz Márcio Santos. II. Henriques, Afonso. III. Título.

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ESTUDO DO CENTRO DE MASSA EM CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL:

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências da Universidade Federal da Bahia e Universidade Estadual de Feira de Santana, para obtenção do título de Doutor em Ensino, Filosofia e História das Ciências, aprovado em 06 de novembro de 2019, pela Banca Examinadora constituída pelos Professores doutores:

______________________________________________________

Prof. Dr. Luiz Márcio Santos Farias – UFBA

Orientador

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Prof. Dr. Afonso Henriques – UESC

Coorientador

______________________________________________________

Profa. Drª. Lynn Rosalina Gama Alves – UFBA

Examinador Interno

______________________________________________________

Profa. Drª. Geilsa Costa Santos Baptista – UEFS

Examinador Interno

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Prof. Dr. Vinicius Souza Bittencourt – UFMT

Examinador Externo

______________________________________________________

Prof. Dr. Roberto Carlos Dantas Andrade – UFPA

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A Deus, a minha mãe Yvone Britto e minha avó Osvaldina Barbosa (in memoriam), por me permitirem alcançar essa etapa de vida, bem como desenvolver saberes e competências que me tornaram o que sou hoje, capaz de efetuar mudanças sempre que necessário, para beneficiar a mim, mas principalmente aos que convivo.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Luiz Márcio e ao meu coorientador, Prof. Dr. Afonso

Henriques, por acreditarem nesse trabalho, me conduzindo de forma sublime, com paciência e

dedicação, sempre estando presentes, para que pudéssemos investigar novas possibilidades que sejam contribuintes à formação de muitos sujeitos, que estão atrelados ao cenário educacional da Educação Matemática.

A Rosendo Neto, pessoa partícipe da minha trajetória de vida há alguns anos, que me apoiou e ajudou nos momentos intensos de construção desse trabalho, sempre incentivando direta ou indiretamente, contribuindo de forma ímpar nessa jornada.

Ao meu grande amigo Josaphat Gouveia, por estar presente nos inúmeros momentos de aconselhamentos em relação às angústias e superações nessa caminhada, e em contribuições reais nesse trabalho.

As amigas, Geralda Terezinha e Mariana Fernandes, que desde o início, antes mesmo do ingresso no doutorado, reconheceram o ser mutável que havia em mim, para novos olhares perante a profissão que tanto amo de docente, e foram incentivadores e contribuintes desse processo, de forma que não esquecerei nunca.

Aos meus amigos, Ivanildo Santos e Danilo Souza, brilhantes docentes da área de Física e grandes pessoas de imenso coração, que souberam ser adoráveis sempre que lhes solicitei ajuda e apoio. E ao meu amigo Félix Zaniboni, por se dispor sempre que foi preciso.

Ao IFBA, campus Eunápolis, na figura do Diretor Geral, Prof. Dr. Fabíolo Moraes, ambiente que contém a minha instituição de referência e aplicação, onde pude usar os espaços para efetivação das atividades relacionadas a essa pesquisa e no qual faço parte como professor desde 2009, me desenvolvendo continuamente. Além disso, esse mesmo Instituto, me propiciou possibilidades para o ingresso nesse programa de doutorado, através da parceira DINTER

IFBA/UFBA/UEFS.

Aos estudantes do curso de Engenharia Civil, sujeitos ligados diretamente a nossos estudos, que de forma ativa, abraçaram novas metodologias de ensino, principalmente a de autoanálises de erros, ligada diretamente a essa pesquisa, nas turmas em que lecionei de 2016

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dispostos e solícitos, num viés de opiniões críticas, que foram enriquecedoras para o bom desenvolvimento dos nossos resultados.

Aos membros da banca avaliadora, que com suas contribuições e olhares enriquecedores, puderam tornar esse trabalho ainda melhor para que possa ser divulgado e incentive novos pesquisadores.

Aos meus colegas de DINTER, do IFBA campus Eunápolis e do campus Porto Seguro, que foram lutadores incansáveis junto comigo nessa trajetória acadêmica. E aos meus colegas do NIPEDICMT, principalmente a meus companheiros do II LADIMA, que foram solícitos sempre que precisei, além de serem guerreiros parceiros nos estudos da Didática da Matemática. Aos meus professores do DINTER IFBA/UFBA/UESC, durante os estudos das disciplinas obrigatórias e optativas, com as discussões riquíssimas, que foram favoráveis e necessária à minha transformação em pesquisador. Em especial ao Prof. Dr. Jonei Barbosa e

Profa. Drª Andreia Oliveira, docentes maravilhosos e incentivadores.

A todos os meus amigos, que nesse período de quatro anos de muita luta e dedicação, foram compreensivos e ajudaram a minimizar os estresses que por vezes ocorriam.

Enfim, a todos aqueles que foram disponíveis a compartilhar, ajudar, ensinar, contribuir, suportar, conviver, incentivar, ...., viver comigo a realização desse sonho.

DEIXO AQUI O MEU MUITO OBRIGADO!!!

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Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas Graças a Deus, não sou o que era antes. (Marthin Luther King)

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Sequência Didática, dividida em dois grandes momentos designados: Pesquisa Interna e Pesquisa Externa. No primeiro deles, realizamos uma análise institucional do objeto matemático de referência desta tese, denominado Centro de Massa em uma e duas dimensões, proposto no ensino de Cálculo Diferencial e Integral, no Curso de Engenharia Civil do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia – IFBA, no campus da cidade de Eunápolis. Essa análise contempla a decisão pela escolha de elementos institucionais observados, em conformidade com a nossa problemática e objetivos, que gira em torno das práticas efetivas dos estudantes, diante do objeto matemático de referência, num viés ecológico e praxeológico, visando contribuir com o processo de ensino e de aprendizagem desse objeto do saber. Para tanto, fazemos menção às Teorias Antropológica do Didático, dos Registros de Representação Semiótica, bem como a Abordagem Instrumental, constituindo assim o nosso quadro teórico de referência, quando nos questionamos: quais são as contribuições da Didática da Matemática, na análise de erros cometidos pelos estudantes, face a realização das tarefas que envolvam o estudo do Centro de Massa uni e bidimensionais? A partir da análise institucional, elaboramos uma Sequência Didática, organizada em cinco sessões contendo dois Dispositivos Experimentais cada uma, que na Pesquisa Externa foi trabalhada com os estudantes da instituição de referência e aplicação, utilizando os ambientes de aprendizagem, papel/lápis e computacional GeoGebra, bem como Modelos Concretos manipuláveis à mão livre. Para isso, partimos da hipótese de que “confrontar os estudantes com situações ou tarefas que podem ser analisadas em diferentes registros de representação, mobilizando distintos objetos ostensivos e não ostensivos nos diferentes ambientes de aprendizagem, permite-os desenvolver de forma mais coesa os conceitos de Centro de Massa na educação superior, auto avaliando, por conseguinte, os erros cometidos”. Contudo, é necessário, além da mobilização do bloco Teórico-Tecnológico do objeto matemático de referência na pesquisa, a aprendizagem de técnicas instrumentais especificas dos ambientes utilizados na realização das referidas tarefas. Essa aprendizagem deve ser considerada como um dos objetivos da instituição de referência, enquanto responsável pela formação desses estudantes, tidos como futuros profissionais no campo da Engenharia. Na análise dos resultados verificamos que a utilização dos ambientes de aprendizagem na realização de tarefas organizadas com base na praxeologia modelada do Estudo do Centro de Massa, vão além dos conhecimentos desenvolvidos na instituição de referência, conduzindo os alunos a acessarem outras possíveis relações existentes fundadas nas

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realização dos tipos de tarefas propostas nesta pesquisa.

