Neste trabalho desenvolvemos um objeto, Qmf, para estudar percola¸c˜ao em um suporte
multifractal. Al´em do mais, como todo multifractal, Qmf apresenta v´arias propriedades
interessantes. A soma de todos os seus subconjuntos fractais preenche um quadrado e ´e poss´ıvel determinar o espectro de suas dimens˜oes fractais.
Al´em disso, o algoritmo que gera Qmf tem somente um parˆametro livre, ρ. No caso
ρ = 1, temos que Qmf recupera a rede quadrada.
Observamos que percola¸c˜ao em um multifractal apresenta caracter´ısticas diferentes de percola¸c˜ao em uma rede regular. Existem duas raz˜oes para isto: a distribui¸c˜ao hete- rogˆenea dos pesos, ou ´areas, entre os blocos e a varia¸c˜ao do n´umero de coordena¸c˜ao da estrutura topol´ogica.
O peso de cada bloco em um multifractal conta diferentemente na massa do aglome- rado percolante infinito. A diferen¸ca nos pesos dos blocos muda a dispers˜ao do histograma das redes percolantes.
O fenˆomeno dos dois picos que aparece no histograma est´a tamb´em correlacionado com a diferen¸ca entre os pesos. Modelamos a distˆancia entre os picos usando uma estat´ıstica bimodal. No limite de n→ ∞ todos os histogramas dos multifractais parecem convergir para uma ´unica curva.
Em todos os casos em que ρ< 1, o multifractal Qmf apresenta um n´umero de coor-
dena¸c˜ao que muda ao longo do objeto. O n´umero de coordena¸c˜ao m´edio de Qmf ´e em
torno de 5, 436. Por outro lado, a situa¸c˜ao (r, s) = (1, 1) tem um n´umero de coordena¸c˜ao constante igual a 4. Isto sugere que o caso ρ< 1 representa uma quebra na simetria do sistema.
Neste sentido, o n´umero de coordena¸c˜ao ´e muito mais complexo para Qmf do que para
uma rede regular. Apesar dessas diferen¸cas, fizemos estimativas num´ericas da dimens˜ao fractal do aglomerado percolante no multifractal, obtendo valores que est˜ao em torno de 1, 89, a mesma dimens˜ao encontrada para o aglomerado percolante incipiente em uma rede bidimensional regular.
A simula¸c˜ao num´erica do expoente cr´ıtico β tamb´em apresenta o mesmo valor apresen- tado no caso da rede regular bidimensional e aponta para a mesma conclus˜ao que temos percola¸c˜ao regular.
Analisamos tamb´em neste trabalho o papel da anisotropia e o n´umero m´edio de vi- zinhos de Qmf no seu limiar de percola¸c˜ao, pc. O objeto multifractal ´e composto de um
conjunto de blocos com diferentes ´areas e n´umeros de vizinhos. Quando o parˆametro, ρ, que define Qmf, vai para zero, o multifractal torna-se cada vez mais anisotr´opico. Esta
anisotropia se reflete no aglomerado percolante criando uma assimetria entre pe c e pbc.
A anisotropia de Qmf torna-se evidente quando comparamos pec e pbc. As curvas ob-
servadas de pe
c apresentam um comportamento similar, ao contr´ario das curvas de pbc. Na
realidade, a medida de pb
c faz uma m´edia sobre ambas as dire¸c˜oes, horizontal e vertical,
e esta m´edia anula qualquer efeito anisotr´opico do aglomerado percolante. Este efeito de apagar a anisotropia n˜ao existe quando medimos pe
c.
A anisotropia de Qmf decresce com ρ, quando ρ → 0 os blocos de Qmf tornam-se
mais alongados. Um caso especial em nossa an´alise ´e o (r, s) = (1, 3). Este caso ´e singu- lar comparado com outros casos analisados. Para um mesmo n´umero de blocos, o caso (r, s) = (1, 3) tem menos vizinhos do que os blocos multifractais correspondentes a outros valores de ρ. Este fenˆomeno ´e intr´ınseco `a topologia de Qmf. Isto implica que (r, s) = (1, 3)
´e menos conectado, e, como conseq¨uˆencia, apresenta mais dificuldade para percolar. Portanto, o caso (r, s) = (1, 3) tem um limiar de percola¸c˜ao ligeiramente maior do que seus vizinhos na seq¨uˆencia dos ρ. Nos trabalhos futuros pretendemos estudar em mais detalhes o efeito de outras caracter´ısticas topol´ogicas nas propriedades de percola¸c˜ao.
Cap´ıtulo 4
F´ısica Estat´ıstica e Caminhos
M´ınimos na Recupera¸c˜ao de Petr´oleo
Nenhuma mente que se abre para uma nova id´eia voltar´a a ter o tamanho original.
Albert Einstein
4.1
Introdu¸c˜ao
Como vimos no Cap´ıtulo 2, a teoria da percola¸c˜ao ´e um modelo que serve como paradigma para sistemas com conectividade e vem se constituindo numa ferramenta muito ´
util na caracteriza¸c˜ao de muitos sistemas desordenados. Neste cap´ıtulo apresentamos um pouco do potencial de aplica¸c˜oes da teoria da percola¸c˜ao como um modelo conveniente para o entendimento de alguns aspectos de fluxo atrav´es de rochas porosas.
