x2tg em função de

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

TRIGONOMETRIA: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS – 2011 - GABARITO

(Fonte: Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único, 1ª Ed. – página 228) 1) Se sen x  m e cos x  n , determine

sen2x

,

cos2x

e

tg2x

em função de m e n.

Solução. Aplicando as fórmulas da adição de arcos, temos:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

m n

n.

m.

2 m n . n n

m 2

n m n

n m 2

n 1 m

n m 2

n 1 m

n 2 m x2 tg n

m x cos tgx senx

x tg 1

tgx .2 tgx . tgx 1

tgx )x tgx

x(

tg x2 tg )iii

m n x sen x cos senx . senx x cos .x cos )x x cos(

x2 cos )ii

n.

m 2 )n ).(

m(

2 x cos . senx 2 x cos . senx x cos senx )x x(

sen x2 sen )i

 





 

 

 

 

 









 



 





 



 





























.

2) Se

4 x 1

tg  , calcule o valor de

^tg²^x

.

Solução. Desenvolvendo a tangente do arco duplo:

15 8 15 . 16 2 1 16 15 2 1

16 1 1

4 2

4 1 1

4 2 1 x2 tg 4

tgx 1

xtg 1

tgx.

x2 2 tg

2 2   





 

 

 

 

 









 



 





 

.

3) Sabendo que cos 2 a  cos

²

a  sen

²

a e sen

²

a  cos

²

a  1 , demonstre que:

a) cos 2 a  2 . cos

²

a  1 b) cos 2 a  1  2 sen

²

a

Solução. Através de manipulações algébricas chegamos às relações indicadas.

a)  

1a cos2 a cos 1a cos a2 cos

a cos 1a cos a2 a cos cos 1a sen 1a cos asen

asen a cos a2 cos

2 2 2

2 2















 

 











.

b) 2cos 1a sen a sen 1a sen2 a a

sen 1a cos 1a cos a sen

a sen a cos a2

cos ₂ ₂ ₂

2 2 2 2

2 2







 

 











.

(2)

4) Demonstre que:

a) sen 3 a



3 . sen a



4 . sen

³

a . (Sugestão: faça 3a = 2a + a).

Solução. Efetuando a substituição sugerida, temos:

   

  ¹ ^sen â ^sen â ³ ^sena ³ ^sen â ^sen â ³ ^sena ⁴ ^sen â

sena .3 a3 sen

a sen 1 a cos

a sen a cos sena .3 a sen a cos sena a cos sena .2 a3 sen

a sen a cos sena a cos .a cos sena .2 a3 sen a

sen a cos a2 cos

a cos sena .2 a2 sen

a2 cos sena a cos .a2 sen )a a2(

sen a3 sen

3 3

2 2 2

3 2 3

2 2

2 2 2

2 













 

 













 







 



 















.

b) cos 3 a



4 . cos

³

a



3 . cos a .

Solução. Aplicando a substituição (3a = 2a + a) e as relações trigonométricas, temos:

   

a cos 3 a cos 4 a3 cos

a cos 2 a cos 2 a cos a cos a cos a cos a cos 12 a cos a cos 1 a cos a3 cos

a cos 1 a sen

a cos a sen 2 a cos a sen a cos a3 cos

sena a cos sena 2 a cos .a sen a cos a3 cos a

sen a cos a2 cos

a cos sena .2 a2 sen

asena 2 sen a cos .a2 cos )a a2 cos(

a3 cos

3 3 3

3 2

2 3

2 2

3 2 2 2

2 





















 

 





 





 



 















.

c) 1 3 . tg a

a tg a tg . a 3 3

tg

₂

3



 

.

Solução. Utilizando a tangente na adição de arcos, temos:

a tg3 1

a tg tga .3 a tg3 1

a tg . 1 a tg 1

a tg tga a3 .3 tg

a tg 1

a tg3 1

a tg 1

a tg tga .3

a tg 1

a tg.

2 a tg 1

a tg 1

a tg tga .3

a tg 1

a tg.

1 2 a tg 1

a tg tga tga .2

tga a . tg 1

tga 1 .2

a tga tg 1

tga .2 a3 tg a

tg 1

tga a2 .2 tg

tga .a2 tg 1

tga a2 )a tg a2(

tg a3 tg

2 3 2

2 2

3 2 2 2

2 3

2 2 2

3 2 2

2 

 



 











 

 





 







 

 





 

 





 



 



 



 





(3)

5) Dado

3 a 2

sen  , com

a 2

0    , determine

^sen²^a

,

^cos²^a

e

^tg²^a

.

Solução. O arco a pertence ao 1º quadrante. As funções seno, cosseno e tangente são positivas.

5 5 4

. 25 5

5 4 25

5 5 5 4

25 1 20

5 5 4

5 5 1 2

5 5 2 2 a tg 1

tga a 2

2 tg ) iii

9 1 9 4 9 5 3 2 3

a 5 sen a cos a 2 cos ) ii

9 5 4 3 . 5 3 . 2 2 a cos . sena 2 a 2 sen )i

5 5 2 5 2 5 . 3 3 2 5 3 2 3 a cos tga sena 3

5 9 5 9 1 4 3

1 2 a cos 1 a cos a sen

2 2

2 2 2

2

2 2

2







 





 



 

 





 





 





 



 



 

 





 



 





 







 



 



 



 









 



 



 









.

6) Sabendo que

5 x 3

sen  , com

x 2

0    , determine 



 

    x 4 2

tg .

