445  senx  1

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – 2011 - GABARITO

PARTE I: Sem restrições de intervalo. Soluções em U = R.

a) 3

 3

tgx . Solução: tgx   x    k  6 3

3 . Logo,

 



 

    

 x IR x k k Z

S ;

/  6 

. b) senx   1 . Solução: ^{senx x  2 k }

2 1   3 



 . Logo,

 



 

    

 x IR x k k Z

S ;

2 / 3  

.

c) ^{tgx  sen } . Solução:

^{tgxsen tgx0xk}

. Logo,

S 



xIR/xk



;kZ

 .

d) 10

sen 

senx  . Solução:

 















 



 

  











 

 



 



k k

x ou

k x sen senx

10 2 2 9 10 10 2

10 ^.

Logo,

 



 

       

 x IR x k x k k Z

S 2 ;

10 2 9

/ 10    

e) cos _ cos  8

x . Solução:

 



 

















 

 



k x ou

k x x

8 2 8 2

cos 8

cos ^{. Logo,} _  

 

     

 x IR x k k Z

S 2 ;

/  8 

.

f) 4

5  tg

tgx  . Solução; ^{tgx  tg   x    k }

4 4

5 . Logo,

 



 

    

 x IR x k k Z

S ;

/  4 

. OBS: Repare que

4 4 5  _ 

sendo usual, neste caso, apresentar a menor determinação.

g) sen

²

x  3 senx  2 . Solução: Utilizando do artifício de substituir ^{senx  y} , temos

2

2x y

sen 

.

 



 





 





 



 

 

 









 









2 1 2 2

1 3

2 2 4 2

1 3 2

1 3 2

8 9 3 )1(

2

)2 )(1 (4 )3 ( )3 0 (

2 3

2 2 1

2

y y y

y

y

O valor y = 2 não é definido, pois  1  senx  1 . Logo, só é valido y = 1. Substituindo, vem:

  k x

senx

y 2

1   2 



 . Logo,

 



 

    

 x IR x k k Z

S 2 ;

/  2 

.

h) 2 cos sec x  1  3 . Solução: ^{cos sec 2}

2 sec 4 cos 4 sec cos 2 3 1 sec cos

2 x    x   x   x  .

Lembrando que

x senx 1 sec

cos  , vem:

 















 



 

  















 

 



 

k k x

ou k x senx senx

6 2 2 5 6 6 2

2 2 1

1 .

Logo,

 



 

       

 x IR x k x k k Z

S 2 ;

6 2 5

/  6   

.

i) cos 3 x  cos x  0 . Solução:

 

 







 



 























kx x ou

kx x

kx x ou

kx x x x x x

2 3

2 3 2 3

2 3 cos 3cos 0 cos

3cos ^.

Desenvolvendo cada equação, temos:

 



 











 



 







2 4 2 2 4

2 2











k x k ou

kx k x ou

k x

.

Observe que as soluções diferem de um arco de 2

 . Logo a solução pode ser resumida em

 



 

   

 k k Z

x IR x

S ;

/ 2 

.

j) 2 cos

²

x  cos x  1 . Solução: Fazendo a substituição de ^{cos x  y} e resolvendo a equação do

2º grau, vem:

 



 



 

 

 



 

 

 

 





 







 









4 1 4 4

3 1

2 1 4 2 4

3 1 4

3 1 4

8 1 1 )2(

2

)1 )(2 (4 )1(

0 1 1 2

2 2 1

2

y y y

y

y ^.

Substituindo, vem: a)

 



 





















 

 

 

k k

x ou

k x x

3 2 2 5 3 3 2

2

cos 1 ^{; b)}

^{cosx1 x}

^

^2k1

^{ }

OBS: Repare que as soluções distam de 3 2 

. Logo,

 



 

   





 k k k Z

x IR x

S 2 ;

3 ) 1 2

/ (  

. l) senx  cos x  3 . Solução: Os valores máximos de senx e cos x são iguais a 1. Logo, a soma não pode superar o valor 2. Logo não há solução.

m) ^{2 0}

2 3   



 

    x

sen . Solução:

2 2 2 3

2 3 0 3 2

2  



 

  



 



 

  





 



 

     

x sen x

sen x

sen .

