Multifractal Q
mfO desenvolvimento de Qmf teve duas motiva¸c˜oes principais. A primeira ´e que existem
sistemas, tipo reservat´orios de petr´oleo, que apresentam propriedades multifractais e que s˜ao bons candidatos para serem modelados por objetos desta natureza [43]. A segunda, ´e que desejamos estudar fenˆomenos de percola¸c˜ao em redes n˜ao regulares que sejam multi- fractais no sentido geom´etrico.
´
E importante saber, por exemplo, como ocorre a transi¸c˜ao de percola¸c˜ao por s´ıtios em redes em que suas c´elulas variam em tamanho e tamb´em no n´umero de vizinhos.
Analisamos algumas propriedades geom´etricas e topol´ogicas do aglomerado percolante gerado em Qmf no limiar de percola¸c˜ao [44]. A Figura 3.8 mostra um objeto Qmf onde
r= 1 e s = 3, ou seja, ρ = 1/3 e n = 4.
Figura 3.8: O objeto Qmf para ρ = 1/3 e n = 4. Introduzimos um quadrado no
com uma topologia n˜ao trivial. A anisotropia de Qmf afeta o limiar de percola¸c˜ao, como
veremos mais adiante. Alguns resultados num´ericos que apresentamos nesta se¸c˜ao se re- ferem ao limiar de percola¸c˜ao.
Existem v´arias maneiras diferentes de definir RL, que ´e a probabilidade que, para um
s´ıtio com probabilidade de ocupa¸c˜ao p, existe um aglomerado percolante cont´ıguo, ver (3.9).
Usamos duas destas maneiras de definir RL. A primeira, denotada por RLe ´e a pro-
babilidade que exista um aglomerado percolante em uma das dire¸c˜oes, ou horizontal ou vertical, e a segunda, denotada por Rb
L, ´e a probabilidade que exista um aglomerado per-
colante em ambas as dire¸c˜oes.
No caso de uma rede quadrada no limite quando o tamanho tende a infinito, Re L e
Rb
L, convergem para um valor ´unico. Por outro lado, chamamos pec o valor de pc estimado
quando consideramos Re
L. Isto significa que a m´edia de pc ´e tomada sobre redes que per-
colam em uma dire¸c˜ao, ou horizontal ou vertical. Similarmente, pb
c ´e o valor de pc estimado considerando-se RbL.
As figuras 3.9 e 3.10 ilustram o comportamento de pe
c e pbc para sete tamanhos dife-
rentes de redes. Foram usados dois valores t´ıpicos de ρ: ρ = 2/3, linha s´olida, e ρ = 1/4, linha tracejada.
Na Figura 3.9 mostramos ambos os casos de pc versus 1/L. Os valores superiores
correspondem a pb
c e os valores inferiores correspondem a pec.
O tamanho linear da rede, L = (r + s)n, corresponde a 4 ≤ n ≤ 10 e, em ambos os
casos r + s = 5. Os dados do ramo superior da figura colapsam em uma ´unica curva, diferentemente do ramo inferior.
Em outras palavras, as curvas de Qmf para (r, s) = (2, 3) e (r, s) = (1, 4) dividem
grosseiramente o mesmo pe
c mas n˜ao o mesmo pbc. A raz˜ao para esta caracter´ıstica ´e a
forte anisotropia em (r, s) = (1, 4) comparada com o caso (r, s) = (2, 3).
A anisotropia do aglomerado percolante n˜ao afeta pc em ambas as dire¸c˜oes mas, afeta
em uma dire¸c˜ao.
Na verdade, a percola¸c˜ao em ambas as dire¸c˜oes resulta de uma m´edia sobre as dire¸c˜oes e, em tais situa¸c˜oes, qualquer efeito eventual da anisotropia do aglomerado percolante se anula devido `a m´edia. Uma maneira de se definir pc ´e tomando o valor m´edio,
pcmed =
pe c + pbc
2 .