Palavras-Chaves: Cálculo Diferencial e Integral; Centro de Massa; Didática da Matemática;

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Sequence, and divided into two major designated moments: Internal Research and External Research. In the first one, we make an institutional analysis of the reference mathematical object of this thesis, called Center of Mass in one and two dimensions, proposed in the teaching of Differential and Integral Calculus, in the Civil Engineering Course of the Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia – IFBA, on the campus of the city of Eunapolis. This analysis examines the choose of observed institutional elements, in accordance with our problem and objectives, that revolves around the effective practices of the students, before the mathematical object of reference, in an ecological and praxeological bias, aiming to contribute to the process of teaching and learning of this object of knowledge. To this end, we mention the Anthropological Theories of Didactics, the Semiotic Representation Records, as well as the Instrumental Approach, thus constituting our theoretical framework. We then ask ourselves: what are the contributions of Didactics of Mathematics, in the analysis of mistakes made by the students, in view of the accomplishment of the tasks that involve the study of the one and two-dimensional Mass Center? From the institutional analysis, we elaborated a Didactic Sequence, organized in five sessions containing two Experimental Devices each, which in External Research was worked on with the students of the reference and application institution, using the learning environments, paper/pencil and computational GeoGebra, as well as Freehandable Concrete Models. For this, we start from the hypothesis that “confronting students with situations or tasks that can be analyzed in different representation registers, mobilizing different ostensive and non-ostensive objects in different learning environments, allows them to develop the concepts of Mass Center in higher education more cohesively, thus self-assessing the mistakes made”. However, it is necessary, in addition to the mobilization of the theoretical-technological block of the mathematical object of reference in the research, to learn the instrumental techniques specific to the environments used in the accomplishment of these tasks. This learning should be considered as one of the objectives of the reference institution, while responsible for the training of these students considered to be future professionals in the field of Engineering. In the analysis of the results, we found that the use of learning environments to perform organized tasks based on the modeled praxeology of the Mass Center. Study goes beyond the knowledge developed in the reference institution, leading students to access other possible existing relationships based on checks and investigative learning. In addition, we were

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Key Words: Differential and Integral Calculus; Mass Center; Mathematics Didactics; Error

Analysis; Concrete models; GeoGebra. .

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séquence didactique, divisée en deux moments principaux désignés: la recherche interne et la recherche externe. Dans la première, nous avons développé une analyse institutionnelle de l’objet mathématique de référence de cette thèse, nommée Centre de Masse en une et deux dimensions, proposée dans l’enseignement du calcul différentiel et intégral, au cours d’ingénierie civil de l’Institut fédéral de l’éducation, de la science et de la technologie du Bahia - IFBA, sur le campus de la ville d’Eunápolis. Cette analyse envisage la décision de choisir les éléments institutionnels observés, selon notre problématiques et à nos objectifs, qui s'articule autour des pratiques effectives des étudiants, face à l'objet mathématique de référence, dans un biais écologique et praxéologique, visant à contribuer au processus d’enseignement et d’apprentissage de cet objet de connaissance. Pour cela, nous considérons les théories anthropologiques de la didactique, les registres de représentation sémiotique, ainsi que l’approche instrumentale, constituant ainsi notre cadre théorique de référence, lorsque nous nous posons les questions suivantes: quelles sont les contributions de la didactique des mathématiques, dans l’analyse des erreurs commises par les étudiants, en vue de l'accomplissement des tâches qui impliquent l'étude du centre de masse unidimensionnel et bidimensionnel? À partir de l'analyse institutionnelle, nous avons élaboré une séquence didactique, organisée en cinq sessions contenant chacune deux dispositifs expérimentaux. Cette recherche externe a été réalisée avec les étudiants de l’institution de référence et application, en utilisant les environnements d'apprentissage papier/crayon et GeoGebra, ainsi que des modèles concrets manipulable a main libre. Pour cela, nous partons de l’hypothèse suivante: «confronter les élèves à des situations ou à des tâches pouvant être analysées dans différents registres de représentation, mobiliser différents objets ostensibles et non ostensibles dans différents environnements d’apprentissage, leurs permettent de développer de manière plus cohérente les concepts de Centre de masse dans l'enseignement supérieur, auto-évaluant ainsi les erreurs commises ». Cependant, il est nécessaire, en plus la mobilisation du bloc théorico-technologique de l'objet mathématique de référence dans la recherche, d'acquérir l'apprentissage de techniques instrumentales spécifiques aux environnements utilisés dans l'accomplissement de ces tâches. Cet apprentissage doit être considéré comme l’un des objectifs de l’institution de référence, responsable de la formation de ces étudiants, considérés comme de futurs professionnels dans le domaine de l’ingénierie. Lors de l’analyse des résultats, nous avons constaté que l’utilisation d’environnements d’apprentissage pour effectuer des tâches

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à d’autres relations possibles basées sur les contrôles et apprentissage d'investigation. De plus, nous avons pu identifier les avantages et les inconvénients de l'utilisation de ces environnements comme outils auxiliaires pour effectuer les types de tâches proposés dans cette recherche.

Mots-clés: Calcul Différentiel et Intégral; Centre de Masse; Didactique des Mathématiques;

Analyse d'erreur; Modèles Concrets; GeoGebra. .

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Quadro 1 – Obras analisadas na revisão de literatura ... 35

Quadro 2 – CM de Algumas Figuras ... 35

Quadro 3 – Execução da Tarefa T, para o estudo do CM ... 68

Quadro 4 – Elementos constituintes de uma instituição ... 76

Quadro 5 – Detalhamento da AI&SD ... 78

Quadro 6 – Estrutura da Análise do LD ... 79

Quadro 7 – Descrição de uma SD ... 80

Quadro 8 – Modelo de Dispositivo Experimental ... 81

Quadro 9 – Análise a priori da Tarefa T ... 82

Quadro 10 – Critérios para a análise a posteriori da Tarefa T ... 83

Quadro 11 – DE dos Modelos Concretos ... 88

Quadro 12 – DE no ambiente computacional GeoGebra ... 89

Quadro 13 – Distribuição das Disciplinas de CDI ... 95

Quadro 14 – Dist. das disciplinas do Curso de Eng. Civil nos quatro primeiros semestres ... 95

Quadro 15 – Ementas de CDI1002 e CDI4001 ... 97

Quadro 16 – Ementas Disciplinas da Área Técnica com Nicho para o Objeto CM ... 97

Quadro 17 – Referências dos livros didáticos para análise praxeológica do CM ... 101

Quadro 18 – Execução da _ଵ, da seção 6.4 do LTD, p. 394 ... 104

Quadro 19 – Execução da _ଶ, da seção 6.4 do LTD, p. 396 ... 106

Quadro 20 – Execução da _ଷ, da seção 6.4 do LTD, p. 397 ... 107

Quadro 21 – Execução da _ସ, da seção 6.4 do LTD, p. 398 ... 109

Quadro 22 – Execução da _ହ, da seção 6.4 do LTD, p. 399 ... 109

Quadro 23 – Execução da _଺, da seção 6.5 do LTD, p. 401 ... 112

Quadro 24 – Execução da _଻, da seção 6.5 do LTD, p. 404 ... 115

Quadro 25 – Execução da _଼, da seção 6.5 do LTD, p. 404 ... 116

Quadro 26 – Execução da _ଽ, da seção 6.5 do LTD, p. 406 ... 118

Quadro 27 – Execução da _ଵ, da seção 8.12 do FLM, p. 384 ... 128

Quadro 28 – Execução da _ଶ, da seção 8.12 do FLM, p. 385 ... 129

Quadro 29 – Execução da _ଷ, da seção 8.12 do FLM, p. 386 ... 130

Quadro 30 – Categorização de Erros em Cálculo ... 134

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Quadro 34 – Tarefas do DE / MC Bidimensional ... 192