Temos:

 





















 



 

  







 











 













 

 

  









 

 

 

 



 

 

 





 

 

 



k k

x k x

ou

k k

k x

k x

ou

k x

12 2 2 13 4 3 2 3

4 3

12 2 2 7 12

3 2 4

4 3

4 2 3

4 2 3

Logo,

 



 

       

 x IR x k x k k Z

S 2 ;

12 2 13

12

/ 7    

.

n) ⁰

3

2 6  



 

  

 



 



   

x tg x

tg . Solução: ^



 

  

 



 



 



 



 

  

 



 



 

3 2 6

3 0

2  6   

x tg x

tg x

tg x

tg .

Resolvendo, vem: ^{x    x    k   x      k       k     k     k }

2 6

3 6

2 3

6 3

2 6 .

o) ^sec

²

^{x  2 tgx} . Solução:

^{sec2x2tgx1tg2x2tgxtg2x2tgx10}

. Fazendo ^{y  tgx} , vem:

  k tgx

y y

y

y        









 1 4

2 2 2

) 1 )(

1 ( 4 4 0 2

1

2

2 .

 



 

    

 x IR x k k Z

S ;

/  4 

PARTE II: Com restrições de intervalo. Os valores da solução deverão pertencer ao intervalo definido.

1) Resolva as equações no intervalo ^{[ 0 , 2  ]} .

a) 2

3 x   2

sen . Solução:

 



 













 













 



 

  







3 2 12

3 2 12 5

4 2 4 2 3 5

4 2 3 5

2 3 2









 

 



 

x k ou x k

k k x

ou k x

xsen ^.

OBS: O número 12

  é menor que 0. Logo está fora do intervalo. Neste caso vamos

trabalhar com sua 1º determinação ^{2 } ₁₂ ^{   23} ₁₂ ^



 



  . As soluções são:

 



 













3 2 12 23

3 2 12 5









x k ou x k

.

Variando os valores de “k”, temos:

i) Solução 1:

 

 

 





 

 







 



 

 

















 

















 











 

















] 2 , 0 [ 4 0

12 3 12

8 5 3 2 12 1 5

] 2 , 0 [ 12 2

29 12

24 2 5

12 5 3 6 12 3 5

4 7 12 21 12

16 5 3 4 12 2 5

12 13 12

8 5 3 2 12 1 5

12 0 5

 













 



 































x k

x k

x k

x k

x k

.

ii) Solução 2:

 

 

 





 

 











 













 















 

















 

















] 2 , 0 [ 12 0

12 24 2 23

12 3 23

12 7 12

16 23 3 4 12 2 23

4 5 12 15 12

8 23 3 2 12 1 23

] 2 , 0 [ 12 2

31 12

8 23 3 2 12 1 23

12 0 23

 



 



























 











x k

x k

x k

x k

x k

Logo,

 



 

 

12

; 23 4

; 7 4

; 5 12

; 13 12

; 7 12

5      

S

b) 5

7  tg

tgx  . Solução:   

k x

tg

tgx    

5 7 5

7 .

Temos:

 

 



 

 











 













 

















 

















] 2 , 0 [ 5 0

3 5

10 2 7

5 2 7

5 2 5

5 7 5

1 7

] 2 , 0 [ 5 2

12 5

5 7 5

1 7

5 0 7

 



 







 





 



 





x k

x k

x k

x k

. Logo,

 



 

 

5

; 7 5 2   S

OBS: Repare que se para um valor positivo de “k” o número extrapolou ao intervalo, não é necessário testar o próximo. Basta verificar para “k” negativo procurando o limite.

c)

^{cosx.tgxcosx 0}

. Solução:

 





 









 1

0 0 cos

)1 ( cos 0 cos .

cos tgx

tgx x x x

tgx

x . Analisando cada

equação, temos:

i) 2

) 1 2 0 (

cos    k   x

x . Temos:

 

 



 

 









































] 2 , 0 [ 2 0

1

] 2 , 0 [ 2 2

2 5

2 1 3

0 2

 



 





x k

x k

x k

x k

.

ii)   k x

tgx    

1 4 . Temos:

 

 



 

 







 

 

















 











 

















] 2 , 0 [ 4 0

7 4

2 8 1 4

] 2 , 0 [ 4 2

9 4 2 8

2 4

4 5 4

4 1 4

0 4

 



 





 



 







 





x k

x k

x k

x k

.