Figura 3.9: Apresentamos pc versus 1/L para ρ = 2/3 (linha s´olida) e ρ = 1/4
(linha tracejada). Os valores acima correspondem a pb
c e os valores abaixo
correspondem a pe
Figura 3.10: Apresentamos pc versus 1/L para ρ = 2/3 (linha s´olida) e ρ = 1/4
(linha tracejada). Os valores acima correspondem a pb
c e os valores abaixo
correspondem a pe
c. Usamos 4 ≤ n ≤ 10. Gr´afico de pcmed versus 1/L para os
Figura 3.11: Gr´afico de pcmed versus ρ. Os valores escolhidos de ρ est˜ao indicados
na figura. A linha reta corresponde ao melhor ajuste linear.
mos dados da Figura 3.9. Observamos nesta figura que ambas as curvas convergem para um valor de satura¸c˜ao que n˜ao ´e o mesmo.
A diferen¸ca entre os dois casos est´a relacionada com a curva de pb
c. A anisotropia, ou
seja, o alongamento dos blocos causada por ρ, implica em uma anisotropia no aglomerado percolante. Tal anisotropia determina que o aglomerado percolante n˜ao tem um compri- mento de correla¸c˜ao independente da dire¸c˜ao.
Como o aglomerado de percola¸c˜ao ´e anisotr´opico, a simetria entre pe
c e pbc pode n˜ao
existir. Portanto, esperamos que quanto menor ´e o ρ, maior ´e a anisotropia no multifrac- tal, e aparecer´a uma maior diferen¸ca em pcmed. A Figura 3.11 confirma esta tendˆencia
para diversos valores de ρ.
A Figura 3.11 mostra ¯pc versus ρ. Para obter ¯pc fazemos uma m´edia de pcmed ap´os o
processo de satura¸c˜ao, ou seja, para n≥ 8. O parˆametro ρ est´a indicado na figura. Estes valores est˜ao tamb´em indicados na Tabela 1.3. A linha reta na figura ´e o ajuste linear dos dados.
geral de decrescimento de pc com ρ, e o caso anˆomalo (r, s) = (1, 3). A principal tendˆencia
de decrescimento de pc com ρ discutimos conjuntamente com a anisotropia. Comentamos
a situa¸c˜ao anˆomala do caso (r, s) = (1, 3) em rela¸c˜ao `as propriedades topol´ogicas de Qmf,
as quais s˜ao analisadas a seguir.
O objeto Qmf ´e composto de um conjunto de blocos, i, com diferentes ´areas, Ai, e com
um n´umero de vizinhos, ζi. O n´umero ζi ´e uma grandeza central no estudo da topologia
de Qmf. Uma grandeza topol´ogica que tamb´em ´e importante na investiga¸c˜ao do limiar
de percola¸c˜ao, ´e ζmed que ´e uma m´edia de ζi sobre Qmf.
Isto significa que,
ζmed =
iζi
N ,
onde, N = 2n, ´e o n´umero total de blocos e a soma no numerador ´e realizada sobre todo
o multifractal.
Tipicamente ζmed ´e um n´umero que n˜ao cresce com n, mas atinge um valor constante
ap´os n∪ 6. Mostramos na Tabela 3.3 esta grandeza topol´ogica para n = 8 e v´arios valores de ρ.
Observamos na linha de ζmed que todos estes valores s˜ao, a grosso modo, os mesmos,
a exce¸c˜ao corresponde ao caso (r, s) = (1, 3).
A conclus˜ao que chegamos ´e que a varia¸c˜ao do n´umero m´edio de vizinhos causa uma flutua¸c˜ao no limiar de percola¸c˜ao observada na Figura 3.11. A probabilidade cr´ıtica pc
de (r, s) = (1, 3) ´e um pouco maior do que a dos outros casos porque ela tem um n´umero m´edio de vizinhos menor.
Em outras palavras, pelo fato de que cada bloco de (r, s) = (1, 3), na m´edia, tem menos vizinhos, ele percola com mais dificuldade do que a tendˆencia entre seus grupos.
Tabela 3.3: Valores de pc e ζmed para diversos pares (s, r).
(s, r) (1,1) (4,3) (3,2) (2,1) (5,2) (3,1) (4,1) (5,1) pc 0,5929 0,5262 0,5262 0,5256 0,5252 0,5253 0,5243 0,5241