Quadro 35 – Tarefas do DE / MC com Figuras Simples ... 194

Quadro 36 – Tarefas do DE / MC com Figuras Diversas ... 196

Quadro 37 – Tarefas do DE / MC para o Teorema de Pappus-Guldin ... 197

Quadro 38 – Tarefas do DE / App para CM Unidimensional ... 200

Quadro 39 – Tarefas do DE / App para CM Bidimensional ... 202

Quadro 40 – Tarefas do DE / App para CM de Figuras Simples ... 205

Quadro 41 – Tarefas do DE / App para CM de Figuras Diversas ... 208

Quadro 42 – Tarefas do DE / App para o Teorema de Pappus Guldin ... 210

Quadro 43 – Determinação da área das FD... 258

Quadro 44 – Critérios para a Análise para a _ଵ de _ଵ – Sessão 1 (MC) ... 344

Quadro 45 – Critérios para a Análise para a _ଶ de _ଵ – Sessão 1 (MC) ... 345

Quadro 46 – Critérios para a Análise para a _ଷ de _ଵ – Sessão 1 (MC) ... 347

Quadro 47 – Critérios para a Análise para a _ଶ – Sessão 1 (MC) ... 349

Quadro 48 – Critérios para a Análise da _ଷ – Sessão 1 (MC) ... 351

Quadro 49 – Entrevista escrita: Avaliação dos Discente sobre as Sessões da SD ... 352

Quadro 50 – Critérios para a Análise da _ଵ de _ଵ – Sessão 2 (MC) ... 355

Quadro 51 – Critérios para a Análise da _ଶ de _ଵ – Sessão 2 (MC) ... 356

Quadro 52 – Critérios de Análise da _ଷ de _ଶ – Sessão 2 (MC) ... 358

Quadro 53 – Critérios para a Análise da _ଶ – Sessão 2 (MC) ... 359

Quadro 54 – Critérios para a Análise da _ଷ – Sessão 2 (MC) ... 361

Quadro 57 – Critérios para a Análise da _ଷ de _ଵ – Sessão 3 (MC) ... 369

Quadro 58 – Critérios para a Análise da _ସ de _ଵ – Sessão 3 (MC) ... 371

Quadro 59 – Critérios para a Análise da _ଵ de _ଶ – Sessão 3 (MC) ... 373

Quadro 60 – Critérios para a Análise da _ଶ de _ଶ – Sessão 3 (MC) ... 375

Quadro 61 – Critérios para a Análise da _ଵ de _ଷ – Sessão 3 (MC) ... 377

Quadro 62 – Critérios para a Análise da _ଶ de _ଷ – Sessão 3 (MC) ... 379

Quadro 63 – Critérios para a Análise da _ଷ de _ଷ – Sessão 3 (MC) ... 380

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Quadro 67 – Critérios para a Análise da _ଷ de _ସ – Sessão 3 (MC) ... 388

Quadro 68 – Critérios para a Análise da _ସ de _ସ – Sessão 3 (MC) ... 390

Quadro 69 – Critérios para a Análise da _ହ de _ସ – Sessão 3 (MC) ... 391

Quadro 70 – Critérios para a Análise da _ହ – Sessão 3 (MC) ... 392

Quadro 73 – Critérios para a Análise da _ଷ de _ଵ – Sessão 4 (MC) ... 401

Quadro 78 – Critérios para a Análise da _ଵ de _ଵ – Sessão 1 (App) ... 417

Quadro 79 – Critérios para a Análise da _ଶ de _ଵ – Sessão 1 (App) ... 418

Quadro 80 – Critérios para a Análise das subtarefas da _ଶ – Sessão 1 (App) ... 419

Quadro 81 – Critérios para a Análise da _ଷ – Sessão 1 (App) ... 425

Quadro 84 – Critérios para a Análise das _ଶ, _ଷ e _ସ – Sessão 2 (App) ... 432

Quadro 85 – Critérios para a Análise da _ହ – Sessão 2 (App) ... 436

Quadro 86 – Critérios para a Análise da _଺ – Sessão 2 (App) ... 438

Quadro 89 – Critérios para a Análise da _ଶ – Sessão 3 (App) ... 447

Quadro 90 – Critérios para a Análise da _ଵ de _ଷ – Sessão 3 (App) ... 448

Quadro 91 – Critérios para a Análise da _ଶ de _ଷ – Sessão 3 (App) ... 450

Quadro 92 – Critérios para a Análise da _ଷ de _ଷ – Sessão 3 (App) ... 451

Quadro 93 – Critérios para a Análise da _ସ de _ଷ – Sessão 3 (App) ... 453

Quadro 94 – Critérios para a Análise da _ଷ – Sessão 3 (App) ... 454

Quadro 95 – Critérios para a Análise da _ଵ – Sessão 4 (App) ... 459

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Quadro 100 – Critérios para a Análise da _ସ de ͵ – Sessão 4 (App) ... 469

Quadro 101 – Critérios para a Análise da _ସ – Sessão 4 (App) ... 471

Quadro 102 – Critérios para a Análise da _ଵ – Sessão 5 (App) ... 475

Quadro 104 – Critérios para a Análise da _ଵ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 479

Quadro 105 – Critérios para a Análise da _ଶ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 481

Quadro 106 – Critérios para a Análise da _ଷ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 483

Quadro 107 – Critérios para a Análise da _ସ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 484

Quadro 108 – Critérios para a Análise da _ଵ de _ସ – Sessão 5 (App) ... 486

Quadro 109 – Critérios para a Análise da _ଶ de _ସ – Sessão 5 (App) ... 487

Quadro 110 – Critérios para a Análise da _ଷ de _ସ – Sessão 5 (App) ... 488

Quadro 111 – Critérios para a Análise da _ସ de _ସ – Sessão 5 (App) ... 488

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Tabela 1 – Resultados Quantitativos Semestrais de CDI na Licenciatura em Matemática ... 22

Tabela 2 – Resultados Quantitativos Semestrais de CDI na Engenharia Civil ... 23

Tabela 3 – Sumário do Volume 1 do LTD ... 102

Tabela 4 – Distribuição Específica do Objeto CM, no capítulo 6 do LTD ... 103

Tabela 5 – Tabela 1, da seção 6.4 do LTD, p. 395 ... 105

Tabela 6 – Sumário do Cálculo A – FLM ... 123

Tabela 7 – Distribuição Específica do Objeto CM, no capítulo 8 do FLM ... 124

Tabela 8 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଶ da _ଵ – Sessão 1 (MD) ... 345

Tabela 9 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଷ da _ଵ – Sessão 1 (MD) ... 347

Tabela 10 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଶ – Sessão 1 (MD) ... 349

Tabela 12 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଷ de _ଵ– Sessão 2 (MD) ... 358

Tabela 14 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଷ – Sessão 2 (MD) ... 362

Tabela 15 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଵ da _ଵ– Sessão 3 (MD) ... 365

Tabela 17 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଷ da _ଵ – Sessão 3 (MD) ... 369

Tabela 18 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ସ da _ଵ – Sessão 3 (MD) ... 371

Tabela 19 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଵ da _ଶ – Sessão 3 (MD) ... 373

Tabela 20 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଶ da _ଶ – Sessão 3 (MD) ... 375

Tabela 21 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଵ da _ଷ – Sessão 3 (MD) ... 377

Tabela 22 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଶ da _ଷ – Sessão 3 (MD) ... 379

Tabela 23 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଷ da _ଷ – Sessão 3 (MD) ... 381

Tabela 24 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ସ da _ଷ – Sessão 3 (MD) ... 382

Tabela 25 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଵ da _ସ – Sessão 3 (MD) ... 385

Tabela 26 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଶ da _ସ – Sessão 3 (MD) ... 387

Tabela 27 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଷ da _ସ – Sessão 3 (MD) ... 388

Tabela 28 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ସ da _ସ – Sessão 3 (MD) ... 390

Tabela 29 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ହ da _ସ – Sessão 3 (MD) ... 391

Tabela 30 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ହ – Sessão 3 (MD) ... 392

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Tabela 34 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଵ da _ଵ – Sessão 5 (MD) ... 408

Tabela 37 – Dados relativos as práticas dos estud. na _ଶǣ_ଵ, _ଶ e _ଷ – Sessão 1 (App) .. 420

Tabela 38 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଵǣ_ସ e _ହ – Sessão 1 (App) .. 422

Tabela 39 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଵ da _ଵ – Sessão 2 (App) ... 428