Solução. O arco x pertence ao 1º quadrante. Desenvolvendo a tangente da soma, temos:

17 31 17

. 16 16

31 16

16 17 31

16 24 9 16 16

24 9 16

2 3 16 1 9

4 2 3 4 1 3

4 2 3 4 1 3 tgx 2 x tg 1

tgx 2 x tg x 1

4 2 tg

tgx 2 x tg 1

x tg . 1

x tg 1

tgx 2 x tg 1 x

tg 1

tgx 2 x tg 1

x tg 1

tgx 2 x tg 1

x tg 1

tgx 1 2

x tg 1

tgx 1 2

x 2 tg . 1 1

x 2 tg 1 x 2 tg 4 . tg 1

x 2 4 tg tg x 4 2 tg ) ii

4 3 4 . 5 5 3 4 5 5 3 x cos tgx senx 5

4 25 16 25

1 9 5

1 3 x 5 cos senx 3 )i

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2



 



 

 

 

 



 

 













 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 





 

 

 

   



 





 









 

 

 

 

 

 

 



 

   









 



 



 







. 7) Se

7 a 1

tg  e

10 b 1

sen



com

b 2

0    , calcule ^tg  ^a



² ^b  .

Solução. O arco b pertence ao 1º quadrante. Desenvolvendo a tangente da soma, temos:

  1

28 25 28 25

28 1 3

28 25

4 . 3 7 1 1

4 3 7 1 b

2 tg . tga 1

b 2 tg b tga

2 a 4 tg

3 24 18 8 . 9 3 2 9 8 3 2

3 1 1

3 . 1 2 b tg 1

tgb . b 2 2 tg ) ii

3 1 3 . 10 10 1 3 1 10 10 10 tgb

3 10

9 10 1 1 10

1 1 b 10 cos

senb 1 )i

2 2

2







 

 



 



 



 

 



 







 

 



 

 

 





 









 



 



 







.

8) Mostre que, se sen x  cos x  m , então sen 2 x



m

²

1 .

Solução. Elevando ambos os membros ao quadrado e usando sen2x = 2senx.cosx, temos:



senxcosx



²

 

m²sen²x2senx.cosxcos²xm²12senx.cosxm²sen2xm² 1

. 9) Simplifique a expressão ^A

^

^sen _sen ² _x ^x

^

^cos _cos ² _x ^x .

Solução. Desenvolvendo a expressão e aplicando as fórmulas de adição de arcos, temos:

(4)

  _sec _x

x cos

1 x

cos x sen x cos x

cos

x sen x cos x cos 2 x

cos

x sen x cos x cos A 2

x cos

x sen x x cos cos x 2

cos x sen x cos x

sen x cos . x sen 2 x cos

x 2 cos x sen

x 2 A sen

2 2



 

 



 

 

 









.

10) Calcule

^sen²^x

, sendo dado

^tg^x^^cot^g^x^³

.

Solução. Escrevendo as funções como senos e cossenos, temos:

3 x 2 2 sen 2 x 2 sen 3 2 1

x 2 sen 1 3

2 x 2 3 sen

2 x 2 x sen cos senx x

2 sen x cos . senx 2 : OBS

1 x cos . senx 3 x 3

cos . senx 3 1

x cos . senx

x cos x 3 sen senx

x cos x cos

senx

² ²













 



 



 













 







.

11) Se

4 x 1

cos  , calcule o valor de a na igualdade

^sen²^x ^^a^.^tg^x

.

Solução. Observando que senx ≠ 0 e desenvolvendo a igualdade em termos se senos e cossenos, vem:

8 1 16 2 1 4 2 1 x cos . 2 x a

cos x a cos x 2

cos .senx a x cos . senx 2 x tg . a x 2 sen

2

2 



 



 



 



 















.

12) Prove que cos 2 x

x tg 1

2 2

 



.

Solução. Desenvolvendo a igualdade em termos se senos e cossenos, vem:

x 2 1 cos

x . cos x cos

x 2 cos x cos

1 x cos

x 2 cos

x cos

x sen x cos

x cos

x sen x cos

x cos

x 1 sen

x cos

x 1 sen x tg 1

x tg

1

²

2 2

2

2 2 2

2

  











 

 .

13) Se

2 x 1

cos  com

x 2

0    , calcule 2 cos x .

Solução. O arco x é do 1º quadrante. Desenvolvendo a expressão do arco metade, temos:

) positivo 2 (

3 4 3 2 cos x 4 3 2 cos x 2 3 2 cos x 2 2 1 1 2 cos x 2 2

x 1 cos

x cos 2 1 cos x 2

2 1 cos x 2 2 cos x 2 1 cos x 2 sen x 2 cos x x cos 2 cos x 2 1 sen x 2 1 sen x 2 cos x

2 sen x 2 cos x 2 x 2 cos x x cos

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2



















 



 









 



 

  









 



 











 



 

  



.

14) Determine

BSx

, sabendo que

AS

é bissetriz do ângulo A no triângulo ABC.

Solução. Identificando os valores das tangentes e utilizando a fórmula da

tangente do arco duplo, temos:

(5)

91 6,3 237 91

273 x 600

600 x91 91 273 60 10

x 3

10 x a2 3 tg

91 60 91 . 100 5 3 10 1 3

10 2 3 a2 10 tg

tga 3 ₂



 











 



 





 







 



 

 

 

 

 











.