OBS: Atenção ao fato da tangente não ser definida para

2 ) 1 2 (  

 k

x . Logo, os valores da 1ª equação não pertencem à solução. Logo,

 



 

 

4

; 5 4



S  .

d) 2

2 1

cos x  . Solução:

 



 













 



 











 

 

 

 

 

k k x ou

k x

k x ou

k x x

6 5 6 6 3 2 2

3 2 2 2

2cos 1 ^.

A 2º solução foi representada pela 1ª determinação, pois ^{[ 0 , 2 ]}

6 

 _

 . Analisando as soluções, temos:

i) Solução 1:

 

 



 

 











 

















 











 

















] 2 , 0 [ 6 0

5 6

6 1 6

] 2 , 0 [ 6 2

13 6

2 12 2 6

6 7 6

6 1 6

0 6

 



 





 



 







 





x k

x k

x k

x k

.

ii) Solução 2:

 

 



 

 











 















 











 

















] 2 , 0 [ 6 0

6 6 5 6

1 5

] 2 , 0 [ 6 2

17 6

12 2 5

6 2 5

6 11 6

6 5 6

1 5

6 0 5

 



 





 



 







 





k

x k

x k

x k

.

Logo,

 



 

 

6

; 11 6

; 7 6

; 5 6







S  .

e) ^



 

  

 cos 6 2

cos 

x

x . Solução:

 



 











 













 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



k x ou

k x

k xx ou

k xx xx

6 2 3

6 2

6 2 2

6 2 2 cos2 6

cos ^.

Observe que ^{[ 0 , 2 ]}

6 

 _

 . Vamos trabalhar com a 1ª determinação

6 11 2   6   



 



  . Logo as

soluções a serem analisadas são:

 



 













3 2 18

6 2 11





  x k ou

k x

i) Solução 1:

 





 













 

















 

















] 2 , 0 [ 6 0

6 12 2 11

6 1 11

] 2 , 0 [ 6 2

23 6

12 2 11

6 1 11

6 0 11

 



 





 



 





x k

x k

x k

.

ii) Solução 2:

 

 

 





 

 











 

















 











 











 

















] 2 , 0 [ 18 0

11 18

12 3

2 1 18

] 2 , 0 [ 18 2

37 18

2 36 3 18

18 25 6

24 3

4 2 18

18 13 18

12 3

2 1 18

0 18

 











 



 

























x k

x k

x k

x k

x k

.

Logo,

 



 

 

18

; 25 18

; 13 6

; 11 18







S  .

2) Resolva a equação sen 3 x  1 no intervalo _ ^{ } ₆ ^{, 5} ₆ ^ _ ^ . Solução.

3 2 2 6

3 2 1

3    k 

x k x

x

sen        . Analisando, temos:

 





 







 

 







 













 

 



 

















6 , 5 6 6

6 3 6

4 3

2 1 6

6 , 5 6 6

5 6

4 3

2 1 6

0 6

































x k

x k

x k

. O intervalo é aberto à direita:

 



 

  6 S 

3) (UNIFOR-CE) No intervalo ^{[   ,  ]} , o número de soluções da equação 2 . cos 4 x  1 é:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) maior que 8

Solução. Resolvendo a equação, temos:

 



 









 



 











212 212 3 2

4 3 2 4 2 4cos 1 14 cos.2





 

  x k x k

k x

k x x

x ^.

