RESULTADOS ANUAIS CD
6.5. ANÁLISE DOS MODELOS CONCRETOS MANIPULÁVEIS
O emprego de materiais concretos manipuláveis no ensino da Matemática é uma alternativa didática que contribui para a realização de intervenções do professor na sala de aula, independentemente do nível de ensino em que está inserido. Sua utilização surge como uma proposta pedagógica para tornar as aulas de Matemática mais dinâmicas e proveitosas. Esses recursos, além de despertar o interesse dos alunos/estudantes, fazem com que eles tenham uma maior interação com o objeto matemático estudado.
Os modelos podem ser extraídos das aplicações do dia-a-dia ou podem ser confeccionados com a finalidade de representar ideias matemáticas. De acordo com Reys (1971, apud MENDES, 2009), os materiais devem proporcionar uma verdadeira personificação e representação dos conceitos matemáticos ou das ideias exploradas. Estes devem ser motivadores da aprendizagem dos alunos e também apropriados para serem usados nos diferentes níveis de formação, favorecendo a abstração matemática através da manipulação.
Para Reys (1971, apud MENDES, 2009), esses materiais devem ser tocados, sentidos, manipulados e movimentados pelos alunos/estudantes, pois despertam os sentidos dos discentes mediante o seu uso e, conforme Dante (2005), a “abstração de ideias tem sua origem na manipulação e atividades mentais a ela associadas”.
É importante que o professor perceba a necessidade de relacionar as atividades manipulativas às atividades matemáticas realizadas de forma tradicional pelo aluno, pois o material faz parte do processo cognitivo de produção do conhecimento, porém o ensino não se limita somente a este momento. Para Mendes (2009), isto é justificado, pois “a aprendizagem é um processo progressivo que não se esgota na manipulação de modelos físicos, mas nas relações manipulativo-simbólicas e abstrativas estabelecidas em cada atividade”.
Os modelos são utilizados em atividades que o próprio aluno/estudante desenvolve em sala de aula. Essas atividades têm uma estrutura matemática a ser redescoberta, permitindo que o aluno/estudante se torne agente ativo na construção do seu próprio conhecimento matemático.
Por isso, juntamente com as tecnologias computacionais, escolhemos em nosso trabalho optar pela utilização dos Modelos Concretos (MC), visando a produzir novas perspectivas, além das estabelecidas com as tecnologias digitais, para o estudo do CM, junto aos discentes, que, pelo nível de ensino, quase nunca têm contato com esse tipo de tecnologia, principalmente no CDI.
O pesquisador, mediante construção própria, utilizou materiais diversos para produzir os modelos concretos aplicados nos DE, durante as sessões da SD. Diversos objetos foram usados nessa produção. Podemos citar: peças de chumbo, material de acrílico, fios de plástico coloridos, massa para fazer biscuit, papel paraná, tintas, tesouras, entre outros.
A inspiração inicial é advinda do material “Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca”, de Assis (2008), em que o autor, além de apresentar um histórico sobre esse físico, traz diversas experiências envolvendo equilíbrio de corpos, porém apenas abarca figuras planas e objetos tridimensionais, como já discorrido em nossa revisão de literatura. Diante da leitura, expandimos as ideias e criamos cinco dispositivos, mobilizando diversos utensílios concretos, que se constitui em nosso processo S(i) – O inicial.
Os entraves relativos aos esquemas de uso e de ação instrumentada a priori foram muitos, visto que partimos quase do zero, na idealização das construções. Superadas essas dificuldades, conseguimos produzir um material para aplicar nas diversas sessões do nosso estudo, relativo ao CM. Foram criados cinco kits, que contêm materiais que foram usados nos estudos uni e bidimensionais do centro de massa, cada um deles reproduzido dez vezes, para distribuição aos estudantes no ato da aplicação em CDI1002, durante o momento da Pesquisa Externa. Esses materiais que compõem os kits, foram separados em materiais principais e auxiliares. Na
ostensivos concretos, para representação de áreas, massas etc. Temos três balanças, que são usadas para o cálculo de medidas de massa dos materiais; réguas, com 30 centímetros de comprimento, usadas para medições das dimensões e distâncias; calculadora simples, contendo as quatro operações principais, para representações no registro numérico.