Tabela 40 – Dados relativos as práticas dos estudantes na _ଶ da _ଵ – Sessão 2 (App) ... 430

Tabela 41 – Dados relativos as práticas dos estudantes das _ଶ, _ଷ e _ସ – Sessão 2 (App) ... 432

Tabela 42 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ହ – Sessão 2 (App) ... 436

Tabela 43 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଵ de _ଵ – Sessão 3 (App) ... 442

Tabela 44 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଶ de _ଵ – Sessão 3 (App) ... 445

Tabela 45 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଶ – Sessão 3 (App) ... 447

Tabela 46 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଵ da _ଷ – Sessão 3 (App) ... 449

Tabela 47 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଶ da _ଷ – Sessão 3 (App) ... 450

Tabela 48 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଷ de _ଶ – Sessão 3 (App) ... 452

Tabela 49 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ସ de _ଶ – Sessão 3 (App) ... 453

Tabela 50 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ସ – Sessão 3 (App) ... 454

Tabela 51 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଵ – Sessão 4 (App) ... 459

Tabela 53 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଵ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 464

Tabela 54 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଶ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 466

Tabela 55 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଷ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 467

Tabela 56 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ସ de _ସ – Sessão 4 (App) ... 469

Tabela 57 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ସ – Sessão 4 (App) ... 471

Tabela 58 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଵ – Sessão 5 (App) ... 475

Tabela 60 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଵ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 480

Tabela 61 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଶ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 481

Tabela 62 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ଷ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 483

Tabela 63 – Dados relativos as práticas dos estudantes da _ସ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 484

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Figura 1 – Resultados Quantitativos Anuais de CDI na Engenharia Civil... 24

Figura 2 – Processo experimental realizado por uma dupla ... 37

Figura 3 – Atividade 1 ... 41

Figura 4 – Atividades 2 e 3... 42

Figura 5 – Atividade 8 ... 43

Figura 6 – Centros de Gravidades de Figuras Planas ... 47

Figura 7 – O Equilibrista ... 48

Figura 8 – O Equilibrista com Animais ... 49

Figura 9 – Sistema de Duas Partículas ... 53

Figura 10 – Sistema de Partículas Iguais e Distintas ... 53

Figura 11 – CM do Corpo Contínuo ... 54

Figura 12 – Articulação entre as Teorias ... 56

Figura 13 – Modelo SAI da Abordagem Instrumental ... 58

Figura 14 – Inscrição de processos de gênese instrumental no ciclo global ... 60

Figura 15 – Modelo SAI da Abordagem Instrumental nas Pesquisas Interna e Externa ... 62

Figura 16 – Relações: Instituição, Objeto e Pessoa ... 65

Figura 17 – Inter-relação: Elementos da TAD com o modelo SAI ... 66

Figura 18 – Estrutura Praxeológica ... 67

Figura 19 – Modelos praxeológicos para análise do LD ... 68

Figura 20 – Alguns tipos de Registros Semióticos ... 73

Figura 21 – Esquema de tratam., conv. e coord. entre registros para repres. de um objeto .... 73

Figura 22 – Esq. de tratam., conv. e coord. entre registros para repres. do CM na tarefa T ... 74

Figura 23 – Esquema praxeológico ... 76

Figura 24 – Momentos e fases da AI&SD... 77

Figura 25 – Elementos institucionais em torno do objeto CM ... 85

Figura 26 – Praxeologia pontual completa da tarefa T do LTD (Exercício 1, p. 406) ... 86

Figura 27 – Figura 1, da seção 6.4 do LTD, p. 395 ... 105

(22)

Figura 35 – Figura 5, da seção 6.5 do LTD, p. 406 ... 118 Figura 36 – Figura 6, da seção 6.5 do LTD, p. 406 ... 118 Figura 37 – Figura do Exercício 19 da seção 6.5 do LTD, p. 407 ... 120 Figura 38 – Figura 8.68, da seção 8.12 do FLM, p. 381 ... 125 Figura 39 – Figura 8.69, da seção 8.12 do FLM, p. 381 ... 125 Figura 40 – Figura 8.70, da seção 8.12 do FLM, p. 382 ... 126 Figura 41 – Figura 8.71, da seção 8.12 do FLM, p. 382 ... 126 Figura 42 – Figura 8.72, da seção 8.12 do FLM, p. 383 ... 127 Figura 43 – Figura 8.73, da seção 8.12 do FLM, p. 385 ... 129 Figura 44 – Figura 8.74, da seção 8.12 do FLM, p. 386 ... 130 Figura 45 – Organização de materiais / autoanálises de erros... 136 Figura 46 – Execução da Tarefa, Questão 1- Parcial 9 (2016.1) ... 137 Figura 47 – Erros nas autoanálises dos Estudantes / Parcial 9 – 2016.1 ... 138 Figura 48 – Análise e resolução do Estudante A / Questão 1 - Parcial 9 ... 139 Figura 49 – Análise e resolução do Estudante B / Questão 1 - Parcial 9 ... 140 Figura 50 – Análise do Estudante C / Questão 1 - Parcial 9 ... 140 Figura 51 – Análise do Estudante D / Questão 1 - Parcial 9 ... 140 Figura 52 – Execução da Tarefa, Questão 3 - Final 2 (2016.1)... 141 Figura 53 – Erros nas autoanálises dos Estudantes / Final 2 – 2016.1 ... 142 Figura 54 – Análise do Estudante E / Questão 3 - Final 2 ... 142 Figura 55 – Análises dos Estudantes F e G / Questão 3 - Final 2 ... 143 Figura 56 – Análise e Resolução do Estudante H / Questão 3 - Final 2 ... 143 Figura 57 – Execução da Tarefa, Questão 3 - Parcial 9 (2016.2) ... 144 Figura 58 – Erros nas autoanálises dos Estudantes / Parcial 9 – 2016.2 ... 145 Figura 59 – Análise do Estudante I / Questão 3 - Parcial 9 ... 145 Figura 60 – Análises dos Estudantes J e K / Questão 3 - Parcial 9 ... 146 Figura 61 – Análise e Resolução do Estudante L / Questão 3 - Parcial 9 ... 146 Figura 62 – Análise do Estudante M / Questão 3 - Parcial 9 ... 147 Figura 63 – Execução da Tarefa, Questão 4 - Final 2 (2016.2)... 148 Figura 64 – Erros nas autoanálises dos Estudantes / Final 2 – 2016.2 ... 148 Figura 65 – Análise e Resolução do Estudante N / Questão 4 - Final 2 ... 149 Figura 66 – Análise do Estudante O / Questão 4 - Final 2 ... 149

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Figura 69 – Erros nas autoanálises dos Estudantes / Parcial 12 – 2017.1 ... 152 Figura 70 – Análise e Resolução do Estudante Q / Questão 1 - Parcial 12 ... 152 Figura 71 – Análise e Resolução do Estudante R / Questão 1 - Parcial 12 ... 153 Figura 72 – Análise do Estudante S / Questão 1 - Parcial 12 ... 153 Figura 73 – Execução da Tarefa, Questão 2 - Parcial 12 (2017.1) ... 154 Figura 74 – Erros nas autoanálises dos Estudantes / Parcial 12 – 2017.1 ... 155 Figura 75 – Análise e Resolução do Estudante S / Questão 2 - Parcial 12 ... 155 Figura 76 – Análise e Resolução do Estudante T / Questão 2 - Parcial 12 ... 156 Figura 77 – Execução da Tarefa, Questão 2 - Final 3 (2017.1)... 156 Figura 78 – Erros nas autoanálises dos Estudantes / Final 3 – 2017.1 ... 157 Figura 79 – Análise do Estudante S / Questão 2 - Final 3 ... 157 Figura 80 – Análise e Resolução do Estudante U / Questão 2 - Final 3 ... 158 Figura 81 – Execução da Tarefa, Questão 2 - Final 2 (2017.2)... 159 Figura 82 – Erros nas autoanálises dos Estudantes / Final 2 – 2017.2 ... 160 Figura 83 – Análise e Resolução do Estudante V / Questão 2 - Final 2 ... 160 Figura 84 – Análise do Estudante X / Questão 2 - Final 2 ... 161 Figura 85 – Análise do Estudante Z / Questão 2 - Final 2 ... 161 Figura 86 – Análise do Estudante W / Questão 2 - Final 2 ... 161 Figura 87 – Análise do Estudante Y / Questão 2 - Final 2 ... 162 Figura 88 – Site do Software GeoGebra ... 166 Figura 89 – Interface principal do GeoGebra Classic 5 ... 167 Figura 90 – Menu principal na interface do GeoGebra ... 167 Figura 91 – Menu de ferramentas interface do GeoGebra ... 168 Figura 92 – Campo de entrada da interface do GeoGebra ... 168 Figura 93 – Janela de álgebra da interface do GeoGebra ... 169 Figura 94 – Janela de visualização da interface do GeoGebra ... 169 Figura 95 – Janela de visualização 3D da interface do GeoGebra ... 170 Figura 96 – Objetos matemáticos no App (Janela Algébrica) ... 171 Figura 97 – Propriedades de um objeto ... 172 Figura 98 – Entradas de variáveis no App ... 173 Figura 99 – Exportando o App para a web ... 174 Figura 100 – Instruções iniciais para o App ... 174