Atenção ao fato de não trabalharmos com a 1º determinação de

12

  , pois

 

    



 



 

12 23

2 12 e estaria fora do intervalo indicado. Analisando as duas soluções temos:

i) Solução 1:

 

 

 





 

 

 

















 















 















 



















 











 

















] , 12 [

17 12

18 2

3 3 12

12 11 12

12 2 12

12 5 12

6 2

1 12

] , 12 [

13 12

12 2 12

12 7 12

6 2

1 12 0 12





 













 

















 



 















x k

x k

x k

x k

x k

x k

.

ii) Solução 2:

 

 

 





 

 

 















 

 















 

 



















 

 











 

 











 

 



















] , [ 12 0

13 12

12 2 12

12 7 12

6 2

1 12

] , 12 [

17 12

18 2

3 3 12

12 11 12

12 2 12

12 5 12

6 2

1 12 0 12



 



 

















 













 















x k

x k

x k

x k

x k

x k

.

Logo,

 



 

    

 12

; 11 12

; 7 12

; 5

; 12

; 12 12

; 7 12

; 5 12

11        

S .

4) Resolva as equações no intervalo ^{[   ,  ]} .

a) ⁰

3

1  tgx  . Solução:  ^tgx   ^tgx      ^x  ^  ^{k } 6 5 3

3 3 0 1

3

1 . Analisando, vem:

 

 

 

 



 

 















 















 



















 





















 



 







 







 



 





6 , 7 6

12 2 5

6 2 5

6 6

6 5 6

1 5

6 , 11 6

6 5 6

1 5

6 0 5

x k

x k

x k

x k

. Logo,

 



 



 6

; 5 6

 S 

b) 1  2 cos x  0 . Solução:

 



 

































 

 

k x

ou k x

x x

x

3 2 2 3 2 2

2 cos 1 1 cos 2 0 cos 2

1 .

Repare que ^{[ , ]}

3

2  _{ }  

 . Por isso não trabalharemos com

3 2 3

4  _{ } 

. Analisando as soluções, temos:

i) Solução 1:

 





 

















 



















 

















] , 3 [

4 3

6 2 2

3 1 2

] , 3 [

8 3

6 2 2

3 1 2

3 0 2





 



 







 



 





x k

x k

x k

.

ii) Solução 2:

 





 

















 

 



















 

 



















] , 3 [

8 3

6 2 2

3 1 2

] , 3 [

4 3

6 2 2

3 1 2

3 0 2





 



 







 



 





x k

x k

x k

. Logo,

 



 



 3

; 2 3 2  

S .

c) sen 3 x   senx . Solução:

 

 

 































k x x ou

k x x x sen x sen senx x sen

2 ) ( 3

2 3 ) ( 3

3 .

Desenvolvendo, vem:

 



 





 



 



 



















2 )1 2(

2 2

2 4 )(

3 3









 x k ou

k x k x ou

k x x sen x sen senx x

sen ^.

i) Solução 1:

 

































































] , [ 2

2 1

] , [ 2

2 1

0 0





















x k

x k

x k

x k

x k

.

ii) Solução 2:

 

 



 

 



















































] , 2 [

2 3 1 2

] , 2 [

1 3 0 2





 







 



x k

x k

x k

x k

. Logo,

 



 

  

    ; 

; 2 0 2 ;

;

S .

d) _ cos  7

senx . Solução:

 



 











 













 

 

  



 

 

  

 

 

 



 



k x ou

k x

k x ou

k x sen senx

14 2 9 14 2 5

14 2 5 14 2 5

72 ^.

i) Solução 1:

 





 

















 



















 

















] , 14 [

23 14

28 2 5

14 1 5

] , 14 [

33 14

28 2 5

14 1 5

14 0 5





 



 







 



 





x k

x k

x k

.

ii) Solução 2:

 





 

















 



















 

















] , 14 [

19 14

28 2 9

14 1 9

] , 14 [

37 14

28 2 9

14 1 9

14 0 9





 



 







 



 





x k

x k

x k

. Logo,

 



 

 

14

; 9 14 5  

S .

5) Resolva a equação ^tg

²

^{x  1} no intervalo   2  , 0  .

Solução.

 



 









 



 









 

 

k x ou

k x

tgx ou tgx xtg

4 3 4 1 1

2 1

. Repare que ⁰ 4 

 e ⁰

4 3  

. Logo, não pertencem ao intervalo.