Existem algumas maneiras pr´aticas atrav´es das quais a F´ısica Estat´ıstica pode ser utilizada pela ind´ustria do petr´oleo. Um dos m´etodos mais comuns de recupera¸c˜ao de petr´oleo ´e o que utiliza a inje¸c˜ao de um fluido chamado fluido invasor, em um po¸co, ou po¸cos, chamados po¸cos de inje¸c˜ao ou injetores, com a finalidade de criar uma frente de deslocamento para empurrar o ´oleo ali existente, chamado de fluido resistente, para outros po¸cos, denominados po¸cos de produ¸c˜ao ou produtores [45, 46].
Ou seja, um fluido, que pode ser ´agua ou um g´as misc´ıvel, tipo di´oxido de carbono ou metano, ´e injetado em um po¸co com o objetivo de deslocar para outros po¸cos o ´oleo ali localizado.
Ap´os um determinado tempo, chamado tempo de erup¸c˜ao, o fluido injetado alcan¸ca um dos po¸cos de produ¸c˜ao. A partir de ent˜ao, este po¸co passa a produzir tamb´em o fluido injetado, e a taxa de produ¸c˜ao de ´oleo entra em decl´ınio, tanto mais, quanto maior for a produ¸c˜ao do fluido injetado [47, 48, 49].
Em termos econˆomicos, ´e muito importante saber quando este fluido entrar´a na pro- du¸c˜ao daquele po¸co e a que taxa de decl´ınio a produ¸c˜ao de ´oleo estar´a sujeita ap´os este instante, de modo que se possa determinar qual o limite econˆomico de produ¸c˜ao.
Os meios porosos, atrav´es dos quais ´e poss´ıvel haver fluxo, s˜ao altamente heterogˆeneos em conseq¨uˆencia, basicamente, do pr´oprio processo sediment´ario a que foram submetidos. Apesar disso, em muitos casos as rochas porosas podem ser classificadas em dois tipos. Primeiro, as consideradas boas, que s˜ao aquelas que tˆem alta permeabilidade e, em segundo lugar, as consideradas ruins, que s˜ao aquelas que tˆem baixa ou nenhuma permeabilidade. Considera-se que o fluxo ocorre somente atrav´es das rochas boas.
A distribui¸c˜ao espacial dos tipos de rochas geralmente se d´a de maneira completamente aleat´oria, de modo que, podemos caracterizar como um problema t´ıpico de percola¸c˜ao.
A probabilidade de ocupa¸c˜ao, p, do modelo de percola¸c˜ao ´e substitu´ıda naturalmente pela fra¸c˜ao de volume das rochas perme´aveis, conhecida na literatura da ind´ustria do petr´oleo como net-to-gross reatio. O conhecimento que se tem a respeito da distribui¸c˜ao espacial das propriedades das rochas em um reservat´orio ´e muito restrito. As medidas feitas diretamente nas rochas obtidas nos reservat´orios se limitam a amostras recolhidas nos po¸cos de explora¸c˜ao, ver Figura 4.1.
Como nos referimos no Cap´ıtulo 2, estas medidas representam em torno de 10−13do
volume total de um reservat´orio cujas dimens˜oes t´ıpicas s˜ao,
5 Km× 5 Km × 50 m ∼ 109m3.
Al´em disso, estas propriedades representam apenas aqueles locais de onde as amostras foram retiradas, sendo, deste modo, necess´ario fazer extrapola¸c˜oes para o reservat´orio como um todo atrav´es do conhecimento geral do ambiente geol´ogico, ou fazendo analogias com outros reservat´orios ou ainda por meio das carcter´ısticas de rochas aflorantes.
Portanto, existe um alto grau de incerteza quando s˜ao feitas predi¸c˜oes com rela¸c˜ao `as propriedades das rochas. Isto leva tamb´em a uma incerteza na capacidade de predi¸c˜ao da performance do fluxo, principalmente o tempo de erup¸c˜ao e a taxa de decl´ınio da pro- du¸c˜ao.
Figura 4.1: Dimens˜oes t´ıpicas de reservat´orios de petr´oleo e de amostras.
Torna-se necess´ario, portanto, estimar a incerteza com uma boa aproxima¸c˜ao, de modo a que se possa fazer avalia¸c˜oes mais aproximadas do risco econˆomico.
A abordagem convencional para este problema consiste na constru¸c˜ao de modelos num´ericos detalhados de aproximadamente dez milh˜oes de c´elulas em uma malha, depois ocupa-se estas c´elulas com propriedades geol´ogicas das rochas e do fluxo, renormaliza-se para ent˜ao realizar as simula¸c˜oes. Ou seja, a estimativa ´e feita atrav´es de simula¸c˜oes com base na mecˆanica dos fluidos.
Existem casos em que a aproxima¸c˜ao feita atrav´es da classifica¸c˜ao entre rochas per- me´aveis e n˜ao perme´aveis ´e muito significativa.
Por exemplo, o reservat´orio pode ter se formado a partir do tra¸cado de um rio no qual, naturalmente, as areias boas ocorrem na forma de pacotes em locais isolados.
Na Figura 4.2 podemos observar nitidamente o tra¸cado de um rio onde hoje ´e o reser- vat´orio Girassol em Angola.