Figura 108 – Materiais Concretos auxiliares para o estudo do CM
Fonte: Materiais da Pesquisa
Ainda contamos como materiais auxiliares: cordões para estabelecer centro de massa, posicionados em locais fora da região superficial a ser trabalhada, podendo ser presos por fitas adesivas; palitos pintados de roxo, que representam, no registro gráfico, eixos de revolução para os sólidos estabelecidos pela rotação de regiões em torno deles. Uma base de apoio de cor roxa, para equilíbrio de corpos, também está presente; bem como um “esqueleto” de figura composta, que tem como finalidade auxiliar no processo de obtenção do solido rotacionado em relação ao eixo definido na tarefa.
Figura 109 – Materiais Concretos principais para o estudo do CM (Corpos)
Os materiais principais, que são os necessários para as representações matemáticas mais importantes nas tarefas e subtarefas, abordadas nos DE de Modelos Concretos, representados nas Figuras 109 e 110, são compostos por figuras e corpos para medições, de comprimento e massa, respectivamente, utilizando os materiais auxiliares (balança e régua). Temos, para o estudo unidimensional e bidimensional do CM, de corpos dispostos em linha reta, ou no plano, os materiais, feitos com massa de biscuit, da Figura 109. As bolinhas coloridas, em formato “esférico” que possuem apenas a massa de biscuit, pesam entre 3 g e 9 g, e são usadas durante o dispositivo para o estudo unidimensional. Estes são apoiados por uma régua de acrílico, que será equilibrada na base de apoio da Figura 108, e que pesa 20 g.
Figura 110 – Materiais Concretos principais para o estudo do CM (Figuras)
Fonte: Materiais da Pesquisa
No estudo bidimensional, os materiais principais são os corpos com carinhas e um plano cartesiano em acrílico, com peso equivalente a 99 g. Esses corpos, que são apoiados no plano, pesam entre 47 g e 101 g e, para serem construídos, além da massa de biscuit, foram usadas peças pequenas de chumbos (Figura 111), com gramaturas distintas, envoltas nessa massa. As peças feitas em papel paraná, cortadas em formatos de figuras simples: quadrado, retângulo, triângulo e círculo; bem como figuras compostas, foram pintadas com cores distintas e recobertas por papel contact54.
54 O contact ou o papel adesivo é um laminado de PVC (vinil e outros materiais), autoadesivo, protegido, no verso,
por papel siliconado e produzido em vários padrões lisos, texturizados e estampados, além dos tradicionais transparente e para revestimento de vidros (https://www.papelero.com.br/papel-envelope/papel-adesivo-em-rolo- contact/, acesso em 09/02/2019).
Figura 111 – Peças de chumbo para construção dos corpos do CM bidimensional
Fonte: Materiais da Pesquisa
Ao equilibrar os corpos, por exemplo, no estudo bidimensional, é preciso levar em consideração os erros inerentes às observações e medidas, mas, também, o peso do plano cartesiano, em que esses corpos se apoiam, visto que, numa situação ideal em sala de aula, ou mesmo no LD, como vimos, o estudante lida com espessuras e massas desprezíveis. Tratemos de uma tarefa, como destacada na Figura 112, para determinar o peso de corpos com massas distintas, distribuídos no plano cartesiano, nas posições ቀെ
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ሺǡ ʹሻǡ ቀെଵହଶ ǡ െଽଶቁ, respectivamente os que possuem cores amarelo, vermelho, roxo, azul e laranja. Essa situação coloca o sujeito frente à manipulação de objetos ostensivos concretos do CM, mediado pelo instrumento, S(i) – O, que neste momento é o modelo, composto pelos elementos: corpos, apoio e plano.