(24)

Figura 103 – Execução de subtarefa no App ... 176 Figura 104 – Subtarefa no registro algébrico ... 177 Figura 105 – Execução da técnica inadequada para o App com o GeoGebra ... 178 Figura 106 – Respostas dadas para a Tarefa ... 178 Figura 107 – Execução da técnica adequada para o App com o GeoGebra ... 179 Figura 108 – Materiais Concretos auxiliares para o estudo do CM ... 182 Figura 109 – Materiais Concretos principais para o estudo do CM (Corpos) ... 182 Figura 110 – Materiais Concretos principais para o estudo do CM (Figuras) ... 183 Figura 111 – Peças de chumbo para construção dos corpos do CM bidimensional... 184 Figura 112 – Tarefa do estudo bidimensional do CM ... 184 Figura 113 – Determinação de massas dos corpos para a tarefa ... 185 Figura 114 – Subtarefa para determinar a densidade superficial ... 186 Figura 115 – Caneta 3D ... 187 Figura 116 – Rotação da região feita com a caneta 3D ... 187 Figura 117 – Kit para Modelo Unidimensional do CM ... 192 Figura 118 – Kit para Modelo Bidimensional do CM ... 193 Figura 119 – Kit para Modelo Figuras Simples do CM ... 195 Figura 120 – Kit para Modelo Figuras Diversas do CM ... 197 Figura 121 – Kit para Modelo Teorema de Pappus-Guldin ... 198 Figura 122 – Instruções / App GeoGebra Figuras Planas Diversas ... 199 Figura 123 – Técnicas / Apps GeoGebra ... 200 Figura 124 – App GeoGebra Unidimensional / Interface Gráfica ... 201 Figura 125 – App para CM Unidimensional no GeoGebra ... 201 Figura 126 – App GeoGebra Bidimensional / Interface Gráfica ... 204 Figura 127 – App para CM Bidimensional no GeoGebra ... 204 Figura 128 – App para CM Bidimensional no GeoGebra ... 204 Figura 129 – App GeoGebra Figuras Simples / Interface Gráfica ... 207 Figura 130 – App para CM Figuras Simples no GeoGebra ... 207 Figura 131 – App GeoGebra Figuras Diversas / Interface Gráfica ... 209 Figura 132 – App para CM Figuras Diversas no GeoGebra ... 209 Figura 133 – App GeoGebra Teorema de Pappus / Interface Gráfica ... 212 Figura 134 – App para o Teorema de Pappus no GeoGebra ... 212

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Figura 137 – Equilíbrio de dois corpos com massas distintas / Unidimensional ... 217 Figura 138 – Equilíbrio de três corpos com massas iguais / Unidimensional ... 217 Figura 139 – Equilíbrio de três corpos com massas distintas / Unidimensional ... 218 Figura 140 – Equilíbrio de quatro corpos com massas distintas / Unidimensional... 218 Figura 141 – Localização dos corpos e pontos de equilíbrio no CM unidimensional ... 220 Figura 142 – Medição de corpos na balança para o CM bidimensional ... 224 Figura 143 – Equilíbrio de dois corpos com massa iguais / Bidimensional ... 225 Figura 144 – Equilíbrio de dois corpos com massa distintas / Bidimensional ... 226 Figura 145 – Equilíbrio de três corpos com massa iguais / Bidimensional... 226 Figura 146 – Equilíbrio de três corpos com massa distintas / Bidimensional ... 227 Figura 147 – Equilíbrio de quatro corpos com massa distintas / Bidimensional ... 228 Figura 148 – Localização dos corpos e pontos de equilíbrio no CM bidimensional ... 229 Figura 149 – Medindo as dimensões das FS ... 233 Figura 150 – Determinando a massa das FS ... 236 Figura 151 – Representação no plano cartesiano das FS ... 238 Figura 152 – Equilíbrio para determinação dos CM das FS ... 239 Figura 153 – Representação no plano cartesiano do centroide das FS... 240 Figura 154 – Medindo as dimensões das FC ... 242 Figura 155 – Determinando a massa das FC ... 244 Figura 156 – Representação no plano cartesiano das FC com escala proporcional 1:2 ... 247 Figura 157 – Representação no plano cartesiano da FC laranja ... 249 Figura 158 – Representação no plano cartesiano da FC vermelha ... 250 Figura 159 – Equilíbrio para determinação do CM da FC laranja ... 251 Figura 160 – Representação no plano cartesiano do centroide da FC laranja ... 252 Figura 161 – Equilíbrio para determinação do CM da FC vermelha ... 253 Figura 162 – Representação no plano cartesiano do centroide da FC vermelha ... 254 Figura 163 – FD para representação nos planos cartesianos do DE... 256 Figura 164 –Representação das FD nos planos cartesianos ... 257 Figura 165 – Centroide das FD ... 260 Figura 166 – Representação da FDC no plano cartesiano ... 263 Figura 167 –Centroide da FD apoiada no instrumento experimental... 263 Figura 168 – Revolução em torno da reta paralela à Oy ... 265

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Figura 171 – Cálculo da média aritmética para um conjunto de valores ... 269 Figura 172 – Cálculo da média ponderada para um conjunto de valores ... 270 Figura 173 – Equilíbrio para dois corpos com massas iguais no App / Unidimensional ... 271 Figura 174 – Equilíbrio para dois corpos com massas distintas no App / Unidimensional .. 272 Figura 175 – Equilíbrio para três corpos com massas iguais no App / Unidimensional ... 273 Figura 176 – Equilíbrio para três corpos com massas distintas no App / Unidimensional ... 273 Figura 177 – Equilíbrio para quatro corpos com massas distintas no App / Unidimensiona 274 Figura 178 – Posição onde não existe apoio para o equilíbrio no App / Unidimensional ... 274 Figura 179 – Ordenação de pontos do plano. ... 278 Figura 180 – Equilíbrio para dois corpos com massas iguais no App / Bidimensional... 279 Figura 181 – Equilíbrio para dois corpos com massas distintas no App / Bidimensional ... 280 Figura 182 – Equilíbrio para três corpos com massas iguais no App / Bidimensional ... 281 Figura 183 – Equilíbrio para dois corpos com massas distintas no App / Bidimensional ... 282 Figura 184 – Equilíbrio para dois corpos com massas distintas no App / Bidimensional ... 283 Figura 185 – Área do retângulo no App / Figuras Simples ... 287 Figura 186 – Área do triângulo no App / Figuras Simples ... 288 Figura 187 – Área do círculo no App / Figuras Simples ... 288 Figura 188 – Cálculo de massa do retângulo no App / Figuras Simples ... 290 Figura 189 – Cálculo de massa do triângulo no App / Figuras Simples ... 290 Figura 190 – Cálculo de massa do círculo no App / Figuras Simples ... 291 Figura 191 – Centroide do retângulo no App / Figuras Simples ... 292 Figura 192 – Centroide do triângulo no App / Figuras Simples ... 293 Figura 193 – Centroide do círculo no App / Figuras Simples ... 293 Figura 194 – Centroide da composição de retângulos no App / Figuras Simples ... 295 Figura 195 – Centroide da composição de figuras planas no App / Figuras Simples ... 298 Figura 196 – Área limitada por gráficos de funções reais no App / Figuras Diversas ... 302 Figura 197 – Execução da _ଵ na _ଵ do App / Figuras Diversas ... 303

