ABORDAGEM HISTÓRICO-EPISTEMOLÓGICA DO CM

O Centro de Massa é também considerado como Centro de Gravidade, pois, em ambientes com gravidade constante, essa grandeza física ocorre na mesma posição nos corpos. Suas associações remetem aos primórdios da humanidade, porém sua abordagem científica e sistemática passou a ser estabelecida na Grécia Antiga, sendo deste local os documentos relacionados aos primeiros estudos desse objeto.

O Grego Arquimedes, nascido provavelmente em 287 a.C., foi um dos precursores do estudo do CM, também conhecido como baricentro, cujo prefixo “bari”, advindo do grego, significa peso, pesado ou grave (Assis, 2008). Em seu trabalho mais antigo e conhecido, intitulado “Sobre o Equilíbrio dos Planos” ou “Sobre o Centro de Gravidade das Figuras Planas”, ocorre a presença do CM, sem definições prévias, indicadas nos postulados 4 e 7, como destacado por Assis (2008):

“Postulado 4: Nas figuras planas iguais e semelhantes, sobrepostas uma sobre a outra, os centros de gravidade também se sobrepõem um sobre o outro.”

“Postulado 7: O centro de gravidade de toda figura cujo perímetro gira sua concavidade para o mesmo lado tem de estar no interior da figura.” (ARC02, p. 189 e DIJ87, p. 286 apud ASSIS, 2008, p. 121, grifo nosso)

Outro estudioso que adentrou as investigações sobre o Centro de Massa foi Heron de Alexandria, que apresenta uma definição para o Centro de Gravidade: “O centro de gravidade ou de inclinação é um ponto tal que, quando o peso é dependurado por este ponto, ele fica dividid em duas porções equivalentes (HER88, p. 93 apud ASSIS, 2008, p. 126). Heron utilizava expressões para designar o Centro de Gravidade, tais como: “centro de peso”, “centro de inclinação” ou “centro de queda”.

Papus, também de Alexandria, apresenta uma nova definição de Centro de Gravidade, destacada em Assis (PAP82, P. 815 E DIJ87, P. 299 apud 2008, p. 128): “Dizemos que o centro de gravidade de qualquer corpo é um certo ponto desse corpo que, se for concebido que o corpo está suspenso por este ponto, o peso assim sustentado permanece em repouso e preserva sua posição original.”

Todas essas definições e conjecturas feitas por esses estudiosos antigos nos remetem à ideia primordial de equilíbrio dos corpos, o que nos é intuitivo se discorremos sobre o CM e que podemos estabelecer atualmente através de posicionamentos determinados por expressões matemáticas.

Considerando o lançamento de uma bola, esta seguirá de maneira uniforme uma trajetória parabólica, aparentemente. O mesmo não ocorre com um bastão arremessado no ar, pois cada extremidade desse objeto percorre um diferente caminho, mas o seu centro, observando um ponto citado no meio desse bastão, tem o comportamento da trajetória próximo a uma parábola. Nesse último caso, podemos indicar como Centro de Massa o ponto que percorre esse caminho, tal que todas as forças externas estejam concentradas com devidas aplicações sobre ele.

Figura 9 – Sistema de Duas Partículas

Fonte: Tipler, 2008

Por isso, para a determinação do CM, é necessário pensar num sistema de partículas, tais que sejam consideradas suas massas e posições. Por exemplo, conforme Figura 9, se dispusermos de duas partículas simples e pontuais localizadas num determinado eixo x, e posições indicadas por ࢞_૚ e ࢞_૛, possuindo massas respectivas ࢓_૚ e ࢓_૛, o CM estará localizado em ࢞_ࢉ࢓ de forma que seja definido como (TIPLER, 2008, p. 145):

ࡹ࢞ࢉ࢓ ൌ ࢓૚࢞૚൅ ࢓૛࢞૛

Nessa denominação, ࡹ ൌ ࢓_૚൅ ࢓_૛ significando a massa total do sistema de partículas. Nesse caso, para um sistema contendo apenas duas partículas, o Centro de Massa se encontra em algum ponto sobre a linha que contém as partículas. Particularmente, como observado na

Figura 10 (a), caso as partículas possuam massas iguais, posiciona-se exatamente no ponto

médio entre as posições onde estas se encontram. O caso em que as massas dos corpos pontuais sejam distintas, o CM ocorre próximo ao que possua maior massa (Figura 10 (b)).