Figura 112 – Tarefa do estudo bidimensional do CM
Figura 113 – Determinação de massas dos corpos para a tarefa
Fonte: Materiais da Pesquisa
Esses ostensivos, em sua representação no registro gráfico, precisam ser tratados de forma a serem reposicionados até ocorrer o equilíbrio, para que ocorra a determinação do ponto de equilíbrio para o sistema. Antes dessa operação, deve ser utilizado o material auxiliar balança a fim de determinar as massas dos objetos, conforme indicadas na Figura 113, que são 83 g, 100 g, 84 g, 98 g e 100 g, na ordenação das cores respectivas, indicadas anteriormente.
O objetivo dessa tarefa, por exemplo, está associado à percepção do sujeito, em relação ao ponto de equilíbrio, levando em consideração os erros inerentes citados, determinando a posição no plano, por observação no registro gráfico. Além disso, queremos que ocorra a conversão dessa observação para uma representação no registro numérico, que neste caso será ቀହଶǡ െଷଶቁ. Porém, com a utilização da técnica que deverá ser institucionalizada para esse estudo, temos que as coordenadas desse ponto deveriam ser as indicadas no Quadro 32, com execução completa da resolução, no registro numérico.
Quadro 32 – Execução da tarefa com sua técnica no registro numérico
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As diferenças entre o encontrado por observação e o determinado pela técnica consolidada na instituição de referência não é muito grande, levando em consideração posicionamento manual dos corpos, que possuem bases grandes, para as marcações no plano e, como já citado, a massa relativamente grande desse. Esse valor que difere entre um e outro ponto que representa o equilíbrio, encontrados acima, calculado pela técnica de distância entre dois pontos, resulta em 0,86 aproximadamente, o que é aceitável pelo tipo de processo experimental para obtenção das medidas. Essa reflexão é esperada pelo estudante durante a aplicação da SD.
Outra subtarefa implementada pelos DE com modelos concretos direciona-se à determinação da densidade superficial das figuras planas, através da experimentação da técnica que envolve a medição de suas áreas e massas, devendo esses valores serem obtidos com os materiais auxiliares balança e régua (Figura 114).
Para essa subtarefa, o sujeito, de posse dos materiais citados, determina as medidas das dimensões do retângulo, por exemplo, que na Figura 114 são dadas por 25 cm e 15 cm. Usando o ostensivo escrito área, calcula na representação do registro numérico o valor ܣ ൌ ͵ͷܿ݉ଶ. Em seguida, a partir da massa determinada, m = 44 g, usando a tecnologia explicitada no enunciado, que justifica a técnica ߩ ൌ
, chega ao resultado ߩ ൌ ସସ
ଷହ؆ Ͳǡͳʹ݃Ȁܿ݉ଶ, no
registro numérico. Esse valor pode variar de sujeito para sujeito, pois depende dos cuidados tomados durante as medições, porém não deve fugir muito do esperado se a técnica for aplicada corretamente.
Figura 114 – Subtarefa para determinar a densidade superficial
No último kit de MC, criado para desenvolver a abordagem com os objetos matemáticos ligados ao Teorema de Pappus-Guldin, ocorrem as questões relativas à determinação de áreas, com representações no registro algébrico, e centros de massa, por observação, além, claro, da determinação da representação no registro gráfico, com manipulação da figura composta dada, seu “esqueleto” e o eixo de rotação. O material para construção do “esqueleto” da figura, bem como do sólido (Figura 116), que será liberado para observação dos estudantes após o cumprimento dessa tarefa para o esboço, em terceira dimensão, foi construído com o uso da caneta 3D, com filamentos de plásticos que derretem nessa ferramenta e secam rapidamente, como mostra a Figura 115.
Figura 115 – Caneta 3D
Fonte: Materiais da Pesquisa
Este “esqueleto” do sólido, confeccionado com a caneta 3D para observações e posterior análise comparativa pelo sujeito após fazer o seu esboço, refere-se à rotação da região, em torno do eixo numa posição paralela ao eixo das ordenadas. Além desse, fizemos a construção dos sólidos gerados pelas rotações da região dada, em torno de uma reta paralela ao eixo das abscissas, e de uma reta com angulação obtusa em relação a esse último eixo citado.
Figura 116 – Rotação da região feita com a caneta 3D