Figura 198 – Nova tecnologia/técnica para o CM no App / Figuras Diversas ... 304 Figura 199 – Área limitada entre a função e o eixo Ox no App / Figuras Diversas ... 306 Figura 200 – Execução da _ଵ na _ଷ do App / Figuras Diversas ... 307

Figura 201 – Centroide da FD entre função e eixo Ox no App / Figuras Diversas ... 308 Figura 202 – Execução da _ଶ na _ଷ do App / Figuras Diversas ... 309

(27)

Figura 205 – Centroide da FD entre duas funções no App / Figuras Diversas ... 312 Figura 206 – Execução da _ସ na _ଷ do App / Figuras Diversas ... 313

Figura 207 – Distância de P a r, no item a, da _ଵ, _ଵ no App / Teorema de Pappus ... 315

Figura 208 – Distância de P a r, no item b, da _ଵ, _ଵ no App / Teorema de Pappus ... 316

Figura 209 – Distância de P a r, no item c, da _ଵ, _ଵ no App / Teorema de Pappus ... 316

Figura 210 – Nova tecnologia/técnica par o CM no App / Figuras Diversas ... 318 Figura 211 – Nova tecnologia/técnica para o CM no App / Figuras Diversas ... 319 Figura 212 – Área limitada entre duas funções no App / Teorema de Pappus ... 321 Figura 213 – Execução da _ଵ na _ଷ do App / Teorema de Pappus ... 322

Figura 214 – Centroide da FD entre duas funções no App / Teorema de Pappus ... 323 Figura 215 – Execução da _ଶ na _ଷ do App / Teorema de Pappus ... 324

Figura 216 – Distância de G a r, no item a, da _ଷ, _ଷ no App / Teorema de Pappus ... 325

Figura 217 – Distância de G a r, no item b, da _ଷ, _ଷ no App / Teorema de Pappus ... 326

Figura 218 – Distância de P a r, no item c, da _ଷ, _ଷ no App / Teorema de Pappus ... 326

Figura 219 – Volume do sólido da FD, item a, no App / Teorema de Pappus ... 328 Figura 220 – Volume do sólido da FD, item b, no App / Teorema de Pappus ... 328 Figura 221 – Volume do sólido da FD, item b, no App / Teorema de Pappus ... 329 Figura 222 – Área limitada da FDC no App / Teorema de Pappus ... 331 Figura 223 – Execução da _ଵ na _ସ do App / Teorema de Pappus ... 331

Figura 224 – Execução da _ଶ na _ସ do App / Teorema de Pappus ... 333

Figura 225 – Centroide da FDC no App / Teorema de Pappus ... 334 Figura 226 – Distância de G a r, da _ଷ, _ସ no App / Teorema de Pappus... 335

Figura 227 – Volume do sólido da FD, item a, no App / Teorema de Pappus ... 336 Figura 228 – Utilização do GeoGebra pelos Estudantes de CDI1002 ... 339 Figura 229 – Ambiente de Aplicação da SD ... 340 Figura 230 – Duplas _ଵଷ e _ଵ em atividades na aplicação da SD – Sessão 1 (MC) ... 345

Figura 231 – Execução pelas Duplas _ହ, _ଵ e _଼ da _ଵ:_ଶ – Sessão 1 (MC) ... 346

Figura 232 – Execução pelas Duplas _ଵଷ da _ଵ:_ଷ – Sessão 1 (MC) ... 348

Figura 233 – Execução pelas Duplas _ଶ e _ଶ da _ଶ – Sessão 1 (MC) ... 350

Figura 234 – Execução pelas Duplas _ଵ଻ e _ଵ଺ da _ଶ – Sessão 1 (MC) ... 350

(28)

Figura 238 – Execução pelas Duplas _଻ e _ଵହ da _ଶ – Sessão 2 (MC) ... 360

Figura 239 – Execução pela Dupla _ଵସ da _ଶ – Sessão 2 (MC) ... 361

Figura 240 – Execução pelas Duplas _ଶ e _ସ da _ଷ – Sessão 2 (MC) ... 362

Figura 241 – Execução pela Dupla _ଽ da _ଷ – Sessão 2 (MC) ... 363

Figura 242 – Dupla _଻ em atividade na aplicação da SD – Sessão 3 (MC) ... 366

Figura 243 – Execução pelas Duplas _ଵ e _଻ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 3 (MC) ... 366

Figura 244 – Execução pelas Duplas _ଶ, _ଷ e _ଵଷ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 3 (MC) ... 368

Figura 245 – Execução pelas Duplas _଺ e _ହ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 3 (MC)... 368

Figura 246 – Dupla _ହ em atividade na aplicação da SD – Sessão 3 (MC) ... 370

Figura 247 – Execução pela Dupla _ସ da _ଵǣ _ଷ – Sessão 3 (MC) ... 370

Figura 248 – Execução pelas Duplas _ଵହ e _ଵଷ da _ଵǣ _ସ – Sessão 3 (MC) ... 371

Figura 249 – Execução pelas Dupla _ହ da _ଵǣ _ସ – Sessão 3 (MC) ... 372

Figura 250 – Execução pelas Dupla _ଵ da _ଵ – Sessão 3 (MC) ... 372

Figura 251 – Execução pelas Duplas _ଽ, _ଵହ, _ଶ e _ଷ da _ଶǣ _ଵ – Sessão 3 (MC) ... 374

Figura 252 – Execução pelas Duplas _ଵଵ e _ଵ଺ da _ଶǣ _ଶ – Sessão 3 (MC) ... 375

Figura 253 – Execução pelas Duplas _଼ e _ହ da _ଶǣ _ଶ – Sessão 3 (MC) ... 376

Figura 254 – Dupla _଺ em atividade na aplicação da SD – Sessão 3 (MC) ... 378

Figura 255 – Execução pela Dupla _ଵ da _ଷǣ _ଵ – Sessão 3 (MC) ... 378

Figura 256 – Execução pela Dupla _ଷ da _ଷǣ _ଶ – Sessão 3 (MC) ... 380

Figura 257 – Execução pela Dupla _ଵ da _ଷǣ _ଷ – Sessão 3 (MC) ... 381

Figura 258 – Execução pelas Duplas _ସ e _଻ da _ଷǣ _ସ – Sessão 3 (MC) ... 383

Figura 259 – Execução pelas Duplas _ଵଵ e _ଵଶ da _ଷǣ _ସ – Sessão 3 (MC) ... 383

Figura 260 – Execução pela Dupla _ଽ da _ସǣ _ଵ – Sessão 3 (MC) ... 385

Figura 261 – Execução pela Dupla _ଷ da _ସǣ _ଵ – Sessão 3 (MC) ... 386

Figura 262 – Execução pela Dupla _ଷ da _ସǣ _ଶ – Sessão 3 (MC) ... 387

Figura 263 – Execução pela Dupla _଻ da _ସǣ _ଷ – Sessão 3 (MC) ... 389

Figura 264 – Execução pela Dupla _଻ da _ସǣ _ସ – Sessão 3 (MC) ... 390

Figura 265 – Execução pela Dupla _ଵ଻ da _ସǣ _ହ – Sessão 3 (MC) ... 392

Figura 266 – Execução pelas Duplas _ଽ e _଼ da _ହ – Sessão 3 (MC)... 393

Figura 267 – Execução pelas Duplas _ଶ e _ଵଶ da _ହ – Sessão 3 (MC) ... 394

(29)