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Figura 10 – Sistemas de Partículas Iguais e Distintas

Generalizando de forma unidimensional e considerando um sistema de muitas partículas e, logo em seguida, expandindo esse resultado para o caso ocorrido em três dimensões, temos (TIPLER, 2008, p. 146):

ࡹ࢞ࢉ࢓ ൌ ࢓૚࢞૚൅ ࢓૛࢞૛൅ ࢓૜࢞૜൅ ڮ ൅ ࢓ࡺ࢞ࡺ ൌ ෍ ࢓࢏࢞࢏ ࢏

Nesse formato, ainda consideramos ࡹ ൌ σ ࢓_{࢏ ࢏} como a massa total do sistema de partículas e, de forma análoga, podemos indicar a posição do CM, nas direções y e z, como:

ࡹ࢟ࢉ࢓ ൌ ࢓૚࢟૚൅ ࢓૛࢟૛൅ ࢓૜࢟૜൅ ڮ ൅ ࢓ࡺ࢟ࡺൌ ෍ ࢓࢏࢟࢏ ࢏

ࡹࢠࢉ࢓ ൌ ࢓૚ࢠ૚൅ ࢓૛ࢠ૛൅ ࢓૜ࢠ૜൅ ڮ ൅ ࢓ࡺࢠࡺ ൌ ෍ ࢓࢏ࢠ࢏ ࢏

Tipler (2008) ainda utiliza uma notação vetorial, muito usada nos cursos de física, em que ࢘ሬԦ_࢏ൌ ࢞_࢏ଙƸ ൅ ࢟_࢏ଚƸ ൅ ࢠ_࢏࢑෡ é o vetor posição da i-ésima partícula. Dessa forma, como sua definição, a posição do CM será dada por (TIPLER, 2008, p. 146):

ࡹ࢘ሬԦࢉ࢓ ൌ ࢓૚࢘ሬԦ૚൅ ࢓૛࢘ሬԦ૛൅ ࢓૜࢘ሬԦ૜൅ ڮ ൅ ࢓ࡺ࢘ሬԦࡺൌ ෍ ࢓࢏࢘ሬԦ࢏ ࢏

Considerando então corpos extensos, como bastões, bolas, cilindros etc., estes podem ser observados como sistemas contendo um número muito grande de partículas e com uma distribuição contínua de massa. Esses são chamados de corpos contínuos e o seu CM pode ser determinado através da integral (TIPLER, 2008, p. 146):

ࡹ࢘ሬԦࢉ࢓ ൌ න ࢘ሬԦࢊ࢓

Nessa situação, dm é um pequeno elemento de massa posicionado em ࢘ሬԦ, como podemos observar na Figura 11.

Figura 11 – CM do Corpo Contínuo

Caso tenhamos simetria no corpo, como, por exemplo, em um cilindro reto, o seu Centro de Massa se localiza exatamente no seu centro de simetria.

Alonso e Finn (1970) destacam, em sua obra, o posicionamento do CM para alguns entes geométricos, conforme podemos observar no Quadro 2.

Quadro 2 – CM de algumas Figuras

FIGURA POSIÇÃO DO CM

Placa Triangular

Ponto de Interseção entre as três medianas.

Polígono Regular e Plana Circular Centro geométrico da figura.

Cilindro e Esfera Centro geométrico da figura.

Pirâmide e Cone

Na linha que liga o vértice com o centro da base a ¼ da base.

Figura com simetria axial Em algum ponto no eixo de simetria.

Figura com centro de simetria No centro de simetria. Fonte: Alonso, Finn, 1970

Após essa breve abordagem histórico-epistemológica, partiremos agora, no capítulo seguinte, para delinear o nosso quadro teórico, destacando conceitos e relações, ligados às teorias em Didática da Matemática que nortearão nossa pesquisa, sendo essas: a Teoria Antropológica do Didático (TAD), proposta por Chevallard, a Abordagem Instrumental (ABIN), desenvolvida por Rabardel, e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Duval.