Figura 271 – Execução pelas Duplas _ଵ e _ଽ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 4 (MC) ... 399

Figura 272 – Execução pela Dupla _ଵଵ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 4 (MC) ... 400

Figura 273 – Execução pelas Duplas _଻ e _ଵ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 4 (MC) ... 401

Figura 274 – Dupla _ଵଵ em atividade na aplicação da SD – Sessão 4 (MC) ... 402

Figura 275 – Execução pela Dupla _ଶ da _ଵǣ _ଷ – Sessão 4 (MC) ... 403

Figura 276 – Execução pela Dupla _ଷ da _ଵଵǣ _ଷ – Sessão 4 (MC) ... 403

Figura 277 – Execução pelas Duplas _ଵଷ e _ଵ଺ da _ଶ – Sessão 4 (MC) ... 404

Figura 278 – Execução pelas Duplas _ଶ e _ଷ da _ଶ – Sessão 4 (MC) ... 405

Figura 279 – Dupla _ଷ em atividade na aplicação da SD – Sessão 5 (MC) ... 409

Figura 280 – Execução pelas Duplas _ଵଵ e _ଷ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 5 (MC) ... 410

Figura 281 – Execução pelas Duplas _ସ, _ଵ e _ଵ଴ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 5 (MC) ... 410

Figura 282 – Execução pela Dupla _଻ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 5 (MC) ... 413

Figura 283 – Execução pela Dupla _ହ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 5 (MC) ... 413

Figura 284 – Execução pelas Duplas _ଵଷ e _ଵ da _ଶ – Sessão 5 (MC) ... 414

Figura 285 – Execução pelas Duplas _ଵସ e _ଷ da _ଶ – Sessão 5 (MC) ... 415

Figura 286 – Execução pela Dupla _ଷ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 1 (App) ... 418

Figura 287 – Execução pela Dupla _଼ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 1 (App) ... 418

Figura 288 – Execução pelas Duplas _ଵ, _ଵଶ e _ଵଷ da _ଶǣ _ଵ – Sessão 1 (App) ... 420

Figura 289 – Execução pela Dupla _ଵ଻ da _ଶǣ _ଶ – Sessão 1 (App)... 421

Figura 290 – Execução pela Dupla _ଵହ da _ଶǣ _ଷ – Sessão 1 (App)... 421

Figura 291 – Execução pelas Duplas _ଵଶ e _ଵ଻ da _ଶǣ _ସ – Sessão 1 (App) ... 422

Figura 292 – Execução pela Dupla _ଵ଴ da _ଶǣ _ଵ – Sessão 1 (App) ... 423

Figura 293 – Execução pela Dupla _ଶ da _ଶ – Sessão 1 (App) ... 423

Figura 294 – Duplas _଼ǡ _ସ e _ଷ em atividade na aplicação da SD – Sessão 1 (App) ... 424

Figura 295 – Execução pela Dupla _ଵ଻ da _ଷ – Sessão 1 (App) ... 425

Figura 296 – Execução pelas Duplas _ଵ e _ଶ da _ଷ – Sessão 1 (App GeoGebra) ... 426

Figura 297 – Execução pelas Duplas _ଵ e _ଽ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 2 (App) ... 429

Figura 298 – Execução pela Dupla _ଵଷ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 2 (App) ... 430

Figura 299 – Execução pelas Duplas _ସ e _ଵଶ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 2 (App) ... 431

Figura 300 – Execução pela Dupla _ଵଵ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 2 (App) ... 431

(30)

Figura 304 – Execução pelas Duplas _ଽ e _ଵଶ da _ସ – Sessão 2 (App) ... 435

Figura 305 – Execução pela Dupla _ସ da _ସ – Sessão 2 (App) ... 437

Figura 306 – Execução pelas Duplas _ଵଶ, _ହ e _ଵ da _ହ – Sessão 2 (App) ... 437

Figura 307 – Execução pela Dupla _ଵହ da _଺ – Sessão 2 (App) ... 438

Figura 308 – Execução pelas Duplas _ଵଷ e _ଷ da _଺ – Sessão 2 (App) ... 439

Figura 309 – Duplas _ଶǡ _ଷ, _଺ e _ଽ em atividade na aplicação da SD – Sessão 2 (App)... 439

Figura 310 – Execução pelas Duplas _ଵଶ e _ଵ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 3 (App) ... 443

Figura 311 – Execução pelas Duplas _ଵଵ e _ଵ଻ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 3 (App) ... 443

Figura 312 – Execução pela Dupla _ଵ଴ da _ଵǣ _ଵ – Sessão 3 (App) ... 444

Figura 313 – Execução pelas Duplas _ଵହ e _ଵ଻ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 3 (App) ... 445

Figura 314 – Execução pelas Duplas _ଶ e _ଽ da _ଵǣ _ଶ – Sessão 3 (App) ... 446

Figura 315 – Execução pelas Duplas _ଵଶ e _ଶ da _ଶ – Sessão 3 (App) ... 447

Figura 316 – Execução pela Dupla _ଵଵ da _ଷǣ _ଵ – Sessão 3 (App) ... 449

Figura 317 – Execução pelas Duplas _ଵଶ e _ଵଷ da _ଷǣ _ଶ – Sessão 3 (App) ... 450

Figura 318 – Execução pela Dupla _ଷ da _ଷǣ _ଶ – Sessão 3 (App) ... 451

Figura 319 – Execução pela Dupla _ଵଵ da _ଷǣ _ଷ – Sessão 3 (App)... 452

Figura 320 – Execução pela Dupla _଻ da _ଷǣ _ସ – Sessão 3 (App) ... 454

Figura 321 – Execução pelas Duplas _ଵ଻ e _ଵ଺ da _ସ – Sessão 3 (App) ... 455

Figura 322 – Execução pelas Duplas _ଵହ e _ଵଷ da _ସ – Sessão 3 (App) ... 456

Figura 323 – Duplas _ଵଷe _ଵଵ em atividade na aplicação da SD – Sessão 3 (App) ... 457

Figura 324 – Execução pela Dupla _ସ da _ଵ – Sessão 4 (App) ... 459

Figura 325 – Execução pela Dupla _ଵ da _ଵ – Sessão 4 (App) ... 460

Figura 326 – Execução pelas Duplas _ଵ e _ଷ da _ଶ – Sessão 4 (App) ... 461

Figura 327 – Execução pela Dupla _ଵ଻ da _ଶ – Sessão 4 (App) ... 462

Figura 328 – Execução pelas Duplas _଼ e _ଵଶ da _ଵ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 464

Figura 329 – Execução pela Dupla _ଵସ da _ଵ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 465

Figura 330 – Execução pelas Duplas _ଷ e _ହ da _ଶ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 466

Figura 331 – Execução pela Dupla _ସ da _ଶ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 467

Figura 332 – Execução pelas Duplas _ଷ e _ହ da _ଷ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 468

Figura 333 – Execução pela Dupla _଺ da _ଷ de _ଷ – Sessão 4 (App) ... 468

(31)

Figura 337 – Execução pela Dupla _ଵ଻ da _ସ – Sessão 4 (App) ... 472

Figura 338 – Execução pela Dupla _ଵହ da _ସ – Sessão 4 (App) ... 473

Figura 339 – Dupla _ଶem atividade na aplicação da SD – Sessão 4 (App) ... 473 Figura 340 – Execução pela Dupla _଼ da _ଵ – Sessão 5 (App) ... 476

Figura 341 – Execução pelas Duplas _ଵ଴ e _ଶ da _ଵ – Sessão 5 (App) ... 476

Figura 342 – Execução pela Dupla _ଵ da _ଶ – Sessão 5 (App) ... 478

Figura 343 – Execução pela Dupla _ଶ da _ଶ – Sessão 5 (App) ... 478

Figura 344 – Execução pelas Duplas _ଷ e _ଵଶ da _ଵ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 480

Figura 345 – Execução pela Dupla _ଵସ da _ଵ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 481

Figura 346 – Execução pelas Duplas _ଵଵ e _ଵହ da _ଶ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 482

Figura 347 – Execução pelas Duplas _଻ e _ଵ଺ da _ଷ de _ଷ – Sessão 5 (App) ... 483

Figura 348 – Execução pela Dupla _ଵଶ da _ସ de _ଷ – Sessão 5 (App)... 484

Figura 349 – Execução pela Dupla _ଵ଻ da _ସ de _ଷ – Sessão 5 (App)... 485

Figura 350 – Execução pela Dupla _ଵଶ da _ଵ de _ସ – Sessão 5 (App) ... 487

Figura 351 – Execução pelas Duplas _ଷ e _ଶ da _ହ – Sessão 5 (App) ... 489

Figura 352 – Execução pela Dupla _ଵହ da ͷ – Sessão 5 (App) ... 490

Figura 353 – Execução pela Dupla _ଵ଻ da ͷ – Sessão 5 (App) ... 491

Figura 354 – Duplas _ଵ଺e _ଵଵ em atividade na aplicação da SD – Sessão 5 (App) ... 491

Figura 355 – Execução do Estudante 16 da _଼ na _ଵ – Parcial 10 ... 503

Figura 356 – Execução do Estudante 33 da _ଵ଻ na _ଶ – Parcial 10 ... 504

Figura 357 – Execução do Estudante 13 da _଻ na _ଷ – Parcial 10 ... 505

Figura 358 – Execução do Estudante 2 da _ଵ na _ସ – Parcial 10 ... 506

Figura 359 – Execução do Estudante 2 da _ଵ na _ହ – Parcial 10 ... 508

(32)

ABIN Abordagem Instrumental

AI&SD Análise Institucional e Sequência Didática

CDI Cálculo Diferencial e Integral

CDI1002 Cálculo Diferencial e Integral II no CENC

CE Campo de Entrada do GeoGebra

CENC Curso de Engenharia Civil

CLIMA Curso de Licenciatura em Matemática

CM Centro de Massa DE Dispositivo(s) Experimental(is) EC Ergonomia Cognitiva ED Engenharia Didática FC Figuras Compostas FD Figuras Diversas

FDC Figuras Diversas Compostas

FLM Livro da Flemming

FS Figuras Simples

IES Instituição do Ensino Superior

IFBA Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Da Bahia

JA Janela Algébrica do GeoGebra

JV Janela de Visualização do GeoGebra

JV3 Janela de Visualização 3D do GeoGebra

LD Livro(s) Didático(s)

LTD Livro do Leithold

MAT107 Cálculo Diferencial e Integral II no CLIMA

MC Modelo(s) Concreto(s)

MF Menu de Ferramentas do GeoGebra

MP Menu Principal do GeoGebra

PE Protocolo Experimental

PPC Projeto Pedagógico do Curso de Engenharia Civil/IFBA

PPGEFHC Programa de Pós-Graduação em Ensino, Filosofia e História Das Ciências SAI Situações das Atividades Instrumentais

SD Sequência Didática

TAD Teoria Antropológica do Didático

TRRS Teoria dos Registros de Representação Semiótica

UEFS Universidade Estadual de Feira de Santana

UFBA Universidade Federal da Bahia

(33)

1.1. PROBLEMÁTICA ... 25 1.2.QUESTÕESDEPESQUISA ... 29 1.3. OBJETIVOGERAL ... 32 1.3.1. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 32 1.4. ESTRUTURADOTRABALHODETESE ... 33

2. REVISÃO DE LITERATURA ... 35 3. ABORDAGEM HISTÓRICO-EPISTEMOLÓGICA DO CM ... 52 4. QUADRO TEÓRICO ... 56

4.1.ABORDAGEMINSTRUMENTAL(ABIN) ... 57 4.2.TEORIAANTROPOLÓGICADODIDÁTICO(TAD) ... 62 4.3.TEORIADOSREGISTROSDEREPRESENTAÇÃOSEMIÓTICA(TRRS) ... 70

5. METODOLOGIA DA PESQUISA ... 75

5.1.ANÁLISEINSTITUCIONAL&SEQUÊNCIADIDÁTICA(AI&SD) ... 75 5.2.PERCURSOMETODOLÓGICODAPESQUISA ... 83

6. ANÁLISE INSTITUCIONAL ... 94

6.1.ANÁL.DOSPROG.DEENS.NOCURSODEE.CIVILDOIFBA,CAMPUSEUN . 94 6.2.ANÁLISEDOSLIVROSDIDÁTICOS ... 100 6.2.1. ESTRUTURA DA ORGANIZACIONAL GLOBAL DO LD – LTD ... 101 6.2.2. ESTRUTURA DA ORGANIZACIONAL REGIONAL DO LD – LTD ... 103 6.2.3. ESTRUTURA DA ORGANIZACIONAL LOCAL DO LD – LTD ... 104 6.2.4. CONSIDERAÇÕES FINAIS (LD – LTD) ... 121 6.2.5. ESTRUTURA DA ORGANIZACIONAL GLOBAL DO LD – FLM ... 122 6.2.6. ESTRUTURA DA ORGANIZACIONAL REGIONAL DO LD – FLM ... 124 6.2.7. ESTRUTURA DA ORGANIZACIONAL LOCAL DO LD – FLM ... 124 6.2.8. CONSIDERAÇÕES FINAIS (LD – FLM) ... 131 6.3.AUTOANÁLISESDEERROSDOSESTUDANTESEMCÁLCULOII ... 132 6.3.1. AUTOANÁLISES DA TURMA 2016.1 ... 136 6.3.2. AUTOANÁLISES DA TURMA 2016.2 ... 144 6.3.3. AUTOANÁLISES DA TURMA 2017.1 ... 150

(34)

6.4.ANÁLISEDOAMBIENTECOMPUTACIONALGEOGEBRA ... 164 6.4.1. O SOFTWARE GEOGEBRA ... 165 6.4.2. A GÊNESE INSTRUMENTAL DO GEOGEBRA PARA O CM ... 170 6.5.ANÁLISEDOSMODELOSCONCRETOSMANIPULÁVEIS ... 180

7. A SEQUÊNCIA DIDÁTICA E O SEU DESENVOLVIMENTO ... 189

7.1.APRESENTAÇÃODOSDISPOSITIVOSEXPERIMENTAIS ... 189 7.1.1 DISPOS. EXPERIM. PARA UTILIZAÇÃO DE MODELOS CONCRETOS ... 190 7.1.2. DISPOS. EXPERIM. NO AMBIENTE COMPUTACIONAL GEOGEBRA ... 198 7.2.ANÁLISEAPRIORIDASTAREFASDOSDISPOSITIVOSEXPERIMENTAIS ... 212 7.2.1. ANÁLISE A PRIORI – DISPOSITIVOS PARA MODELOS CONCRETOS ... 213 7.2.2 ANÁLISE A PRIORI – DISPOS. DO AMBIENTE COMP. GEOGEBRA ... 268 7.3.APLICAÇÃODASDENEGOCIAÇÃOCOMOSELEM.INSTITUCIONAIS ... 338 7.4.ANÁLISEAPOSTERIORIDASD ... 341 7.4.1. ANÁLISE A POSTERIORI – DISPOS. PARA MODELOS CONCRETOS ... 342 7.4.2. ANÁLISE A POSTERIORI – DISPOS. DO AMBIENTE COMP. GEOGEBRA ... 416 7.4.3. AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM DO CM NO DECORRER DA SD ... 493 7.4.3.1. AVALIAÇÃO DA SESSÃO 1 ... 493 7.4.3.2. AVALIAÇÃO DA SESSÃO 2 ... 495 7.4.3.3. AVALIAÇÃO DA SESSÃO 3 ... 496 7.4.3.4. AVALIAÇÃO DA SESSÃO 4 ... 498 7.4.3.5. AVALIAÇÃO DA SESSÃO 5 ... 500 7.5.INST.AVALIATIVOAPLIC.NOAMBIENTEPAPEL/LÁPISSOBREOCM ... 502

8. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 189 REFERÊNCIAS ... 519